ENRJİ HAT ÇAIŞMALARINDA ELEKTRİK ALANLARININ RASYONEL ÇÖZÜMLEMESİ

ENERJİLİ HAT ÇALIŞMALARINDA ELEKTRİK ALANLARININ RASYONEL ÇÖZÜMLEMESİ

VDK, 62I.3I7.32S:62I.3I5.I

h.c. barnes a.j. mcelroy j.h.charkow

ÖZET

Elektrik ulaşım sistemlerindeki gerilim arttıkça, sistem güvenilirliği açısından çıplak el yöntemiy le enerji yüklü hat bakımı giderek gerekli olmaktadır. Bundan daha önemlisi de hat işçisinin bu ge rilimlerde gereken uzun, ağır ve sıcak hat aletleri kullanmasındaki güçlük yerine enerji ve el alet leri kullanabilme olanağına sahip olmasıdır. îşçinin yüksek gerilim gradyen ve vücut akımlarından korunmasının Faraday kafes türü ekranlamayla kolaylıkla yapıldığı bu bildiride tanıtılan geniş kap samlı sınama programında ve eşteki bildirilerde ispatlanmıştır. Bu bildiri, Laplace eşitliğinin hem analitik hem de sayısal tekniklerle çözümünden yararlanarak gerilim gradyenlerini ve vücut akımları nı kestiren bir yöntem geliştirmektedir. Sonuçlar alanda alman ölçümlerle karşılaştırılmış ve ku sursuz bir uyuşma sağlanmıştır. Bu nedenle, tanıtılan yöntem hem kurulu sistem ve gerilimlerde hem de yeni tasarlanan sistem ve gerilimlerde akım ve gradyen kestiriminde kullanılabilir. SUMMARY

As voltage of electrical transmission systems increases, live line maintenance by the barehand method becomes increasingly necessary to meet the reguirements of system reliability. Of more im portance is its value to the norkman in permitting him to use power and hand tools without the strain wftich would be encountered with the long, heavy, hot line tools required at these voltages. Protection of the workman from exposure to high voltage gradients and body currents is easily at tained through Faraday cage type shielding, as has been proved by an extensive test program des cribed in thîs and companion papers. This article develops a method of predicting voltage gradients and body currents utilizing both analytical and numerical techniques in the solution of Laplace's equation. The results are compared with field measurements and excellent agreement is obtained. The method described can therefore be used to predict both currents and gradients for new designs and voltage levels as veli as for existing designs and voltages.

GÎRÎŞ

Gün geçtikçe artan elektrik enerjisi gereksinmesi ni karşılayabilmek için, elektrik endüstrisi YG (yüksek gerilim) iletim dizgesini büyük çapta ge nişletmek durumundadır. Bu genişleme yalnızca ha len kullanılmakta olan 345 kV'luk hatların çoğal tılmasıyla değil, 500 ve 700 kV'luk ve daha yüksek gerilim hatlarının kurulmasıyla olacaktır. Her za man hizmete hazır durumda tutulması gerekliliği, kullanımda bulunan enerji hatlarının korunma tek niklerinde yeni uygulamaları ve var olanların da geliştirilmesini birlikte getirmektedir.

Enerjili hat aletleri uzun yıllar boyunca iletim hatlarının bakım işlerinde kullanılmıştır. Hatla rın bakımı iletkenler enerjili iken yapılabildi ğinden servisin sürekliliği ve güç iletim şebeke lerinin büyük ölçüde güvenilirliği sağlanmış olur. Son zamanlarda enerjili hat bakımı için yeni bir yöntem, çıplak el yöntemi, geliştirildi [l] . Bu yöntem yalnızca servisin sürekliliğini sağlama ola naklarını genişletmekle kalmamakta, aynı zamanda işçinin güvenliğini ve çalışma rahatlığını artı rarak, alışılagelen enerjili hat (sıcak çubuk) ySn temiyle sağlanamayan güç aletlerinin kullanımını olanaklı kılmaktadır. Çıplak el yönteminde işçiler enerjili hatta bağlı iletken bir kafes içinde ça lışırlar. Bu kafes, 1837'de Michael Faraday'ın koy duğu ilkelere uygun olarak işçiyi duruk elektrik alanlardan korur.

Bütün bu gereksinmeleri gözönüne alan Amerikan Elektriksel Güç (AEP) şirketi, 1960 yılında konu nun önemli yanlarını incelemek amacıyla bir prog ram yürürlüğe koydu. Konuya ilişkin bazı sonuçlar daha önce ilgili raporlarda açıklanmıştı [2] . Bu programın ana öğelerinden birisi kişisel güvenlik pratiklerinin gözden geçirilmesiydi. Çıplak el ça lışmalarında işçi enerjili iletken ile fiziksel

temas durumundadır ve bu nedenle çalışması sıra sında büyük alan yeğinliklerinin etkisinde kalabi lir. Faraday kafesi kullanılarak yapılan çalışma larda, enerjili hat aletleri yöntemiyle yapılan larda görülenden daha düşük alan yeğinliklerine rastlanması nedeniyle, çalışan işçiyi etkileyen gerilim gradyenleri ve endükleme akımlarına iliş kin veri toplama gereksinmesi duyuldu. İlgili ya zının incelenmesi, vücut alanları ve akımlarının ve canlı organizmaların düşük yeğinlikteki uzun süreli elektrik alanlarına gösterdiği tepkilerin niteliği üzerine pek az şey bilindiğini ortaya koy du. Bunun üzerine AEP Servis Anonim Şirketi, AEP1 deki mühendislerin uzun süre birlikte çalıştığı John Hopkins Universitesi'nden, vücut elektriği konusundaki çalışmalarıyla ünlü ve defibrilatörün bulucusu Dr.Kouvenhoven'in danışmanlığına başvur du. Sonuçta, elektrik alanlarının insanlar üzerin deki etkilerini araştırmak üzere AEP şirketi ile John Hopkins hastahanesi arasında birlikte yapıla cak bir araştırmada anlaşıldı. John Hopkins has tahanesinin doktorları çıplak el yöntemleri kul lanarak 345 kV'luk hatlarda enerjili iletkenlere doğrudan temas ederek çalışan işçiler üzerinde birçok ölçme yaptılar. Ayrıca enerjili hattın ba kımıyla görevli hat işçileri, John Hopkins hasta hanesinde, bir dizi tıbbî muayeneden geçirildiler. Kısa sürede belirli bir bilgi birikimi oluştura bilmek için, hat işçilerinin içinde çalıştığı alan dan daha yeğin alanlarda bir fare grubu üzerinde de yoğun testler yapıldı. Bugüne değin bütün bu alışmalar ilgili yazılarda açıklanmış durumdadır

Î3, 4].

Elektrik gradyenleri ve vücut akımlarıyla ilgili ilk ölçmeler yapılırken ve fareler üzerindeki de neylerde kullanılacak gerilim düzeyi saptanırken, insanın yada farenin vücudunun üzerinde ve içinde ki alan dağılımını kuramsal olarak bulmak gerek

BLBKTRÎK MÜHENDİSLİĞİ 249

inektedir, çünkü yalnızca bir ölçü aletinin dahi alana sokulması alanın dağılımını bozmaya yetmek tedir. Bu amaçla alan dağılımlarını hesaplamada bir ölçüt belirlemeye ve hesapları kolaylaştırmak için bilgisayar kullanmaya karar verildi.

VÜCUDUN BİLEŞİMİ

İnsan, herbiri değişik yapısal özellikler göste ren, doku, destek öğeleri ve örtü tabakasından olu şan çok karmaşık bir organizmadır. Büyük molekül sel ağırlıkta ve polarizasyondaki proteinler, ke mikler, hareketli organik ve inorganik iyonlar ve diğer bileşenler vücuttaki sudan daha hafif bir kütle oluştururlar. Dış örtü tabakasının altında vücudun direnilliği, damar dokularında 100 Q cm' den, kemiklerde 900 ü cm'ye ve yağ dokularında 5000 fi cm'ye değin değişim gösterir [6] . İçeri sinde kanın bulunmadığı dokular birkaç yüzbini bu lan yalıtkanlık katsayılarıyla sığasal evre açısı na sahiptirler. Ancak canlı vücut, damarlardaki kan ve diğer madensel tuzlu iç sıvıları ile orta lama 100 fî cm'lik bir direnelliğe ve yaklaşık 80 olan yalıtkanlık katsayısına sahip, göreceli ola rak bir biçimli bir kütle olarak kabul edilebilir.

Derinin genellikle birbirine sıkı sıkıya bağlı iki tabakadan oluştuğu bilinmektedir. Damarlı yapısı nedeniyle derma yada alt tabaka, elektriksel ola rak vücudun diğer iç kısımlarına çok benzer. Epi derma yada üst tabaka, değişik kalınlıklar göste rirse de genellikle 1 mm1den daha incedir ve 106 îi cm'ye değin ulaşabilen direnilliğe ve 80' den daha büyük olmayan yalıtkanlık katsayısına sahiptir [7j .

ğ elektrik alanların fareler üzerindeki etki leri insanlar üzerindekilerle karşılaştırıldığın da, dokularının elektriksel özellikleri bakımından farelerin insanlara oldukça benzediği görülür, önemli sayılacak fizyolojik bir farklılık, farele rin vücut örtülerinin daha tüylü olmasıdır. Tüylü kısımlara ilişkin elektriksel veriler çok azdır, ancak yalıtkanlık katsayısı ve direnilliğin büyük olacağı beklenebilir. Yüzeydeki elektrik alanının farenin derisi üzerinde, hiçbir yeğinlik değişimi ne uğramadan, sonlanacağı varsayılabilir.

VARSAYIMLAR

Enerjili hattın bakımı sırasında, hatta yada yer de çalışan işçiler genellikle iletkenden 100 feet kadar uzaktadırlar. Bu nedenle elektromagnetik ışınım etkisi ihmal edilebilir ve yarı duruk (guasi static) elektrik ve magnetik alanlar, yal nızca hat gerilimine ve akımına bağlı fazörlerle gösterilebilirler.

Hattın yakınındaki bir cisim, göreli büyüklüğüne ve fiziksel parametrelerine bağlı olarak, bu, var lığı birbirlerinden bağımsız iki alanın dağılımnı belirli bir dereceye kadar değiştirir. İncelenen nesne içinde endüklenen akımlar birincil enerji^ kaynağını yani iletim hattını etkilemez, örneğin 345 kV'luk bir hattın elektrik alanının yakındaki bir cisim içinde endüklediği akımlar miliamper düzeyindedir ve bu büyüklükteki akımların alanı da hattın alanını önemli ölçüde etkilemez. 200 Amperlik bir hat akımı için cisim içinde magnetik alanın oluşturduğu akımlar elektrik alanınca en düklenen akımlarla yaklaşık aynı düzeydedir. Böy lesi bir durumun incelenmesi ek araştırma gereke

ceğinden bu yazıda yalnızca elektrik alanı ele alınmaktadır.

Süregelen incelemede insan vücudu için kabul edi len elektriksel parametreler şu değerdedirler: di renillik, p = l£2 m, elektrik geçirgenlik, e = 8 0 e0 (burada e0 = 8,85x10"f2farad/metre de ğerinde boşluğun elektrik geçirgenliğidir), magne tik geçirgenlik, p = yo (burada yo = 12,56X10"7 Henry/metre değerinde boşluğun magnetik geçirgen l i ğ i d i r ) , yatışma zamanı (relaxation time), T = ep, serbest yüklerin yüzeyde yayılmaları için geçen süredir. Yukarıdaki değerler için T = 708 ps (1 ps= 10~12saniye) gibi küçük bir zaman süresi dir. Epiderma için (p = İO^ÎÎ m), T = 708 ns (1 ns = 10~9 saniye) dir ve bu değerde çok küçük tür. Sonuç olarak şu söylenebilir: yarı duruk alan bağıntıları cismin yüzeyinde geçerli kabul edile bilir.

Ek I'de, serbest yük yoğunluğunun kutupsal yük yo ğunluğuna oranının l ' i büyük ölçüde geçtiğini ve alan işleme derinliğinin (depth of penetration) cismin boyutlarından daha büyük olduğunu ortaya koyan bir hesaplama yöntemi verilmektedir. Bu so nuçlar, cismin, dışarıdaki alan için çok iyi bir iletken, içerdeki alan bakımından da bir direnç olarak davranacağını göstermektedir.

ÇÖZÜM YÖNTEMİ

.Duruk e l e k t r i k s e l (electrostatic) olarak endükle nen akımların hesaplanması birbirinden bağımsız şu iki aşamada y a p ı l ı r . 1) nesnenin yüzeyi üzerin deki elektrik alan dağılımı nesne çok i y i bir iletken kabul edilerek bulunur, 2) nesnenin i ç i n de oluşan akımlar, 1.aşamada bulunan yüzeydeki elektrik alan dağılımından yararlanılarak hesap lanır. İ ş ç i hat i l e yer arasında a s ı l ı durumday ken (Şekil I'de gösterilen a l ı ş ı l a g e l m i ş e n e r j i l i hat a l e t l e r i n i n k u l l a n ı l d ı ğ ı durum), spheroidal geometri kullanılarak yapılan bir çözüm y e t e r l i dir. Çıplak el yöntemiyle yapılan hat bakımında ( i ş ç i hat geriliminde) bilgisayar kullanımını ge rektiren daha karmaşık bir çözüm yöntemi uygula nır (Şekil 2'deki durum). Bu ikinci durum i ç i n kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu bir ızgara (grid) bölümlemesi k u l l a n ı l ı r .

Analitik Geometri

İnsanın dış yüzünün geometrik gösteriminde pzolate spheroidal koordinatların kullanımı doğal bir se çim sayılabilir. Şekil 3'de gösterildiği gibi, prolate spheroid, bir elipsi ana ekseni çevresinde döndürerek elde edilir. Prolate spheroidal koordi natlarla kartezyen koordinatlar arasındaki bağın t ı , belli başlı vektör eşitliklerinin kısa bir açıklamasıyla birlikte Ek II'de verilmektedir.

Enerjili hat aletleriyle çalışırken i ş ç i , enerji li iletkenden pekçok feet uzaktadır. Bu durumda işçinin, normal olarak bulunduğu yerdeki alan ye ğinliğinin en büyük değerinde ve özgün durumunda düzgün olan bir elektrik alanı içerisinde olduğu varsayılabilir. Bu alanın yön vektörü prolate spheroidal koordinatların merkezinden geçer. Bu vektör ve spheroid'in dönme ekseni (ana eksen) x y koordinat düzlemini tanımlar (x ekseni ana eksenle çakışıktır). Herhangi bir düzgün elektrik alan, böylece, x ve y eksenleri doğrultusundaki

ELEKTRtK MÜHENDİSLİĞİ 249 450

Şekil 1. Enerjili hat çalışmasında hat ile toprak arasında asılı duran hat işçisi.

Şekil 2. Çıplak el bakım yöntemi.

bileşenleri cinsinden tam olarak tanımlanabilir. Spheroid'in yüzeyindeki alan dağılımı, Ek IlI'de açıklanan sınır değer çözümlemesi yöntemiyle bu lunur. Prolate spheroid koordinatlarına bağlı ola rak, yeğinliklerin mutlak büyüklükleri, pratikte rastlanan bir dizi parametreye karşılık olarak Şekil 4 ve 5'de gösterilmiştir. Her durumda elek trik alan yeğinliği vektörü spheroid'in yüzeyine diktir. Şekil 4 ve 5 incelendiğinde spheroid'in bulunuşunun elektrik alan yeğinliğini artırdığı görülür. Elektrik alanının ana eksene koşut bile şeni kutuplarda (n = ±1), a/b =10 değeri için 50 Eox'e ulaşabilir. Yan eksene koşut alan bile şeni de (n = 0 durumu), tam bir prolate spheroid biçimi için özgün değerinin üç katına çıkar.

Prolate spheroid içindeki maddenin edilgen bir direnç gibi davrandığı gösterilmiştir. Buna göre, cismin içerisindeki J akımı yoğunluğunun, Laplace bağıntısının (cisim içinde.) çözülmesiyle bulunan

3,0 t/htif

2,5 s"

*— p .

,

1 »•<

TIM*

ÜJ ı.o

0,5 // /

r—' _—< —

•—

n/t r/t» ir/t

1,0 .9 .8 .7 .6 5 .4 .3 .2 1

în.

3 fit— 2 5^ î

^ id

|

.. 1

/

^*

——

T/»

m.

— HV/14

OK*"

1,0 .9 8 .7 .6 .5 M .3 .2 .1

Şekil 3. Prolate Spheroid'e ilişkin bağıntılar.

A *1 için S0>

Şekil 4. İletkenliği sonsuz büyüklükte olan bir prolate spheroid'in yüzeyi üzerinde, ana eksene koşut özgün alan (Eox) cinsinden, elektrik alan dağılımı.

—•

I" 1^

Tl/14 T

!¥/•

|^

/tl/t

1,0 .9 .« .7 .6 5 .4 .3 i .1 0

3,0 c

2,S

Si2'l0ı S /

b/«

TT/14

« 1,0

0,5

UT/M «!T/t

1,0 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 0

in

5. İletkenliği sonsuz büyüklükte olan bir

prolate spheroid'in yüzeyi üzerinde,

yan eksene koşut özgün alan (EOy) cinsinden elektrik alan dağılımı.

gerilimin eksi gradyeninden elde edileceği açık t ı r . Geriye, sınır yüzeyi üzerindeki J£o(n , ¥) akım yoğunluğunun, E Ç o ( n , y) alan bileşeninin ya ratacağı yoğunluğunun çözümünü veren bu yöntem Ek IV'de özet olarak anlatılmaktadır. İlginç bir gözlem, uygulanan alanın yönü ne olursa olsun mad de içindeki akım yoğunluğunun düzgün olması ve J vektörünün yönünün özgün yada dağılımı bozulma mış elektrik alanının yönüne koşut kalmasıdır.

Toplam vücut akımı, Ek IV'de açıklandığı gibi, akım yoğunluğu vektörünün orta kesit üzerinde yü zeysel tümlevi alınarak hesaplanır. Aşağıdaki sa yısal değerler için sonuçlar Çizelge l'de veril miştir.

Şekil 6. İnsan kova sistemi içine alan hacim ve eşdeğer noktasal yükün yerleşim noktası.

a=36 inch ve a/b=4,5 olsun. Özgün elektrik ala nı x eksenine koşut alınmıştır. Ero= 11 kV/inch (n= D olarak veriliyor. Şekil 4'âen Er0/Eox = 15,5 olarak okunur (n = 1 ve Eox=0,71 kV/inch iken). Çizelge l ' i n 2.sütunundan c= 36/1,025= 35,1 inch bulunur ve aynı çizelgenin 3. ve 4. sütunları akım yoğunluğu (J) ve toplam akımı (I) hesaplamada kullanılır.

J = 1,31 xl(T6x0,71= 9,30 x 10~7 Amp/inch2,

I = 2,14 xl0~7x0,71x(35,l)2 = 187 uA,

Aynı geometrik şekil için özgün alanın y eksenine koşut olduğunu varsayalım. Bu alanın yeğinliği de E o y = 0,71 kV/inch olsun. Yine sütun 2'den c=35,l olarak bulunur. 5 ve 6 nolu sütunlardan da akım yoğunluğu. (J) ve toplam akım (I) elde e d i l i r :

J= 1,81 xl0~7x0,71 = 1,29 xlO"7 Amp/inch2,

1= 1.33xl0"7x0,71x(35,l)2 = 116 uA,

a'/b (1)

1.10 1.50 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 «.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00 9.00 10.00

a/c (2)

2.400 .341 .281 .202 .154 .122 .100 .083 .070 .060 .152 .046 .0* .036 .032 .025 .020 .016 .014 .012 .010 .009 .007 .006 .005

2.746x10' 3.63îxlO" 3.871 x l0 " 4.364x10" 4.879x10" 5 . 4 1 5 x l t >" 5.977x10" 6.558x10* 7.163x10" 7.778x10" 8.435 x l 0 " f.103x10" 9.792 x l0 " 1.050x10" 1.123x10" 1.314,10" 1.517x10" 1.732 x l 0 " 1.959x10" 2.197x10" 2.447x10* 2.708x10" 2.979 «10* 3.556x10" 4.173x10"'

4.110x10" 9.134 x10" 7.795x10" 6.119x10" 5.108x10" 4.430x10" 3.945x10" 3.576x10" 3.289x10" 3.058x10" 2.868x10" 2.708x10" 2.573x10" 2.454x10" 2.352x10" 2.144x10"

.986 x l 0 " .860x10" .758x10" .673x10" .601 x l 0 " .539x10" .485 x l 0 " .396x10" .324x10"'

J/Eoy (5)

2.448x 10"? 2.208x10" 2.167 x l 0 " 2.101 x l 0 " 2.049x10" 2.007x10"

.973x10" .944 x l 0 " .920x10" .900x10" .882x10" .867x10" .854x10* .842x10" .831 x l 0 " .810x10* .793x10" .780x10" .770 xlO" .761 X İO" .754x10" .748fxlO" .744x10" .735x10" .728x10"'

(6>

4.028x10"* 8.324x10"' 6.982 xlO"' 5.304x10"' 4.290x10" 3.612x10" 3.124x10" 2.758x10" 2.470x10" 2.238x10" 2.048x10* 1.888x10" 1.753x10" 1.636x10" 1.534x10" 1.329x10" 1.174x10* 1.052x10" 9.533x10" 8.720x10" 8.037x10" 7\455xlO~ 6.952x10" 6.132 XİO~ 5.484 XİO~*

Çizelge 1.

Sayısal Hesaplamada Kullanılan Geometri

Hat gerilimdeki insan kova sisteminin çevresinde ki elektrik alanının dağılımı basit geometrik ba ğıntılarla hesaplanamayacak kadar karmaşıktır. Yeterli ayrıntıya sahip bir çözümleme Şekil 6'da kine benzer 3 boyutlu bir ızgara sistemi kullan mayı gerektirir. Hat işçisinin çevresindeki geri lim gradyenlerinin hassas biçimde hesaplanması 20 000'den fazla ızgara noktası kullanılmasını ge rektirebilir ki bu IBM 7094 bilgisayarının belle ğini zorlayacak bir yükleme demektir. Örneğin Şe kil 6'da 25 x 25 x 37 = 23125 ızgara noktası vardır. Her kübik hücreye 3 inch'lik bir uzunluk ayrılır sa, inceleme konusu olan hacim 108 inch yüksekli ğe ve 72 inch'lik kenar uzunluğu olan bir kare alana sahip olur. Bu hacim yeterli kenar payıyla bir insan kova sistemini içine alabilir (Şekil 9) ve bu durumda dikdörtgenler prizmasının bütün yüz l e r i üzerinde gerilim dağılımını bulmak gerekli dir. Hesaplamayı kolaylaştırmak için, insan kova sistemi, yerden h kadar yüksekte R yarıçaplı bir küre ile yerdeğiştirilebilir varsayılır, h ve R, yaklaşık olarak insan kova sistemininkine eşit bir sığa verecek biçimde seçilir. Yüksek gerilim hat tının sığası ortalama 3 pF/ft olup bu insan kova sisteminin yaklaşık 100 pF olan sığası yanında ol dukça küçüktür. İnsan kova sisteminin sığa ve ge rilimine karşılık gelen bir yük kürenin merkezine y e r l e ş t i r i l i r . Aynı değerde fakat zıt i ş a r e t l i bir diğer yükte asıl yükün yer düzlemine göre simetri ği olan noktaya (asıl yükün aynasal görüntüsünün bulunacağı nokta) konur. Yerin üzerinde pratikte rastlanan yükseklikler için bu iyi bir yaklaşıklık kabul e d i l i r . Dikdörtgenler prizmasının yüzeyinde ki gerilimler bu iki noktasal yük cinsinden kolay ca hesaplanabilir.

Herhangi bir noktadaki gerilim (ızgara içindeki 0 noktası, Şekil 7) üç boyutlu sistemde Laplace eşitliğini sağlayan aşağıdaki bağıntı i l e hesap lanır:

V.

i= ;vdi<di+<w

Va=

ı

V. I=»,.,. di(di+di 3>

CD

Bu bağıntı, başlangıçtaki üstelemelerde (iteration) h ı z l ı yakınsamayı (con ver gence) sağlamak için.^pek çok başvuru kaynağında (örneğin Scarborough [8j )

Şekil 7. O noktasındaki po

tansiyeli, bu nok

tanın hemen yakının

daki noktaların po tansiyelleri cinsin

den hesaplamak için

kullanılan ızgara.

rastlanandan daha karmaşıktır (Burada gerilimleri

bilinen yada hesaplanan noktalar merkezden eş uzak

lıkta değildir). (1) nolu bağıntı, diverjans teo

reminin tümlevsel biçiminden elde edilmiştir.

Elektrik alanı gerilimin eksi gradyeni olarak ya

zıldığından körl bağıntısı kendiliğinden sağlanır

(körl E = 0 ) .

Aynı doğrultuda, yanyana noktaların gerilimlerini bulmak için kullanılan üstelemeli hesaplama yönte mi, aşırı yatışma (overrelaxation) ilkesi uygula narak değiştirilmiştir, i nolu üstelemede 0 nokta sındaki gerilim, V , aşağıdaki bağıntı kullanıla oi rak düzeltilir;

vöi =

(2)

burada ( i 1 ) bir önceki listelemeyi, üslü semboller de düzeltilmiş gerilim değerlerini göstermektedir. Hesaplamalarda kararsızlıklara karşı k= 1,6 a l ı n ması y e t e r l i d i r .

UYGULAMALAR ve SONUÇLARIN DOĞRULANMASI

Farelerin uzun s ü r e l i elektrik alan e t k i s i n e kar şı t e p k i l e r i Knickerbocker'in [4] raporunda açık lanmaktadır. Fareler 4 kV/inch'lik düzgün b i r elektrik alanı içine y e r l i ş t i r i l d i l e r . Şekil 8'de f i z i k s e l düzenek gösterilmektedir. İki büyük düz lemsel elektrod, a ve b, 1/4 inch kenar uzunluklu kare gözenekleri olan metal bir ağ biçimindedir ve e l e k t r o t l a r arası uzaklık 6 inch'dir. Fare, düz metal bir plaka i l e kaplı akrilik bir kafes (taba nın kenarları 5 inch ve 8 inch, yükseklik 5 inch) içerisindedir. Kafes, topraklı elektrodun üzerine y e r l e ş t i r i l m i ş 1/8 inch kalınlığında yalıtkan bir levha (c) üzerine konulmuştur.

Topraklı elektrodun 3 , 5 x 4 , 8 i n c h 2 t l i k bir kısmı elektrodun geri kalan kısmından e l e k t r i k s e l olarak y a l ı t ı l m ı ş ve bu kısım bir mikroampermetreyle top rağa bağlanmıştır. Akrilik kafesin bir ucu bu k ı sım üzerinde durur. Fare kafesin öbür uçundayken, mikroampermetre bulunduğu bölgedeki normal yükleme yada yerdeğiştirme akımını kaydeder (bulunan de ğer 6,1 yA) . Bu akım, hayvanın vücudunun bütünü y a l ı t ı l m ı ş bölgenin üzerindeyken 7,4 yA'ya yükse l i r . Bu ölçmelerde kullanılan fare 3,2 inch uzun luğunda ve ortalama 1,2 inch enindeydi.

ölçme değerlerini doğrulamak amacıyla fare, boyut l a r ı 2a = 3 , 2 inch, 2b = 1,2 inch olan ve E o y = 4000r/f s i n 3771 V/inch'lik düzgün bir elek trik alanına konulan i l e t k e n l i ğ i sonsuz büyüklük te b i r spheroid (Şekil 3) i l e d e ğ i ş t i r i l d i . Görün tü yöntemine göre bu sistem, topraklanmış bir düz lemin yüzeyi üzerindeki bir yarım spheroid'e öz deştir. Verilen değerlere göre a = l , 6 inch ve a/b= 2,67 olduğundan Çizelge l ' d e 2 ve 4 nolu sü tunlar kullanılarak spheroid'den geçen toplam akım 1 = 2,34 uA(rms) olarak bulunur. Spheroid'in k e s i t alanı ırab 3,01 i n c h 2 l d i r ve bu alandan geçen yük leme akımı {spheroid yokken) 3,01x 377 eo EOy =

Şekil 8. Yüksek yeğinlikteki elektrik alanı içerisine konulan farenin fotoğrafı.

1,02 yA(rms) olur. Buna göre spheroid'in bulunuşu ölçülen akım değerinin yaklaşık 2,34 1,02 = 1,32 yA artmasına neden olacaktır. Bu değer deneysel olarak bulunan (7,4 6 , 1 ) = 1,3 pA'e oldukça yakındır. Top lam taban alanı ( 3 , 5 x 4 , 8 = 1 6 , 8 inch2) için yükle me akımı 5,7 yA olarak bulunmuştur; ölçülen değer (6,1 yA)'den bu değerin biraz farklı olmasının ne deni akrilik kafesin etkisidir.

Miller Dipolü

Hat i ş ç i s i hat i l e toprak arasında a s ı l ı konumda iken vücudundan geçen akımları incelemek üzere Dr. C.J.Miller tarafından özel bir dipol prob ge l i ş t i r i l d i . Dipol, 6 inch yarıçaplı bakırdan bir silindire tutturulmuş herbiri 6 inch yarıçapında ki bakır yarıkürelerden oluşan iki benzer elektro da sahiptir. Alan etkisinde yapılan deneyler sıra sında elektrik alan vektörü dipolün ana eksenine koşuttur. Diğer ayrıntılar i l g i l i yazıda açıklan maktadır [5] .

Dipol, boyutları 2a= 24 inch ve 2b = 12 inch olan bir spheroid i l e temsil e d i l i r . Dipolün tepesin deki elektrik alanı Dr.Miller'in iki gradyen met resinden küçüğü i l e ölçülmekte ve değerler, 345 kV'luk hattın dış faz iletkenlerinden b i r i s i nin altında ç e ş i t l i uzaklıklar için, Çizelge 2'de verilmektedir. Her durumda elektrik alan değerinin r) = 1 için Eeo olduğu varsayılmıştır (Şekil 4 ) . Sonsuzdaki düzgün alan Eox>. Şekil 4'den a/b = 2 ve n = 1 değerlerine karşılık okunan 5,8 çarpanı kul lanılarak hesaplanır. Daha sonra dipolden geçen toplam akım, Çizelge l ' i n 2. ve 6.sütunlarının yardımıyla bulunur. Elde edilen değerler Çizel ge 2'de gösterilmektedir ve bunlar deneysel veri lere oldukça yakındırlar. Büyük uzaklıklarda gö

Dipolün tepesinde ölçülen Hattan olan elektrik alan uzaklık (inch) değeri. (V/inch)

ölçülen akım değeri (yA)

60 36 18 14 11 6

Hesaplanan. akım değeri (yA)

62.2 36.4 14.4 10.5 7.7 2.7

Çizelge 2.

9. Çıplak el yöntemiyle potansiyel gradyeni hesaplamasın da, insan ko va sisteminin, bilgisayar uygulaması için, ızgara gösterimi.

/•İLETKEB

ILETKIM A

J E

\

n

. **£

1 7 11 19 25 1 7 1J 1» 25

"1

«J

İM 3 İMC1 LİK AR&LIK1ARLA

rülen h a t a l a r , diğer i k i faz iletkeninin e t k i l e r i nin artmasından kaynaklanır. Çıplak El Yöntemi

Hesaplamalarının bilgisayar kullanılarak yapılaca ğı tipik bir insan kova sistemi Şekil 9'da göste rilmiştir. Bir an için işçinin kollarının iki ya nına b i t i ş i k olduğunu düşünelim. Hepside yerden' 26 feet yukarıda olan i l e t k e n , i ş ç i , kova ve ek ran toprağa göre 200 kV(rms)'luk b i r gerilimle yüklenmişlerdir. Bu sistem için iletkenle kova arasındaki yükleme akımı yaklaşık 5500 yA olarak ölçüldü; buna k a r ş ı gelen sığa da 73 pF i d i . Eğer bu bilgi elde yoksa, R yarıçaplı, yerden yüksek liği h, sığası

C = ATTEOR (1 + 2h

4h2 R2

(mks birimleri kullanılmaktadır)

olan hayali bir küre gözönüne alınabilir.

Örneğin, h = 2 6 feet ise sığanın C = 73 pF olması s için 25 inch'lik bir yarıçap, R, gerekir. 73 pF1 lık sığa ve 200 kV'luk gerilime karşılık gelen yük yerleşimi (I, J, K) = (14, 12, 15) sayılarıyla be lirlenen kürenin merkezine konulur. Izgara siste minin sınırlarındaki gerilimler daha önce anlatıl dığı biçimde kolaylıkla hesaplanır.

(1) nolu bağıntı ve bilinen gerilim değerlerinin (hem insan kova sisteminin hemde sınır yüzeyleri nin gerilimleri) yardımıyla ızgara içindeki her noktanın gerilimi hesaplanır. Önce (I, J, K) = ( 4m, 4n, 4p) noktalarındaki yaklaşık gerilim de ğerleri bulunur (burada m ve n, l'den 6'ya kadar; p ise l'den 9'a kadar değerler alan tam sayıları gösterirler). Bu değerler kullanılarak, bütün noktalardaki aranan gerilim değerleri % 0,1 doğ ruluk sınırı içinde hesaplanır. Bu işlem IBM 7094 bilgisayarında 15 dakika sürmüştür. Bu, hokta ba şına 2m saniyelik bir hesaplama süresi demektir.

İşçinin üzerinde çeşitli bölgelerdeki elektrik gradyeni, model iletken üzerinde bu bölgelere karşılık gelen noktalardaki gerilim değerleri bu lunarak hesaplanır. Bu yöntem birçok kova ekrah düzenekleri için kullanılmış ve elde edilen değer lerin deneysel verilerle karşılaştırılması Çizel ge 3'de yer almıştır. Sayısız basitleştirici var sayımlar gözönüne alınırsa analitik ve deneysel sonuçların birbiriyle uyumu oldukça yeterli sayı labilir.

İşçinin vücudundan geçen toplam akım, eğer vücudu üzerindeki elektrik alan dağılımı, örneğin daha önce adı geçen sayısal hesaplama yöntemiyle bulun muşsa, aşağıdaki bağıntıyla ifade edilir:

I = ıoec ff E y.ü.zeyds

Bazı durumlarda, analitik çözüm, bilgisayar kulla narak elde edilen çözüm ve deneysel çözüm uygun biçimde birlikte kullanılabilirler. Örneğin, hat gerilimindeki bir hava asansörü kovası içinde bu lunan işçinin vücudundan geçen akımı gözönüne ala lım. İşçinin boyunun 6 feet, ağırlığının 180 pound ve özgül ağırlığınında 1 olduğunu varsayalım. İ ş çinin vücudunun yüzey alanı şu bağıntıyla buluna b i l i r [9] :

S = 71,84 x W '0 4 2 5 X H 0 7 2 5 cm2 burada W kg olarak ağırlık, H da cm olarak boy uzunluğudur.

Verilen örnekte S=3160 i n c h 2 l d i r . İşçinin hacmi yukarıda verilen değerler kullanılarak kolayca V=5000 inch3olarak bulunur. Spheroid'in hem hac mi hemde yüzey alanı, yarı ana eksen ve yarı yan eksen uzunlukları olan a ve b cinsinden ifade edi l e b i l i r [lO] . a=36 inch alınırsa, doğru yüzey alan değeri için b=7,85 inch yada a/b = 4,6; .e doğru hacim değeri için b = 5,74 inch yada a/b = 5,5 olarak bulunur.

Burada i ş ç i , a= 36 inch ve a/b=5,5 değerleriyle tanımlanan bir prolate spheroid olarak düşünülmek tedir. Spheroid için sığa değeri (C) Ek IV'de (26) nolu bağıntı ile verilmektedir. Yukardaki değerler için C= 41,4 pF ve 200 kV'luk bir hattın, 60 Hz'de işçi üzerinde meydana getireceği yükleme akımıda 3120 yA'dir. Ekranlanmamış spheroid'in elektrik alanı Ek III'deki (17) nolu bağıntıyla hesaplandı ğında, kutupta (rı=l) Ero=72,3 kV/inch ve orta kesit de (n = 0), E ç o = l 2 , 8 kV/inch değerleri bu lunur. Bu değerler, ekranlanmamış bir kova için sayısal olarak hesaplanan ve deneysel olarak bulu nan değerlerden oldukça büyüktür (yaklaşık olarak baş üzerinde 11 kV/inch ve göğüsde 2,5 kV/inch). Bu sonuç kovanın ekranlama etkisini açıkça sergi lemektedir. Bu durumda insan üzerindeki yükleme akımının yaklaşık olarak 3120x11/72,3 = 237 yA değerinin yarısına inmesi beklenmelidir. 0,5 çar panı, işçinin vücudunun a l t yarısında bulunan ve yükleme akımının geçmesini engelleyen tam ekranla mayı hesaba katmak için kullanılmıştır. Böylelik le düzeltilen akım değeri, yaklaşık 250 yA olarak . bulunan deneysel sonuca oldukça yakındır.

VUcudun Bülgelerı

Sıra

Basın Basın

nunarası

tepesi arkası Vüz

Omuz

GB9ÜS

Sırt

DİZ

1) Ölçülen

0 . 4 " 0.2

2.0

1.0

Hesaplanan 0.8

3.5 2 . 4 3 . 0

1.9

2) Ölçülen

7.2

6.6

Hesaplanan 6.3

6.5 3.1 3 . 6

2.3

3) Ölçülen

12.0

4.0

7.0

Hesaplanan 13.3 8.7

7.7 5 . 3 5 . 7

5.3

4) Ölçülen

11.0

7.5 5 . 5 7 . 0

2.5

5.>7.O 0.5 2,5 4.0

Hesaplanan 13.2

8.8

7.6 5.5. 6.1

5.5

1.2 1.3 4.7

Sıralamada ekranlama dereceleri

1) ABCD (tam ekranlama, Şekil 7'ye bak) 2) BCDE ( ö r t ü yok) 3) CDE (arka duvarı ve ö r t ü yok) 4) CE (kova kenarında 6 i n c h ' l i k b i r bant var)

* değerler kV/inch olarak,

çizelge 3.

Aynı çözümleme yöntemi işçinin koluna uygulanırsa, a =18 inch ve a/b = 10 a l ı n ı r . Bu durumda sığa

16.'* ? F . V ? 6 0 ' H z d e ° 2 0 kV(rms)'luk hat toprak ge r i l i m i için yükleme akımı 1260 yA olarak bulunur. El üzerindeki alan yeğinliği de Eço (n = l ) = 3 7 0 kV/ i n c h ' d i r . Bu son değer yaklaşık 15 kV/inch olan korona oluşma eşiğinin oldukça üstündedir. Düzel tilmiş boşalma akımı, bu duruma göre, yaklaşık 1260x15/370 = 51 uA o l a c a k t ı r . Bu akım değeri, her i k i kol çalışma konumunda iken ölçülen değere oldukça yakındır.

İ ç e r i doğru giren akım yoğunluğu 3, serbest yüzey yük yoğunluğunun zamana göre türevinin eksi işa r e t l i s i olarak tanımlanır. Yani,

= Jk

(6)

(3) (6) nolu bağıntılar serbest yük yoğunluğunun, kutupsal yük yoğunluğuna oranını bulmak için kul lanıldığında,

SONUÇLAR

Bir enerjili hat işçisinin vücudunda oluşan elek trik alanının ve akımların hesaplanması için çe şitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu konuda vücu dun bileşimi ve bunun özgün elektrik alanına etki si dikkatli bir incelemeye esas olmuştur. İnsanın, dıştaki alan dağılımı hesaplanırken çok iyi bir iletken, içerdeki akımlar hesaplanırken de bir di renç olarak kabul edilebileceği gösterilmiştir.

Ekranlamanın yapılmadığı uygulamalarda, örneğin enerjili hat aletleriyle yapılan çalışmalarda, işçinin vücudu ve bacakları prolate spheroid'ler olarak ele alınır. Analitik çözüm sonuçları ölç melerle bulunanlara oldukça yakındır.

Çıplak el yönteminde olduğu gibi, ekranlamanın ge rektiği durumlarda, Laplace bağıntısı, üç boyutta, hızlı bir bilgisayar kullanılarak çözülür. Bu çö zümde, bazı basitleştirici varsayımlara dayanan ve aşırı yatışma yöntemini kullanan bir üsteleme li rutin (routine) den yararlanılır. Yeterli du yarlıktaki çözümler makul sayılacak süreler için de yapılabilmektedir ve artık çok yüksek gerilim hatlarının ekranlanması tekniklerinin incelenme sinde, yoğun alan ölçmelerine geçmeden önce, uygu lanabilecek elverişli ve ekonomik yöntemler bulun maktadır.

Yukarıda açıklanan analitik ve sayısal yöntemler oldukça kullanışlıdır. Kullanıcı bu yöntemleri, canlı hat çalışmasına ilişkin elektrik alan sorun larında, tek tek yada birlikte kullanarak yakla şık çözümlere kolaylıkla varabilir.

Ek I

Bir maddenin iyi iletken yada iyi yalıtkan olarak ayırdedilmesi, basit, tek boyutlu bir model kulla narak sağlanabilir. Özel olarak, insan vücudunun elektriksel parametrelerine sahip, yarı sonsuz bü yüklükte bir bloğun yüzüne dik olarak gelen bir elektrik alanını gözönüne alalım. Tam sınırda, ha vadaki alan vektörünü E^, blok içindeki vektörüde E_ ile gösterelim (büyük harflerin altındaki yatay çizgiler,fazör büyüklükleri göstermektedir). Ortak çarpan ejut'yi. bir an için düşünmeyerek (burada w fazörün açısal sıklığı, t de gerçek zaman değiş kenidir), geçerli bağıntıları şöyle yazabiliriz

[11]:

= eo

£ =e

pj = E

(5)

burada, £f serbest yüzey yük yoğunluğu ve CTp de yüzey kutupsal yük yoğunluğudur.

İL p

J ( _ — ) bağıntısı elde edilir.

oop e e

Mutlak değer olarak;

up e e r

(7)

Vücut için geçerli varsayılan parametre değerleri yerlerine konursa,

— = 3,7xlO6»l 377 x (80 1 ) x 8,85 x 10

Epiderma i ç i n bu oran,

= 370» 1 dir.

Daha önce adı geçen yarı 3onsuz büyüklükteki blok için, alanın blok içine işleme kalınlığı fil],

5 = ( 2M =

2x1

) * = 65 m.

wy

377x12,56x10

olarak elde edilir. Bu kalınlık normal vücut bo yutlarının çok üzerindedir.

Ek II

Prolate spheroidal koordinatlar Kartezyen koordi natlara şu bağıntılarla bağlıdırlar:

y = c [(Ç2 l)(l n2)]4 z= c [(Ç2 l)(l n2)] i sin*

burada Ç > 1, 1< n < İ t 0 < ¥ < 2ıT dir. Bir Ço yüze yi ve c, a ve b cinsinden şöyle ifade edilir.

a = cÇo ve b =

1)

Kartezyen koordinatların birim vektörleri cinsin den, prolate spheroidal birim vektörler şöyledir

Ço için elektrik alanı:

(13)

= SinV 1 + Cos* 1

z

Laplacian ve gradyen operatörlerinin açılımları aşağıda verilmiştir [l2]:

burada

(U)

r. h^h3 hı h 3 ı n' h = c / ( Ç 2 l ) ( l n 2 ) dir, 3

(8)

B E x = 0 alınırsa, Eç 'nun çözüm yöntemi aynı

Q

dır; uygun çözümlemeyle,

E c oy bulunur. Burada,

(15)

A= o

, 1 / 1 nz _M_ T e çz 2 9n n n

Bo | 4

(9)

Ek III

A Şekil l'de, E = 0 alınırsa, sonsuzdaki potan o siyel,

= E X= OX

(10)

Ç yüzeyi üzerinde sabit bir potansiyel elde etmek ve sonsuzdaki koşulu (10) nolu bağıntıdaki biçi miyle sağlamak üzere potansiyel için şu homojen çözüm seçilir:

C E ve E 'nin sıfır olduğunu ve prolate sphe

QX

roid'in sonsuza göre 9 potansiyelinde tutuldu

ğunu varsayalım. Legendre polinomlarından yal

nızca P° ve Q°, gerekli koşulları sağlarlar [l3]

(Ç = Ç için, <(>, n ve f'a bağlı değildir) ve o potansiyel ifadeside aşağıdaki biçimi alır:

(16)

(11)

(11), (8)'de yerine konulursa (sağ yan sıfıra eşit lenmişken) ;

= Co yüzeyi üzerinde elektrik alanı

G •= 0

(12)

bulunur. ( 1 2 ) ' n i n çözümü G=Ç ve G = l + — İn * _

Toplam potansiyel <>) = c(> + $„ ' n i n ifadesinde C'nin

değeri şu ek sınır_koşulları kullanılarak bulunur:

Öf = £ o E ç o (burada Ego = " V4>İÇ = Ço ) d i r ve

£p

3. <İS = 0. Buna göre potansiyel i f a d e s i ;

t, tn f

yüzeye diktir ve rı ile Y'dan bağımsızdır. Böylece (9)'dan

c İn

) (17)

Ek IV Gauss teoremi prolate spheroid'in yüzeyi üzerinde uygulanırsa,

af=eoECo

(18)

elde edilir. Er 'nin çözümleri Ek III'de verilmiş tir.

İçeri doğru giren iletim akım yoğunluğunun yüzey deki dik bileşeni, g 'e (6) nolu bağıntıda göste rilen biçimde bağlıdır. Bu bağıntı daha genel te rimlerle şöyle ifade edilir

(19)

Vücudun içinde Laplace bağıntısı geçerlidir çünkü madde tamamen direnildir. Böylece, V2<j)= 0 ve

J= V<(> dır.

EE o

y=

olduğğunda,,

Ejj

(14) nolu bağıntıyla ve

rilir. ((1144)),, ((1188)) nnoolluu bağıntıları ve (19)'un

sağ yanını birleştirerek ve (9)'un ilk terimi

nin eksi işaretlisini (19)'un sol yanında yeri

ne koyarak,

c~ E o x = E o v = 0 ise ve prolate spheroid $ potan siyelinde tutuluyorsa, EÇ0'nun çözümü (17) no lu bağıntıyla v e r i l i r . Prolate spheroid'den çıkan toplam akım I, akım yoğunluğu vektörünün

C = 50 i l e tanımlanan yüzeye dik bileşeninin, bu yüzey üzerindeki tümlevi alınarak bulunur:

2TT 1

(h2dn)(h3dıM

(25)'in çözümü prolate spheroid'in sığası (C =— r )

10$ ifade edilir

C=

8TCoa

(26)

KAYNAKLAR

8<j)

IJM E oKo rıEox

(20)

(20)'nin tümlevi alınarak potansiyel <$> için şu ifade elde edilir:

iJweoKo c

(21)

<j>'nin eksi gradyeni (9)'dan elde edilerek, prolate spheroid içindeki herhangi bir noktadaki akım yo ğunluğu bulunur:

J=

(22) burada

Kartezyen koordinatlarda (bak Ek III)

J = C1, Eox 1x dir.

(23)

B E o x = 0 alındığında, E,o'nun çözümü (15) bağm t ı s ı y l a bulunur ve A Bölümündeki çözümlemenin aynısı akım yoğunluğu için şu ifadeyi verir:

J = C2, Eoy 1y burada C. = •

4B *o

(Ç! D

(24) dir.

(23) ve (24) nolu bağıntılar J'nin cismin i ç e r i sinde sabit ve sonsuzdaki elektrik alanıyla aynı yönde olduğunu göstermektedir.

[ l] Rorden, H.L., "Barehand live line maintenan ce saves time with increased safety.", Elec. World, Cilt 154, Aralık 1960, s.76.

[ 2 ] Kouwenhoven, tf.B., et al., "Body c u r r e n t s in live line vorking.", IEEE Trans. on Power App. Syst., Cilt 85, Nisan 1966, s.403.

[ 3 ] Kouwenhoven, W.B., et al., " M e d i c a l e v a l u a tion of man vorking in ac. e l e c t r i c fields.", IEEE Trans. on Pover App. Syst., Cilt 86, Nisan 1967, s.506

[ 4 ] Knickerbocker, G.G. , et al., "Exposure of mice to a strong ac e l e c t r i c field.", IEEE Trans. on Power App. Syst., Cilt.86. Nisan 1967, s.498.

[ 5 ] Miller, C.J., Jr., "The measurement of elec t r i c fields in live line working.", IEEE Trans. on Power App. Syst., Cilt 86, Nisan 1967, s.493.

.[.6] Schwan, H.P., D.F.Kay, "The conductivity of living tissues.", Ann. N.Y.Acad.Sci., Ağustos 1957, s.1007.

[ 7] Steffens, ti.G.S., "The current voltage rela tionship in human skin.", Med. Electronics Biol.Engrg., Cilt 1, W63, s.398.

[ 8 ] Scarborough, J.B., Numerical Mathematical Analysis, 2nd ed. London: Oxford University Press, 1962.

[ 9 ] Dubois, E.F., D.Dubois, "A formula to e s t i mate the approximate surface area if height and weight be knovm.", Arch. Internal Med., Cilt 17, 1916, s.863.

[lO] Kom, G.A., T.M.Kom, Mathematical Handbook for Scientist and Engineers. New York: McGravHill, 1961, p.749.

[ i l ] Fano, R.M., et al., Electromagnetic Fields, Energy, and Forces. New York: VJiley, 1960, s.189, 190, 198, 354.

[12] Stratton, J.A., Electromagnetic Theory. New York: McCraw Hill, 1941, s.49.

[13] Smythe, W.R., Static and Dynamic E l e c t r i c i t y . New York: McGraw Hill, 1950, s.148.