VARİYOSYONEL PRENSİPLERLE TOPOLOJİK DURUM DENKLEMLERİNİN MODELLERİ

TTDK : 519.8:621.3.01

Varîyasyonet Prensiplerle Topolojik Durum Denklemlerinin Modelleri

Dr. FRANK J. EVANS Unlversity of London England

Dr. NECDET ŞEN Karadeniz Teknik Üniversitesi

ÖZET Bu yazıda Millar teoremi kullanılarak, genelle ftirilmiş bir lineer devrenin durum modelinin topolojik olarak daha çabuk elde edilişi gösterilmiştir. Aynı zamanda durum modelinin, doğrudan doğruya verilen devreye bakılarak gözlem yolu ile elde edilmesinde kullanışlı olan bir Matris-ifaret akışı diyagramı modeh verilmiştir.

SVHMART in this paper a faster topological determination of the state model of a generalised netmork hat been derived from Millar's theorem. Also a Matrixsignal-floıo graph model is given which is< useful in obtaining the state model by inspection from the given netıoork.

Kullanılan gösterilimler :

G,J

Vb

B,Q p, s —s —s _ı ±

'

Düz ve ters genel - güç fonksiyonları

Eleman akım ve gerilimleri vektörleri îki vektörün iç çarpımları

Topolojik çevre ve kesit matrisleri

Pasif elemanlar ve kaynakların gösterilimleri

Kaynak akım ve gerilim vektörleri

: Akün ve gerilim kaynaklan vektörlerl

ss, sns, nsns : Durum ve durum olmayan elemanlarından yazılan empedans ve adnütans matrislerinin gösterilimleri

L, C : Pozitif - definit endüktans ve kapasitans matrisleri

— L ' 0 + ) , — c ( ° + ' : Endüktans ve kapasitanslardaki başlangıç değerleri vektörleri

1,2: Bağ ve dal elemanlarının gösterilimleri.

S : Variyasyon gösterilimi

KGL, KAD : Kirchhoff un gerilim ve akım denklemleri

GİRİŞ

Her nekadar, genel tip ıbir lineer devrenin matematik durum modeli, topolojik metotlar kullanılarak [2, 3] elde edilmişse de, bu işlem devrenin lineer grafuuü bag ve daUarjı arasındaki

Elektrik Mühendisliği 170

topolojik alt-dinamik transformasyon ve diğer parametre matrislerinin [3] elde edilmesi oldukça uzun sürebilir. Bu uzun ve karışık işlemler referans [5] de gösterildiği gibi gözlem, yolu izlenerek, parametre matrisleri yazılmaksızın işaret akışı diyagramları kullanılarak elde edilebilir. Bu yazıda, bu iş, matris-lşaret-akıgı diyagramları kullanılarak daha sistematik olarak yapılmıştır. Böylecfe verilen bir devreden sistem denklemleri yazılmaksızın devrenin istenilen modeli bulunmuş, olacaktır. Biz burada sistem teorisinde çok uygun olan «durum modeli> ile ilgilenmekteyiz.

Millar sürekli kararlılık teoreminden [1] :

O G\A>J = 0

. . . ( l a ) : çevre formu

=0

... (lb): kesit formu

yazılabilir. Burada G ve J Millar anlamında tanımlanabilecek düz ve ters genel - güç fonksiyonlarıdırlar. Bu teoremin kullanılması ile ve bazı variyasyonel prensiplerin uygulanması [4, 6] ile gösterilebilir M:

... (2a)

(3b)

Bu denklemlerin klâsik devre teorisindeki KGD ve KAD oldukları açıktır, gevre ve kesit tipinde yazılmış, olanlarıdırlar Burada G(_Lb) ve JCüb ) £ÜG boyutunda olan skaler fonksiyonlar olup lineer durumda :

ve bunun duali de :

... (5b)

J =G =

... (3)

Diğer taraftan topolojik çevre ve kesit transformasyonları :

4 -14 ... (4)

(3) ve (4) bağıntıları pasif ve aktif elemanlara

göre aşağıdaki gibi yazılabilirler:

... (5a)

G=

olarak yazılabilir. Bu fonksiyonlar yeniden durum ve durum - olmayan değişkenler ve kaynaklar cinsinden (6a) daki gibi yeniden yazılabilirler. Burada,^i ve nnss~~•~~11 pp durum akımları (bağ indüktansı akımları) ve pasif durum - olmayan eleman akımları, z , z , z bu akımlara kargılık olan çesvsr—emempsensd—amnslanrsınsv—emZ.s de kaynak akımlarına kargılık olan çevre empedans matrisleridirler. Yine (6) nın düali olan ters genel güç fonksiyonu J, (6b) deki gibi yazılabilir.

pBausriaf deal,e_m^2acnvelara!_?a l t

durum ve durum - olmayan olan eleman gerilimleri vektörleridirler. Yine Y Y Y bu gerilimlere

83—n .sns—n nsns—n karşılık olan kesit admitanslan ve Y_e gerilim kaynaklarına kargılık olan admitans matrisleridirler.

(2) bağıntıları yardımı İle (6a) ve (6b) deki fonksiyonların gradyenlerlnden (7) deki gibi ortak bir vektör yazılabilir.

nail

z ss—m

sns—Zm nsns—Zm

(6»)

s s —Yn s n s —Yn*

Y snb-n nsns—Yn ns~2p

... (6b) Elektrik MUhendlsllgl 170

Laplace transformasyonu kullanılarak (7) denkleminden sisteme karşılık olan matris-işaret - akışı diyagramı modeli [6] bulunabilir ki böylece sistemin başlangıç değerleri de bu modelin içersinde birer kaynak "elemanı özelliğinde olarak yer alırlar. Şu modelde (7) denkleminin iki sınıf pasif bilinmeyen değişkenleri «durum» ve «durum - olmayan» pasif değişkenler olarak :

I2CU)

Bununla beraber kaynak akımlarına karşılık olan çevre denklemleri ve gerilim kaynaklarına karşılık kesit denklemleri matris bölümlemeleri ile (7) den eksiltilebillrler ve böylece sistemin serbestlik derecesi azaltılmış olur. Ne var ki diğer denklemlerde kaynakların etkisi kaynak elemanlarının özelliğini taşır ve sistem denklemleri içersinde kalırlar [5]. Bu etkiler matematik sistem modelinin kaynak terimine girerler ve matris-Işaret-akışı diyagramında ise geometrik olarak bir matris-transmitans olarak görülür. Bütün bu özellikleri sistemin matematik modeli (7) den topolojik olarak (8) deki gibi yazılabilir. Mason anlamında İşaret - akışı1 yönünden ifade (8) deki gibidir.

Böylece (8) denklemine karşılık olan matrisişaret-akışı diyagramı şekil 1. deki gibi elde edilir. Bu diyagramda dalma İki öz-transmitans, bir başlangıç değerleri vektörü, bir kaynak vektörü bulunur. Bağımlı kaynaklar bu diyagramda ilk olarak bağımstemrş gibi yerleştirilir ve sonradan kontrol katsayıları bir matris-transmitans olarak pasif elemanlara bağlanır, örnek : Şek. ldeki görülen devreyi aldığımızı düşünelim. Görüldüğü gibi bu devre bir öz-kapasitiv çevre, bir öz-indüktiv kesit, bir bağımlı kaynak ve karşılıklı indüktans bulundurmaktadır. Devrenin durum-ağacını görüldüğü gibi kalın çizgilerle belirterek (8) denkleminin ardından (9) denklemini yazarız.

Böylece denklem (9) dan faydalanarak sistemin matris-işaret-akışı diyagramı Şek. 2 de görüldüğü gibi modellendirilebillr. Bu diyagramın şeklinin tekil olduğunu daha önce belirtmiştik. Dolayısı ile, Şek. 1 ve 2 nin karşılaştırılmasından görülebilir ki verilen devrenin veya devre analojisi yapılabilen bütün dinamik sistemlerin [6] grafından kalkarak durum denklemleri topolojik olarak bulunabilir. Böyle bir yol devre denklemlerini yazmaksızın devrenin doğrudan doğruya matris-durum-isaret-akışı diyagramının gözlemle çizilmesinde [5] faydalı olur. Bu yazıda her nekadar lineer sistemler İçin bir metot verilo sns-2İP

-2CİB

V

Z(s)

—2dlp O

<S9.-JnC>)+ı)

Z.

-Q- s

-e

Elektrü: MOhenûlallğl 170

Iı s ~" ... (8)

nilğse de enerji-durum fonkslyonlan ve varlyasyön prensipleri kullanılarak lineer olmayan dinamlk sistemler içln.;uygulanabUlr ,.[4, 6 ] .

o•

oı

. lf

b•

-I

Y5(s)

1 •' C s ( L 4 - L 5 4 ) + l ) , O

•O

..(sP-j+İ)

(s)

"3

- 1 J(s)

.5» s(l5-Lz °

s

-L.

V8)

... (9)

22,

Elektrik Munendlslıei-17.0,

z<

^\

ŞBKtL 1

KaynafclarTv

[1] W. Mülar, 'Some general theorems for nonllnear systeîns possesinj* reslstance', Phil. Mag., 13, p'p.5'1150-61, oâober, 1951.

[2] P. R. Bry'ant, 'The topology and algebra of

" "•y.'İrectrical networks', THTKV Monograph No.

^

1960.

[3] ~E. S. Kıih-R. A. Rohrer^The State.varlable approach to network analysls', Proc. IEEE, Vol. 53, 7, July 1965. '

[4] F. J. Evans - D. L. Jones - N. Şen, 'Canonlcal formulatlons of variational principles

İn non-conservatlve networks', 13 th west Symposlum on Circuit Theory, University of Minnesota, Minneapolls, May 7-8, 1970, U.S.A. •

[5] N. Şen, 'Genel tipten lineer elektrik devrelerinin durum denklemleri ve topolojik çözümleri, TÜBİTAK 1. Bilim Kongresi, 4-6 Ekim 1967, Ankara Üniversitesi ve Bayındırlık Bak. «Bayındırlık işleri Dergisi», Sayı, 44-8, 9, sayfa, 32-38.

[6] N. Şen, 'Ph. D. Thesla', October 1970, UnL versity of London, Q.M.C. England.

SÎMTAŞ

Seri İmalât Sanayii SABİT DİŞİ FİŞ Per. Sat. Fi. 60 kr5.

PK. 696 Karaköy-lst.

SİMTAŞ

Seri İmalât Sanayii DELİKLİ PABUÇ Per. Sat. Fi. . ^ e ^ 165 kr;

^ ^ r Seri İmalât Sanayii BÜYÜK FİŞ BANAN Per. Sat. Fi 250 krj, DİŞİ FİŞ) 200 krjj

^SÎMTAŞ

^ I ^ F Seri İmalât Sanayii KONİK BORN KLEMENS Per. SM. FI. 295 krj.

P.K. 696 Karakîy-lri.

SIMTÂŞ

Seri İmalât Sanayii FİŞ BANAN Per. Sat. Fi. 90 kr;.

P.K. 696 Karaköylst.

^ ^ r Seri İmalât Sanayii SİNYAL Per. Sat. Fi 125 kr}.

* P.K. 696 Karaköy-lst.

(E. M. — 449)

Elektrik Mübendlsiıei 170