ROBOT KOLLARININ DÜZ VE TERS KİNEMATİĞİ

1. Giriş

Bir robot kola ilişkin iş planlaması, yörünge planlaması, dinamik, ve kontrol problemleri ele alındığı zaman ilk gereksinme duyulan hususlardan biri, bu robot kolun kinematik modelinin oluşturulması ve buna dayanarak gere kli kinematik ilişkilerin elde edilmesidir.

Kinematik modelleme için genellikle HD (Harten

ROBOT K OL L A RI N berg Denavit) yöntemi kullanılmaktadır. Bu yön tem Bölüm 4 ve Bölüm 5'te açıklanmıştır.

D Ü Z VE TERS Robot kollar için kinematik ilişkiler, iki farklı yönde elde edilirler:

K İ N E M A T İ Ğ İ (i) El'in zemine göre konum ve yönelimini eklem değişkenleri cinsinden belirleyen "düz kinematik" ilişkileri. Bu ilişkiler, Bölüm 6'da açıklanmıştır.

ÖZET

Bu makalede önce, robot kol kinematiğine hazırlık olmak üzere, üç boyutlu uzayda yer alan eksen takımları arasındaki konum ve yönelim ilişkileri ve bu ilişkileri birarada gösteren "homojen dönüşüm matrisleri" üzerinde durulmuştur. Bunu izleyerek uzaysal mekanizmaların matematiksel gösterimi için geliştirilmiş olan HD (Hartenberg Denavit) yöntemi tanıtılmış ve robot kollara uygulanışı anlatılmıştır. Daha sonra, verilen eklem değişkenleri cinsinden robot kolun el'inin konum ve yöneliminin ifade edilmesi olarak tanımlanan "düz kinematik" ve ardından el'in verilen konum ve yönelimini sağlayacak olan eklem değişkenlerinin belirlenmesi olarak tanımlanan "ters kinematik" konuları işlenmiş ve Stanford tipi bir robot kol üzerinde örneklenmiştir.

(ii) El'in zemine göre verilen konum ve yönelimini sağlayacak olan eklem değişkenlerini belirleyen "ters kinematik" ilişkileri. Robot kolun serbestlik derecesine ve topolojik yapısına (döner ve kayar eklemlerinin sayısına ve sıralanışına) bağlı olan ve genelde lineer olmayan bağlaşık denklemlerin çö zümünü gerektiren ters kinematik ilişkilerin elde edilişi, Bölüm 7'de açıklanmıştır.

2. Üç Boyutlu Kinematiğin Ana Hatları

Üç boyutlu uzaydaki bir r vektörü, ortogonal sağ el düzenli, eksenleri eş ölçekli, ve temel birim vektörleri

/uia): i= 1,2,3\ ile/uf": j= 1,2,3J

ABSTRACT in this article, first, as a preparation for manipülatör kinematics, location and orientation relationships are briefly revieıved among reference frames in three dimensional space and the use of "homogeneous transformation matrices" is mentioned for a compact way ofexpressing these relationships. Follouıing this, the application of the HD (Hartenberg Denavit) convention to the manipulators is explained ıvhich has originally been developed for mathematical modelling ofspatial mechanism. Later, the subject of "direct kinematics", i.e. expressing the location and orientation of the manipülatör's hand in terms ofthejoint variables; and the subject of "inverse kinematics", i.e. determining the joint variables corresponding to specified location and orientation of the hand are investigated and exemplified on a Stanford manipülatör.

olan Fa ve Fb eksen takımlarında, şu şekilde ifade edilebilir:

3 (a)

r= y,r,

(ıa)= y3.r(,b)

j1

(b)

Bu ifadedeki rW bileşenlerinden oluşan r (a) kolo nu ile r.(b' bileşenlerinden oluşan r (b) kolonu ara sındaki ilişki ise, Fb'den Fa'ya dönüşüm matrisi olan &*•b) kullanılarak

(2) biçiminde yazılabilir.

Görüldüğü gibi bu ilişki, 3'lü kolonlar arasında 3 x 3'lük bir matris kullanılarak yazılmış homojen bir denklemdir.

Prof. Dr. M. Kemal ÖZGÖREN (*) (*) ODTÜMakina Mühendisliği Bölümü

Öte yandan, bir vektörün iki eksen takımındaki bi leşenleri arasında değil de, bir P noktasının iki eksen takımındaki koordinatları arasında ilişki

44 ||

<5<b'a)

ters

ötelenme

kolonu

, ( b )

BA

şu

şekiller

de ifade edilebilirler.

Şekil 1. BirP noktasının iki eksen takımına göre konumu

kurmak istenirse, bu noktanın orijinleri A ve B noktalarında olan Fa (A) ve Fb (B) gibi iki eksen takımına göre tanımlanan konum vektörleri ara sında, Şekil 1'de görüldüğü gibi, şu ilişki yazılabi lir

rAP=lAB+rBP

(3)

Denklem (3), r Ap ile r AB vektörleri Fa (A)'da r Bp vektörü ise Fb (B)'de ifade edilerek, aşağıdaki matris denklemi biçiminde de yazılabilir

.(a) yv'^.tb) .(a)

TAP = C rBp + TAB

(4)

Görüldüğü gibi, P noktasının Ffl (A) ve Fb (B)'deki

koordinatlarından

oluşan

(a) AP

(b) Bp

kolon

ları arasındaki bu ilişki, r ^^ teriminin variığı ne

deniyle, homojen olmayan bir denklemdir. Bu

denklemi homojen biçime sokmak istenirse, aşa

ğıda tanımlanan büyütülmüş 4'lü kolonlar ve 4 x

4'lük homojen dönüşüm matrisi kullanılabilir (b)l

TBP .

T'

=c

(8)

()

= rAB = C

(9)

Dolayısıyla, homojen dönüşüm matrisinin tersi, aşağıdaki biçimde tanımlanmış olur:

f

[HABJ = I

rAB • (10)

Eğer ikiden fazla, örneğin 3, eksen takımı söz ko nusu olursa, P noktasının koordinatlarını ifade etmek üzere eksen takımları ikişer ikişer ele alı narak birleşik dönüşüm matrisi için şu denklem yazılabilir.

J a , b) (b,e)

HAC =

HBC

(11)

Bu denklem, daha fazla eksen takımı söz konusu olursa,

HAZ = HAB H B C H X Y H Y Z (12)

şeklinde genelleştirilebilir.

Eğer dörtlü matrisler yerine üçlü matrisler kullanı lacak olursa, denklem (12)'nin derleşik olarak ifade ettiği bilgi, aşağıda olduğu gibi daha ayrıntılı bir biçimde de ifade edilebilir.

(5)

Burada O', sıfırlardan oluşan 3'lü O kolonunun transpozunu göstermektedir. Yukarıdaki tanımlar sayesinde denklem (4), homojen olarak aşağıdaki gibi yazılabilir"

RAP = HAB RBP .

(6)

Dikkat edilirse,

rt (a b) AB

matrisi, &a b) bölümü ile

dönme (a • b ) , 7 " A B ( a ) bölümü «e de ötelenme (A > B) bilgilerini taşımaktadır.

Denklem (6)'nın tersi göz önüne alınırsa,

[ H İ ] =İHBA

(7) '

olduğu görülür Öte yandan, ters dönme matrisi

C = C C ... C • C

_(a) . »

^(«•b).W

^(«• b)^<b'c

TAZ = r « + C rac + C C

(13)

+C

C ryz (14)

Yukarıda görüldüğü gibi, dörtlü homojen dönüşüm ifadeleri, gösterim kolaylığı ile denklemlerin derle şik olarak yazılabilmesi açılarından üçlü homojen olmayan dönüşüm ifadelerine göre daha avantaj lıdırlar ve bu nedenle özellikle robotik alanında sı klıkla kullanılmaktadırlar. Buna karşılık, üçlü ifa deler, hesaplamalardaki işlem sayısı ve gerekli bellek gereksinimi açılarından dörtlü ifadelere göre daha avantajlıdırlar. Örneğin, n eksen takımı için; denklem (12)' 64(n 1) çarpma ve 48 (n 1) to plama gerektirirken denklem (13) ve (14), birlikte, 36 (n 1) çarpma ve 27 (n 1) toplama gerektir mektedir.

3. Dönme Matrisi İfadeleri

Fb eksen takımının Fa eksen takımana göre dön mesini belirleyen n birim vektörlü eksen ve 6 açısı biliniyorsa, aradaki dönme matrisi şöyle ifade edi lebilir [5], [6],

h =U

^»l .

ı

C = I cos 0 + n sin 9 + n n (1 cos 6 ) . (15)

Bu ifadede şu tanımlar kullanılmıştır:

I = Birim matris.

_ _(a) _(b)

n=n =n n = Vektörel çarp im matrisi

Bu matrisin n kolonundan türetilişi şöyledir

O n3 n2

n=

> n = n3 O n,

n2 n, O

n matrisinin özelliklerinden bazıları şunlardır:

(i) n v = n x v .

ı

(ii) n = n .

jı

ı»

(iii)n = n n I .

(iv) n = n .

rt matrisinin yukarıdaki özellikleri ve sin 8 ile cos O'nın Taylor Serisi açılımları kullanılarak denklem ler (15),

Şekil 2. El 'in 323 Euler açı düzenine göre yönelimi

*(k 2>

\^" i

Uzuv (k> V n

r /uzuv (k 1)

//

^^—:

— —•

KJ

k

Eklem ( k O

Eklem (k + O

kı

Eklem (k)

^ »Ck i) 1

Şekil 8. Uzuv parametreleri ve eksen takımları

c = y,(ne) /ki k0 şeklinde de yazılabilir. Bu denklem ise, dönme matrisi için aşağıdaki "üstel" ifadenin Taylor Serisi açılımıdır [5], [6]:

C^^e"6.

(16)

Bir çok durumda, Fb'nin Fg'ya göre dönmesi, ( n , 6) parametreleri yerine Euler Açıları olarak adlan dırılan üç açısal parametre ( 0 1 , 0 2 , 0 3 ) ile ifade edilir. Böyle bir durumda, dönme matrisinin

larıyla yapıldığı varsayılır. Buradaki birim vektör ler; F a , F , F eksen takımlarının temel vektörle rinden biri olarak seçilir. Y apılan seçime göre, de ğişik Euler açısı düzenleri ortaya çıkar. Örneğin, oldukça sık kullanılan 123 ve 323 düzenlerindeki seçimler ve oluşan dönme matrisleri aşağıda gös terilmiştir.

(i) 123 Euler Açı Açı Düzeni:

) .»

(P) _

«D

, n 2 = U2 , n 3 = u 3 ;

(17)

c =c şeklinde ayrıştı rıldığı ve Fa » Fp > Fq » Fb dö nûşlerinin önceden belirlenmiş n 1 , n 2 , n 3 birim vektörlü eksenler etrafında 01 , 02 , 03 açı

(ii) 323 Euler Açı Düzeni:

= U3 ,

= U3 ;

^ıa D)

u30, U202 u303

(18)

Yukarıdaki a

• a 3 matrisleri,

T

Uı = 0 0

o"

2 = 1 , U3 = 0

oj

temel kolonlarından türetilmişlerdir.

Bir robot kolda, el'in (son uzvun) zemine göre yö neliminin belirtilmesinde, genellikle, 323 Euler açı düzeni daha uygun olmaktadır. Bu düzene göre yöneltilmiş bir el, Şekil 2'de gösterilmiştir.

4. Robot Kolların Eklemleri ve Uzuvları

Serbestlik derecesi n olan bir robot kol, son uzva (el'e) bağlı işlem elemanı (örneğin kıskaç) hariç tutulursa, n hareketli uzuvdan ve n eklemden olu şur. Kinematik incelemelerde zemin, sıfırına uzuv olarak ele alınır. Eklem (k), uzuv (k 1 ) ile uzuv (k) arasında yer alır. Endüstriyel robotlarda, uzuvların rijit oldukları, eklemlerin ise bağladıkları iki uzuv arasında yalnızca bir tek bağıl hareket sağladıkları varsayılır. Bu hareketin türüne göre, eklemler, döner (revolute) ve kayar (prismatic) olarak ikiye ayrılırlar.

Uzuvlar rijit varsayıldıktan için her bir uzvun hare keti, kendisine bağlanan bir eksen takımının ha reketi ile belirlenir. Ortogonal, sağ el düzenli, ve eş ölçekli olarak alınan eksen takımlarının uzuvlara bağlanışı, Hartenberg Denavit (HD) yöntemiyle yapılır. HD yönteminin bir kaç değişik biçimi vardır. Farkı bazı indis kaymaları olan bu biçimler şunlar dır:

HD (O) : Hartenberg ve Denavit tarafından öneri len orijinal biçim [4].

HD (1): R.P. Paul, H. Asada, M. Shahinpoor, R.C. Gonzales, gibi bir çok yazar tarafından kullanılan biçim [1], [3], [7], [9].

HD (2): J.J. Craig tarafından önerilen biçim [2].

HD (3) : W.A. VVolovich tarafından önerilen biçim [10].

Bunlardan en yaygın olan HD (1) biçiminin Şekil 3'ten yararlanılarak yapılan açıklaması aşağıda dır:

a) Uzuv (k)'ye bağlı Fk eksen takımının temel birim vektörleri:

i l * , ( k > : Eklem (k + 1)'in dönme ya da kayma ek seni boyunca alınan birim vektör. Eksen üzerin deki yönü keyfidir. İstenirse, şekildekinin tersi yönde de seçilebilir.

û~>1(k): Eklem (k)'nin ve eklem (k + 1)'in eksenleri arasındaki ortak normal boyunca (k)'den (k + 1)'e doğru alınan birim vektör.

U2 = U3 X Ul .

Not: Eksenler için burada kullanılan 1,2,3 indisleri yerine x, y, z indisleri de kullanılabilir. b) Fk'nin orijini, O'

M _(k)

boyunca uzanan doğruların kesim noktasıdır, c) Uzuv (k)'nin uzuv parametreleri: (i) Etkin uzuv boyu, ak:

_0<) _ ( k 1 )

ak= DkOk. Dk, uı ileu3 boyunca uzanan doğruların kesim noktasıdır, (ii) Büküm (tvvist) açısı, «k:

<xk

etrafında U3 'den U 3 ' y e

(iii) Kayma uzunluğu (offset), dk:

d k

=

°K

°k"

(iv) Dönme açısı, 9R:

_<k l)

_0< 1))

_»M

8 k , u3 etrafında Uı 'den uı 'ye

d) Eklem değişkeni:

(i) Eklem (k), döner eklem ise; uzuv parametresi 0k, eklem değişkeni olur. Uzuv (k)'nin uzuv (k 1)'e göre bağıl dönmesini gösterir.

(ii) Eklem (k), kayar eklem ise; uzuv parametresi dk, etklem değişkeni olur. Uzuv (k)'nin uzuv (k 1 )'e göre bağıl ötelenmesini gösterir.

Yukarıda genel olarak açıklanan HD (1) yöntemi nin uygulanışında aşağıda belirtilen özel durumlar ortaya çıkmaktadır:

(i) Robot kollarda, Kk açısı yalnızca 90 ,0 , + 90 değerle rinden birini almak tadır.

(o)

e2 9o°? eh 95 = ©6 = o° "iken üstten

Şekil 4. Stanford tipi robot kol.

(ii) Genellikle, O1 = 0Q olarak alınır, u ^ 0 ' vektörü nün yönelimi ise keyfidir.

..... _(K D _ M

W

^ın' u3 ile u3 paralel olursa («k = O ise), uı

tekliğini yitirir. Bu durumda, eklem (k) döner ise,

genelliği bozmadan dk = O alınabilir. Fakat, eklem

(k) kayar ise, dk değişken olur ve dk = O referans

konumu keyfi olarak seçilir.

(iv)

üy^1'

ile

ü* (k) 3

çakışık

olursa

da,

u*

^ tekli

ğini yitirir. Bu durumda, eklem (k) döner ise, yine

genelliği bozmadan dk = O alınabilir; ayrıca 9k = O referans konumu keyfi olarak seçilir. Eklem (k)

kayar ise, bu kez, genelliği bozmadan 0k = O alı nabilir; ayrıca d = O referans konumu keyfi olarak

seçilir.

(v) ü y ^ 1 ' ile ü~*3(k) dik olarak kesişirse (ak = O

olursa), u (k)'nin doğrultusu belli (söz konusu iki eklem eksenine dik), ancak bu doğrultu üzerindeki yönü keyfi olur. Bu durumda,

uı = u3 x U3 olarakalnrsa, cck = 90 olur.

_,M _W _,(k i) Uı = U3 x U3 olarak aln rsa, ak = 90 olur.

(vi) Son uzva (el'e) bağlı eksen takımının (Fn 'nin) "bilek noktası" olarak tanımlanan orijini On = On_1 olarak alınır. El'in özel adlarla anılan temel birim vektörleri ise şunlardır:

_ _» _Jn 1)

Yaklaşır vektörü: u a = U3 = U3

Yönelim vektörü: u o = U2 .

Normal vektör: un = Uı . El'in uç noktası (P) ise, el'e göre, vektörüyle gösterilebilir. Bir çok durumda, P nok tası yaklaşım ekseni üzerinde olur "*r = O P ve dolayısıyla rp= dpuayazlabilir.

HD (1) yönteminin şekil 4'te şematik olarak göste rilen, 5 döner ve 1 kayar eklemden oluşan "Stan ford" tipindeki bir robot kola uygulanmasıyla belir lenen uzuv parametreleri ve eklem değişkenleri aşağıda verilmiştir.

a, = O , a, = 90 , d, = O , 9, : değişken.

.

A(n

El'in zemine göre yönelimi, C = C(o "n) ma

a2 = O , K2 = + 90

,

d2 =

O, O2 =

sabit,

92:

değişken.

... trısı,

yyaaadaa.

uun

==uun*

ıQ) '•

n

o=

no

•. a

a3 = O , cc3 = + 0 , d3 = O2 O3 = değişken, 03 = O.

kolonları ile; bilek ve uç noktalarının ko

a4 = O , oc4 = 90» , d4 = O, 6 4 : değişken. a5 = O , <x5 = + 90* , d5 = O, 9 5 : değişken. a6 = O , a6 = + 0» , d6 = O, 96 : değişken. 5. Uzuvlar Arası Kinematik

numları ise r = O o On ve P = Ö~* P vektörleri ya da zemin eksen takımında F = r~(o) ve p = p(a) kolonları ile gösterilecek olursa; el'in konumu, denklem (19) ve (21 )'deki tanımlar kullanılarak şu denklemlerle ifade edilebilir:

Uzuv (k)'nin uzuv (k 1)'e göre konumu, iki dönme

ve iki ötelenme ile belirlenir. Dönmeler, önce u

~ (k 1) etrafında 9k, sonra u^3(k) etrafında «k biçi mindedir. Dolayısıyla, iki uzuv arasındaki dönme

matrisi,

(k l.k)

Rk=C

= e 3 ke '

(19)

olarak elde edilir. Ötelenmelerin (dk ve ak) bileş kesi ise,

_

„

_,0< 1)

_(k)

i"k= O k _ , O k = d k u 3 + a k u ı (20) vektörüyle ifade edilir. Bu vektörün Fk1'de kolon olarak ifadesi şöyledir.

rk

= d k u 3 + ak

(21)

Öteyandan, dönme ve ötelenme ifadeleri birleşti

rilerek aşağıdaki uzuvdan uzva homojen dönüşüm

matrisi elde edilir:

C=R1R2...Rn.

<24)

Un = C Uı , Uo = C U2 , Ua = C U3 . ( 2 5 )

r = n + C r2 + ... + 6 re .(26)

p = r + dpC u3 .

(27)

tinim, yapıfarak ve röboftollarda son uzuv için a

= dn = o olduğu göz önüne alınarak denklem (25) şöyle de yazılabilir:

r = V. <|>k ı (dk ü3 + ak Rk ü,) (28)

Ote yandan, büyütülmüş 4'lü kolonlar ve denklem (22) ile tanımlanan 4 x 4'lük homojen dönüşüm matrisleri kullanılarak (24) (28) sayılı denklem takımı yerine, aşağıdaki daha derleşik denklem takımı da yazılabilir:

= Hok_1ok =

O!

(22)

Bu matrisin gerekli işlemler yapıldıktan sonra elde edilen açık biçimi şöyledir.

c8k

a k s 9 k s « k s 9 k \c\

s9k c «k c 9 k s <xk c9k aks9k

(23)

s <xk c Kk

dk

O ;1

A = Hooon= H2... Hn;

(29)

P = R O O P = A Ronp = dpA U3 .(30)

Her ne kadar, (29) ve (30) sayılı denklemler, her tür robot kol için el'in konumunu veren genel ve derleşik bir denklem takımı oluşturuyorlarsa da, göz önüne alınan belli bir robot kolun yapısal öze lliklerinden yararlanılarak sadeleştirilmiş ifadeler elde etmeye olanak sağlamamaktadırlar.

Oysa; (24), (28), (25), ve (27) sayılı denklemler, cebirsel işlemler ve sadeleştirmeler yapmaya el verişlidirler. Sadeleştirmeler, temel kolonlar ile temel dönme matrisleri arasında bulunan aşağı daki özdeşliklerden yararlanılarak yapılabilir. [6]:

Burada gösterim kolaylığı sağlaması için cos0 ve

sin0 yerine c0 ve s0 kullanılmıştır.

(31)

6. El'in Konumunun Belirtilmesi (Düz Kinema tik)

El'in konumunun, yani yöneliminin ve genellikle uç ya da bilek noktası olarak alınan uygun bir nokta sının koordinatlarının eklem değişkenleri cinsin den ifade edilmesi, "düz kinematik" olarak alınır.

U I = U I C < | > + uk s<(>.

(32)

Î e =e

(33)

Uiit/2 Ui(|)

UiJt/2

nkleemY (e32) ve=(3e4)'te

*

j

(34) uk = u(

x

dir.

«I ^ IO

Örneğin, şekil 4'te gösterilen Stanford tipi robot kol için, yukarıdaki özdeşliklerin kullanılmasıyla, (24), (28), ve (27) sayılı denklemlerden aşağıdaki sa deleştirilmiş ifadeler elde edilir:

C=

3 .(35)

r = uı (dsce, s 0 2 d2 S9,) + u2 ( d 3 s 9, s 92 + d 2 s 9,) + u 3 ( d 3 c 9^ .(37)

dpe

"384

e 4e

3.(38)

Yukarıdakilere benzeyen ve yalnızca ikinci ve üçüncü temel dönme matrislerini içeren sadeleşti rilmiş ifadeler, diğer robot kol tipleri (örneğin PUMA 560) için de elde edilebilirler [11].

7. Eklem Değişkenlerinin Belirlenmesi (Ters Kinematik)

El'in belirtilen bir konumunu sağlayan eklem de ğişkenlerinin bulunması, "ters kinematik" ya da "evrik kinematik" olarak anılır, iş tanımı el'in hare ketleriyle, robot kolun bu iş için kontrolü ise eklem değişkenleri üstünde yapıldığı için ters kinematik, robotik alanında oldukça önemli bir yer tutmakta dır.

El'in konumu genellikle uç noktası P'nin koordina tlarından oluşan P kolonu; yönelimi ise, daha çok 323, bazan da 123 düzenindeki Euler açılarıyla oluşturulan C matrisi ile belirtilir. C matrisi; yakla şım, yönelim, ve normal birim vektörleri belirtilerek

C = [Ün Üo Üa]

(39)

biçiminde de oluşturulabilir. Ayrıca, p ve C bilgile rinden yararlanılarak bilek noktası on'nin koordi natlarını içeren

"r=p dpCÜ3

(40)

kolonu da oluşturulur. Daha sonra , T ve C'ye kar şılık gelen eklem değişkenleri, (24) ve (28) sayılı denklemler aracılığı ile belirlenir.

Burada, ele alınan robot kolun serbestlik derece sine göre şu üç durum söz konusu olmaktadır:

(i) Tam serbestlikli kol (n = 6). (ii) Eksik serbestlikli kol (n < 6). (iii) Fazla serbestlikli kol (n > 6).

Robot kol, tam serbestlikli ise, (24) ve (28) sayılı denklemler, 6 eklem değişkeni için çözülür. Çözü me ilişkin hususlardan ileride söz edilecektir.

Robot kol, eksik serbestlikli ise, uç noktasının ko ordinatları ve Euler açıları (P1 , P2 , P3 ; 0t , 02 ,

03) arasından yalnızca uygun görülen n tanesi belirtilir; geri kalan (6 n) tanesi, n eklem değiş keni ile birlikte, (24) ve (28) sayılı denklemler çö zülerek bulunur.

Robot kol fazla serbestlikli ise, şu iki yoldan biri seçilebilir:

(i) Eklem değişkenlerinden uygun görülen (n 6) tanesi keyfi olarak seçilir; geri kalan 6 tanesi, (24) ve (28) sayılı denklemler çözülerek bulunur.

(ii) (24) ve (28) sayılı denklemlerin oluşturduğu kı sıtlamaya uyacak biçimde ve belli bir kritere göre (örneğin eklem hareketlerini minimum yapmak üzere) optimizasyon yapılarak eklem değişkenleri belirlenir [5].

(24) ve (28) sayılı denklemlerin çözümüne gelince göze çarpan ilk husus, bu denklemlerin genelde bağlaşık ve lineer olmayan bir sistem oluşturdu klarıdır. Bu nedenle, çözüm tek olmadığı gibi, söz konusu robot kolun bazı konumlarında belirsiz duruma da düşmektedir. Bu denklemleri çözmek üzere, cebirsel ya da sayısal yöntemler kullanıla bilir. Doğal olarak, kullanım kolaylığının yamsıra, çoğul ve belirsiz eklem konumlarını açıkça gös termesi bakımından cebirsel çözüm her zaman tercih edilir. Ancak, cebirsel çözüm, bazı robot kol tipleri için elde edilememektedir. Böyle bir robot kol için zorunlu olarak sayısal iteratif yöntemlerle çözüm elde edilmesine'çalışılır.

Cebirsel çözüm elde edebilmek için gerekli olma yan ancak yeterli bir koşul, robot kolda küresel bilek kullanılmış olmasıdır [8]. Küresel bileğin özelliği, şekil 4'teki Stanford kolunda olduğu gibi, son üç eklem ekseninin tek bir noktada (bilek noktasında) kesişmesidir. Küresel bilekli kolların en önemli özelliği, eklem değişkenlerinin kol ve bilek değişkenleri olarak adlandırılabilecek iki gruba ayrılmalarıdır. Kol değişkenleri (ilk n 3 eklem değişkeni), bilek noktasının zemine göre konumunu belirlerler. Bilek değişkenleri (son 3 açısal eklem değişkeni) ise, el'in azuv (n 3)'e göre yönelimini belirlerler. Küresel bilekli kollarda denklem (28), yalnızca kol değişkenlerini içerir ve denklem (24)'ten bağımsız hale gelir. Denklem (24) ise, kol değişkenleri her hangi bir biçimde bulunarak verildiğinde,

Rn 2 Rn_, Rn = Rn 3 ... R2 R1 C = C (41)

biçiminde yazılarak bilek değişkenlerinin (0p 2 , en ı n) ö b u l u n m a s ı iÇ'n kullanılır. Örneğin, 6 ser bestlik dereceli ve küresel bilekli bir robot kolda, kol değişkenleri denklem (28) çözülerek; bilek de ğişkenleri ise, denklem (41) çözülerek bulunur.

Küresel bilekli ve 6 serbestlik dereceli tipik bir kol, şekil 4'te gösterilen Stanford tipi robot koldur. Denklem (28) ve (41), bu kol için, denklem (35) ve (36)'dan yola çıkılarak şöyle yazılabilir:

d2u2+

(42)

e U 3 e V 2 e V 3 e 6 = e = 2 9 2 e = 3 Ö ı C = C . (43) Bu denklemlerden aşağıdaki skalar denklemler elde edilir: d2 = r2 r e , r, s 9, , (44.a)

d3 s 92 = r 2 s 9, + r, c 9, , (44.b) d3 c 92 = r 3 . (44.c)

c94s 95= Cı3 s 9 , s 9, = C23

(45. a) (45. b)

(45.c)

S 9 f i S 9it C~

(45.d)

c 96 s 9^= C31 . (45.e)

Bu denklemlerin çözümünden de eklem değiş kenleri, aşağıdaki gibi bulunurlar:

9, = a, cos ( d 2 / r12)

(46)

o, = + 1 veya 1 ,

lamada ancak (+1) değerini alabilmektedirler. Fakat o1 her iki değerini de alabilir ve şu iki farklı kol konumuna yol açar:

(i) Sol omuzlu kol: o1 = +1.

', = atan2(r, , r^ .

02 = atan2 (r2 s 0 , + r , c 0 , ,

(47)

(48)

d 3 = o3 V (r2 s 0 , +

o3 = +1 veya 1 .

(49)

o5 = + 1 veya 1 .

(50)

94= atan2(G5C23, a 5 C J .

9 6 = a t a n 2 ( o 5 C 3 2 , o5 C3) .

Yukarıdaki ifadelerde, alan2 (y, x), iki argümanlı arktanjant fonksiyonunu göstermektedir. Bu fonk siyonla y ile x argümanlarının işaretleri ayrı ayrı göz önüne alınarak ilgili açının bulunduğu çeyrek düzlem doğru olarak belirlenir [7].

(46) (51) denklemleriyle verilen çözüm, aynı za manda aşağıda açıklanan çoğul ve belirsiz eklem konumlarını da göstermektedir.

a) Çoğul eklem konumları: Bu konumlar, denklem (46), (48), ve (49)'da yer alan o1 , o3 , ve a5 işaret belirsizlikleri ile gösterilmiştir. Bunlardan o"3 ve G5, Stanford kolunun fiziksel yapısı nedeniyle, uygu

(ii) Sağ omuzlu kol: o1 = 1 .

b) Belirsiz eklem konumları: Bu konumlar, o6, o4, ve a2 değişkenlerinde ortaya çıkmaktadır. Bu de ğişkenleri veren (51), (50), ve (47) sayılı den klemlerde yer alan atan2 (y, x) fonksiyonunda y ve x aynı anda sıfır olursa, ilgili değişken belirsiz olur. Buna göre, şu iki farklı belirsiz eklem konumu meydana gelir:

(i) r2 s91 + c61 = 0 ve r3 = 0

Bu konumda d3 = 0 olur ve 9 2 , her hangi bir değeri keyfi olarak alabilir. Diğer bir deyişle, d3 = 0 olun ca, 9'nin bilek noktasının yeri üzerindeki etkisi kaybolur.

(ii) sin 95 = 0

Bu durum fiziksel olarak 95 = 0 iken ortaya çıkar. 9C = ± 180 olmasına Stanford kolunun yapısı el vermez. Bu durumda, her ne kadar 84 ve 9fi belir sizleşseler de, ikisinin toplamı yine de belirli bir değer olarak bulunabilir. Bu amaçla, 95 = 0 için denklem (43),

eU3eV396=eU3(e«+e<> = C

(52)

biçiminde yazılır ve buradan

** e4 + 66 = 646 = atan2 (C21 , C J

(53)

olarak bulunur. Denklem (52)'den de görüldüğü gibi, 95 = 0 iken, 64 ve 06 açıları, aynı eksen etra fında oluşan dönüşler durumuna düştükleri için farklılıklarını yitirirler ve bu nedenle de ayrı ayrı belirlenemezler. Ancak, ikisinden biri keyfi olarak seçilip diğeri onun 6 4 6 ' ya göre tümleyeni olarak bulunur. Diğer bir deyişle, 95 = 0 olunca, 64 ve 86 açılarından birinin el'in yönelimi üzerindeki etkisi kaybolur.

KAY NAKLAR

1. Asada, H. and J.J.E. Slotine, "Robot Analysis and Control", John Wiley, 1986.

2. Craig, J.J. "Introduction to Robotics: Mechanics and Control", Addison VVesley, 1986.

3. Fu, K.S., R.C. Gonzales, C.S.G. Lee, "Robotics. Control, Sensing,. Vision, Intelligence". McGraw Hill 1987.

4. Hartenberg, R.S. and J. Denavit, "Kinematic Synthesis of Linkages", McGraw HİII, 1964.

5. Özgören, M.K., "Optimization of Manipülatör Motions", Proceedings of the 2nd CISM IFTOMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators, Warsaw, Poland, 1976.

6. Özgören, M.K., "Application of Exponential Rotation Matrices to the Kinematic Analysis of Manipulators". 7th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Sevilla, Spain, 1987.

7. Paul, R.P., "Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control", The MİT Press, 1981.

8. Pieper, D., "The Kinematics of Manipulators under Computer Control", Ph.D. Thesis, Stanford University, 1968.

9. Shahinpoor, M., "A Robot Engineering Textbook", Harper and Row, 1987.

10. VVolovich, W.A., "Robotics: Basic Analysis and Desing", HRW (Holt, Rinehart, VVİnston), 1987.

1 1. Özgören, M.K., "Lecture Notes on Robotics, ME 522 dersinin basılmamış notları, Makina Müh. Bol., ODTÜ.

ÖNDER GÜLSOY (2069)

28.02.1932 yılında Turgutlu'da doğdu. İlk ve orta eğitimini

Turgutlu'da, Lise öğrenimini İzmir'de tamamladı. 1.11.1963 yılında İTÜ Elektrik Bölümünden mezun oldu. 1966 68 yıllarında Turgutlu ESHOT işletmesinde Müdür olarak görev yaptıktan sonra serbest olarak çalışmaya başladı. Evli ve 2 çocuk babası GÜLSOY, aramızdan ayrıldı.

NECDET BAKİ (8875)

29.01.1955 tarihinde İzmir'de doğdu. izmir'de tamamladığı ilk ve orta eğitiminden sonra Mithatpaşa End. Meslek Lisesini bitirdi. 1979 yılında A.D.M.M.A. Elektrik Bölümünden mezun oldu. Mezuniyetinden itibaren ücretli olarak özel işyerlerinde çalıştı.

Evli ve 1 çocuk babası Necdet BAKİ yakalandığı hastalığa yenik düşerek aramızdan ayrıldı.

AİLESİNE, Y AKINLARINA VE ODA M I Z TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ.

AİLESİNE, Y AKINLARINA VE O D A M I Z TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ.