AKTİF ELEMANLI RC FİLTRELERİ

TEBLİĞ No: 11

UDK : 621.372.54

İlkti! Elemanlı RC Filtreleri

Ersin TULUNAY

Y. Müh.-İ.T.Ü.

1. ÖZET:

Aktif Elemanlı RC Filtreleri konusu 19601961 yaz yarıyılında, Elektrik Y. Mühendisi Ersin TULUNAY tarafından, İstanbul Teknik Üniversitesi Elektrik Fakültesi Telekomünikasyon Kürsüsünden Prof. Dr. Tarık ÖZKER'in yönetiminde diploma çalışması olarak yapılmıştır.

rilmesinden meydana gelir. Pasif devreler filtrenin kritik frekanslarını temin etmektedir. Bu pasif devreleri bağlayan negatif empedans çeviricisi ise, bütün devrenin transfer fonksiyonunun, RLC devresi transfer fonksiyonu ile aynı genellikte olmasını sağlar.

Bu duruma göre devrenin blok diyagramı şekil 1 de gösterilmiştir.

a*.

GİRİŞ

Nı ZZZ

HN1 12NI 22N2

z zN2 z

11N1 12N2 22N2

Io2*—+

ÇIKIŞ V

(Şekil : 1) Aktif RC filtresinin genel biçimi

2. GİRİŞ:

Bobinsiz devreler bilhassa alçak frekanslarda çok arzu edilir ve kullanılır. Bunun sebebi şudur : Bobin, teorik hesaplarda, sadece şelf tesiri olan bir eleman olarak göz önüne alınmaktadır. Pratikte ise, bobinlerin direnci ve bobinler arası istenmeyen magnetik kuplajları vardır. Bu bakımlardan teorideki hesaplar pratiğe uymaz. Ayrıca alçak frekanslarda gerekli şelf değerini verecek bobin, büyük ölçüde olur. Bobin direncini küçük tutmak için de bobin iletkeni kalın kesitli, dolayısiyla bobin büyük ve hantal olur. Bobinlerin büyük olması ise bilhassa taşınabilir askerî tesislerde, çok mahzurludur. Bu hususlar, bobinleri alçak frekansta istenmeyen eleman haline getirir.

RC filtreleri bu bakımlardan faydalar sağlar. Bir RC filtresinde bir dört uçlu RLC devresi genelliği yoktur. Kutup ve sıfırların yeri üzerinde, tahditler vardır. Bu, devrenin transfer v.s. gibi herhangibir karakteristiğinin, verilen bir karakteristiğe uyması konusunda zorluk çıkarır. Bu durumu ortadan kaldırmak için RC devrelerine aktif elemanlar ilâve edilir. Böyle aktif elemanlar negatif empedans çeviricileri elde edilmesinde kullanılır. Böylece aktif eleman ilâvesi ile bobin kullanmadan RLC devresi genelliği sağlanır. Böyle filtrelerin kayıpları azalır ve ilgili frekans bandı İçinde sabit kalır. Böyle devrelerin hesap metodu zorluk göstermez.

3. AKTİF ELEMANLI RC FİLTRELERİNİN GENEL BİÇİMİ :

Aktif bir RC filtresi, iki pasif RC tipi dört uçlunun bir negatif empedans çeviricisi ile birleştitleride görüleceği gibi RC devresi ile, RLC devresi genelliğinin sağlanabilmesi için, negatif empedans bulunması gerekir. Devrede negatif empedans meydana getirilmesi için, negatif empedans çeviricisi kullanmak gerekir. Aktif elemanlar negatif empedans meydana getirmekte kullanılır. Bunun için aktif elemanlarla teşkil edilen bu dört uçluya negatif empedans çeviricisi denir.

»1*

(Şekil: 2) Negatif empedans çeviricisi.

Negatif empedans çeviricisi elektron tüpleri veya tranzistorlarla yapılabilir. Negatif empedans çeviricisinde dış büyüklükler arasında tarif icabı aşağıdaki bağıntı vardır.

Ia = I2 (la) •V! = -V, (1b)

4. AKTİF ELEMANLI RC FİLTRELERİNİN TRANSFER EMPEDANS FONKSİYONLARI :

Şekil 1 de aktif RC filtresinin genel biçimi görülmektedir.

E.M.M. 73-74

(Şekil. 3) ve N2 devreleri.

Zu Nü Z22 Nı Nx devresinin açık devre parametreleridir.

Zu N 2 ) Z22 N2 N2 devresinin açık devre

\

parametreleridir.

Z 1 2 NJ Nj devresinin açık devre transfer empedansıdır.

Z 1 2 N2 N2 devresinin açık devre transfer empedansıdır.

Şekil 1 deki kaskad bağlı üç tane dört uçlunun A,B,C,D parametrelerini gözönüne alarak filtrenin açık devre transfer empedansı.

(Şekil : 4) Alçak geçiren bir filtre karakteristiği.

İl

Z21 =

(2)

^ E 2 Nı

&•12 N 2

L=o

bulunur.

(2) fonksiyonunun kutupları:

— z, -22 Nı

N2 = O

(3)

Fonksiyonun sıfırları ise:

S—SOI (S—Sn) (S—Spı) (5)

Zl2 Nı = O

(4)

Z ı 2 N2 = O

Bilindiği gibi, toplu elemanlı pasif RC dört uçlu devresinde transmisyon sıfırları S = a-fjzt> düzleminde, -|- a ekseni üzerinde, kutuplar ise—n ekseni üzerindedir.

(2) fonksiyonunun kutupları ise —<j ekseni üzerinde olmağa mecbur değildir. Sol yarı S düzleminde her yerde olabilir. Buna göre (2) fonksiyonu pasif RC devresi fonksiyonundan daha genel bir fonksiyondur.

Bir devrenin filtre özelliğini, o devrenin açık devre transfer empedansı Z21 gösterebilir. Buradaki filtre hesabında Z2ı fonksiyonu göz önüne alınmıştır.

5. KARAKTERİSTİKLERİN GERÇEKLEŞTİRME İMKÂNLARI :

İstenen bir karekteristik tam olarak elde edilemez, ancak belli bir yaklaşıklıkla elde edilebilir.

Örnek olarak alçak geçiren bir filtreyi ele alalım.

(Şekil . 5) Alçak geçiren filtre için kutup ve sıfırlar.

olsun. Şekil 3 deki karekteristiğe Şekil 4 deki durumun tekabül ettiği kolayca görülür. Genelliği bozmamasından ötürü, incelemeler, alçak geçiren filtre üzerinde yapılabilir. Frekans transformasyonları ile diğer tiplere geçilir.

Şekil 4 deki durum pasif bir RC devresi ile gerçeklenemez. ÇUnkü kutuplar—ff ekseni üzerinde değildir. Aktif RC devresinde ise kutuplar sol yarı S düzleminde her yerde olabildiğinden Şekil 4 deki durum aktif RC devresi ile sağlanabilir. Karakteristiğin dikliği kutup sayısına bağlıdır.

E M.M. 73 - 74

6. VERİLEN ŞARTLARA GÖRE BİR RC AKTİF FİLTRESİNİN GERÇEKLEŞTİRİLMESİ:

Verilen filtre karakteristiğine göre Z21 (S) fonksiyonunun kutuplarının yerlen belirtilmiş olsun. ( SPı S"Pı Spj FPj ) kutupların ve sıfırların sayısı dört olarak alınmıştır. Bu genelliği bozmaz.

jUJ

3P.1

Ö^V + K ı (10)

K2, K, reel ve pozitiftir.

ku k3; k2 İC4 reel ve pozitiftir. Bu duruma göre, istenen filtre karakteristiğine göre Şekil 1 deki Nı ve N2 devreleri bulunmuş olur. Filtrenin geçirme durumuna göre (Alçak geçiren, yüksek geçiren, Band geçiren, Band söndüren) uygun bir gerçekleştirme metodu seçilip Nj N, bulunur. Zn in sıfırları bu N, N2 nin transmisyon sıfırları ile aynı noktalardır

ı

-*_

V

I *

(Şekil • 6)

S düzleminde kutuplar ve sıfırlar

Alçak geçiren, yüksek geçiren, Band geçiren, Band söndüren filtrelerin birinden diğerine N,, N2 yi gerçekleştirirken uygun metotlar seçerek geçilebilir Buna göre Z ^ M v e Z U N 2 nin S = » daki bileşimlerini çekerek alçak geçiren, S = O daki bileşimlerini çekerek yüksek geçiren ve Z22N1» Z11N2 yi genel basamaklı tiptenbir devre olarak gerçekleştirerek band geçiren filtre elde edilir. Filtre tiplerinden birbirine geçiş frekans transformasyonları ile de yapılabilir.

Z ı ı (S) = -Zü2L Z 1 İ N 2 _

Z22N1 Z ı l N 2

N(S)

( S—Spl ) (S—Spl ) (S—SP3 ) (S—S P3 )

(6)

Kutuplar Z=Zj2N! —

= O da meydana gelir Z rasyonel bir

fonksiyon olduğundan :

(S-Spl)(S-S pl)(S-SplMS-§"pl)

ş-K) ~zz ~ —|_zŞz-(-a~2|—zzS-(-ffaz)n— S-(-o4)

(7)

K reel ve pozitif bir sabit

<*ı. °2> °3> ai> Spi > Spi SP2, "SP2 ile çakışmamak ve RC tipi devre fonksiyonlarının kutuplarının, sağlaması gereken özellikleri sağlayacak şekilde keyfi olarak seçilebilir

Yaptığım çalışma sonucunda:

1) RC devresi giriş empedans olanZ^'Nj ile den hareketle yukarıdaki Z = Z 2 * N a fonksiyonuna varılabüdiğini (GEREK ŞART).

2) (7) fonksiyonundan hareketle giriş empedans fonksiyonlarını gerçekleyen RC elemanlarından meydana gelmiş N, ve N2 devrelerine varılabileceğini (YETER §ART). göstermiş bulunuyorum.

7. ALÇAK GEÇİREN BİR AKTİF RC TİPİ FİLTRENİN HESABINA AİT SAYISAL ÖRNEK:

db

Örnek olarak aşağıda a = = 18

eğimli

Oktov

f0 = 1000 HZ de kesim frekansı bulunan, alçak geçiren bir aktif RC filtresi hesaplanmıştır.

Çözüm :

Z21 (S) açık devre transfer empedansı esas alınmış ve Buttenvorth karakteristiği kullanılmıştır.

Kutupların sayısı:

_K• s+03

(8)

yazılabilir.

K, (9) S+c

n =s

= 3 tür.

E.MtM. 73 - 74

Kutupların yeri: Kutuplar sol yarı S düzleminde :

2 7tfo = 2 TC 100 yarıçaplı bir daire üzerinde bulunurlar. Aralarında

=

raydan

n

J

açısal aralık vardır.

w

n tek olduğundan reel eksen üzerinde de kutup bulunur.

Bu kutuplar:

Z = 22 Nı — rı olur.

fonksiyonunun sıfırla-

Z fonksiyonunun kutupları, S düzleminde —a ekseni üzerinde olacak ve Z2J in kutupları ile çakışraıyacak şekilde serbestçe seçilir.

T» f i 1/ ! i,<r,

X Z21 ln kutupları + Z İp kutupları 0 Z in S ı f ı r l a r ı Spı

Bu duruma göre:

Z=

(Şekil: 7) S düzleminde sıfır ve kutupların, yeri

2 T : 5 0 0 — J2TC866) (S + 2TC500 + J2TC866) (S+2TC300) (S+27tl050) (S+2TC1500)

2T:1O0O)

Kutuplardaki rezidüleri hesaplayarak:

Z 22Nı = K ( 1 +

3850,7

2TC300

972,2

KSa + 13291 KS + 39863131 K

)=

S+2TC1050

S 2 + 84785 + 17600000

(12)

Z11N2 = K

10175,7

. S + 2TC1500

Sürekli kesirlere açılarak:

(13)

=N+

1 S+

4813 K

1,7 K +

(14)

Z11N2 =

K10175

9420 K10175.7

(15)

E.MM. 73- 1 i

1,7 K

^ic, ±: c

T U3

K 108

: 8) Alçak geçiren bir RC tipi filtre ,

c, = c, = c, =

K 0,004

K 0,0000097

Yukarıda bulunan devre şekli ve eleman değerlerine göre: Şekil 8 deki devre bulunur.

Devrenin alçak frekanslardaki durumunu ve eleman değerlerini v.s. düşünerek K için uygun değerler seçilir.

8. SONUÇ:

6 — Transfer fonksiyonu ile hesap yapılmasına rağmen hesap metodu basittir ve pratiğe kolay uygulanır.

7 — Hesap sırasında bazı büyüklükler serbest olarak seçilmektedir. Buna göre aynı özellikleri sağlayan birden fazla devre bulunabilir, seçme imkânı vardır.

Bu çalışmada aktif RC filtrelerinin özellikleri incelenmiş ve neticede RC aktif filtrelerinin fayda ve mahzurları belirmiştir.

Faydaları:

1 — Böyle devrelerde bobin kullanmadan RLC devrelerinin genelliği sağlanır.

Zararları:

1) Karakteristiği gerçekleştirmede yaklaşıklık problemi mevcuttur.

2) Filtredeki negatif empedans çeviricisinin özellikleri dış tesirlerle değişebilir.

GİRİŞ Vı

N,

PASİF R-C

YÜK

DEVRESİ

2 ÇIKIŞ

EMPEDANSI

i-

(Şekil: 9) Yük empedansı ile birlikte Aktif RC filtresi.

2 — Bobin kullanılmaması böyle devrelerin alçak frekansta tercih edilmesine sebep olur.

3 — Devrede aktif «teman bulunduğundan güç kaybı azdır ve ilgili band içinde sabittir.

4 —• RC devresinde kritik frekanslar Jw ekseni üzerinde olamaz. Aktif RC filtresinde ise çapraz v.s. gibi devreler kullanarak Jw ekseni üzerine sıfır rastlatılıp bir frekans diğerlerinden daha fazla söndürülebilir.

5 — Aktif filtrelerin hesap metodunda Z21 transfer fonksiyonu esas alınır. Bu fonksiyon, devrenin filtre özelliğini doğrudan doğruya gösterdiğinden faydalıdır.

3) Filtre hesaplanırken Z21 açıik devre transfer empedansına göre hesap yapılmıştır. Şuhalde devre istenen özellikleri, ancak ikinci uçları açık iken sağlar. Pratikte ise ikinci uca bir empedans bağlanacaktır. Hesap sonuçlarının bozulmaması için, filtrenin sonuna bağlanacak empedans, filtrenin ikinci uçlarından görünen empedansa göre çok büyük olmalıdır. Bu da filtrenin çalışma alanını sınırlar.

9. GELİŞTİRME :

Zararlar kısmının 3. maddesinde açıklandığı gibi Z21 (S) açık devre empedansı ile hesap yapılması, filtrenin hesabında göz önüne alınan hu-

E.M.M. 73 - 74

susların pratikte tam olarak yerine gelememesine sebep olmaktadır. Ayrıca filtrenin çalışma alanı büyük ölçüde sınırlanmaktadır.

Filtrenin sonuna yanı ikinci uçlarına bağlanacak empedansı da göz önüne alarak geliştirilecek bir metot aktif RC filtrelerinin geniş ölçüde imalini ve kullanılmasını sağlayacaktır. Geliştirilecek metot bakımından filtrenin blok diyagramı Şekil 9 deki gibidir.

REFERANS:

1 LINVILL J G, «A new RC Pilter employlng actlve elemente » Proceedings of the National Electronics Conference. 1953, Vol. 9, sahlfa 342 352.

2 GÜILLEMIN E A., Synthesis of Passlve Networks, John Wlley and Sons, Inc., New York 1957

3 GÜILLEMIN E A , «Ladder Development of RC Networks,» Proc. İ R E . Vol 40 sahlfa 492 - 485 Aprll, 1952

4 GÜILLEMIN E A, Communicatıon. NetworKs, Vol II, John Wiley. Sons, New York, 1935.

5. GÜILLEMIN E A , The mathematıcs of Circuit Analysis John Wiley and Sons, Inc , New York, 1949

6. BALABANIAN N , Betwork Synthesis, Prentice Hail, Inc Englewood Cliffs, N. J 1958

7 ÖZKER T Devre Analizi, Devre Sentezi ders notları İ T Ü , İstanbul, 1960

8 VALKENBURG V M. E, Network Analysis, Prentice - Hail, Inc , Englewood Cliffs N. J 1955.

9. İ T Ü ELEKTRİK PAK, Dört - uçlu devre, parametre cedvellerl t.TÜ. El. Pak Telekomünikasyon küreıisü. 1960

10 MERRILL J L «Theory of the Negative Impedance Converter,» Bell System Tech J , Vol 30, Sahlfa 88 -109 January, 1951

11 REED, Eectrlc Network Synthesis, Prentice Hail, Inc Englewood, Cliffs NJ. 1955.

12 TULUNAY E Aktif Elemanlı RC Filtreleri M.S. B Araştırma ve Geliştirme Başkanlığı Yayınlar No 15 Gnkur Basımevi, Ankara 1962.

EMM. 73 - 74