ODA TARİHİNDEN

BOOLE CEBİRİ VE ANAHTARLI DEVRELERE

TATBİKİ

Bu sayımızda, şu anda ABD Florida Teknoloji Enstitüsü'nde öğretim üyeliği yapmakta olan Nazif Tepedelenlioğlu'nun 1962 yılında !. dergimiz için kaleme aldığı ve 72. sayımızda yayınlanan "Boole Cebiri > ve Anahtarlı Devrelere Tatbiki" başlıklı yazıyı yayınlıyoruz.

SAHA

B ir sayı sistemini kullanmadan yani, onunla işlemler yapmadan önce o sayı sisteminde hangi çoklukların (quantities) kullanılacağı nı, hangilerinin sahanın dışında bıra kılacağını kararlaştırmak lâzımdır.

Meselâ reel sayılar sistemini ele ala lım. Bu sisteme sadece "reel" dediği miz sayılar dahildir ki bunların da özellikleri bir takım tariflerle belirtilir. Bunun yanında kompleks sayılar sis temi reel sayıları içine aldığı gibi, bunun yanında, "reel sayılar saha sında" bulunmayan bir takım başka sayıları da ihtiva eder (3 + J5 gibi).

da kapalıdır. Şu halde bu anahtarın "kapalı olma değeri" 1 ise, "açık olma değeri" 0 dır. Yahut anahtar kapalı iken A = 1, açıkken A = 0 dır.

İŞLEMLER

Boole cebirinde sadece "toplama" ve "çarpma" işlemleri yapacağız.

AKSİY OMLAR:

a) Toplama işlemi ("veya işlemi", "paralel işlem")

0+0=0

1 + 1 = 1 (2 sayısı sahamıza dahil değildir).

işte biz de BOOLE CEBİRİNE başla Şimdi bu aksiyomlara misâller vere madan, onun sahasını belirteceğiz. lim:

Boole cebiri ile sadece iki sayı üze rinde işlem yapacağız (0 ve 1). Yani nasıl reel sayılar ile işlem yaparken j2 gibi sayıları nazar ı itibara almıyorsak burada da 0 ve 1'den gayrisi ile alâ kadar olmıyacağız.

Devrenin kapalı olması keyfiyetini 1 ile gösterirsek:

Şu halde bu, bizim pratik problemleri çözerken değer atfettiğimiz kemiye tlerin 0 ve 1 'den gayrı değer alama yacaklarına delâlet eder. (Meselâ bir keyfiyetin var olmasına 1, yok olma sına 0 değeri verilebilir.)

Burada bir misâl verelim:

(Şekil: 2 a)

Şekil 2 a da 2 anahtarda "0" değerini taşıyor.

Kolayca görüleceği gibi bu bir açık devredir. Yani 0 + 0 = 0 (0 veya 0 eşit sıfır)

Nazif TEPEDELENÜOĞLU

(Şekil: 1) Şekil 1'deki A anahtarı ya açıktır ya

(Şekil :2 b)

61 391 E L E K T R İ K

MÜHENDİSLİĞİ

Şekil 2 b de iki anahtarda birdirler ve devre kapalıdır. Yani 1 + 1 = 1 (1 veya 1 eşit bir)

takım değişkenler kullanacağız. (Me Bu anahtar sistemi kısaltılmadan

selâ : aynı şartlar altında kapanması şekil 5 a da gösterilmiştir. Fakat bi

ve açılması lâzım gelen anahtarlara rinci ve sonuncu terimleri ABD,

"A" anahtarı, başka şartlar altında ikinci ve üçüncüleri BCD parantezi

aynı hareketi yapması lâzım gelenle ne alırsak:

re "B" anahtarı diyeceğiz. Ve yukarı

da da bahsettiğimiz gibi eğer A, bir ° ^T ^T

T =T

(Şekil: 2 c)

Şekil 2 c de ise bir anahtar O dır, öbürü 1 dir ve gene kolaycada gö rüleceği gibi devre kapalıdır. Dola yısiyle O + 1 = 1 (0 veya 1 = 1 )

b) Çarpma ("ve işlemi", "Seri işlem")

0X0 = 0

0X1=1

1X1=1

Misal:

anahtarı gösteriyorsa A (A değil) de A anahtarı ile tamamiyle zıt hareke tleri yapan anahtarı gösterecektir.

Bir değişkende aşağıdaki aksiyomları yazabiliriz:

•k

A+0=A

AxA = 0

I

Ax0 = 0 A+1=1 Ax1=A

(A) = A A+A=A AxA=A

, (Şekil: 5 a) Ç = ABD (C + C) + BCD (A + A) + ÂBCD

A + Â=1

Ç = AB D + BCD + ÂBCD

Eğer birden fazla değişkenimiz varsa aşağıdaki bağıntıları da ilâve edebili riz:

(A + B + C) = (Â) (B) (C)

Ç = B (AD + ÂCD) + BC D

Bu devre Şekil 5 b de gösterilmiştir. Bu suretle yukarıda 20 anahtar ku llanırken şimdi 9 anahtar kullanıyo ruz.

(Şekil: 3 a)

Şekil 3 a da iki anahtarda sıfırdır. Dolayısiyle devre 0 dır.

(A B C) = Â + B + C

Şimdi yukarıda söylediklerimizi bazı anahtar devreleriyle pratikleştirmeye çalışalım.

Boole cebrinde, bütün çarpanlara ayırma kaideleri doğru olduğu gibi aşağıda verdiğimiz iki işlemde fay dalıdır.

f(A,B,D,) = A f(1,B,C,D) + A f(0, B, C, D,)

f(A,B,C,D,) = A + f(0,B,C,D)

 + f(1,B, C, D)

0 X 0 = 0 (0 ve 0 eşit 0)

(Şekil: 4)

Şekil 4 deki devre Boole cebri şöyle ifade edilebilir:

AD + C(A + B)B = Ç

TN

(Şekil: 3 b)

Şekil 3 b de anahtarlardan biri 1 di ğeri 0 dır. Ve devre de O dır.

0 X 1 = 0 (0 ve 1 eşit 0)

Nasılki cebir işlemlerinde kullandı ğımız çoklukların yanında, bazı de ğişken çoklukları göstermek üzere harfler kullanıyorsak, burada da bir

Aşağıda da belirteceğimiz gibi Boole cebrinin anahtar devrelerine tatbiki nin gayesi, mümkün olduğu kadar az anahtar kullanmaktır.

Meselâ aşağıdaki misali gözönüne alalım:

Ç = ABC D + ABC D + ABC D +

ÂBCD + ABCD

(Şekil :5 b)

Bu bantlardan birincisi standart to plam ikincisi ise standart çarpım olarak bilinir ki burada f(A, B, C, D), A, B, C ve D'nin bir fonksiyonudur.

Meselâ:

^r% 391 E L E K T R İ K

OJ& MÜHENDISLIĞI

f (A, B) = AB + AB olsun bu ifadeye standart çarpım tatbik edersek, A B + Â B = A + Ö B + 1B)/A + (1B + OB) = (A + B) (Â + B) bulunur.

gerçekten de (A + B) (A + B) + AA + B B / B Â + B B tır.

= AB + BÂ.

No A 10 21 30 40 50 61 71

Bc

00 00 10 01 00 10 01

D ÇIKIŞ

(A değil) ve (B değil) ve (C değil), (D değil) olduğu zaman veya (A değil) ve (B) ve (C değil) ve (D değil) ol duğu zaman, veya ilh...dır. (Çarpmanın "ve İşlemi", toplamanın "veya işlemi" olduğu hatırlatılır)

Bundan sonra Ç'yi kısaltacağız:

Ç = ÂBC (D + D) + ABC (D + D)

+ ÂBC (D + D)

Şimdi Boole cebrini kullanacağımız basit bir misali göz önüne alalım.

Elimizde 4 tane olay olsun A, B, C ve D olayları. Meselâ bunlar dört demiryolu (peronu) olan bir istas yondaki raylarda trenlerin olup ol madığını göstersinler. Yani meselâ birinci peronda tren varsa A = 1 yoksa A = 0 olsun, ikinci peronda varsa B = 1 yoksa B = 0 olsun.

Aynı zamanda bir bazı işletme za ruretleri dolayısiyle birinci ikinci pe ronlar boş, üçüncü dördüncü pe ronlar dolu iken önümüzdeki kontrol tablosunda bir ışığın yanmasını is teyelim ve bunun gibi aşağıda be lirteceğimiz 5 halde de aynı ışık yansın.

Şimdi aşağıdaki doğruluk tablosunu inceleyelim (Şekil 6)

Ç = ÂBC D + ÂB C + ÂB C

9 0 11 0 0

10 0 1 0 1

Ç = ÂC (B + B) + ÂBC

11 0 0 1 1

Ç = ÂC+ÂBC

12 1 1 1 0

13 1 0 1 1

Ç = Â (Â + BC)

14 1 1 0 1

DOLAYISİYLE Ç = A(C + BC) BU

15 0 1 1 1

LUNUR.

16 1 1 1 1

(Şekil: 7 b)

(Şekil: 6)

Rayların boş veya dolu olmasının 16 muhtemel kombinasyonu sol tarafta gösterilmiştir. Meselâ üçüncü sıra sadece B rayının treni olduğuna 16 ncı sıra ise bütün rayların dolu oldu ğuna delâlet etmektedir. Çıkış kıs mında hizasında (1) olanlar bizim, lambanın yanmasını istediğimiz ha ller, (0) olanlar ise yanmamasını is tediğimiz hallerdir. Yani şu halde bi rinci, üçüncü, dördüncü, beşinci, onuncu ve onbirinci hallerden her hangi birisinde işaret tablomuzdaki lambamızın yanmasını istiyoruz.

AAAA (Şekil :7 a)

O halele esas problem en az anahtar kullanarak bu performansı yapacak devreyi hazırlamaktır.

Şu halde doğruluk tablomuzdan aşa ğıdaki ifadeyi yazacağız.

Ç = ÂBCD + ÂBCD + ABCD +

ABCD+ ÂBCD + ÂBCD (Bu devre kısaltılması şekil 7 a da gösterilmiştir.)

Burada Ç, (Çıkış istediğimiz haller) eşittir:

391 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

A anahtarının A rayında tren yokken kapanan, varken açılan, C anahta rının C rayı için, B'nin B rayı için aynı şekilde hareket eden, C anah tarının ise C rayında tren varken kapanıp, yokken açılan bir role ol duğu düşünülürse şekil : 7 b deki devrenin istediğimiz bütün hallerde (L) lambasını yakacağı kolayca gö rülebilir.

HALİL KOKSAL

Odamızın 640 sicil nolu üyesi Halil KÖKSAL'ı kaybettik.

(Şekil :7 b)

"BOOLE" Cebrini kullanmasaydık, bu devre 24 anahtardan mürekkep olacaktı (Şekil 7 a) ve A, B, D, D anahtarlarına hiç ihtiyacımız olma dığını görmek pek kolay olmaya caktı, kaldı ki yaptığımız misâl çok basit bir misâldir. Bu usulün "Com puter" gibi binlerce röleye ve "Multi vibrator"lere ihtiyaç gösteren bazı "Logic (Mantık)" devrelerinde kulla nıldığı düşünülürse, sağladığı eko nominin ve kolaylığın değeri çok daha iyi anlaşılır. Literatür 1) Boolean Algebra: Sikorski ROMAN 2) Boolean Algebra: Higonne RENE 3) Boolean Algebra: Kappos De metrios ANDREOU 4) Strukturtheorie der Nahrschein lichkeitsfeder und Râume.

64 391 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

SÜLEY MAN ALTAN (15528)

Odamızın 15528 sicil nolu üyesi Süleyman ALTAN'ı kaybettik.

Orhan AY Y ILDIZ (18768 )

Odamızın 18768 sicil nolu üyesi Orhan AYYILDIZ'ı bir trafik kazasında kaybettik.

SUAT SEZAİ GÜRÜ (1954 )

TMMOB MAKİNA MÜHENDİSLERİ ODASI GENEL SEKRETERİ SUAT SEZAİ

GÜRÜ'YÜ BİR TRAFİK KAZASI SONUCU KAYBETTİK.

AİLESİNE, Y AKINLARINA VE M A K İ NA MÜHENDİSLERİ ODASI TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ. TMMOB Elektrik Mühendisleri Odası