FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLERİN KARAKTERSEL ANALİZİ ÜZERİNE NOTLAR

Y ASAR ERSOY

UDK: 53.081 : 621.317.6

ÖZET

Fizik yasalarının uyacağı kurallar açıklandıktan sonra Dr.Gürmen'in "Fiziksel Büyüklüklerin Karak tersel Analizi" yazısı hakkındaki bazı görüşler belirtilmiştir. Bir kuvvetin momenti ile işin farklı boyutta oldukları, Dr.Gürmen'in vektör bö lümünden (\) yararlanarak yaptığı sonsuz küçük alanın vektör, basıncın skalar olduğu, vb. ise bölme (\) işlemi yapılmadan gösterilmiştir.

SUMMARY

The rules that eguations in physics obey are stated, then some comments on Dr.Gürmen's paper called "Characteristic Analysis of Physical Ouantities" are pointed out. it is shown that moment of f e r c e and work have different dimen sions, and inf in i t es imal area, pressure, ete. are vector, scalar, respectively without using reciprocal vector (divison of vectors) as that Dr.Gürmen done.

Sayın Dr. H.Gürmen'in, fiziksel büyüklüklerle i l g i l i bağıntılar yazıldığında terimlerin boyut bakımından aynı olmaları yanışıra, skalar, vek tör,... (yazarın deyimi i l e aynı karakterde) olmaları gerektiği gerçekte de öyle olup, bence yeni değildir. Bu durumu daha açıklayıcı olması bakımından fiziksel büyüklüklerin tanımında ve fizik yasaları gösteren matematik bağıntılarda uyulan kuralları şöyle sıralayacağım:

1 Fizik yasaları büyüklükler arasında o tarzda yazılmalıdır ki, bu yasalar gözlemciye bağlı olmamalıdır. Bu, görelik kuramının (relativite teorisi) kurallarından biridir, örneğin Nevton mekaniğindeki yasalar Galilei grubu dönüşümü altında, Maxwell denklemleri ise Lorentz grubu dönüşümü altında invariant'tır (biçim bakımın dan değişmezdir). Bu kurala göre her ikisinin de aynı olması gerekir ve A.Einstein mekanikteki yasaları değiştirerek invariant şekle sokmuştur.

2 Fiziksel bir büyüklük eksiksiz tanımlanmışsa,

bir fizik yasası doğru yazılmışsa, e ş i t l i ğ i n her

iki yanındaki terimlerin boyutları aynı olmalı

dır. Bu kurala fiziksel büyüklüklerin "boyut

bakımından homojen olma" kuralı denir. Eğer Lj.,

Lj, L^ sıra i l e i, j, k doğrultusundaki uzunlu

ğun boyutları; Mç ve Mg eylemsizlik ve gravi

tasyon (ver çekimi) kütlesinin boyutu, T zaman,

8 sıcaklık, Q elektrik yükünün boyutu ct3,Bı,B2,Y>cf»l$ rasyonel sayılar ise

ve

aı,a2,

Yaşar Ersoy, öğretim Görevlisi, ODTÜ

D=

.aı

V

Bı B

M*2

T^ 0 0 Q6

}

(D

kümesi bütün fiziksel büyüklüklerin boyutlarının oluşturduğu kümedir. Bu kümenin öğeleri Abel gru bu özelliğini sağlar ve bu kümenin doğurucu öğe leri

D*=

(2)

dir. Bu durumda her fiziksel büyüklüğün diğer bir fiziksel büyüklükten farklı bir boyutu var dır.

3 Fiziksel büyüklüklerin tanımında, fizik ya salarında, bir terimin çarpanlarında farklı mer tebede ve tipte tansörler (gerçek ya da psödo skalar, vektör, iki ve daha yüksek mertebeden tansör) olabilmesine rağmen, eşitlikteki her te rimin aynı mertebe ve tipte tansör olması şart tır. Bunun nedeni ise, n boyutlu uzayda

ix = det(Qij) = det(Q) = ±1

j=l,2

n)

(3)

gibi bir koordinat dönüşümünde, mertebesi q o lan Fijk,.. diye adlandırabileceğimiz bir fi m ziksel büyüklüğün uygun bir biçimde dönüşmesi dir. Şöyle ki, koordinat dönüşümünde

Qjs

Qmu Frs« • u

(4)

dir. Eğer ? gerçek bir tansör ise N=0, psödotan sör ise N=l dir. Bu dönüşüm eğer cismin yapısın daki simetri öğeleri (bunlar matrislerle göste rilir) ise bünye yasasındaki cismin özellikle' rini belirleyen tansörse kendisine dönüşür, ör neğin, izotrop olmayan bir malzemede dielektrik değişmezin sıfır olmayan 6 tane (belirli şart larda) değişmezi varken, kübik ve izotrop cisim de 1 tane,_trigonal, tetrogonalde 2 tane, mono klinikte 4 tane değişmezi vardır.

Diğer bir örnek ise koordinat takımının X£ den Xj ye dönüşümünü sağlayan

1 00

01 0

(5)

0 01

de "del" operatörü V+ V ( £. + "

) biçiminde

9x£

dönüşür. Marvrell denklemleri bu dönüşüm altında

değişmezler. Bunun nedeni ise elektrik alanının

bir gerçek vektör, magnetik alanın da bir psödo

vektör gibi dönüşmesindendir.

4 Hem alan denklemleri, hem de bünye denklem leri zamanın t •+ t ye dönüşmesi ile değişmez ler. Bunun nedeni ise büyüklüklerin işaret de ğiştirmesinin, psödo ya da gerçek tansör olma larına ve cismin magnetik yapıya sahip olup ol mamasına bağlı olmasıdır. Örneğin tüm magnetik vektörler t *• t dönüşümünde işaret değiştirir ler.

Şimdi bu açıklamadan sonra Sayın Prof. Günnen'in yazısının ilk paragrafındaki "enerji ve bir kuv vetin momenti aynı boyuttadır" sözüne dönersek, bunun fiziksel büyüklüklerin boyutuna çok basit bir yaklaşımda doğru olduğunu, gerçekte yanlış olduğunu görürüz. Eğer enerji ve bir kuvvetin tanımlarına dikkatlice bakılırsa (ilki iki vek törün skalar çarpımı, ikincisi vektör çarpımı), (1) denklemi kullanılarak, köşeli ayraç içinde ki terim büyüklüğün boyutunu göstermek üzere,

[iş]= [enerji]= L T" (i üzerine toplam yok)

(6.a)

[kuvvetin momenti] = LjLjMgT

(6.b)

bulunur. Böylece bu farklı iki büyüklüğün bo yutlarının birbirinden farklı olduğu görülmek tedir.

Prof. Günnen'in yazısından anlaşılan amaç, fi ziksel büyüklüklerin tanımlarından yararlanarak bu büyüklüklerin skalar, vektör ya da tansör olup olmadıklarını saptamak, eğer vektörse doğ rultusunu belirlemektir. Bunu yaparken kullanı lan matematik yöntem iee iki vektör büyüklüğün bölümü (!) olup, bunlar kullanılarak fiziksel büyüklüklerin bazılarının tanımlarında sınanmak tadır. Bu ise matematik yönü ile yapılan cebir sel işlemlere geometrik bir anlam vermeye yöne l i k t i r . Bu konu temelde geometrik cebirle i l g i li olup, konu fizikçi ve mühendisleri ilgilen dirmekten çok matematikçileri de ilgilendirmek tedir, tik önce konu matematik olarak ele alın malıdır ve daha sonra fiziksel uygulamalara ge çilmelidir. Bu konuda kendimi yetkili görmedi ğim için, ancak şunları kısaca belirtebileceğim.

Bilimin tarihsel gelişimi içerisinde fizikçile rin ihtiyacını karşılamak ve karışık zorlukla rı yenmek için zaman zaman Grassmann ve Hamil ton'la başlamak üzere birbirinden farklı geo metrik cebir kurulmuş ve geliştirilmiştir, ör neğin 19. yüzyılın sonuna doğru J.W.Gibbs, Grassmann'in çalışmalarından, Hamilton'un quaternionlarındaki fikirlerden yararlanarak vektör hesabını 3 boyutlu uzayda formülleştir miştir. Vektör cebiri en çok kullanılan bir ma tematikken, Einstein'in özel görelik (relativi te) kuramı için dört boyutlu uzay zaman sürekli ortamında (four dimensional space time continu um) yeni geometrik cebire gerek duyulmuştur. Bu gereksinim de tansör cebiri i l e giderilmiş olup, tüm vektörlerle yapılan işlemler kolaylık la tansörlerle yapılmıştır. Çok geçmeden elekt ronun spini için yeni bir cebirin gerektiğini Pauli önermiş ve Pauli matris cebiri kurulmuş tur. Hemen sonra ise Dırac nem spin hem de özel görelik kuramını kapsayan yeni bir geometrik cebir kurmuştur.' Şimdi bile bu konularda bazı hesapları daha kolaylıkla yapmayı sağlamak için uğraşmalar ve araştırmalar devam etmektedir (Örneğin çok vektör multivektör cebiri i l e uğ raşanlar var).

Benim bildiğim kadarı i l e "quaternion"lar için bölme işlemi tanımlanmış olup, diğerlerinde böy le bir işlem yoktur. Sayın Günnen'in bu yazısı,

Boğaziçi Üniversitesi Dergisinde, Cilt 1, s. 159 166, 1973'de yayınlanan "ters vektör" le çok yakından ilgili olduğu için, başlangıçta o ya zının tartışılması gerekir. Örneğin ters vektör ler cebiri, bilinen vektör cebirine mi uymakta, yoksa kendi başına yeni bir şey midir? Vektör leri de kapsamı içerisine alan tansörler için bölme ya da ters tansör diye birşey yoktur, an cak karematris olarak gösterilirse tersi hesap lanabilmektedir.

Şimdi sonsuz küçük alanın, vektörlerle ilgili bilgimizden yararlanarak, vektör bölümü (!) yap maksızın, bir vektörle gösterildiğini açıklaya lım:

il t Î2 ve 13 sıra ile Xı, X2 ve X Descartes 3 koordinat eksenlerine paralel birim vektörler olsunlar. Xı ve X2 doğrultusundaki şiddetleri (dxı) ve (dx2> olan iki sonsuz küçük vektör

(dxı) Ij ve (dx ) I

dir. Bu iki vektörün oluşturduğu sonsuz küçük alan, ikisinin vektör çarpımı olan

yani dir.

(dxı) (dx ) Iı x I

da (dxı) (dx ) I

s

(7)

Diğer bir deyişle, (dxı) Jı ve (dx2> Î2 nin o luşturduğu alan bu iki vektöre dik {3 doğrultu sunda ve şiddeti (dxı) (dx2) dir.

Yazarın 2. örneğinde hidrostatik basıncın skalar olduğunu (7). denklemden yararlanarak gösterebi liriz. Bir sıvıya daldırılmış bir cismin d£ a l ° " m üzerine etkiyen dF kuvveti da ile orantılıdır, yani

dF, a da

dersek, seçilen bir katsayı ile

dF = p(da)

(8)

yazılabilir, n, da yönündeki birim vektörü gös termek üzere (8) denklemi dF= p(da)n diye yazı labilir. Eğer her iki taraf n ile skalar çarpı lır Ve n.n=1 olduğuna dikkat edilir ve sonra da her iki""taraf (da)ya bölünürse

(dF).n (9)

dâ

elde edilir. (9). denklemde p, da ya dik doğrul tuda birim yüzeye etkiyen kuvveti gösterir ki, tanımından akalardır. (.Akışkanlar mekaniğinde, Navier Stoke denkleminde skalar olarak kullanıl maktadır ve hiç bir yerde vektördür diye işlem yapılmamaktadır)

Şimdi A. ve 5. örneklere dönelim. Prof. Gürmen

lim rot £ =Aa+O

lim )= Aa K) Aa

) na

yazmakta. Eğer j(? mertebesi en az bir olan tansör büyüklük (eğer 1 ise vektördür), n de da yüzeyi ne dik doğrultuda birim vektörse, yukarıdaki "rot" eğer

•ds

(10)

olarak tanımlanırsa, hem vektörleri bölmemiş(!) oluruz, hem de her iki yanda aynı mertebeden iki büyüklük elde ederiz (s|j nin gerçek ya da psödo vektör oluşuna göre psödo ya da gerçek skalar elde edilir). Şöyleki, rotij; nin mertebesi ^nin kine,n ve ds ninki de, vektör oldukları için, birbirine eşittir ve Aa da psödo skalardır.

it büyüklüğünün diverjansı içinse, tanımından

. _ lim 1 *.,._,.

Av K) Av

(11)

yazılır. (11) .denklemde sağ yanda \j) i l e n skalar çarpımı olduğu için mertebesi 1 azalmıştır ve div£ nin mertebesine e ş i t t i r . Eğer ty bir vektör ise divıjj nin mertebesi 1 1=0 olup $ nin tipinde bir skaîardır.

(3). örnekteki yüzeysel yük yoğunluğunu vektör olarak göstermek isteniyorsa, şu şekilde göste rilebilir, phacimsel yük yoğunluğu ise, sonsuz küçük dV hacmindeki dQ toplam yükü

dQ = pdV

(12)

dir. dV hacmi, X^X2X Descartes koordinat takı 3 mında (7). denklemden yararlanarak

dv= (da )«I (dx )

= (IıxI ).I (dxı)(dx )(dx )

(13)

= 1(dxı)(dx )(dx )

olarak yazılır. (13). denklemi (12) de yerine ko yarak

dQ= (IıXl2)(d )(dx ) • (pl dx )

Xı

yazılır. Eğer

0= pI (dx )

(14)

(X doğrultusunda bir vektör) olarak tanımlanır 3

ya da

dQ=

= g.n da

da

(15)

dir. Buradan, sağ tarafın bir skalar. dolayısıy la g.n nin de bir skalar olduğu görülmektedir. Bu ise o nin bir vektör olduğunu gösterir.

Bunlara benzer işlemlerle, örneğin sonsuz küçük bir açının bir vektör olduğunu (klasik mekanik te o tarzda kullanılır), diğerlerini ve başka büyüklükleri de (3). kurala uyacak şekilde vek tör bölümü (!) kullanmaksızın göstermek mümkün dür.

Kısaca fiziksel büyüklüklerle yapılacak matema tik işlemlerde o fiziksel büyüklüğün mertebesi ni ve tipini bilmek ve yazılacak denklemlerin doğru olması için buna dikkat etmek gereklidir.