Z DÖNÜŞÜM DEĞİŞKENİ İLE SÜZGEÇ TASARIMI

TURHAN C1FTC1BASI ÖZAY HÜSEYİN

UDK: 621.372.54

ÖZET

Bu yazıda, araya girme kaybı yöntemi ile süzgeç gerçekleştirme çalışmalarında sayısal güvenilir liğin kaybolması sorunu ele alınmaktadır. İşlemlerde sayısal güvenilirliğin giderek azalmasını önlemek için kullanılan z dönüşüm değişkeni yöntemi açıklanarak, bu yeni yöntemle hazırlanmış olan bilgisayar programı ve özellikleri tanıtılmaktadır.

SUKMARY in this paper the problem of loss of accuracy in filter design work is investigated. The use of z transformed variables to avoid the accumulation of errors in arithmetic operations is outlined and the prepared computer program for filter design in the new variable is presented.

1. GÎRÎŞ

Süzgeç tasarımında en yanılgısız yöntem, çeşitli hesap zorluklarına rağmen bilgisayarların sağla dıkları olanaklar sayesinde "Araya Girme Kaybı Yöntemi" olarak kalmıştır. Bilgisayarların geliş mesi sonucu geniş olarak ele alınabilen bu yön tem, gene bilgisayarların sonlu sayıda (genel likle 8 ya da 16) rakam kullanması nedeniyle sı nırlanmış durumdadır.

Süzgeçlerde aranan başlıca özellik; geçirme ban dı zayıflamasının gerektiği kadar küçük, söndür me bandı zayıflamasının gerektiği kadar büyük, ayrıca geçirme ve söndürme bantları arasındaki geçiş bantının gerektiği kadar dar olmasıdır. Bu koşullar zayıflama sıfırları ve kutuplarının uç değerler yakınında kümeleşmesine yol açmakta ve hesap süresince rakamların güvenirliği büyük ölçüde kaybolmaktadır. Daha kesin ve sıkı koşul lar istendikçe 16 rakamla hesaplama da yetersiz kalmakta; sayısal kesinliği artıracak başka yön temler kullanılması gerekmektedir.

Bu yazıda araya girme kaybı yöntemi ile z dönü

Turhan Çiftçibaşı, Hacettepe Üniversitesi özay Hüseyin, Y.Prof. Dr. ODTÜ

şüm değişkeninin sayısal kesinliği artırmak için kullanımı özetlenecek, ayrıca hazırlanmış olan programın özellikleri sunulacaktır.

2. DEYİMLER ve TANIMLAR

Kullandığımız deyimler Üstünde açıklık sağlamak için önce tasarım yöntemini [l,2] kısaca özetle mek yerinde olacaktır.

Irasal işlev ve etkin iletim işlevi sırasıyla

i$

(2.D

ile gösterilmiş olsun. Bu işlevler arasındaki Feldkeller ilişkisi

H(p)H( p) = l+K(p)K( p)

ya da e(p)e( p) = f(p)f( p)+q(p)q(~p) olarak bilinmektedir. Zayıflama işlevi ise

A= 20 loglo [H] olarak tanımlanmaktadır. Yukarıda tanımlanan işlevler, gerçekleştirilebi

lir, kayıpsız bir devre için aşağıdaki koşulları sağlamalıdırlar:

i) e(p) , f(p) ve q(p), p türünden gerçel kat sayılı çokterimliler olmalıdır, ii) e(p) çokterimlisi Hurvitz olmalıdır, iii) q(p) çokterimlisi ya çift ya da tek çokte rimli olup derecesi e(p) den küçük ya da eşit olmalıdır, iv) [H(jw)]' > 1 sağlanmalıdır.

Araya girme kaybı yöntemi ile süzgeç gerçekleş tirmede ilk adım, geçirme bandında Tchebycheff özellikte, söndürme bandı ise kutupları değişti rerek ayarlanabilecek türde olan ırasal işlevin seçimidir. Böyle bir işlev türü seçildikten son ra söndürme kutuplarının sayısı ve değerleri a dım adım değiştirme yöntemiyle bulunabilir [3].

Tasarımda ikinci adım süzgeç devresinin açık ve kısa devre empedans işlevlerinin elde edilmesi dir. K(p) işlevi bulunduktan sonra [l] de veri len bağıntı yardımıyla e(p)e( p) çokterimlisi ve bu çokterimiinin sol yarı düzlemdeki sıfırla rından e(p) Hurvitz çokterimlisi kolayca buluna bilir. Empedans işlevleri ise, e(p) ve f(p) çok terimliler inden, Çizelge l'deki empedans deyim leri kullanılarak elde edilir.

Tasarımın son adımı empedans işlevlerinin gerçek leştirilmesidir. Bunun için tüm kutupların kutup sökme yöntemi ile ve tutarlı bir sıra ile sökü lerek öğe değerlerinin elde edilmesi gerekir. Şekil 1 ve 2'de, sırasıyla sıfır frekansta ve sıfırdan farklı sonlu bir frekansta kutupların gerçekleştirilmesi görülmektedir. Kutupların sö kümü ile gerçekleştirme işlemi ayrıntılı olarak [2] de verilmiştir.

3. SAYISAL KESİNLİK SORUNU

Süzgeç gerçekleştirmek için yukarıda tanımlanan bütün özellikleri taşıyan birçok bilgisayar prog ramları hazırlanmıştır, ancak sayısal güvenilirli ğin oldukça az olması nedeniyle kullanımları sı nırlı kalmaktadır. Anlamlı rakamların işlem i lerledikçe giderek azalması sorununa tek çözüm yolu, işlemi daha çok rakam ile yürütmek olagel miştir.

Kesinlik sorununun daha yakından'incelenmesi sa yısal kesinliğin kaybolduğu iki tehlikeli nokta nın bulunduğunu göstermektedir.

Bunlardan ilki, e(p)e( p) çokterimlisinin elde edilme basamağıdır. e(p) nin sıfırları olan ıra sal değerler geçirme bandı sınır frekansı yakı nında yığılmış olduklarından, bunların e(p)e( p) çokterimlisinden çıkarılmaları sırasında sayısal güvenilirlik büyük ölçüde azalmaktadır. İkinci önemli nokta ise kutup sökme yöntemi ola rak bilinen, adım adım öğe değerlerini bulma iş lemidir. Bu işlemde, yapı içindeki bir öğenin bu lunmasından sonra kalan işlev; katsayıları çok yakın olan çokterimiilerin çıkarılması ile elde

Blektrik Mühendisliği 221

edilmektedir. Bu nedenle sayısal kesinlik kaybı her adımda hızla artmaktadır.

Bu sorunun daha uygun ve pratik değeri fazla o lan diğer bir çözüm yolu ise başka bir değişken le hesapları yürütmektir.

4. DÖNÜŞÜM DEĞİŞKENİ Z Sayısal kesinliğin kaybının tek nedeni devrenin ırasal değerlerinin belirli noktalar yakınında kümelenmesi olduğuna göre bağımsız değişken ola rak karmaşık frekans değişkeni p yerine bu küme lenmeden etkilenmeyecek başka bir değişken kul lanmak uygun bir çözüm yolu olacaktır. Bant geçiren bir süzgeçte geçirme bandı sınır frekansları fi ve ti ise, ırasal değerlerin yı ğılma noktaları

Pı= ±j2Trf,

?z= ±j2ırf 2 olmaktadır. Bu durumda z dönüşüm değişkeni (4.1)

ya da f değişkeni f2=l olacak şekilae düzgüle nirse

fi a=

(4.2)

olarak tanımlanmaktadır. Bu dönüşüm fı f fî ge çirme bandını tüm sanal eksene eşleyerek ırasal değerlerin arasını açmaktadır.

Alçak geçiren süzgeç için fı=0 olduğundan dönüşüm değişkeni

ve düzgülenmiş olarak biçimini almaktadır.

5. ARAYA GÎRME KAYBI YÖNTEMİNİN Z DEĞİŞKENİ İLE YÜRÜTÜLMESİ

Araya girme kaybı yönteminin tüm işlemleri p tü ründen i ş l e v l e r l e z türünden karşılıkları arasın da bire bir i l i ş k i kurularak z değişkeni i l e ya

pılabilir. Böylece z değişkeni bireşim işleminin bütün aşamalarında kullanılabilmektedir.

Reaktans

q(l>) Çift

q(p) Tek

5.1 I r a s a l İ ş l e v i n z Türünden Tanımı

Irasal işlevin yapı olarak kutup frekansları a yarlanabilir ve geçirme bantında eşit dalgacık lı seçileceğinden yukarda söz edilmişti. Irasal işlevin düzgülenmiş kutup frekansları f£,i=l,..n, bunların z dönüşüm eşdeğerleri mi,i=l,..,n, ve aşırı uç frekansları kutup sayıları da no ve n^, olsun. Bu durumda K ırasal işlevi

E+zF = (z+l/a)n°

bağıntısı ile tanımlanan E ve F çift çokterimli leri türünden

k2E2 E2 z2F2

(5.1)

olarak tanımlanmaktadır. Bu işlevin geçirme ban dında k2 den küçük eşit dalgacıklı olduğu, sön dürme bandında ise yukarda öngörülen kutupları içerdiği gösterilebilir [l,3,4j.

(5.1)'de tanımlanan ırasal işlev türü, geçirme bandı söndürmesini değişmez olarak

a = 10 logıo (1+k2)

ile belirlemektedir. Böylece, söndürme bantları söndürmesini sağlayacak kutup değerleri, bilgi sayarla yalnız kutup değerlerini değiştirerek yapılan bir yaklaşımla elde edilebilmektedir

U.3].

K ırasal işlevi belirlendikten sonra (2.1) de tanımlanan f(p) ve e(p)e( p) çokterimlilerinin z dönüşüm değişkeni eşdeğerleri bulunmakta, bu radan da e(p) çokterimlisi doğrudan hesaplama larla kolayca elde edilebilmektedir. [4,5,6] da bu hesaplama için üç ayrı bağıntı dizisi bulun makta olup, bunlardan herhangi biri ile bilgisa yar programı hazırlanabilir.

5.2 Empedans Deyimlerinin z Eşdeğeri ve öğe Değerlerinin Saptanması

Çizelge l'de verilen empedans işlevleri yalnız

e.(p), f (p), e (p), f (p) ve q(p) nin derecesi

c

ne bağımlı olduğuna göre e(p) ve f(p) çokterim

lilerinin z eşdeğerlerinden empedans deyimleri

elde edilebilmektedir.

Elde edilen empedans işlevleri, seri rezonans türü öğelerle başlayan devrelerde

Z(z2) = D(z2)

N(z2)

(5.2)

A : Açık devre K : Kapa!ı devre ç : Çift t : Tek çizelge 1. Empedans deyimleri

şeklinde, paralel rezonans türü.öğelerle başla yan devrelerde ise

N(z2) / z 2 l / l a2z2 D(z2)

(5.3)

şeklinde ortaya çıkmaktadır [1,4,5,6].

Empedans işlevleri bilinen bir devrenin sıfır,

sonsuz ve sonlu frekans kutuplarının sökümü ile

öğe değerlerinin saptanması işlemleri de z değiş

keni türünden yürütülebilmektedir, örnek olarak

(5.2) eşitliği türünde bir giriş empedansı işle vinden, Şekil I1deki gibi sıfır frekansta kutup

sökümünü inceleyelim. (5.2) bağıntısı ve (4.2)

bağıntısından çıkarılan

/ l a2z2 / A a de

p=

yimleri kullanılarak

N pZ=

D(z2 1)

(5.4)

elde edilir. Şekil l'deki gerçekleştirme işlemi nin z eşdeğeri ise Şekil 3'de verilmiştir.

Bu yöntemle bütün kutupların sökümü sonucunda merdiven tipi bir devre elde edilir. Burada dik kat edilecek nokta; sökülecek kutup sırasının tutarlı olmasıdır. Örneğin, paralel rezonans türü olarak (5.2) bağıntısında verilen empedans işlevinin ilk öğesi seri bir sığa ya da makara olamaz. Bu konuda ayrıntılı bilgi [l] ve [7] de bulunabilir.

6. BİLGİSAYAR PROGRAMI

Araya girme kaybı yönteminin z değişkeni kulla nılarak programlaması yapılmış olup [l] de gö rülebilir. Program, gerektiğinde yazarlardan te

LJ p0

v

Şekil 1. Sıfır frekansta kutup sökümü

* =j=c, 2*

f Lİ

z

Şekil 2. Sonlu ve sıfırdan farklı frekansta kutup sökümü

z= 1/a

Zı+ pZ f

P

SeJfcil 5. Sıfır frekansta kutup sökümOHün z dönüşüm eşdeğeri

BlektTik Mühendisliği 221

min edilebilecektir. Burada kısaca programın ö zellikleri sunulmaya çalışılacaktır.

Program geleneksel türde (söndürme sıfırları ge çirme bandında ve gerçek) bir devre tasarımla maktadır. [4,5,6 J da önerilen parametrik süzgeç tasarım yöntemleri kullanılmamıştır.

Program hem alçak geçiren, hem de bant geçiren süzgeç tasarımlayabilmededir. Veri olarak ta nımlanan önemli değişkenler şunlardır:

i) Geçirme bandında en yüksek söndürme (db) ; ii) Geçirme bandı uç frekans değerleri, iii) Söndürme bantlarında bölge bölge' tanımlana bilen en düşük söndürme (db,), iv) Giriş ve çıkış kapılarında istenen empedans özellikleri (Her biri seri rezonans ve pa ralel rezonans türü olabilir.), v) Gerçekleştirmenin sağdan, soldan ya da her iki yönden yapımı için kod işaretleri, vi) Öğe değerlerinin ayarlanacağı giriş ya da çıkış yük direnç değeri.

Ayrıca gerçekleştirmenin yapılacağı kutup sökttm ve öğe dizisi sırası kullanıcı tarafından tanım lanabileceği gibi, kullanıcı tarafından verilme mesi durumunda program tarafından seçilmektedir.

Program hakkındaki diğer bilgiler [l] de görüle bilir. Ayrıca programda bazı esneklikler sağla mak amacıyla çalışmalar sürdürülmektedir.

KAYNAKLAR

:

[l] çiftçibaşı, T, "Filter Design by Trans formed Variables" M.S.Thesis, ODTÜ, Temmuz 1974

[2] Saal, R. ve E.Ulbrich, "On the Design of Filters by Synthesis", İRE Trans. on Circuit Theory, Cilt. CT 5, s.284 327, Aralık, 1958

[3] Smith, B.R. ve G.C.Temes, "An Iterative Approximation Procedure for Automatic Filter Synthesis", IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt. CT 12, s. 107 112, Mart, 1965

[4] Szentirmai, G., "A Filter Synthesis Program" System Analyses by Digital Computer, F.F. Kuo ve J.F.Kaiser, Eds. New York, Wiley, 1966

[5] Bingham, J.A.C., "A New Method of Solving the Accuracy Problem in Filter Design", IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt. CT 11, s. 327 341, Eylül, 1964

[6] Orchard, H.J. ve G.C.Temes, "Filter Design Using Transformed Variables", IEE Trans. on Circuit Theory, Cilt. CT 15, s.385 408, Aralık, 1968

[7] Skwirzynski, J.K., "On Synthesis of Filters", IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt. CT 18, s. 152 163, Ocak, 1971