ROBOT KOLLARDA KİNEMATİK PERFORMANS VE TASARIM

ROBOT KOLLARDA KİNEMATİK PERFORMANS

VE TASARIM

ÖZET

Bu makalede robot kolların en önemli kinematik özelliklerinden biri olan çalışma hacmi (ıvorkspace) ile ilgili temel bilgiler verilmiştir.

Ayrıca, robot elinin bir rijid cisim olarak 3 boyutlu uzaydaki toplam serbestliğini sayısal olarak verebilen bir ölçütten bahsedilmiş; ve bu ölçütün robot tasarımında nasıl kullanılabileceği gösterilmiştir.

1. GİRİŞ

R obot kollar günümüzde endüstrinin birçok değişik alanında uygulan makta olup, bu alanların sayısı her geçen gün daha da artmaktadır. Şekil 1'de tipik bir N serbestlik dere celi kol, ve kullanılan kinematik notasyon [1] gösterilmiştir. Görüldüğü gibi S_j vektör leri eklem eksenlerini belirlenmekte, aj vektörleri ise komşu oldukları SI ve Sj vek törlerinin ikisine de dik olarak tanımlan maktadırlar (ghjj) ardışık 4 tamsayıyı sim gelemektedir). Öte yandan, am vektörü etrafında SjVden Sj'ye doğru ve sağ el ku ralına göre ölçülen açı ahi olarak tanımlan mıştır. Benzer bir şekilde, 9h'de Şh etrafın da âghi'den ahi vektörüne doğru ölçülmektedir, âgh ve am ile Şh ve SI vek törleri arasındaki dik uzunluklar ile sırasıyla Shh ve ahi olarak tanımlanmıştır. Burada kullanılan notasyon Denavit Hartenberg notasyonuna çok benzemekte olup, aij, a\\, SÜ ve 0i parametreleri Denavit Hartenberg notasyonunda CXI, aj, di ve 0I ye karşılık gelmektedir.

Sadece döner eklemler (R) içeren bir robot kolda, cxi2 a (N 1) (N); a12 a(N (N + 1) ve Sn SNN sabit olup, robotun ki nematik boyutlar setinin oluşturmaktadır. Robot'un i'inci ekleminin kayar eklem (P) olması halinde SÜ bir eklem değişkeni ola cağından, sabit olan 8 boyut parametresi olacaktır. Böylece, N serbestlik dereceli bir manipülatörde birbirinden bağımsız (3N 1) adet kinematik boyut bulunacaktır. Söz konusu bu boyutlar robotun pozisyon, hız ve ivme analizlerini; çalışma hacmini (vvorkspace) ve dinamiğini doğrudan etki lemektedirler. Buna karşın, manipülatörle rin kinematik ve dinamik tasarımlarıyla ilgili somut ve rasyonel kriterler çok sınırlıdır. Kinematik boyutlar genelde tasarımcının tecrübesi, robotun kaba kinematik özelli kleri (örneğin, küresel bilekli), imalat kısı tları gözönüne alınarak ve deneme yanılma sayılabilecek yöntemler aracılığıyla seçil mektedir. Dinamik tasarım ilkeleri ise kine matik tasarım ilkelerine göre çok daha kı sıtlıdır. Bu makalade robotların kinematik performansları ve tasarım ilkeleri tartışıla caktır.

2. ÇALIŞMA HACMİ

Reşit SOYLUO

Unu Doğu 7 mh I 'm: • /sitesi, Makına Mühendisliği Bölümü

Robotlarda çalışma hacmi kavramı ilk ola rak Roth [2] tarafından ortaya atılmıştır. Bu konuda Kumar ve VValdron [3, 4] daha ay rıntılı bir inceleme yaparak çalışma hacim lerini birincil (primary [5] veya dextrous [4])

26 391 • E L E K MUHE• JD;

ve ikincil (secondary [5] veya reachable [4]) olmak üzere iki sınıfa ayırmışlardır. Birincil çalışma hacmi, el üzerideki bir referans noktasının erişebileceği noktalar kümesi olarak tanımlanmıştır, ikincil çalışma hacmi ise elin istenilen herhangi bir açısal konumu da sağlayarak erişebileceği nok talar kümesidir. Bir manipülatörde çalışma hacmi olabildiğince büyük tasarlanmaya çalışılmalı; ve ayrıca bu hacmin olabildi ğince büyük bir kısmının birincil çalışma hacmi olmasına dikkat edilmelidir.

Herhangi serbestlik dereceli bir manipüla törün ikincil çalışma hacmi Kumar ve Wal dron'un geliştirmiş olduğu nümerik bir al goritma [4] kullanılarak bulunabilir. Birincil çalışma hacminin elde edilmesi ise çok daha güçtür. Birincil çalışma hacminin temel birtakım özellikleri, ve bu tür çalışma hacmine sahip bazı manipülatörler [3] nolu çalışmada verilmiştir. Çalışma hacimlerinin alabileceği şekiller ve küresel bilekli mani pülatörlerde el büyüklüğünün (hand size) birincil çalışma hacmi üzerindeki etkileri Grupta ve Roth [5] tarafından incelenmiş ve el büyüklüğünün küçük olmasının yararlı olduğu sonucuna varılmıştır. Bilindiği gibi küresel bilekli robotlar, son üç döner eklem eksenleri bir H noktasında kesişen mani pülatörlerdir. Bu tür robotların el büyüklüğü, el üzerindeki referans noktasının H nokta sına olan uzaklığı olarak tanımlanmıştır [5].

Tsai ve Soni [6] ve 2 ve 3 serbestlik dereceli düzlemsel robotları incelemişlerdir. Bu tür robotların çalışma hacimlerinin tasarım abakları kullanılarak nasıl bulunabileceğini göstermişler ve ayrıca istenen bir çalışma

hacmini kapsayan ma

nipülatörlerin elde edi

lebilmesi için tasarım

metodları geliştirmiş

lerdir. Yang ve Lee [7,

8] ise çalışma hacmin

de bulunabilecek delik

(hole) ve boşlukların

(void) oluşma şartları

nı incelemişler ve bu

hacmin şekil ve hac

mini verebilen bir bilgi

sayar programı geliş

tirmişlerdir. Burada,

çalışma hacminin içine

gömülü olup da erişi

iemeyen noktalar kü

mesi boşluk olarak ta

nımlanmıştır.

Öte

yandan, delik içeren

bir çalışma hacminde,

çalışma hacmi tarafın

dan çevrelenen fakat

bu hacmin içinde yer

almayan en az bir çizgi bulunması gerek

mektedir.

Küresel bilekli bir manipülatörün bilek nok tasının uzayda konumlandmlabilmesi için 3 serbestlik dereceli uzaysal bir kinematik zincire gereksinim vardır. Bu nedenle, bu tür kinematik zincirlerin çalışma hacimleri değişik araştırmacılar tarafından incelen miştir. Freudenstein ve Primrose [9] konu ya analitik olarak yaklaşmışlar; Spanos ve Kohli [10, 11] ise 8 değişik tür zincirin ça lışma hacimlerinin bulunabilmesi için gere kli eşitlikleri türetmişlerdir. Tsai ve Soni [12] ise uzuv boyutlarının çalışma hacmi üze rindeki etkilerini inceleyerek, tasarıma yö nelik bazı bulguları ortaya koymuş lardır.

ŞekiL 1 N. Serbestlik Dereceli

Robot Kol

Çalışma hacminin içinde belirlenmiş birtakım noktalara istenen bir açısal konumla erişebilecek 3, 4, 5 ve 6 serbestlik dereceli, döner eklemli ro botların kinematik sentezi Tsai ve Soni [13] tarafından incelenmiştir. Vijaykumar, Waldron ve Tsai [14] ise bütün ay açıları 0 ve 90 olan, her uzva ait SII ve aij boyutlarından en az birinin sıfır olduğu küresel bilekli ro botları incelemişlerdir, ve bu tür ma nipülatörlerde çalışma hacminin maksimize edilmesi için gerekli şar tları araştırmışlardır.

Genişletilmiş çalışma hacmi

(3xtended vvorkspace) kavramı Pohl

ve Lipkin [15] tarafından ortaya atıl

mış olup, eklem değişkenlerinin

kompleks de olabileceği varsayıldı

ğında

referans noktasının

Burada q = d—t ve y ise elin hız vektörü dür. Bu vektörün ilk üç ve son üç eleman ları sırasıyla elin açısal hızını ve el üzerin deki bir .referans noktasının lineer hızını vermektedir. N serbestlik dereceli bir ma nipülatörde fl, a ve [J]'nin boyutları (N x 1), (N x 1) ve (6 x N) olacaktır.

Şimdi, 6 serbestlik dereceli birmanipülatö rün fl uzayındaki bir D bölgesini göz önü ne alalım. Bu bölgede konum transfor masyonunun 1 1 olduğunu ve Jakobian'ın determinantının (IJI) işaretinin değişmedi ğini varsayalım. Bu durumda, D bölgesinin el serbestlik endeksi (Hand Freedom Number)

erişebileceği noktalar kümesi olarak ta nımlanmıştır. Bu kavram, yörünge planla ması (path planning) aşamasında erişil mek istenen noktaların çalışma hacminin dışında kalması durumunda yararlı olmak tadır.

Tanımdan da açıkça görülebileceği gibi çalışma hacmi el üzerinde seçilen refe rans noktasına bağlı bir kavram olup bu noktanın yeri değiştirildiği zaman çalışma hacminin şekli ve boyutları da değişecek tir. Ayrıca çalışma hacmi kavramı elin eri şebileceği değişik açısal konumlar ile ilgili hiçbir sayısal bilgi içermemektedir. Robot elinin uzaydaki serbestliğini (açısal konum serbestliği de içerilerek), referans noktası na bağlı olmaksızın sayısal olarak verebi len bir ölçüt Soylu ve Duffy [16] tarafından tanımlanmıştır. Bundan sonraki bölümde bu ölçütün tanımı ve kullanım alanları açıklanacaktır.

3. EL SERBESTLİK ENDEKSİ

Robotlarda Konum Transformasyonu (KT), domeni eklem değişkenleri uzayı (fl uzayı), ranjı ise el pozisyon ve açısal ko num uzayı olan bir fonksiyon olarak tanım lanabilir. Şu fonksiyon verilen bir fl vektö rünü, karşılık gelen el pozisyon ve açısal konumuna dönüştürür. Öte yandan Jako bian matrisi, [J], ise eşitliği aracılığıyla tanımlanabilir.

HFN(D)=jjJD|/jAbs(UI)dVq

olarak tanımlanacaktır. Burada dVqa uza yının diferansiyel hacim elemanını, Abs (...) ise mutlak değer fonksiyonunu simge lemektedir. Birimi L3 (L • uzunluk birimi)

olan bu endeks q e D iken elin bir rijid ci sim olarak toplam serbestliğinin sayısal bir ölçütüdür. Bu ölçütün elin pozisyon ve açı sal konum serbestliği ile olan ilintisi Soylu ve Duffy [16] tarafından küresel bilekli ro botlar kullanılarak türetilmiştir.

Şimdi robotun fl uzayında denklemi IJI = 0 ile verilen singüler konumlar hiperyüzeyi (Hypersurface of special configurations) ile çevrelenmiş bulunan ve CO, olarak isimlendirilmiş bölgeleri [17] ve

j q,döner eklemişe 0 < q, < 2n

{\

q{ kayar eklem ise 0 < q, < Siiu

bölgesini ele alalım. Burada SMU, SM eklem değişkeninin üst sınırlarını simgelemekte dir. Öte yandan fl vektörünün yukarıda ta nımlı bir COj bölgesinde bulunması, robo tun o anda i'inci konfigürasyonda bulunduğunu gösterecektir. Genelde CO, bölgelerinin sayısı robotun verilen bir el konumuna karşılık gelen reel fl vektörü nün maksimum sayısına eşit olmaktadır. Bu durumda, robot i'nci konfigürasyonda iken elin toplam serbestliğinin sayısal öl çütü HFN(COı) olacaktır. HFN(Dt) ise bü tün konfigürasyonlara karşılık gelen el ser bestliğinin bir ölçütü olacaktır.

Eklem değişkenlerinin üzerinde q,ı < q l u gi bi bir takım kısıtlar olması durumunda, bu kısıtlar C O I ve/veya D bölgelerinin tanım lanması sırasında kolaylıkla gözönüne alı nabilir. Böylece robotun bu kısıtlar altında ki serbestliği bulunabilir. Bilindiği gibi,

28 391 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

manipülatörler verilen bir el pozisyon ve açısal konumunu değişik konfigürasyonlar da sağlayabilirler (diğer bir deyişle, KT fonksiyonu 1 1 değildir). HFN (D), KTnin bu özelliğini de göz önüne almakta olup; verilen bir el konumuna karşılık gelen g, vektörlerinin sayısı arttıkça, HFN (Dt) en deksi de büyümektedir.

HFN (D), robotun aktif lineer boyutlar vek törüne (]) [16, 17] bağlıdır. Bu vektör, bi rimleri uzunluk birimi olan ve g/ye bağlı ol maksızın — * 0 eşitsizliğini sağlayan b db boyutlarından oluşmuştur. Örneğin sadece döner eklemlerden oluşan 6 serbestlik de receli bir robot için 1 vektörü içinde yer alabilecek boyutlar ai2, 323, a34, 845, as6, S22. S33, S44, ve S55 olacaktır. Bu boyut lardan pasif olanlar [17] (yani U]'yi etkile meyenler) l'nin içinde yer almayacaktır. Herhangi bir eklemin (örneğin, i'inci eklem) kayar eklem olması durumunda, 1 vektörü Sn yerine SIIı ve Süu'yu (yani S'nin alt ve üst limitlerini) içerecektir. Bu durumda, l'nin 1 normuna göre normalize edilmiş el serbestlik endeksi, yani IIHFN (D)lh , HFN (D)'nin

II1Iİ1 =1

varsayıldığındaki değeri olarak tanımlana bilir. Öte yandan, HFN (D)'nin IIIH1 = C'ye karşılık gelen değeri

HFN (D) = C3 II HFN (D) Ih

olacaktır.

El serbestlik endeksi kavramı kinematik açıdan optimum manipülatörlerin tasarı mında ve değişik robotların kinematik per formanslarının karşılaştırılmasında kullanı labilir. Örneğin kinematik tasarım sırasında robotun boyutları HFN (Dt)'yi engelleyecek şekil de seçilebilir. Burada, başka ba zı kriterleri sağlamak için kulla nılacak boyutlar optimizasyon işleminin dışında bırakılmalıdır (örneğin, küresel bilekli manipü latörlerde a45 = a56 = S55 « 0 ol malıdır).

olarak bulunmuştur. Yer darlığı nedeniyle optimum robot boyutları burada verileme miştir. Optimum boyutları belli bir C sabi tiyle çarpılması durumunda, II HFN (DO Ih 'in yeni optimum değeri (5) no'lu eşitlik ara cılığıyla bulunabilir. Düzlemsel bilekli ma nipülatörler [19, 20] için de benzeri bir opti mizasyon yapılmış olup, sonuçlar [18] no'lu kaynakta sunulmuştur.

HFN (D) kavramını eklem değişken limitle ri olan qn ve qiu'nun seçiminde de kullan mak mümkündür. Örneğin, bir öner ekle min hareket ranjının 300° olduğunu varsayalım, qjU = qn + 300° olsun. Bu du rumda, qn parametresi toplam el serbestlik endeksini maksimize edecek şekilde opti mize edilirse, döner eklemin serbestliği ve rimli bir şekilde kullanılmış olacaktır.

4. SONUÇ

Bu çalışmada robotlarda çalışma hacmi ve el serbestlik endeksi kavramları incelen miştir. Söz konusu endeks robot elinin uzaydaki serbestliğini bir referans noktası na veya kullanılan eksen takımına bağlı ol maksızın sayısal olarak veren bir ölçüttür. Bu endeks aracılığıyla:

(i) Değişik manipülatörlerin boyutlara bağlı olmaksızın kinematik performanslarını kar şılaştırmak, (ii) Kimenatiği optimum olan robotlbar ta sarlamak mümkündür.

El serbestlik endeksi için gereken Ul'nin hesaplanmasını kolaylaştıran eksen ta kımları [21] no'lu kaynakta verilmiştir. Ayrı ca, robotun değişik konfigürasyonlarını be lirleyen C O I bölgelerinde konum transformasyonunun 1 1 olabilmesi için gerekli olan bazı şartlar [22] no'lu kaynak ta incelenmiştir.

"Bu çalışmada robotlarda çalışma hacmi ve el serbestlik endeksi kavramları incelenmiştir. Söz konusu endeks robot elinin uzaydaki serbestliğini bir r< ferans noktasına veya kuVanılan eksen takımına bağlı olmaksızın sayısal olarak veren bir ölçüttür."

Bu tür bir optimazasyon bütün

olası küresel bilekli robotlar için

yapılmış olup [16, 18]

RRRRRR,

RRPRRR,

RPRRRR, PRRRRR, RPPRRR,

PRPRRR, PPRRRR ve

PPPRRR tipi robotların opti

mum II HFN (Dt) Ih değerleri sı rasıyla 2674.3, 1327.4, 465.5,

298.8, 73.5, 73.5, 23.5 ve 5.8

[1] Duffy, J., "Analysis of Mechanisms and Robot Manipulators" John Wiley New York 1980

[2] Roth, B., "Performance Evaluation of Ma nipulators from a Kinematic Vievypoint" Per formance Evaluation of Programmable Ro bots and Manipulators, NBS Special Publication 459, s. 39 62,1976.

[3] Kumar A. ve VValdoron, K.J., "The Dextrous VVorkspace", ASME Makale No: 80 DET 108 1980.

chanism and Machine Theory, Cilt 20 No 6 s 555 563, 1985

[14] Vijaykumar, R., VValdron K.J. ve Tsai, M.J., Geometric Optimization of Serial Chain Manipülatör Structures for VVorking Volume and Dexterity", International Journal of Robotic Re search, Cilt 5, No. 2, s. 91 103 1986.

[15] Pohl, E. ve Lipkin, H., "Real and Extended VVorkspace in Robotic Manipulators", ASME Mechanisms Conference Proceedings (DE Vol 25), s. 307, 1990

[4] Kumar A. ve VValdron, K.J., "The Work Spaces of a Mechanical Manipülatör", Journal of Mechanical Design, Cilt 103, No 3, s. 665 672, 1981

[5] Gupta, K.C. ve Roth, B., "Design Conside rations for Manipülatör VVorkspace", Journal of Mechanical Design, Cilt 104, s. 704 711, 1982

[6] Tsai Y .C. ve Soni A.H., "Accessible Region and Synthesis of Robot Arms", Journal of Me chanical Design, Cilt 103, s. 803 811, 1981.

[7] Y ang D.C.H. ve Lee T.W., On the VVorkspace of Mechanical Manipulators", ASME Makale No: 82 DET 127, 1982.

[8] Lee, T.W., ve Y ang. D.C.H., "On the Evalua tion of Manipülatör VVorkspace", ASME Makale No 82 DET 126, 1982

[9] Freudenstein F. ve Primrose E.J.F., "On the Evaluation of Manipülatör VVorkspace", ASME Makale No 82 DET 126, 1982.

[10] Kohli, D. ve Spanos, J., "VVorkspace Analysis of Mechanical Manipulators Using Polynomial Discriminants", ASME Makale No: 84 DET 121, 1984.

[11] Spanos, J. ve Kohli D., "VVorkspace Analysis of Regional Structures of Manipula tors", ASME Makale No: DET 120,1984.

[12] Tsai, Y .C. ve Soni A.H., "The Effect of Link Parameter on the VVorking Space of General 3 R Robot Arms", Mechanism and Machine The ory, ilt19, No. 1, s. 9 16, 1984

[13] Tsai, Y .C. ve Soni, A.H., "Work space Synthesis of 3R, 4R, 5R and 6R Robots", Me

[16] Soylu, R. ve Duffy, J., "Hypersurfaces of Special Configurations of Serial Manipulators and Related Concepts, Part 3: Measures for the Position and Orientation of 6DOF Manipulators", Journal of Robotic Systems, Cilt 5, No 1, s. 55 72,1988.

[17] Soylu, R. ve Duffy, J., "Hypersurfaces of Special Configurations of Serial Manipulators and Related Concepts, Part 2: Passive Joints, Configurations, Compenent Manifolds and Some Applications", Journal of Robotic Systems, Cilt 5, No. 1, s. 31 53, 1988.

[18] Büyüklimanlı, E., "Kinematic and Dynamic Performance of Spherical VVrist and Planar VVrist Manipulators", Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ., 1992.

[19] Soylu, R., "Düzlemsel Bilekli Manipülatör ler, Bölüm 1: Ters Pozisyon Analizi", 4. Ulusal Makina Tasarım ve imalat Kongresi Bildiri Kita bı, s. 172 180, 1990.

[20] Soylu. R., "Düzlemsel Bilekli Manipülatör ler, Bölüm 2: Singüler Konumlar, Çalışma Alanı ye Hız Analizi", 4. Ulusal Makina Tasarım ve imalat Kongresi Bildiri Kitabı, s. 181 190, 1990.

[21] Soylu, R. ve Duffy, J., "Hypersurfaces of Special Configurations of Serial Manipulators and Related Concepts, Part 1: Theory and De velopment of the Hypersurfaces of Special Configurations", Journal of Robotic Systems, Cilt 5, No. 1 s. 13 30, 1988.

[22] Soylu, R. ve Duffy, J., "On the Forvvard Displacement Mapping of Serial Manipulators" Symposium on robotics, ASME, s. 185 197, 1988.

BAŞSAĞLIĞI

Değerli Meslektaşımız Sayın

ADNAN KAHVECİ ve AİLESİNİ, geçirdikleri elim bir trafik kazasında yitirmenin üzüntüsü içinde, ailesine, yakınlarına ve çalışma arkadaşlarına başsağlığı dileriz.

ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI Y ÖNETİM KURULU

3 0 391 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ