FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLERİN KARAKTERSEL ANALİZİ

FİZİKSEL BÜY ÜKLÜKLERİN KARAKTERSEL ANALİ Zİ yeni bir yöntem

HALDUN GÖRMEN

ÖZET

Karaktersel analiz fiziksel büyüklük ya d* kav ramların vektörel ya da skalar karakterlerini belirlemeye yarayan ve ilk kez yazar tarafından ileri sürülen yeni bir yöntemdir. Bu yöntem, vektörle bölmenin tanımının yapılmasını gerek tirmiştir. Aşağıda yöntem açıklanmakta ve uygu lama örnekleri verilerek da, gibi bir açı elema nın vektörel, hidrostatik p basıncın skalar ka rakteri ortaya konmakta ve başka örnekler de ve rilmektedir.

UDK: 53.081 : 621.317.6

SUMMARY

Character analysis is a method which is useful in determining whether a given quantity is a scalar or a vector guantity/ which is proposed for the first time by the author. The method necessitates that division by a vector be defined. The article introduces the method and describes it through certain examples and shovrs, for example, that the differentıal angle da is a vector guantitiy and the hydrostatic pressure p is a scalar.

GÎRÎŞ

Boyutsal analizin, fiziksel olayların incelen mesinde oynadığı rolün önemi bilinmektedir. Bu. güne kadar üzerinde durulmayan bir husus ise fi ziksel büyüklük ya da kavramların boyutlarının yanı sıra bir de vektörel ya da skalar olma ka rakterlerinin bulunuşudur, örneğin enerji ile bir kuvvetin herhangi bir noktaya göre momenti boyut bakımından denk olmakla birlikte birinci si skalar ikincisi ise vektörel büyüklüklerdir.

Kuvvet, hız, enerji gibi bazı büyüklüklerin ka rakterleri hakkında genellikle doğru fikir sa hibi olunmakla birlikte çeşitli fizik konuların da yazılmış bulunan kitap ve makalelerde bazı belirli büyüklük ve kavramların karakterleri ya zar larca değişik olarak alınmakta ve bu yüzden bazı işlemlerde, deneylerin verdiği sonuçlara varabilmek için zorlamalar yapılmaktadır.

Karaktersel analiz, fiziksel bir büyüklük ya da kavramın tanımlama ifadelerinden kalkılarak o büyüklük ya da kavramın vektörel ya da skalar o luşu hakkında kesin kanıya varılmasını sağlama yöntemidir. Bu yöntem herhangi bir tanımlama ifa desine giren büyüklüklerin payda olsun paydada olsun vektörel ya da skalar karakterlerinin daha baştan itibaren gözönünde bulundurulması esasına dayanmaktadır. Bu esas ise vektörel bir büyüklük ile bölmenin tanımlanmasını gerektirmektedir. Karaktersel analiz metoduna yapılan itiraz, vek törle bölmenin tanımlanmamış olduğu hususu idi. Artık bugün bu tanımlama yapılmış olduğundan (Boğaziçi üniversitesi Dergisi, Sayı 1, sayfa 159 ve ötesine bakınız) karaktersel analiz yön

Haldun Gürmen, Prof., Boğaziçi Üniversitesi *Su sayımızda bu gazıyla ilgili olarak Yaşar

Ersoy'un notlarını da yayınlıyoruz.

Elektrik Mühendisliği 222

temi, bu tanımlama sonuçlarına dayanılarak aşa ğıda açıklanmıştır.

Vektörle Bölme:

B = BuB gibi bir vektörün tersinin

îB

B2

olduğu yukarda adı geçen yayında gösterilmiştir. Yine aynı yayındaki makalede varılan sonuçlar, karaktersel analize temel oluşturduklarından a şağıda özet olarak verilmişlerdir.

• •• =

'" U~o —

±D

\±/

Yani S skalarının B vektörü ile bölümü, B vek törü doğrultusunda bir vektördür.

2 t gibi iki vektörün bölümü:

a) A ile B nin aynı doğrultuda olmaları halinde

A =S

(2.a)

gibi skalar bir büyüklüktür. b) A i l e î nin birbirlerine dik olmaları halinde

(2.b)

Bx gibi hem A ve hem de B ye dik olan vektörel bir büyüklüktür.

c) A ile ~B nin gelişigüzel doğrultuda olmaları hal inde

gibi bir T tansörüdür.

(2.c)

Uygulama

Fiziksel bir büyüklük ya da kavramın karakterini belirlemek için o büyüklük ya da kavramın tanım lama bağıntısına baş vurulur ve bu bağıntıdaki büyüklüklerin karakterleri b e l i r t i l i r . Karakter lerin belirtildiği bu ifadelere yukarda madde 1, 2(a,b,c) de açıklanan sonuçlar uygulanarak tanı mı yapılan büyüklüğün karakteri bulunur.

örnek 1. da düzlemsel açı elemanınxn ri karakterinin belirlenmesi:

da düzlemsel açı elemanı ds da= R bagutısı ile tanımlanmaktadır. R yarıçap, ds de yer değiştirme elemanı olduklarından doğrul tu kabul eden, yani vektörel büyüklüklerdir. Şu halde ds da= t yazılabilir. Ancak tanımlamaları gereği ds ile R birbirlerine dik vektörler olduklarından yukar daki (2,b) ye göre

dF

P= dA

yazılabilir. dF ile dA doğrultu kabul eder bü yüklükler olduklarından vektörel karakterdedir ler ve aynı doğrultudadırlar. Yukardaki (2.a) ya göre dF_ P=

olduğundan p hidrostatik basıncı skalar bir bü yüklüktür. Bu sonuca

dF = pdA ifadesinde dF i l e dA nın aynı doğrultuda vek törler olduklarından p nin skalar olması gerek t i ğ i düşünülerek de varılabilirdi.

örnek 3. Yüzeysel e l e k t r i k yük yoğunluğu nun k a r a k t e r i n i n b e l i r l e n m e s i :

Yüzeysel yük yoğunluğu, b e l i r l i bir AA yüzey elemanında bulunan AQ yükünün bu yüzey elemanı na oranının limiti olarak tanımlanır.

limit a = AA+0

_2_

Bu bağıntı, AQ skalar, AA ise vektörel bir bü

yüklük olduğundan AA yüzeyine dik birim vektör

ÎTA ile gösterilirse

ve böylece da düzlemsel açı elemanının açı düz lemine dik vektörel bir büyüklük olduğu sonucuna varılır. Buradan açısal hız vektörü için doğru dan doğruya

ds,

da

(ÜE

dt

yazılabilir. Bazı yazarların kullandıkları

da ü)= dt ifadesinin sağ yanına konan "n normal birim vek törü aslında da nın kendi hareket düzlemine dik bir vektörel büyüklük oluşundan ileri gelmekte dir.

örnek 2. p hidrostatik basıncının karak terinin belirlenmesi:

Bir sıvıya daldırılmış herhangi bir cismin üze rine etkiyen hidrostatik kuvvet yüzeye diktir ve yüzey i l e orantılıdır. Orantı katsayısına hidrostatik basınç denir. Buna göre

şeklini alır. Yukardaki (1) e göre

•* A Q •*• a = "ÂA n A yani yüzeysel yük yoğunluğunun yüzey elemanına dik doğrultuda vektörel bir büyüklük olduğu so nucuna varılır. Oysaki yüzeysel yük yoğunluğu riun işe karıştığı elektrostatik problemlerinde yazarların hemen tümü a yi skalar büyüklük ola rak almakta, ancak sonuçların doğru çıkması i çin işlemler boyunca oraya buraya "n vektörünü getirip koymaktadırlar. İşlemlerin başından be ri a nın vektörel karakteri gözönüne alınırsa bu gibi sorunlar ortadan kalkmaktadır.

örnek 4. Bir vektörün rotasyonelinin belirlenmesi:

Bir vektörün rotasyoneli, o vektörün kapalı bir çevre boyunca dolaşımının, o çevrenin sı nırladığı yüzey elemanına oranının limiti diye tanımlanabilir

Elektrik Mülıendisliği 222

Pay skalar bir büyüklük payda ise vektörel bir büyüklük yani

* JSSf • dS olduğundan yukardaki (1) e göre bu şekilde ta nımlaması yapılan rot U ninAA yüzey elemanına dik vektörel bir büyüklük olduğu sonucuna varı l ı r . Yazarların bazıları rot ~B nin yukardaki (3) ifadesini, B nin rotasyonelinin AA yüzey e lemanına dik doğrultudaki b i l e ş e n i şeklinde de açıklamakta ve

şeklinde yazmaktadırlar. Karaktersel analiz, bu açıklama ve yazış şeklinin nedenini kendiliğin den vermektedir.

örnek 5. Bir vektörün diverjansının ka rakterinin belirlenmesi:

div î nin

div B =

limit AV+0

AV

tanımlama bağıntısının pay ve paydasının skalar büyüklükler olduğuna işaret edilir^ise skalar bolü skalar olarak tanımlanan div B nin kendi sinin de skalar olduğu sonucuna varılır.

Karaktersel analiz uygulama örnekleri çok sayı da verilebilirdi. Sayın okuyucuyu kendi seçece ği örnekler i l e başbaşa bırakmadan önce elektro magnetizma kitaplarında raslanan yüzeysel akım yoğunluğu kavramına karaktersel analizin getir diği değişikliğe işaret edeceğiz.

örnek 6. Yüzeysel akım yoğunluğunun karakterinin belirlenmesi:

Yüzeysel akım sonsuz ince bir levha yüzeyince aktığı kabul edilen akıma verilen addır. Bu kav ramın kullanıldığı uygulamalarda bir de yüzeysel IA akımının, levhanın g genişliği i l e bölünme sinden elde edilen

gibi yüzeysel akım yoğunluğu adı verilen bir bü yüklük i l e karşılaşılır ve bu büyüklüğün

gibi yüzeysel akım doğrultusunda olduğu kabul edilir. Ancak bu kabul yapıldığı takdirde doğru sonuçlara varılabilmesi için tıpkı yukarda O yü zeysel yük yoğunluğunun skalar bir büyüklük ola

Elektrık Mühendisliği 222

rak alınması durumunda olduğu gibi, işlemler ya pılırken oraya buraya "n normal birim vektör ser p i ş t i r i l i r . Halbuki J^ yüzeysel akım yoğunluğu nun

JA= g tanımlama ifadesine doğrudan doğruya karakter sel analiz uygulanır ve

JA= yüzeysel akım yoğunluğu vektörünün, IA yüzeysel akımı doğrultusunda değil de ona dik olan "g" ge nişlik vektörü doğrultusunda alınması gerektiği gözönünde tutulursa JA nin kullanıldığı açındır malarda oraya buraya n normal birim vektörü ser piştirmek zorunluğu ortadan kalkar ve doğru so nuca kendiliğinden varılır.

SONUÇ

Karaktersel analiz, fiziksel büyüklük ve kavram ların skalar ya da vektörel karakterlerini be lirleyerek konuların incelenmesine kesinlik ve açıklık getiren bir yöntemdir. Böylece, bazı fi ziksel büyüklüklerin bünyesine açıklık getirme nin yanında şimdiye kadar skalar kabul edilen bazı büyüklüklerin vektörel olduğunu göstermek te, vektörel kabul edilmekle birlikte doğrultu larının, karaktersel analizin belirttiği doğ rultudan farklı alınması sonucu karşılaşılan ba zı zorlukları ortadan kaldırmakta ve incelemele ri keyfilikten kurtararak doğru sonuca zorlama sı z varılmasını sağlamaktadır.

Herhangi bir sonuca varmak için yapılan işlem ler boyunca ifadelerin sağ ve sol taraflarının boyut homojenliklerinin yanında karaktersel ho mojenliğin de bulunması; bir taraf skalar ise öbür tarafın da skalar, bir taraf vektörel ise Öbür tarafın da aynı doğrultuda vektör olması gerektiği yazarların çoğu tarafından dikkat e dilen bir husustur. Karaktersel analiz bu karak tersel homojenliği zorlamasız sağlamaktadır.

Buraya kadar, okuyucunun dikkatini dağıtmamak için yalnız skalar ve vektörel karakterden söz edilmiştir. Aslında karaktersel analiz psödos kalar ve psödovektörel büyüklükler için de tu tarlıdır.

Karaktersel analizin belirli konulara getirdi ği açıklık ve kesinlikler ilerde yazılacak ma kalelerde ele alınacaktır.

Bu yöntemin geliştirilmesinde ilgi, eleştiri ve .

uyarıları ile büyük yardımlarda bulunan meslek

daşlarım Gültekin Yıldız, Haluk Beker ve Sadi U

nel'e teşekkürü zevkli bir borç bilirim.

H.G.