MATEMANTIK

Değerli Matemantıkçılar,

3 9 0 :sayıda yayınladığımız sorularla ilgili olarak sizlerden 9 ayrı mektup aldık. Değerlendirmemiz sonucunda İstanbul Ümraniye'den Sayın A. Kadir Tozlu'nun 67, 69, 78, 79, 80, 81, 82 ve 83; Mersin'den Sayın O. Nedim Ardoğa|nın 78; yine Mersin'den Sayın Firuzan İnal'ın 80 ve 83 Kars'tan Sayın Ümit Saman'ın 78, 79 ve 80; Bursa'dan Sayın Recep Şeker'in 83; Diyarbakır'dan Sayın Ulvi Acuner'in 78, 79, 80, 82 ve 83; Antalya'dan Sayın Çiğdem Alar (Sayım)'m 79, ve 80; Konya Seydişehir'den Sayın Semir Çiçek'in 69, 78, 79, 80, 81 ve 83; Diyarbakır'dan Sayın Mehmet Tereci'nin Sayın Ulvi Acuner'in 78, 80, 82 ve 83; no'lu sorularımıza doğru çözüm önerdiklerimizi belirledik. Kendilerine armağan kitaplarını en kısa zamanda ulaştırmaya çalışacağız.

Bu arada dergi yayın periyodundaki aksamalardan ötürü elimize 391. sayımızda yayınladığımız sorularımızla ilgili çözümlerimiz de ulaşmakta. Bu çözüm önerilerimizin değerlendirilmesini, çözümleri yayınlayacağımız daha sonraki sayılarımıza bırakıyoruz.

Soğuk kış günlerinden sıcak bahar günlerine yaklaşırken sizleri sorularımızla başbaşa bırakıyoruz.

Not: "ÖZELLEŞTİRME" konusunun yoğun olarak işlendiği sayımızda çeşitli zorunluluklardan dolayı MATEMANTIK köşemiz yer almadı.

Hazırlayanlar;

Necah BÜY ÜKDURA

M.Serhat ÖZY AR

3 6 393 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

Necah BÜYÜKDURA J

PUF NOKTASI 2

Daha önceki bir sohbetimizin baş lığı yine PÜF NOKTASI idi. Bu sohbetimizde, püf noktası konu sunu tekrar ele almak ve uzun boylu matematik hesaplar yapa rak çözüm bulmak için uğraşmayı gereksiz kılan, meselenin püf noktasını yakalayarak kolay yol dan çözülebilen problemlere yer vermek istiyorum. Önceki PÜF NOKTASI sohbetimizde de söyle diğimiz gibi, püf noktayı yakalama olgusunun problem çözme ala nında olduğu kadar bilimsel araş tırmalar ve buluşlar alanında da çok önemli rolü olmuştur.

Püf noktayı yakalayabilme, öğre nilebilen ya da öğretilebilen bir yetenek değildir. Tanrı vergisi bir yetenek olmadığı gibi zeka düzeyi çok yüksek olanlara özgü olmak gibi bir kuralı da yoktur. Hiç umul madık durumlarda, hiç ummadık zamanlarda insana geliveren il ham gibidir. Hollandalı fizik bilgin HUYGENS' in 1670'li yıllarda yap maya uğraştığı sarkaçsız saat mekanizmasında sarkaç görevini yapacak olan küçük spiral yay'ın (zembereğin) işini görecek bir materyal ararken domuz kılını kullanmayı düşünebilmesi, Huy gens'in birden aklına geliveren bir ilham sonucu olmuştur. Dikiş ma kinasının icad edilmesi sürecinde, bir türlü çözümlenemeyen bir pü rüz, iğne deliğinin iğnenin sivri ucunun olduğu yerde açılması ile giderilmiş ve prototip dikiş maki nası çalıştırılabilmişti. Deliğin sivri uçta olması işin püf noktası idi, bunu da makinanın mucidi uzun boylu uğraşlar verdiği ve pek çok kafa patlattığı halde bulamamış tı!.. Püf noktayı, günün birinde rü yasında gördüğünde uykusundan fırlamıştı. Arşimed'in hamamdan "Eureka... eureka.." diye bağıra rak fırlaması olayı da, bir sorunun

90 SORU

AMİRAL

BATTI 5

P. GORDON ve M. SHENK

Epeydir yayınlamakta olduğumuz Amiral Battı oyunu ile ilgili bulmaca nın bir yenisini veriyoruz. Öncekilerde olduğu gibi, her sıra ve her kolonda dolu olan karelerin sayısı her bir sıra nın sağında ve her bir kolonun altında belirtilmiştir. Dolu olan karelerin bir kaçı, ipucu olarak şekilde gösteril miştir. Filodaki 10 parça geminin nasıl yerleştirilmiş olduğunu bulabilir misi niz?

91 SORU

TARAK

Necah BÜYÜKDURA

Alışageldiğimiz ve günlük yaşamda kullanıp durduğumuz 10 tabanına göre "decimal" sayı sisteminden başka sayı sistemlerinin olduğunu biliyoruz. 2 tabanına göre olan "bi nary" sayı sisteminde kullanılan ra kamlar sadece 0 ve 1'dir. 8 tabanına göre olan "octal" sayı sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 rakamları kullanı lır. "Decimal" sistemde O'dan 9'a kadar olan rakamları kullanıyoruz. 16 tabanına göre olan "hexa decimal" sayı sisteminde kullanılan rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ve F'dir. Burada, 9'dan sonrage lenler harf değil, "hexa decimal" sistemin birer rakamıdırlar.

Aşağıdaki SÖZMETİK sorusunda, 11

çözümünde püf noktayı yani bir il hamt yakalama örneğidir.

Bir de, buhar makinası yapmak için uğraşan bir mucidin, pistonlu silin dir bölmesine buharın giriş çıkışını düzenleyen sürgü düzeneğini pis ton hareketleri ile senkronize bi çimde çalışmasını sağlayacak bir yöntemi bir türlü geliştiremediği anlatılır. Mucit, sürgüye bağlı bir ip (ya da bir çubuk) kullanarak, sür günün hareketini elle sağlamaktay mış. Sürgünün pistonla senkroni zeli biçimde nasıl kontrol edileceği ni, 12 13 yaşındaki oğluna da öğ retmiş ve buhar makinası çalışır ken sürgüyü elle hareket ettirme angaryasını arada bir oğluna yap tırıyormuş. Rivayet edilir ki bu mo noton angaryadan usanmış olan çocuk, sürgünün elle çekilip bırakı lan ucunu volan tekerleğinin öyle bir yerine bağlamış ki, sürgüyü elle çekip bırakmaya gerek kalmamış ve buhar makinasını çalışır durum da bırakıp oyun oynamaya gitmiş.

Scientific American dergisinin Mart 1955 sayısındaki bir makalede Morris KLINE'ın dediği gibi, " yaratıcı eylem, mantık ve muhake me'ye borçlu değildir. Matematikçi ler, büyük fikirleri nasıl bulmuş ol

duklarını anlatırken, buluşu getiren ilhamın yaptıkları iş ile veya konu üzerinde çalışma süreci içinde bu lunmaları ile ilişki olmadığını söylü yorlar. İlham, umulmadık anlarda; seyahat ederken, traş olurken, ya da konu ile ilgisi olmayan başka şeyler düşünürken geliyor. Aniden ilhamın gelmesi, daha çok zihnin gevşemiş, rahatlamış olduğu ve muhayyilenin kendi başına bir ser bestlik durumunda olduğu durum larda geliyor..."

Bu sohbetimizde (ve PÜF NOKTA SI konusunda bundan sonraki sa yılarda yer alacak olan sohbet kö şemizde) ele alacağımız sorular, ilk bakışta zor gibi görünür. Alışılmış klasik matematik yöntemle çözme ye kalkışmak gerçekten de zor ola bilir. Ama püf noktasını yakalarsa nız çözümü bulmak kolaylaşır. Bu tip soruları (bilmece sorar gibi) ar kadaşlarınıza sormak eğlendirici olabilir. Çoğu zaman, soruyu sor duğunuz arkadaşınız epey kafa yorduktan sonra, problemin çok zor olduğunu söyleyerek pes eder. Siz de ona basit olan çözümü söyle yince tepkisini gülerek gösterir. Her neyse, sohbetimizin konusu olan sorulara gelelim:

SORU: Köşe başındaki sakız ma kinasına "bin" liralık para atınca, makinanın alt tarafındaki çanağına bilye biçiminde bir adet sakız dü şüyor. Makinanın tepesinde de saydam bir küre içersinde değişik renklerde sakız topakları görün mekte. Nesrin hanım, çocukları Ali ve Veli ile birlikte oradan geçerken Ali, "sakız isterim," dedi. Veli de, "Ben de isterim; Ali'ninki ile aynı renk olsun!" Nesrin hanım, "Şimdi bozuk param yok.! Alışverişimizi yapalım; dönüşte size sakız alaca ğım," diye söz verdi. Dönüşte bir de baktı ki sakız makinasında sa dece 4 beyaz 6 kırmızı sakız kal mış. Nesrin hanım, en kötü ihti malle kaç para harcamayı göze al malı ki çocuklarına (aynı renkte) birer sakız verebilsin?

ÇÖZÜM: Bin lira atıp makinadan aldığı ve Ali'ye verdiği ilk sakız kır mızı ise, bir kırmızı sakız daha dü şürmek için Nesrin hanım 5 bin lira ' harcaması gerekebilir; bu da top lam olarak 6 bin lira eder. Ama ilk sakız beyaz olursa, bir beyaz daha düşürmek için 7 bin lira daha har caması gerekebilir; bu da toplam 8 bin demektir. Öyle ise, en kötü ihti malle, Nesrin hanımın 8 bin lira harcamaya hazırlıklı olması gere

393 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

tabanına göre yazılan sayıları içeren bir toplama işleminde sayıların ra kamları birer harf ile değiştirilmiş bu lunmaktadır. 11 tabanına göre olan sayı sisteminde kullanılan rakamlar O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ve A olduğuna göre, işlemdeki sayıları bulabilir misi niz?

KEL

BAŞA

+ TARAK

92 SORU

ASAL LASA

Jeremiah P. FARREL

Asal olan bir sayının tersi de asal ise, onu lasa tipi asal sayı diye tanımla yalım (13 ve 31 gibi). Aşağıdaki 4x4'lük sihirli karenin her sırasında, her kolonunda ve iki köşegeninde yer alan sayıların tümü asaldır. Üstelik bir köşegendeki 3079 sayısı dışında, diğer sayıların hepsi lasa tipi asal sayıdır. Asal olan 3079'un tersi de asal olsaydı bu sihirli kare, kusursuz bir lasa tipi sihirli kare olacaktı!

Tümüyle lasa tipi asal sayılardan oluşturulmuş 4x4'lük kusursuz bir lasa tipi sihirli kare bulabilir misi niz?

19 79 1879 90 13 3371

9703= 31x313 (Asal değil)

kir.

• Doğru değil mi?

• Hayır, doğru değil. Nesrin ha nım, en kötü ihtimalle 3 bin lira harcar: İlk sakızı Ali'ye vermez; bekletir. İkinci sakızı satın alır. İki sakız değişik renklerde olursa bir sakız daha alır; aynı renkte iki sa kız elde etmiş olur.

SORUY U DEĞİŞTİRELİM:

Makinada 6 kırmızı, 4 beyaz ve 5 mavi sakız olsaydı, aynı renkte iki adet sakız edebilmek için Nesrin hanımın elinde kaç adet bin liralık para olması gerekecekti?

Çözümü 4 olarak bulduysanız, bu defa soruyu şöyle düşünün: Nesrin hanım evde bıraktığı 3. çocuğu Ayşe'yi de getirse, ve makinada 6 kırmızı, 4 beyaz ve 1 tane da mavi sakız olsa, aynı renkte üç sakız düşürmek için Nesrin hanımın (en kötü ihtimalle) harcayacağı para ne kadardır?

İkinci soru, ilk soru kadar kolaydı ve çözüm mantığı farklı değildi: Püf noktası, en kötü ihtimalin ger çekleşmesi durumunda makinadan sırasıyle düşen bilyelerin renk se

kansının uzunluğunu görebilmekti. İlk üç sakızın farklı renklerde düş mesi, en kötü ihtimalin sekans uzunluğudur. En kötü ihtimal se kansızın uzunluğuna "n" dersek, burada n=3'tür. Bundan sonra ge lecek olan renk ne olursa olsun, aynı renkte iki sakız elde etmek kaçınılmazdır. Buna göre yanıt

Sorunun üçüncü şıkkı biraz daha zordur. Nesrin hanımın 2 yerine 3 çocuğu vardır. Sakız makinasında 6 kırmızı, 4 beyaz ve 1 mavi sakız var. Aynı renkte olan 3 sakız bilyesi elde etmek için en çok ne kadar para harcamayı göze almış olmalı dır? Bu yeni durumda, Nesrin ha nım için en kötü ihtimal, peş peşe yaptığı ilk beş işlemde 2 kır mızı, 2 beyaz ve 1 mavi sakız dü şürmüş olmasıdır. Burada n=5'tir. Bundan sonra gelecek renk ne olursa olsun, ayni renkte 3 sakız elde etmek kaçınılmaz duruma gelmektedir; dolayısıyla Y ANIT: 6 bin lira'dır. (mavi sakızların sayısı 1'den fazla olsaydı, Y ANIT: 7 bin lira olacaktı!) Yukarıda da belirtti ğimiz gibi, bu basit örneklerde bile püf noktası, en kötü ihtimal sekan sının uzunluğunun çözümdeki

önemini sezebilmiş olmakta yatı yor. Bu püf noktayı göremeyip problemi olağan matematiksel yol dan çözmeye kalkıştığınızda: ma kinadaki 11 adet sakıza 1 'den 11 'e kadar numara verip bu 11 elemanlı set'in elemanlarından seçilebile cek tüm sekansların listesini çıkar dıktan sonra, aynı renkten üç ele manın arka arkaya yer almasından önce en uzun sekansa sahip ola nını saptayarak çözüme ulaşabilir diniz. Fakat listenizde 11!= 39.916.800 değişik sekans ola caktı.

Matematiksel genelleme yapmak gerekirse, şunu yazabiliriz: Bilye leren kaç değişik renkte olduğunu belirten sayı "r" ise, ve her renk teki bilye sayısı en az "k" ise, aynı renkten k tane bilye elde etmek için (en kötü ihtimalle) r(k 1)+1 bil ye almak gerekir. Bazı renklerdeki bilyaların sayısı k'dan az ise, ma tematiksel genelleminin ne şekil alacağını araştırma işini, meraklı MATEMANTIKÇILAR'a bırakıyo ruz.

Bu kategorideki problemler değişik kılıklarda sunulabilir. Örneğin: aynı renkte olan 7 adet kart bulabilmek için, 52 kartlık bir oyun kağıdı des

3 8 393 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

93 BEŞ

SORU

ZAR

Benjamin L. SCHWARTZ

yanlış mı! Doğru diyorsanız, ispatla yın! Eğer Y anlış diyorsanız, ispatla yın!

Elimizde beş tane özel zar var. Üç basamaklı olan sayılar arasından otuz tanesi gelişi güzel seçilmiş ve bu sayılardan her biri elimizdeki zarların yüzeylerine yazılmış. Zarların beşi birden atıldığında gelen sayıların toplamına N diyelim... (Aşağıdaki şe kilde yapılan bir atışın sonucunu gö rüyoruz. Bir atışta N=2029)

Bu oyunu oynayanlardan biri şöyle bir sav ileri sürdü: "Bu beş zar oyu nunda atılması olası toplumlar arasında en azından bir tane N sa yısı vardır ki bu sayı birden fazla defa yapılacak değişik zar atışları ile elde edilebilir!" Bu sav doğru mu,

tesinden en az kaç kağıt çekmek gerekir? (İskambil oyunları termi nolojisinde KARO ve KUPA aynı renk değildir; SİNEK ile MAÇA da aynı renk değildir. Oyun kağıtla rında DÖRT AYRI RENK olduğu düşünülmelidir.) Bu örnekte r=4 ve k=7'dir. Genel formüle göre yanıt: 4(7 1 )+1=25'tir.

SORU: Ali, aşağıda (şekiM)'de görüldüğü gibi, kibrit çöpleri ile oluşturduğu 5 birim karelik şekli, arkadaşı Veli'ye gösterdi ve şöyle dedi: "iki tane çöpün yerini değiş tirerek 4 birim karelik bir şekil elde edebilir misin?" Veli biraz düşü

nünce çözümü buldu. Bu sefer, Veli 12 kibrit çöpü ile, aşağıda (şekil 2)'de görüldüğü gibi, 3 birim kareden oluşan bir düzenleme yaptı; ve şöyle dedi: Bu 12 çöpü kullanarak 6 birim kare oluşturabilir misin? Veli biraz düşününce çözü mü buldu. Ali epey düşündükten sonra pes etti. Veli'nin bulduğu çö zümü ve Ali'nin pes ettiği sorunun çözümünü, sohbetimizi izleyen MATEMANTIK'çı okurlarımızın bulabileceğini umuyoruz. Gelecek sayıdaki sohbetimizde buluşmak üzere, hoşça kalın der esenlikler dilerim.

94 SORU

TOPLAMIN BÜY ÜK OLANI

Charles W. TRIGG

Dokuz birim kareden oluşan 3x3'lük bir KARE'nin çevresinde bulunan 8 tane birim karenin her birine, O'dan 7'ye kadar olan rakamların birini öyle yerleştirelim ki her biri üçer rakam içeren sıralarda ve kolonlarda bulu nan rakamların toplamı (aşağıdaki şekillerde görüldüğü gibi) hep eşit ol sun. Aşağıdaki şekillerde, üçer ra kam içeren her sıra ve her kolondaki rakamların toplamı 9'a eşittir. Bu top lamın 9'dan büyük olduğu çözüm (ya da çözümler) varsa, en büyük toplamı veren çözümü bulabilir misiniz?

NOT: Örnek olarak aşağıdaki şekil lerde belirtilen ve 9 toplamını veren çözümlerin üçü de, ayni çözümün değişik görüntüleridir. Şekil 1'i 90 de rece sola çevirince Şekil 2'yi elde ederiz. Şekil 3 ise Şekil 2'nin yatay eksene göre simetriğidir. Çözümün (sağa ve sola 90 derece döndürül müş durumları ve her durumun yatay ile düşey eksene göre simetriği de sayılırsa) 8 farklı görüntüsü elde edi lebilirse de, temelde çözüm TEK'tir.

=7 •zg 3

26 1

Şekil 1

53 1

NOT: Geçen sayımızdaki rakamsal kök'ler Hedef Sayısının

konusundaki sohbetimizde, "zarla oynanan rakamsal kök'ü

oyunda hedef sayısını birinci oyuncu seçerse, avantajlı durumda olmak için seçeceği hedef sayısının rakamsal kök'ü ne olmalıdır? diye

1 2

sormuştuk. Yanıt: "7 olmalıdır." Hedef sayı

sı'nın rakamsal kök'ü 7 iken, oyuna başlama

zarı 2,3 veya 4 olursa birinci oyuncunun ka

zanması garantidir. (6 da 3) Seçilen hedef sa

yısı'nın rakamsal kök'üne göre birinci oyun

cunun kazanmasını garantileyen İLK ZAR atışları, şöyledir:

8 9

Kazandıran ilk zar

1 veya 5 2 veya 3 3 veya 4 4 5 3 veya 6 2,3 veya 4 4 YOK

07 2

Şekil 2

5 3 1 39