MATEMANTIK

Değerli Matemantıkçılar;

ECEN SAYIDAN bu yana sizlerden bize 13 mektup ulaştı. Doğru yanıt gönderenler ve gönderdikleri soru numaraları şöyle;

Ankara'dan Sn. Burak ÖZPİNECİ (66, 69), Balıkesir'den Sn. M.Savaşkan BAHÇEKAPILI (65, 66), Mersin'den Sn O.Nedım ARDO GA (65, 66, 68, 70) Samsun'dan Sn Musa TÜRKEL (70), Ankara Çayır han 'dan Sn. Sebahattin SEVİM (66), Ankara 'dan Sn Canan TANRIVERDİ (65, 66), Ankara 'dan Sn. Üner BAŞAR (65, 66, 68, 70), Trabzon 'dan Sn. Necla ÇORUH (65, 66) İstanbul'dan Sn. Abdülkadir TOZLU (65, 66, 68, 69, 70), Antakya'dan Sn. Semir ÇİÇEK (65, 68, 70), Konya'dan Sn. Veli YALIN (66, 68, 69(a), 70) ve Ankara Çayırhan'dan Sn. UlviACUNER (65, 66, 68, 69 , 70). Kendilerine teşekkür ediyoruz ve kitap ödüllerini yakında göndereceğimizi belirtiyoruz.

Bu arada 388. sayıda yayınladığımız "alfametik Sihirli Kare" başlıklı 67. so rumuzda bir baskı hatası olduğunu gördük. Bu hatamızı bu sayıda düzeltiyor ve çözüm önerilerinizi bekliyoruz. Bu soruyla ilgili hatalı baskı konusunda bizi birbirlerinden bağımsız olarak uyaran dikkatli matemantıkçılar S/ı. A. TOZLU ve Sn. U.ACUNER 'e çok teşekkür ediyoruz. Bir başka teşekkür de bize "geometrik" bir soru önerisini ileten Sn. V.YALIN'a etmek istiyoruz.

Bu ayki matemantık köşemizin de ilginizi çekeceğinizi umuyor, 1993'te tüm matemantıkçılara sevdikleriyle birlikte sağlık ve mutlu günler diliyoruz.

Hazırlayanlar; Necah

BÜY ÜKDURA

M.Serhat ÖZY AR

3 8 0 390 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

S

H

B

Necah BÜYÜKDURA

T

SÖZMETİK (2)

Bu sohbetimizde, sözmetik türü bulmacalar konusunu bir kez daha ele alıyoruz. Bundan önce bu konuyu 386. sayıdaki sohbetimizde, irdelemiştik. Bu arada kimi okuyucularımız bize yazıp sözmetik konusunda daha ayrıntılı bilgi (ve özellikle, sözmetik türünden soruları çözme yöntemlerini içeren açıklamalara yer. vermemizi) istediler. 386. sayıdaki sözmetik konulu SOHBETİ tamamlayıcı açıklamaları aşağıda bulacaksınız.

Sözmetik/alfametik türü bulmaca lar, çok genel anlamda düşünülürse, çok çeşitlilik gösterir. Bunlar değişik kategoriler halinde ele alınabilirse de, çoğu zaman, bir bulmacada bir den çok kategorinin belirleyici niteli kleri bir bulmacada yer alabilir. Krip to aritmetik (Şifre aritmetiği) türünden daha önce sözetmiştik. Bu tür bulmacalar eski çağlarda bilini yordu, "CRY PT ARITHMETIC" de yimi ilk kez, Belçika'da "Minos" takma adı ile yazan "M. VARI QUANT" tarafından kullanıldı. O sı ralarda Belçika'da yayınlanan SPHINX Dergisi, bu tür bulmacalar alanında öncülük etmekteydi (ve derginin yayınlandığı yıllar boyunca, bu tür bulmacaların değişik örnekle rine çok geniş yer verilmişti).

Cryptarithm deyiminin isim babası olan "M. VARIÛUANT" tarafından yayınlanan ilk bulmaca, bir çarpma işleminde yer alan rakamların har flerle yer değiştirilmesi yöntemine dayanmaktaydı. Bulmaca şöyle idi:

X

DE

FEC DEC

HGBC

OZUR

Olmaması için çok özen göstermemize ve gayret etmemize karşın, sayfalarımızda arada bir hatalar olmaktadır. 388. sayıda, 67.nci SORU'da sihirli karenin en alt sırasındaki DO'nın doğrusu OO'dur. Ayrıca, 69.ncı SORU'nun (a) şıkkında yer alan (ÜÇ)3 + (ÜÇ)2 = 3 x (OTUZ) eşitliğinin, (ÜÇ)4 + (ÜÇ)2 = (ÜÇ) X (OTUZ)

biçiminde yazılmış olması gerekiyordu. Bu yanlışlığın bir ilginç yanı var: Söz konusu eşitliğin hatalı biçimi ile yayınlanmış olanı da kendi içinde tutarlı olan bir sözmetik oluşturmaktadır. Düzeltilmiş biçimi ile TEK ÇÖZÜMLÜ gerçek bir sözmetik niteliğindedir. Sorunun gerek hatalı, gerekse düzeltilmiş olanına doğru çözüm gönderen okurlarımızın yanıtları, DOĞRU olarak kabul edilecektir. Tekrar özür diler, esenlikler dileriz.

78 SORU

KÖŞEDEKİ MASA

(Technology' Revievv Dergisinden)

Daire biçiminde bir masa, dikdörtgen bir odanın köşesine itilerek köşeyi oluşturan iki duvara dayanmış.

Masanın daire biçimindeki kenarı üzerinde işaretlenmiş bir noktanın, köşeyi oluşturan iki duvara olan uzaklıkları 8 ve 9 birim'dir. Masanın ÇAPI'nı bulabilir misiniz?

1955 yılında , J.H.HUNTER isimli

BULMACACI, bu tür şifre aritmetiğin

de rakamların yerine geçen harflerin

anlamlı sözcükler oluşturması koşu

luna uygun düşen bulmacalara, AL

PHAMETICS adını verdi. Fakat

J.H.HUNTER'dan yıllar önce, anlamlı

sözcüklerden oluşan "CRYPTA

RITHM" türü bulmacaların güzel ör

nekleri yayınlanmıştı. Örneğin,

Strand dergisinin Temmuz 1924 sa

yısında yayınlanan TW O x TW O =

THREE bulmacası J.H.HUNTER'dan

yıllarca önce yayınlandığı halde,

rakam yerine konulan harflerin AN

LAMLI sözcükler oluşturduğu görül

mektedir. •

Bu

alanda,

J.H.HUNTER'dan yıllarca öncesi ya

yınlanan bir başka örnek ise, türünün

KLASİKLERİnden sayılan (ve

1920'lerin başında yayınlanan):

SEND + MORE = MONEY örneği var.

Bu örnekteki bulmacayı çözmek pek zor değil; fakat bulmacanın kurgu sundaki, anlam bütünlüğü, ve içer mekte olduğu MESAJ'daki ESPRİ açısından, türünün bir başyapıtı ve bu türün bir KLASİĞİ olarak kabul edilmektedir.

Bu örnekte, anlam bütünlüğünü sa ğlayan ve verilen mesajdaki espriyi içeren olgu, "DAHA ÇOK PARA

GÖNDER" anlamına gelen sözcükle ri oluşturan harflerin her birinin belli bir rakamı temsil ettiği halde, çözü mün TEK olmasıdır. Alphametic (sözmetik)'lerin TÜRKÇE olarak üretilmesi zor bir olay değildir. Nite kim, bu alanda pek çok örnek üretil miştir ve MATEMANTIK Köşemizde epeycesi yayınlanmıştır. Aşağıdaki üç örneği sözmetik olarak tanımla yanlayız, çünkü anlamlı sözcük içer miyorlar. Bunlar ancak harf aritmeti ği ve şifre aritmetiği katagorisine giren örneklerdir.

x BAC

*

AA

CCA

A # #

+ BB CBC

+ BBA • • • B

• CAA • • • • • c

(Örnek 1) (Örnek2) (Örnek 3)

Bu örneklerde aritmetik işlemde yer alan rakamlar, harflerle ve/veya be neklerle değiştirilmiştir. Her harf belli bir rakamın yerini alır. Örneklerin bi rinde B harfi 7 rakamının yerini al mışsa, o örnekte yer alan başka B'lerin her biri mutlaka 7 rakamını simgelemelidir. Benekler ise böyle değildir. Bir işlemde yer alan bene

klerin her biri, diğer beneklerden ba ğımsız olarak herhangi bir rakamı simgeleyebilir, işlemdeki rakamların yerini alan harflerin oluturduğu an lamlı ve kendi içinde anlamca tutarlı olan, bir espri ve/veya bir mesaj içe ren sözcüklerden oluşan SÖZMETİK türü bulmaca üretmek çok kolay de ğildir. Hem yaratıcılık hem de epey hammallık gerektiren bir uğraştır. Ama, sonuç alındığında haz veren bir doyum duygusunu tatmak uğruna uğraşmaya değer. Öte yandan, her hangi bir aritmetik işlemde yer alan rakamların her birini belli bir harfle değiştirerek şifre aritmetiği türün den (örnek 4'teki gibi) bulmaca üret mek son derece kolaydır. Emek ve yaratıcılık gerektirmez. Yüzlercesi üretilebilir. Tabir caizse, "bunların bini bir paradır." TEK ÇÖZÜMLÜ olmak gibi özellikleri olsa bile ilginç değildirler (bir kaç basamaklı her hangi bir sayıyı gelişigüzel seçeceği niz herhangi bir başka sayıya kalem kağıt kullanarak bölünüz. Basamak basamak yürüterek elde ettiğiniz bölme işleminde yer alan her bir ra kamı rastgele seçeceğiniz belli bir harf ile değiştirerek, şifre aritmetiği türünden bir bulmaca yaratınız!.. Bu iş 10 dakikanızı bile almaz ve % 90 dolayında bir ihtimalle, oluşturmuş olduğunuz bulmacanız tek çözümlü olacaktır).

381 M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ

ATAR TUTAR OSMAN (Allan WAYNE)

Lisedeyken, ATAR TUTAR OSMAN adıyla tanınan bir arkadaşımız vardı. Her işte olmadık yanlışlar yapar, bi lemediği zaman kafadan atar, ama (her nasılsa) atmasyonları çoğu kez tutardı. Matematik dersinde yetersiz bilgisi yüzünden yaptığı yanlışlar, şans eseri olarak onu doğru sonu çlara götürürdü çoğu zaman.

Geçen gün, öğretmenimiz tahtaya, her biri tek basamaklı üç ayrı sayı yazdı, ve Osman'a sordu: "Bu sayı lara, sırasıyla a, b ve c dersek, a üzeri b çarpı c üzeri a, neye eşit tir?" Osman da tahtaya geldi ve şunları yazdı:

abca = abca. (eşitliğin sağ tarafında a, b, c ve a rakamlarının yan yana ya zılması ile elde edilen dört basamaklı bir sayı yer alıyordu). Bu saçma sapan atmasyon yanıta, sınıfta hepi miz kahkahalarla gülerken, öğretme nimiz hayretler içinde bize dönüp şöyle dedi: "Çocuklar, Osmanın çözüm yöntemi saçma ve geçer siz... ama, ister inanın, ister inan mayın, çıkan sonuç doğru!"

Öğretmenin tahtaya yazdığı a, b ve c sayıları ne idi?

BAŞKA BİR EMOD

(M. BROOKE değerlemesinden uyarlama)

Aşağıdaki çarpma işleminde görülen harflerin her biri, belli bir rakamı sim geliyor. Beneklerin hangi rakamları simgelediği belli değil.

Çarpma işlemini sayısal olarak yaza bilir misiniz?

DO

Diğer taraftan kimi bulmacalar, söz metik özelliğinde olmadıkları halde, yine de ilginçtirler. Oluşturulmaları kolay değildir; yaratıcılık ve uğraş gerektirirler. Örnek 5'teki bulmacada anlamlı sözcükler olmasa da, nefis bir yapıt olduğu kuşkusuz! Rakamların dan sadece biri A harfi ile simgelen miş; diğer harflerinin tümü belirsiz bı rakılmış... ama tek çözümlüdür! (1, 2 ve 3 sayılı örnekler de sözmetik niteliğinde olmadıkları halde kendi lerini ilginç kılan özelliklere sahiptir ler).

X • •••

• A••••

AA A A A A (Örnek 5)

Not: Örnek 5'te, O'dan 9'a kadar olan rakamların tümü kullanılmıştır.

Kimi okuyucularımız, bu tür bulma caları çözmede yararlanılacak yön temler konusunda açıklama verme mizi istediler.

Bu tür bulmacalar çeşitli katagorilere girdiklerinden (ve değişik kategorile rin karmasından oluşturulan karma

şık örnekleri o denli çok çeşitlilik gös terdiğinden) belli bir çözme yönte mi'nden söz etmek olanaksızdır. Bu kategori karmaşası yetmiyormuş gibi, karmaşık kategorilere konu olan arit metik işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi kapsayan dört işlemle sınırlı kalmamakta, karekök alma, entegral hesapları, üçgen sayı lar, Fibonacci sayıları, vb. diziler ile ilgili çeşitli işlemler bile bu tür bulma caların konusu olabiliyor. Bu kadar çok çeşitliliğe ve karmaşaya karşın, hepsini kapsayan çözme yöntemleri nin ortak bir yanı var: mantık, muha keme, irdeleme!.. Olanaksızları eli mine etme, geriye kalanları sınıflandırma ve yeniden eliminas yon ile sadece olanaklı olanı bulma ya yarayacak mantık ve muhakeme sürecinde işe yarayacak olan bir kaç temel kuralı kullanma.. Bu temel ku ralların bir kaçını, örnek olarak vere lim: Bir işlemin bir yerinde A+ A = A veya B + A = B gibi bir durumda A = O'dır. (İşlemde sözkonusu bölümün sağ tarafından elde bir gelmesi ola sılığı varsa A = 9 da olabilir). Toplama işleminde yer alan iki sayının basa mak sayısı daha çok olanında N tane basamak ve toplamı veren sayıda n + 1 basamak varsa, toplamın en sol daki rakamı 1'e eşittir. Bunlara ek olarak, orta öğretim yıllarında öğren diğimiz çeşitli (bir sayının 2 ile, 3'le,

4'le, 5'le... 11'le, vb. sayılarla tam olarak bölünebilme koşulları gibi) temel kurallara da başvurmak gere kebilir.

Çözme yönteminde başvurulan mantık, muhakeme, irdeleme ve bil diğimiz kimi kurallara dayanarak so nuca ulaşma sürecini açıklayan bir iki örnek verelim:

Örnek Ve bakalım. C = 1 olduğu hemen görülüyor (toplamın solunda ki C'den dolayı), işlemin solundaki A + B, B'yi veriyor; öyle ise A = 0 veya A = 9'dur. Fakat A = 0 olamaz; çünkü bir sayı 0 ile başlamaz. Sağ tarafta 9 + B = 1 olabilmesi için B'nin 2 olması gerekir. Öyleyse çözüm, 99 + 22 = 121'dir.

Örnek 2'ye gelince: A'nın 0 olduğu belli. B ise 0 veya 9 olma durumun dadır. A = 0 olduğundan, B ancak 9 olabilir. Orta kolonda C + 9 = 0 ola bilmesi için C'nin 1 olması gerekir. Çözüm de 110 + 990 = 1100 olarak bulunur.

Örnek 3'te de bildiğimiz basit aritme tik kuralları hatırlayarak, akıl ve mantık yolu ile muhakeme yaparak çözüme ulaşabiliriz:

(a) Çarpan konumundaki BAC'nin basamakları ndaki rakamların her

3 8 2 390 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

81 SORU

ARIZALI Y AZICI /1

(Maxey Brooke derlemesi)

Kağıt kalemle yaptığım bir bölme işle mini, okunaklı olsun diye "YAZICI"yı kullanarak temize çektim, ama kağıda

basılınca, aşağıda görüldüğü gibi çıktı. Meğerse "YAZICI" arızalıymış ve (0) rakamı dışındaki tüm rakamlar yerine (X) karakterini basmaktaymış. YAZI Cl'yı tamire göndereceğim, ama daha önce size şu soruyu sormak istiyorum: Aşağıdaki bölme işleminde (X) karak teri ile gösterilen rakamların ne oldu klarını bulabilir misiniz?

X 0 0 0 0 0 0 0 0 0X ,X X X X X XXXXX0 XXX0X

XXXXX0 1X X X X X X

X X X XX X X X XX

,X X X X X XXXXXX

biri, altta bir ara çarpım verdiğine göre, işlemde kullanılan A, B, ve C rakamlarından hiç biri 0 olamaz.

(b) AxC, A ile ve BxC B ile sonu çlandığına göre, C'nin 1 veya 6 ol ması gerekir. Fakat, ilk ara çarpımda dört basamak olduğundan C>1 olmalıdır. Öyleyse C=6'dır.

MORE = MONEY sözmetiği, aslında aynı bulmacanın iki değişik görüntü südür. Bunların ve örnek 5'teki şifre aritmetiği bulmacasının çözümlerini bulma işini, siz değerli okurlarımıza bırakıyoruz. Uğraşmaya üşenen okurlarımız için, bunların çözümünü bir dahaki sohbetimizde vereceğiz. Hoşçakalın!

(c) 6'ya eşit olan C ile çarpılan her sayı, çift sayı olacaktır. Öyle ise 2. ve 3. ara çrpımlardaki A ve B, (6'ya eşit olmayan) birer çift sayıdır. Demek ki A ve B, 2 veya 4 veya 8 olabilir. Fakat A, 4 veya 8 olamaz; çünkü 2. ara çarpımda sadece 3 basamak var. Öyle ise A = 2'dir.

(d) B, 4 veya 8 olabilir. Ama B = 4 olamaz; çünkü 3. ara çarpımda dört basamak var. Demek ki B = 8'dir.

NOT:

Geçen sohbetimizdeki tartı sorusunun yanıtı şöyledir: Hilesiz sikkelerin her birinin normal ağırlığı D gram ise, her bir sikkesi 1 gr. noksan olan istifi bulmak için sadece BİR TARTI işlemi yapmak yeterlidir.

(e) A, B ve C'nin değerlerini böylece bulduktan sonra, çözüm kendiliğin den bulunmuş olur: 286x826 = 236236

Yukarıda verdiğimiz çözüm yöntem leri, sadece ele alınan bulmacalarla ilgilidir. Değişik nitelikte bir bulma cayı çözme yöntemi de değişik ola caktır. Değişmeyen şey, mantık ve muhakeme yoludur. Örnek 4'teki harfli aritmetik bulmacası ile sohbe timizin 4. paragrafındaki SEND +

1. istiften 1 sikke, 2.'den 2 sikke, 3.'den 3 sikke (ve bu minval üzeri giderek) 10. istiften 10 sikke alarak toplam 55 sikkeyi BİR DEFADA tartarız, Bulduğumuz ağırlık = 55xD ise, hileli sikkeler 11. istiflerdir. Bulunan ağırlık 55xD'den K gram kadar eksik ise, hileli sikkeler K.nıncı istiftedir.

82 SARNIÇTAKİ

SU

(Necah BÜYÜKDURA)

Silindir biçimindeki bir sarnıçta en az 4 m3 su olduğu belli idi. Sarnıç kapa sitesinin de 12 m3'den daha az oldu ğu biliniyordu. Fakat sarnıçta (şu anda) kaç m3 su olduğunu ölçmem gerekiyordu. Elimde düz ve uzun bir çubuktan başka bir araç yoktu. Çu buğu dik olarak suya soktum. Dibe değince çıkarıp, suyun derinliğini gösteren yerden çubuğu kestim. Ve böylece suyun derinliği kadar uzun lukta olan bir ölçeğe sahip oldum. Suyun derinliği, sarnıç'ın çapından daha fazla değildi. Sıra, sarnıcın ça pını bulmaya geldi. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, sarnıcın çeperi üze rinde bir A noktası işaretledim. Çu buğu, bir ucu A olan bir daire kirişi durumuna getirip diğer ucunun çepe re değdiği noktayı B olarak işaretle dim. Sonra, BC kirişini, arkasından CD ve DE kirişlerini (ve aynı yöntem le devam ederek, peşpeşe kirişler) oluşturdum. Bu şekilde ilerliyerek çe perin çevresini tam üç kez dolandım, ve işte o zaman, oluşturduğum bil mem kaçıncı kirişin ucu, başlangıçta işaretlemiş olduğum A noktası ile ça kıştı.

Çubuğu alıp eve geldim. Önce çubu ğun uzunluğunu ölçtüm. Tam 161 cm. idi. Sonra da kalem kağıt ve hesap makinasını çıkardım, oturup sarnıçtaki suyun kaç m3 olduğunu hesaplamaya koyuldum. Üşenmeden oturup bu hesabı yapan Matemantık çılarımızdan buldukları sonucu bize göndermelerini bekliyoruz.

c.

s* I/

/

1 \

\

D A

390 E L E K T R İ K O Q Q MÜHENDİSLİĞİ O O O

83 SORU

AMİRAL

BATTI / 3

(P. GORDON & M. SHENK)

Geçen sayımızda yayınlanan Amiral Battı oyunu ile ilgili bulmacanın bir yenisini veriyoruz. Öncekinde olduğu gibi, her sıra ve her kolonda dolu olan karelerin sayısı her bir sıranın sağın da ve her bir kolonun altında belirtil miştir. Dolu olan karelerin birkaçı, ipucu olarak şekilde gösterilmiştir. Fi lodaki 10 parça geminin nasıl yerleş tirilmiş olduğunu bulabilir misiniz?

Amiral Gemisi Kurvazörler

I

I Destroyerler

I Denizaltılar

65 HANGİSİ DAHA BÜY ÜK?

İki değişik çözüm var. Birisi, Belçi kalı Jean MEEUS'un geometrik yoldan bulduğu çözüm. Diğeri ise, Amerikalı Charles W. TRIGG'in aritmetik yoldan giderek bulduğu çözüm. Trigg'in aritmetik çözümü şöyle:

169 < 170 13<V17O 26 < 2 x V170 26 + 27 < 10 + 2 x

53 < {f\Ö + VT7]

Geometrik yoldan çözüm ise aşa ğıdaki şekilde görülmektedir.

iki dik kenarı 3 ve 1 olan ABC üç geninde hipotenüs olan AC = VlO'dir. iki dik kenarı 4 ve 1 olan CEF üçgeninde ise hipotenüs olan CF = V17 dir. Bu iki üçgen "BEN ZER ÜÇGENLER" olmadıklarından A, C, ve F noktaları bir doğru üze rinde değildir. Yani, AC ve CF bir kırık çizgi oluşturur ve AF doğrusu C'den geçmez. Dolayısıyla, ACF bir üçgendir. AF doğru parçası ADF üçgeninin hipotenüsü'dür. AF = V53'tür. ACF üçgeninde iki kenar toplamı (AC + CF), üçüncü kenar dan (AF'den) büyük olması kuralına göre, V1O + V17>V53.

İ53 < fîÖ" + İV7

1 1 5 1 13 12 4

BİLGİSAY AR Y AZILIM SORUSU ÇÖZÜMLERİ: FARUK BEY İN ÇOCUKLARI Necah BÜYÜKDURA'nın kendi sorusu için önerdiği çözüm: IBM uyumlu PC'Ierde, "GVVBASIC", "BASICA", vb. dillerde istenen program, tek bir BASIC satı rında yazılabilir: 10 A = B + C/2:B = E + A/2:C = E + E + 2:D =

E + 1 :E = (C+D)/4:IF (A=V) + (B=W) + (C=X) + (Û=Y) + (E=Z) + 5 THEN V = A:W = B: X = C: Y = D: Z = E: GOTO 10, ELSE PRINT "ALTAN: "A, "BURAK: "B, "CEMAL: "C, "DİLEK: "D, "ENDER: "E: END Bir program satırında en çok 80 karakterin yazı labildiği "BASIC" versiyonlarında ise, yukardaki program 3 satırda yazılabilir. Ankara'dan M. Fuat ARIG'ın yazılım sorumuzun çözümünü veren programı ise şöyle: 10 FOR E = 1 TO 18: C = 2*E + 2: D = E + 1 20 FORB=1TO18:A = B + C/2 30 IF E = (C + D)/4 AND B = E + A/2 THEN PRINT "ALTAN:"A"BURAK:"B "CEMAL:"C"DİLEK:"D"ENDER:"E: END 40 NEXT B,E

66 YANLIŞ MATİK

abçd

Önce (d)'ye bakalım. 8'in 1 fazlası ile 2'nin 1 eksi

7668 ğini alamayız, çünkü to

2692 plam 10 verir. Belli ki hem 8 hem de 2'nin 1'er eksiği

9 0 2 7 alınmalı. Öyleyse (d): 7

+ 1 = 8 olmalıdır (elde

siz).

(c)'deki 9 ancak 8 olabilir. Burdaki 6'nın 1 fazlasını alamayız, çünkü to plamı 15 olur. Öyleyse (c): 8 + 5 = 13 olur (elde 1 var).

(b)'deki 0 ancak 1 olabilir. Buradaki 6'ların ikisinin de 5 olması gerektiği bellidir. Öyleyse (b): 1 + 5 + 5 = 11 olmalıdır (yine elde 1 var).

(a)'daki 9 ancak 8 olabilir. Toplama

da, elde 1'i de hesaba

katınca, (a): 1 + 6 + 1 = 6 5 5 7

8 olmalıdır. Ve buna ı c o ı

göre toplama işleminin ' ^o 1

doğrusu şöyledir.

3 8 4 390 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

ASANSÖRLÜ KULELER

1Î 7

53 8

70 AMİRAL BATTI / 1

Amiral Gemisi ı Kurvazörler | Destroyerler Denizaltılar

* SICAKLIK * BASINÇ * VİSKOZİTE

ÖLÇÜM VE KONTROLUNDA ÖNCÜ FİRMA

REGELUNGSTECHNIK

ARTIK SİZE DAHA YAKIN

* Kontrol Vanaları

* Termostatik/Pnömatik Vanalar * Sıcaklık ve Basınç Sensörleri * Aktüatörler, Kontrolörler, Regülatörler * Viskozite Ölçüm ve Kontrol Sistemleri

ÜRETİMİNDE 40 Y ILI AŞKIN DENEY İM

Ako ürünleri endüstriyel ısıtma, soğutma ve buhar sistemle rinde, gemi makinalannda, büyük motorların soğutma sis temlerinde, termik sandallarda, kimya ve petrokimya te sislerinde, rafinerilerde başarıyla kullanılmaktadır.

' Y ÜKSEK KAÜTE * BAKM KOLAY UÛ * UY GUN FİY ATLAR

ÜRETİCİ FİRMA AKO Regdungstecnnik GmbH Porschestrasse 16 D 5090 Leverkusen 3 GERMANY Tel: 2171 82005 Feuc 2171 84476 Tlx: 8515928

TÜRKİY E TEMSİLCİLİĞİ

SY S MÜHENDİSLİK

Camiiserif Mah. 124 Sokak

Mahmut Tece l« Markizi B Bok

No: 9

33060 MERSİN

Tel: 74 37798»

Fax:74 337046

Tlx: 67705

bıçak elektronik a.ş.

SATELLITE & TV. ANTEN SİSTEMLERİ

Kollektif anten Yansıtıcı (Transpozer) interkom konuşma sistemleri

Pioneer Loewe yetkili servisi Her marka elektronik cihaz tamiri Oto ve ev alarmı Dekoratif aydınlatma

Merkez ı\ıecatibey Cad. 78/2 Sıhhiye ANKARA Tel 231 24 63 231 24 64

Şube Reşit Galip Cad. 32/1 5

Tel 446 68 26 446 68 27 446 20 25 Fax: 446 13 31

Şube Mesa Koru Ticaret Merkezi No: 19 20 Tel 235 36 39 Çayyolu ANKARA