DOĞRU VE PERYODİK AKIMDA ENDÜKTANSLARIN TANIMI VE HESAPLANMASI

UDK : 621.8.028

Doğru ve Eeryofefc Akımda Eldüfctansların Tanımı ve Hesaplanması

Yazan : Dr. llhaml ÇETİN

ÖZET .

Kullanıla gelmelcte olan harmonik endüktansları fiziksel bir endüktans tanımı teşkil et memektedir, zira bunlar keyfi olarak akımın ve akının birleşenlerini yalnız teker teker kap samaktadırlar. Çalışmada teklif edilen peryodik endüktanslar ise, akı, elektrik çevrim ge rilimi ve manyetik enerjiyi tamamen kapsamakta ve böylece esas endûktansların ^genişletil mesini ilk defa temin etmektedirler.

Alışılmış kollektörlü makinelerin manyetik' karekteristiklerini iyi bir doğrulukla göste ren bir yaklaşık denklem ile, doğru ve alternatif akkmda muhtelif endüktanslar hesaplan mışttr. Çalışma bu arada, doyma sahasında peryodik akım için de endüktanslann doğru olarak tanımlamanın ve lıesaplamanın mümkün olduğunu göstermektedir. Son olarak, li teratüre dayanarak kollektörlü makinelerin öz ikazı, şebeke frekanslı akımların hasıl ettiği ön miknattslamada incelenmekte ve böylece teklif edilen peryodik en'dülit'anslarth fiziksel anlamı gösterilmektedir.

Genel Bakış :

Mecvut teknik yayınlarda manyetik karak teristiğin doğrusal olmayan kısmında peryodik akım kullanılan endüktans tanımları, ilkin doğru akım için tanımlanan esas endüktanslann geniş letilmiş seklini tegkil etmemektedir. Kullanılagel mekte olan harmonik endüktanslan yalnız be lirli bir harmonik için geçerlidir. Ancak burada ortaya atılan peryodik endüktanslarla, esas en düktanslarda mevcut büyüklükleri bütün peryod dahilinde tamamen fve doğru bir şekilde kapsa

için, akının kendisini doğuran akım ile tam bağlantı haline konması esastı.r. Böylece, endük tans akı halkalanmasından bir anlam alır. Sebep ve etki arasında bir bağlantı olacak böyle bir tanım için, peryodik akımda yalnız esas endük tanslar temel olarak alınabilir. Mamafih zamanla değişimleri dolayısıyle bunlar oldukları gibi kul lanılamazlar. Akım, dolayıslle akı ve manyetik enerji için peryodik zaman fonksiyonları farze dilsln. O zaman her esas endüktans da .pe'ryodik bir zaman fonksiyonu olur ki; Fourler açınımı genel olarak (1) gibi yazılır. Burada t zamanı,

= Lo + I , sın (x +

<w L2 sin (2 * f ot) + L3 sin (3 x + tpa) + . . . x = <ot.

mak mümkün olmaktadır. Bu çalışmada verilen izahları aydınlatmak maksadiyle, çeşitli endük tanslar manyetik karakteristiğin yaklaşık bir denklemi ile hesaplanacaktır. Son olarak, per yodik ters'diferensiyal 'endüktans yardımı ile seri ikazlı makinelerde şebeke frekanslı akımlarla . hasıl olan ön mıknatıslanmanın öz ikaz üzerin deki tesiri incelenmektedir.

Peryodik emlüktan.slar :

Manyetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında peryodik akım için evvelce bu dergide yayınlanan çalışmada bahsedilen harmonik en düktansları, aslında bir bütün olarak mevcut akı ve akım büyüklüklerinin yalnız kısımlarını, fi ziksel bakımdan keyfi bir şekilde, ilişkin kılmak tadır. Endüktans tanımının fiziksel olabilmesi

w esas açısal' frekansı gösterir. Fourier açını mının kullanılan şeklinde, katsayılar zaman baş langıcının seçimine tabi değUdirler. Fakat her esas endüktans tanımı için farklı bir değere sa hip olup, verilen bir akı değişimi için tayin edile bilirler. Sabit kısmın, esas endüktansın zaman ortalamasını gösterdiğine bilhassa dikkat edil melidir. Bundan başka, esas harmoniğln akı ve akımla aynı frekansa sahip olduğu görülmek tedir. Endüktansın zamanla değişimi akım va sıtasıyla olduğundan, akım fiziksel bakımdan müstakil değişkendir. Yukardaki şekilde ifade edilen esas endüktanslara, «peryodik endüktans lar» ismi verilecektir. Bu kavramın kullanılması, manyetik "karakteristiğin doğrusal olmayan kıs mında peryodik akım için de sabit bir endüktans dan halledilebileceğini, bunun değerini elde et

ElektrlK Mühendisliği 120

me usulü ile göstermektedir. Ters esas endük tanslar da peryodik akımda Fouriev açınımı şek linde gösterilebilir Peryodik endüktansların ke sin faydası, akım devresi sabit parametreleri ile sinüs biçimli büyüklüklerin hesaplanmasında kul lanılan usullerin genişletilmiş uygulanmasını mümkün kılmasıdır. Manyetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında esas endüktansların doğru akımla değişmesine, peryodik endüktans katsayılarının doymaya tabi olması tekabül eder. Peryodik endüktanslar yalnızca başka bir yazış tarzı ifade etmezler, bunun ötesinde Fourier açı nımının kendine has önemli faydalarından isti fade etmeği mümkün kılarlar.

Simetri özelliklerinin nazarı itibara alınması için, faz açısına tabi katsayıları olan Fourier açınımı daha uygundur. Alternatif akımda histe rezisi bulunmayan bir manyetik karakteristik için meselâ ordinat ekseni bir simetri ekseni ol duğundan, bütün sinüs terimleri yok olur. Eğer akı veya akım eğrisi ayrıca x = n /2 de bir si metri eksenine sahipse, o zaman tek mertebeli koslnüs terimleri de sıfır olur. Bu sadeleşmeler her üç peryodik endüktans için de cari olduğun dan, açınımları aşağıdaki gibi aynı şekilde olur.

L^. = Lo f L2 cos 2 x + L4 cos 4 * • + . . .

(2)

Akım, akı ve endüktans bileşenleri arasında ki bağlantıları elde etmek için, usulün genel ge çerliğini sınırlandırmadan sadeleştirme maksa dıyla, alternatif akımda

t = lx sın x f 73 sin 3 x +

* = O) t (3 )

akım değişimi kabul edilebilir. Madeni kısımlar daki faz değiştirici kısa devre akımlarını ve his terezisi ihmal ederek akı için (4) denklemi bu

akı harmonığinin, bütün akım ve endüktans har monıklerinden meydana geldiğini göstermektedir. Bundan maada harmonik endüktanslannın esa sında ne olduğunun yanında, akım ve endüktanri bileşenlerinden meydana gelen yapılan anlaşıl maktadır. Meselâ esas harmonik endüktansı için

'F* d) geçerlidir. Peryodik akı endüktansımn ortalama değeri burada olduğu gibi, bütün harmonik en düktanslannda ilk bileşen olarak geçer.

Esas endüktansların kullanılması ile, manye tik karakteristiğin doğrusal kısmında doğru akım için akı, elektrik çevrim gerilimi ve man yetik enerji için geçerli basit ifadeleri, doğrusal olmayan kısımda da muhafaza etmek mümkün olmuştu. Bu ifadelerin geçerliğini peryodik akım durumuna genişletme ise, peryodik endüktansları kullanmakla sağlanmaktadır. Ancak bu endük tanslar zamana tabi büyüklükler olup, zamana göre aritmetik ortalama değerleri başlangıç nok tasından geçen bir alternatif akı için (8)

ile İfade edilir. Akının zamana göre üçgen bi çiminde değişmesi halinde, akı ve zaman bir birine oranlı olur. Bu durumda zamana göre ortalama değer, peryodik endüktansın L . miı akıya göre ortalama değerini verir.

V _ LF • i = {LF0 + LF2 cos 2 x + Lri cos 4 x + . .) (/, sın x + I3 sın 3 x + . )

(I, _ /,) + L LFA (/8

/ ) + 1 _ 3

L F ı (/?

/a) +

1sın x

h + j LFİ (/, + /6) + ~ LFt (/7 /,) + j l , . (/,_/,) + .. 1 sin 3*

lunur. Akımın bu genel ifade tarzı, manyetik ka rakterıstiğln doğrusal kısmında bulunan özel durumu İhtiva eder. Hakikaten yalnız L f O kulla nılarak

= L m ı l ı = jJ— f *raax J

r — **FO * ı *n sın m x .

(a)

" >= ı , 3

bulunur. Demek ki peryodik endüktansın arit

metik ortalama değeri, manyetik devrenin doy

ma.ya uğramadığında geçerli denklemini vermek

tedir. Akı" harmonikleri genlikleri için matris

seklinde (6) denklemi bulunur. Bu ifade belli bir

Bu ortalama değer manyetik kaıakteristlk ve akı uç değerleri tarafından tayin edilir. Buna göre, verilen bir akım devresini zaman değişi mine tabi olmadan nitelemek için, onu akıya göre ortalama endüktans ile İlişkin kılmak dene nebilir. Zaman değişiminin etkisi f0 endüktans faktörü ile

* o — /o

(10)

şeklinde kapsanabllir. Akımın zamana göre üç gen, biçiminde değişmesi halinde f o = , l o l u r PS" gen eğrisinin dahilindeki her değişme İçin

/, > ı

LB> Lo> I m ı ı i > /.(¥>maj (U)

eşitsizliği, üçgen eğrisinin dışında bir akı zaman

/0

LB ;>

(12)

değişimi için eşitlızliği bulur. Burada birinci en düktans LB , manyetik karakteristiğin doğrusal kısmındaki sabit endüktansdır. Sonuncu endük tans ise, azami akıya tekabül etmektedir.. Akı zaman değişimi bir dlkdörtken şeklinde ise

(13)

elde edilir. Peryodik endüktans düşüncesi, ge nellikle doğrusal olmayan karakteristiklerde peryodik değişkenlerin fonksiypnu olarak verilen bütün büyüklüklere uygulanabilir. Bu şekilde manyetik geçirgenlik, direnç, kapasite [I], man yetik direnç ve iletkenlik peryodik büyüklükler olarak incelenebilir. .

bazı demir mıknatıslanma eğrilerini İyi ifade etmektedir.. Böylece elde edilen neticeler, genig bir pratik ehemmiyet arzetmektedir., Aşağıdaki hesaplarda bir üssü ile nitelenen. endüktanslar, karakteristiğin doğrusal kısmında elde edilen

JLn = W" —S

1W %

—_—•— J —_

Jr Yit f» // /

•

N\ L—

• • •••

.100

250 300 ] S0 % M 0

om

ŞeMl : 1 — Seçilen yaklaşık, denkleme göre man yetik karakteristiğin ve oranlanmış esas endüktans laTzn. oranlanmış ampersanmtn fonksiyonu olarak değişmesi.

sabit endüktansına oranlanmışlardır. Doğru akımda esas endüktanslar için

'F

W

&

'

Q W B

D

ı + F1» ' ' .

B

=: — = W2 2 W

A& ' &B dD

1+_J_F». . '

ı +mFm~* '

"' ( 1 Ö )

Endüktanslarm hesaplanması':

Endüktanslar üzerindeki ızahlan aydınlatmak için çeşitli endüktanslar, manyetik karakteris tiğin

D = F + Fm mit D = ^ , F = Ü. d*t üstel fonksiyonu olarak alınan yaklaşık denkle mi [4] ile hesaplanacaktır. Burada @ ve^, am persarımı ve manyetik akıyı, D ve F bunların oranlanmış değerlerini göstermektedir. îligkin oran büyüklükleri @B ve <£B , verilen manyetik karakteristiğin oran noktası koordinatlarıdır. Oran noktası, başlangıç teğeti ampersanmı ile demir ampersarımının eşit olduğu noktadır. Tec rübe göstermiştir ki seçilen yaklaşık denklem, m = 7 için alındığında (Şekil: 1), kolektörlü makinelerin, bilhassa doğru, alternatif ve ka rışık akım cermotörlerinin karakteristiklerini ve

ifadeleri bulunur. Seçilen inceleme tarzı sayesin de, bütün formüller sade bir şekil arzetmekte dir. Oranlanmış endüktanslar esas endüktans ların ve manyetik iletkenliklerin doyma derecesi olarak düşünülebilir, m = 7 için şekil 1 de, oran lanmış ampersarımın (veya akımın) fonksiyonu olarak ve Şekil : 2 de oranlanmış akının fonk siyonu olarak gösterilmişlerdir. Esas endüktans lar arasındaki bağlantı olarak, akı endüktansı nm fonksiyonu şeklinde yaklaşık denklemin üs tüne tabi şu bağlantılar bulunur.

Fm~ı = 4

LF (it)

m — (m — ı) i.^.

i m+ ı

Bu bağlantılar Şekil • 2 de m = 7 İQİn kesik çizgilerle gösterilmiştir.

bulunur. Mertebe büyüdükçe bu oranın süratle küçüldüğü görülmektedir. Harnıonık endiıktııns lanndan yalnız esas harzmonik endüktansı

m

(20)

\

ı lln ı ı +•

>m — 1 \ *>

///

\\\

rV / A / />k \

mevcuttur, zira manyetik akı başkaca harmonik arzetmemektedir. Şekil : 2 m = 7 için bu en düktansı akı genliğinin fonksiyonu olarak gös termektedir. Eğer manyetik akı

/ /,

\ f!\r Wİ F = Fx (sin x + k sin 3 x) mit k =

Cil)

biçiminde ise, esas harmonik endüktansı için

m = 7 ile bulunur. Akı genliğinin fonksiyonu ola

Şekil • 2 — Oranlanmış çeşitli endüktanslann oran lanmış akıya göre değişmesi Esas endilktanslar. L'c , L'c , L'd • Esas harmoni*, endüktansı ••£',. R£ âktans endüktansı : L'x • Kesintili eğriler esas en düktanslann akı endüktansma tâbi olarak değişme lerini göstermektedir.

rak eğrisi Şekil : 2 de gösterilmiştir. Üst har monik faktörünün incelenen k = 0...20% alanın da P,0 nın katsayısı 1 den küçük olduğundan. L'j doğru akımdaki akı endüktansmdan büyük tür. Manyetik karakteristiğin doğrusal kısmın

L[ = 1 (1 + f (5 21 k + 63 k* 75 k3 + 90 k* 30 A5 + 20 A6) Fi > L'F = 1/1 + Fi. ) ( 2 2

Alternatif akım için tatbikatta bir çok du rumda, manyetik akı sinüs biçimli farzedilebılir. Zorlanmış sinüs biçimli Pj sin x akısının yak laşık denklemde yerleştirilmesiyle ampersanm

da ise bu iki endüktans birbirine eşit olur. Şekil : 2 de ayrıca k = 0 için esas harmonik endüktan sından hafifçe fark eden

1)* (= )sin (m 2 A ) x

(x) =

olarak hesaplanır. Kısaltma maksadı ile burada faktoriyel katsayıları kullanılmıştır. Akım har moniklerınin genlikleri sırası ile artı ve eksi ol maktadır. Yalnız esas harmonik için bu netice genliğin doymadan mütevellit kısmı için geçer lidir z = m 2 k mertebesinden herhangi bir har

; = Xla> LB = VJto reaktans endüktansı, Fj in fonksiyonu olarak gösterilmiştir. 3 üncü mertebeden üst harmonik lerin endüktansı için

§ = 1 /1 + r ( 4 + 21 45 k + 90 k* 50 A3 + 60 h* 4 5

(24)

D3

•64 \ k

monığin genliğinin, esas harmonlğin doymadan mütevellit kısmının genliğine oranı rz için genel olarak ve m = 7 özel durumunda

elde edilir. Bu harmonik endüktansı sıfır, sonsuz, artı veya eksi olabilir. Ayrıca grafik yolla k = 25, 3 % için Da = Ft bulunur. Bu durumda

m = . 7 2: 1

(19) r. = ( 1)

A' (»1 A)!

O

1 35

bütün ampersarım sahasında L', = 1 çıkar. Daha yüksek akım harmonikleri için ilişkin harmonik endüktansları tanımlanamaz, zira bunlar için gerekli akı harmonikleri kabul mucibince mev cut değildir. Bütün bunlar harmonik endüktans ların fiziksel olmayan niteliğini göstermektedir.

önceki neticelerin çalışmada kullanılan yak laşık denklemle ifade edilebilen demir mıknatıs lanma eğrilerine uygulanabilmesi için, akı yerine manyetik alan yoğunluğunu ve ampersarım ye rine manyetik alan şiddetini koymak kâfidir. Muhtelif akım çeşitleri ile mıknatıslamada doğ ru akim karakteristiğinin, alternatif akımda esas harmonik karakteristiğinin ve karışık akım da ortalama değerler karakteristiğinin

aFm

(25)

basit üstel fonksiyonu ile kesintisiz olarak ifade edilebilmesi bilhassa ilginçtir. Burada doğru akım açin a = 1, alternatif akım için a<^l ve karışık akım [2] için a \ . l olur.

Karışık akımda muhtelif endüklanslar [2] de hesaplanmıştır. Bu çalışmada m = 7 için yalnız peryodik ters diferensiyal endüktans hesaplana caktır. Ters eııdüktansın alınmasının sebebi, akı Ri nın müstakil değişken olmasıdır. Sözü geçen büyüklük için (26) denklemi bulunur. Şekil : 3, parametrenin birkaç değeri için, elde edilen eğri leri göstermektedir.

Peryodik ters endüktanslar evvelce literatür de kullanımıştır. Fakat onların bir kavram ola rak önemleri ve yalnız başına mevcudiyetleri an

şeMl : 3 — Peryodik ters di/erensival erulüktansntn (1) zamana göre değişmesi ve ilişkin ortalama değerler (2).

a eğrilerinde : Fo = 50%, w — 20% ö eğrilerinde : Fo = 80%, w = 10% o eğrilerinde : Ft = SO%, w = 20% değerleri ktıl lanılmıştır.

yapılmaktadır. O incelemede mevcut bazı küçük hatalar dolayısıyla, öz ikaz burada kısaca ince lenecektir. Generatör olarak çalışmada hasıl olan öz ikaz akımları d i cc ıııı —— AXQ'n ™R , , (31)

mevcut akıma eklenir. Bu ifadelerde L maki nenin sabit endüktansını (kaçak endüktans ve yardımcı kutup endüktansı), R bütün makine di rencini ve L esas kutup diferensiyal endüktan sını gösterir, öz ikaz akımının hasıl ettiği doğru

Â'D = ılL'D = ı + 7 f 6 F = Fo •+ Fx sın x = F n (ı + w sın x) iv = 0 , / 0 o

7.5 w8 + — w4 + — wG\ + 3 w (2 + 5 «•'• + * . 2 5 w*) s ı n x

(26)

— 7,5 w211 + iv2 + — w4\ cos 2 x — 5 ro3 ( ı + — w2} sın 3 x

4. A w* (5 + 0,5 îe»8) cos 4 x + — w5 sın 5 x — w6 cos 6 x

laşılmamıştır. [5] te seri kolektörlü makinelerde şebeke frekanslı akımla hasıl olan Ön mıknatıs lanmanın, öz ikaz üzerine tesiri incelenmekte dlr (Bu inceleme [6] ya da alınmıştır). Burada ters diferensiyal endüktans, manyetik karakte ristiğin doğrusal kısmındaki tanjantın çalışma noktasındaki tanjanta oranı olan bir «yardımcı büyüklük» olarak düşünülmektedir. Elde edilmesi de verilen manyetik karakteristikten grafik yolla

akım ön mıknatıslanmasında peryodik ters di ferensiyal endüktans

m — 1,3

n

«=

2,

(28)

bileşenlerine sahiptir, ön mıknatıslanma olmadığı zaman, sinüslerimleri ortadan kalkar, ön mik natıslama olmadan tatbik edilen sinüs biçimli Ft sin X akısı durumunda kosinüs terimleri için, g enel ifadede sınır durumuna geçilerek,

^D~ = 1 + 7 Ff {

cos 2 x + — cos 4 x —^ cos 6 x\ . (29)

bulunur. Basitleştirme olsun diye L, = 0 alınır sa, öz ikazın doğmasını önleme şartı olarak

cn—

<

(30)

bulunur, zira soldaki kısım akımın üstel genliğini tayin eder. öz ikazı önleme şartının peryodik ters diferensiyal endüktans tarafından kapsandığına dikkat edilmelidir. Şebeke akımı ile ön mıknatıs lama olmadığında, öz ikazın manyetik karakte ristiğin doğrusal kısmında remanens akısı ile doğduğu durumu

en — R<

(31)

şartına göre, bütün direnç ters endüktans orta lama değeri kadar büyılmüş gözükmektedir. Böylece sabit donmehızında, öz ikaza mani olan kritik direnç, endüktans ortalama değeri kadar küçük alınabilir. Görüldüğü gibi, doyma öz ikazı önlemek için elverişlidir. Bu açıklamalar peryodik endüktans kavramının fiziksel önemini göstere bilir. [5] te incelenen durum için bulunan ne ticeler aşağıda evvelâ yazılmış ve parantez içinde buçalışmanın hesaplanan neticeler ile aynı manye tik karakteristik için hesaplanan neticeler ilâve edilmiştir.

Fo = 0,40, w = 1,6, X'DO = 3 °

\'nı = 3,5 (3,1)

(32)

L5] te muhtemelen grafik yolla hesaplanmış ol masına rağmen; neticelerin birbirini tutması memnuniyet vericidir.

LİTERATÜR

[1] CETIN, I.: Kapazltât von nichtlinearen Kondensatoren bel Gleich Wechsel und Mischspannung. ETZ A 85 (1964) S. 58 59 u. 266 272.

[2] CETIN, I.: Pelddurchflutung und Peldha uptinduktivitat bel Mischstrom Triebmoto ren. ETZ A 85 (1964) S. 501 506.

[3] HEILES, F.: Uber die Magnetisierung des Dreiphasen Kerntransformators. Arch. E lektrotechnik 28 (1932) S. 693 709.

[4] FISCHER, J., u. H. MOSER : Die Nach bildung von Magnetisierungskurven durch eınfache algebralsche öder transzendante Funktionen. Arch. f. Elektrotechnik 42 (1956) S. 286 299.

[5] LEONHARD, A.: Allgemeines Verfahren für die Klarung der Selbsterregungsbedin gungen bei elektrisehen Maschinen. Arch. Elektrotechnik 36 (1942) S. 201 220.

[6] RICHTER, R.: Elektrlsche Maschinen, Bd. V. Berlin : Springer 1950.

İLAN

Batman Bögle Müdürlüğümüzde alçak gerilim şebekesi ve elektrik motorları işleminde çalıştırılmak üzere 35 yaşmı doldurmamış, askerliğini yapmış, tecrübeli Elektrik Y. Mühendisi veya mühendisleri alınacaktır.

İsteklilerin müracaatları ilân olunur.

TÜRKİYE PETROLLERİ A.O. GENEL MÜDÜRLÜĞÜ