LİNEER GRAFLAR TEORİSİNİN DEVRE FONKSİYONLARINA UYGULANIŞI

UDK : 621.3.012

Lineer Graflar Teorisinin Devre Fonksiyonlarına Uygulanışı

Yazan : Necdet ŞEN Y. Müh. TRT

'• " •••i;.,"!.ıfc

ÖZET :

Bu yazıda genel olarak pasiv, aktiv, resiprok ve resiprok olmayan lineer devrelerin Lineer Graflar Teorisi veya Devre Topolojisi denilen metotlarla Giriş, Çıkış, Transfer İmitansı ve

Akım, Gerilim Kazanç Fonksiyonlarının hesaplanışı örneklerle anlatılmıştır.

,

|

GİRİŞ :

Lineer devrelerin devre fonksiyonlarının he­ sabında çeşitli metotlar kullanılabilir. Çözüm için başlangıç noktası Kirchoff'un Akımlar ve Gerilimler Kanunu (veya, postülası) olmak üze­ re elde edilen Çevre ve Düğüm Denklemleri tek­ niğinin herhangibirisi kullanılabilir. Bu maksat için modern devreler teorisinde matris ve deter­ minantlar sık sık kullanılırlar. Hesaplar esna­ sında devre ve kofaktör determinantları açılır­ ken birtakım işlem hataları yapılabilir. Hata mühendislikte çok önemli olup, bunun önüne ge­ çebilmek için problemlerin çözümünde kullanıl­ mak üzere çeşitli grafik çözüm yolları aranmış­ tır. Lineer Graflar Teorisi veya Devre Topoloji­ si denilen elektrik devreleri geometrisi, devre elemanlarının birer yönlü çizgi parçası şeklinde gösterilmesi sonucu meydana getirilen diyag­ ramlar üzerinde devreleri inceleme metodudur. Bu metot determinantların açılmaksızm devre için çizilen grafdan faydalanarak devre fonksi­ yonlarının doğrudan doğruya yazılmasını sağ­ lar.

Topolojinin devre sentezine uygulanışı ise Seshu, W. Kim ve Cederbaum'a aittir.

TOPOLOJİK TANIMLAR :

T o p o l o j i k G r a f : e elemanı, d düğümü olan ve pasiv elemanları keyfî olarak; aktiv ele­ manları (kaynakları) polaritesine göre yönlen­ dirilmiş çizgi parçaları şeklinde gösterilmekle meydana getirilen diyagramdır. Diyagramın herbir yönlü çizgisine de topolojik eleman adı veri­ lir.

D ü ğ ü m M a t r i s i (A): Rankı (d-1) olan ve satırları düğümleri, sütunları pasiv devre ele­ manlarını gösteren matristir. Matris yazılırken, topolojik elemanların yönü düğümlere doğru ise - 1 ; düğümlerden öteye iseler -f 1 ve düğümlere bağlı değillerse (O) olarak alınırlar.

A k ı m G r a f ı : Topolojik grafta yalnız akım kaynakları ve pasiv elemanlara has olan topo­ lojik elemanları ihtiva eden alt graftır.

A k ı m - D ü ğ ü m M a t r i s i : (A; ) Akım alt graf inin matrisi olup rankı yine (d-1) dir.

Topoloji üzerinde ilk çalışma 1736 da Euler tarafından Almanyada Königberg şehrinde bu­ lunan yedi köprü üzerinden yalnız bir defa geç­ mek suretiyle karşıya geçme probleminin ince­ lenişi ile başlar. Graf teorisinin elektrik devrele­ rine uygulanışı da 1847 de Kirchoff'un çevre me­ todunu ve 1892 de Maxwel'in düğüm metodunu bulması ile olmuştur. Kirchoff.ve Maxwel topo­ lojiyi ancak pasif devrelere uygulayabildiler. Bu iki bilgin çevre ve düğüm determinantlarını dev­ re için çizilen topolojik diyagrama bakarak bul­ muşlardır. Karşılıklı endüktans ihtiva etmeyen pasiv devreler için daha derin çalışma 1956 da Seshu ve Mayeda tarafından yapılmıştır. Konu­ nun aktiv ve resiprok olmayan genel tipten dev­ relere uygulanışı ancak 1953 de Percival, 1958 de Mayeda ve Coates tarafından sağlanmıştır.

G e r i l i m G r a f ı : Topolojik grafta yalnız gerilim kaynaklan ve pasiv elemanlara has olan topolojik elemanları ihtiva eden alt graftır.

Ge r i l i m - D ü ğ ü m M a t r i s i (Av ) : Gerilim alt grafmın matrisidir.

T o p o l o j i k . A ğ a ç : Bir topolojik graf m bütün düğümlerini ihtiva eden fakat kapalı göz meydana getirmeyecek şekilde (d-1) topolojik elemandan kurulan alt grafdır.

KARŞILIKLI KAYNAKLAR VE AKTİV ADMİTANSLAR

Karşılıklı endüktans bulunmayan resiprok devrelerde Kirchoff ve Maxwel teoremlerinden faydalanarak topolojik ağaçlardan devre fonk-

Elektrlk Münondlallftl .103

slyonları doğrudan doğruya yazılabilir. Aktlv ve resiprok olmayan devrelerde topolojik ağaç­ lara bakılarak bu işlem yapılamaz. Çünkü bu çeşit devrelerde devrenin bir kolundaki akım, herhangi iki noktası arasındaki gerilimin veya tersine olarak; herhangi İki noktası arasındaki gerilim, her hangi bir kolundaki akımın fonksi­ yonu olabilir. Bu yüzden graflarla aktiv ve re­ siprok olmayan devrelerin İncelenmesi doğrudan doğruya yapılamaz. Vakum tüpleri, transistörler gibi aktlv elemanlar, ideal transformatör ve giratör gibi resiprok olmayan elemanları içinde bulunduran devreler bu tiptendirler.

Devrede bulunabilinecek bağımlı bir akım kaynağının akımı, bağımlı bulunduğu diğer kol akımı yeya diğer bir gerilimin fonksiyonudur. Bu sebeple devrenin eşdeğeri çizildikten sonra devreye bu akım kaynağının bulunduğu akımın aktığı kolun gerilimine bağlı sunî bir gerilim kaynak elemanı eklenebilir. îşte bu sunî kaynak elemanlarına Karşılıklı Kaynak adı verilir. Bu­ nun gibi devrede bulunabilecek bağımlı bir ge­ rilim kaynağının gerilimi devrenin herhangi iki düğümü arasındaki gerilimin veya herhanglblr kolun akımının fonksiyonu İse bağımlılığın şekli­ ne göre o düğümler arasına veya o kola bir kar­ şılıklı akım kaynak elemanı yerleştirilebilir. Yer­ leştirilen bu karşılıklı kaynak elemanlarının he­ saplara giren parametrlk değerlerine de Kaynak Aktlv Admltanslan adı verilir.

Devrenin bir kolundaki I (s) akımı en genel halde 1 ve 1' düğümleri arasında Yj (s) öz admitansından ve bu admltansla k ve k' düğüm­ leri arasındaki Vk (s) geriliminden aksedebilen Y k (s) admitansından dolayı meydana gelir. Bu durumda şek 1 (a)

ac

ır

.

s)

-hYal1d>e

Jb\u 1

*'.t kım

8>vkW

I(0-Iı(s)+ItO şeklinde iki bileşenden ibarettir. Buna göre ma­ tematik olarak devrenin durumu 1-1' düğüm­ leri arasında bir I2 (s) karşılıklı akım-kaynak aktlv admitans elemanı ve yine k - k, düğümleri arasına bir karşılıklı gerilim - kaynak aktiv ad­ mitans elemanı yerleştirmek şeklinde düşünüle­ bilir. Bu şekilde vaz edilen devreye Matematik Eşdeğer Devre adı verilir. Şek. 1 (b).

Şek. 1 (b) de bu aktiv admitanslar Y,k (s) olarak gösterilmiştir. Eğer karşılıklı admitans V (s) geriliminden dolayı meydana geliyorsa k, 1 ve k',1* düğümleri çakışır. Böylece matema­ tik eşdeğer devrenin durumu Şek. 2 deki gibi olur.

Devrenin lineer grafı veya topolojik grafını çizmek İçin pasiv elemanlar birer yönlü topolo­ jik-eleman olarak ve kargılıktı kaynaklar da ol­ duğu gibj, bırakılır.

Şekil 2 Elektrik Mühendisliği

AKTIV VB ttESİTKOK OLMAYAN l'ASTV ELEMANLARIN TCŞJDEGKK UBVKFİLERI VB

TOPOLOJIK nnnAi'LAiu

Littecr çraflar teorisini devreleri! uygulaya­ bilmek İçin aktlv va rtulpmk olmayan eleman o! amit bilinen vnhum tüpleri. transistorlar, imnrıfonııat tirler. ve grattirlerlo tek bağıntı matema,tLJc" eşdeg-erlerlnl ve ^ruflarım bilmek gerekir.

BlrEletttroTübUnun Matematik E j d t g t rl ve T o p o l o j i k ( î r a t i : Tillıün anod ntctmi, !<; direnç ve eglnılıı fonksi­ yonudur. Şnk. 3 {bl deki elektrik eşdeğer dev­ reden attod [ikimi alarak bulunur. Bu denklemi şaftla yacak olan matematik eşdeğer ddvre g aktlv ndmltanaiıun göz önüne alınmasıyla. Şok. 11} dçkl esaslara da­ yanarak Şekil 3 (û) deki £lbl bulunur. Bundun tnydalanerak topolojik gmf Şek- 3 (d) deki (fibl alda olunur.

Bir T r a n s i s t o r u n Eşdeğer1 e r 1 Ve G r a f 1 a r ı :

Transistorun matematik eşdeğerini çizmek İçin yine ilnec elektrik eşdeğeri ejElllr. Sonrada bağımlı kaynaklara tekabül eden aktlv admltanslar pereken yerlere yerleştir 11 ir. Bundd tran­ sistorun elektrik efde£v.ri ItjLn herhangi bir 4 uçlu veya r parametrelerİnden biri seçilebilir. Metodumuza daha kolay uygulanabilmesi bakı­ mından r rt» y parametrelerin! alnlltn.

Tabanı topraklı bir transistorun r paramet­ releri CIJIEI adeta eşdeğeri Şek. i Ibj de görülmek­ tedir. l'levrenlrı tnpnlojllt firatl Qek. 4 <cl deki gibi elde olunur.

Elektrik egde£er devrede ti'uıuslstijrttn kolektür di rene ine paralel durumda bulunan , I j ekim kaynağı, ra ıllnm elliden gvçnn 1, altınımın fonksiyonudur.

It = <î?t (Vj-V,! olduğundan se kondüktansına namlı;! ga c de&erlnde bir ^Erilim -kay­ nak alt tiv ndınltanm bağlamak gerekir. gr ye paralel bulunan u j * . aktlv admilnnaıda orijinal akim kaynağına luıatır. Şek. 1 (6) deki mate­ matik eşdeğerden faydalanarak E}ek- 4 (d) deki topolojik £Taf elde edilir.

Transistorun blv 4 - uehı gibi düşünül meniyle y kısa devri; pirometreleri.

yi y f

_v*(s>_ denklemle rlyle lamın) an ir. Bu denklemlerde y(

Sitirtrlk Mflbcneiailgl un

şekil 4 transistorun glrlg admltansmı,'' Yr glrig uçları kısa devreyken geriye j transfer admitansım, yf çıkıg uçlan kısa devre;'iken..ileriye transfer ad­ mitansım ve y„ da çıkıg admitansım göstermek­ tedir. Böylece bu denklemler. yardımıyla Şek. 5 (a) daki emetörü topraklı bir transistor için Şek. 1 deki esas düşünceleri tamamen gerçekle­ yen matematik egdeger ve topolojik graf elde edilmig olur.

A = Ln L2 - L l 2 L21 dir. Şek. 6 (b) de, matris çözüm denklemlerini sağlayan devre buna uygun topolojik graf görülmektedir. ~ ', ••

I* 2

VK

Konvertörü (yani, empedansve admitansı birbi­ rine çevirme düzeni) olarak kullanılır. Gerilim ve akımı ,,da birbirine çevirme özelliği göstere­ bilen gratör aynı zamanda,devresine Şekil, 7 (c) deki gibi bir direnç eklemekle ideal yönlü İzo­ latör olarak kullanılabilir. Ayrıca iki gratörün kaskad bağlanması İle meydana gelen devre ideal bir transformatör gibi çalışır. Şekil. 7 (d)

Şekil: 6

Bir Gratör.ün Tanımı, M a t e ­ matik Eşdeğeri ve Topolojik GriLf ı

Gratör ilk olarak 19.48 de Tellegen tarafından Philips Labaratuarlarında bulunmuş olup, di­ renç, endüktans, kapasitans ve ideal transforma­ törden sonra beşinci devre elemanıdır. Sembolik oliiralî Ş'.'Er 7 (a) daki gibi gösterilen ve resiprûK n]miiy:in gratör pasiv bir eleman olup aşafitinkl ücnÎLİeııılurl sağlar. Öu denklemlerde q yn ^ntLiir admltansı veya konversiyon iletkenli­ ği adı verilir

•M** "•

O q~

pmi'i.' = ı

h() s _-q 0 _

V\(s). V,(s)

Crjıtür pratlkdu Yarı iletkenlerde Hail Tesiri ye rerrlUerde b'araciKy Tesiri olayından faydalabnrnk. ferceklcglMIİr- Gratörün modern mühenclîıülktc .foısımU uygulama yerleri yardır.. imi tana

HtUtrik MüHqn<lıaıl&i 103

Gratürün denklemlerine bakamı. rııatemal Ik eş. değeri çiallebiUr. Eu eşdeğerden aym işamanda topolojik graf bulunmuş; olur, Çift kanallı bir glıatör İçin q,, q; gSu] İlci parametre tarif oâlHr. Şekil'7 te).

Tupulujuk Mc tud u n D P v ft foiıkslyüclarıaa Uygulanışı;

Bir devre fonksiyonu, devredeki oudÜklaıiK VW kupasttatıil ardaki baglangıç şartlarının sıfır alımı lasıy la ve bütün bağımsız akim vt gerili m kaynaklarının devre dıgı bırakılmadı 1le

Çözüm [Cevap} Fonksiyonu

Devre Fonksiyonu = —-

-

Kaynak. Fonksiyonu

olarak tanımlanır. En tanıma gdre hesaplanma­ sı İslenen devre fon kalyonunun cinaine göre, devrenin elektrik egdegerlnde kaynak i'onhsiyti­ ni] gurcktn uçlara yerleştirilir, Matematik eşde­ ğerde ise hem kaynak ve hem de çüzüıu lonkal­ yon lan heaaplanacak foults İyonun tanımına, uy­ gun uları k birer karşılıklı kaynak aktlv admitansları seklinde yererine yerleştirilirler, Eu tjjr Lemin uygulan ıhında glrls, unlarına karşılıklı akım - kajnük ulemam baglanacaksa Norton ti­ pinde, yani hu karşılıklı kaynak giriş uçlarına paralel bağlanmalıdır. Eğer karşılıklı kaynak bir gerilim - kaynak ele mam Isu bu kes devrenin glrlglne Tlıevenln Üplnda, yani glrig uçianudalıJ elemana seri olarak girer. Çö"zilm fonksiyonu ha­ kim indim, karşılıklı kaynak aktlv adini tan s ele­ manlarının çıkış uçlarına bağlanışları, eğer çö­ züm fonksiyonu akım İse, yük eJemanmu. seri; ta ger çözüm fonltaiyonu, gerilim fonksiyonu lae yük dumanına paralel bağlanır,

Lineer graflar teorisinde adı geçen Perclval Teoremine göre bir devrenin çizilen topolojik grafının nerhan£İ 1 ve i gibi İki dugümü arasın­ da bulurum bir y elemanını İçine aînn ağaç admltatıslarinm çarpımları yoplamı

yk w'"° (Y) ve bu yt elemanını içine alma­ yan ağaç admllanaları çarpımları toplamı da V {Y) olduğuna göre. toplam topolojik diyagra­ mın nçaç İçi admltunsları çarpımları toplamı

V, (Y) pollnOmU ile gösterildiğine güre,

(D

(2)

V(V)

-yi

w)

veya

(S1

ıs

• ili"

Yi

bağıntıları elde edilir. Halbuki başlangıçta y^ devre fonksiyonu olarak tanımlanan aktlv aümltanaları göstermek üzere seçil lr.se birincisi adnıltana fonksiyonlarını ve ikincisi de empedans fon kalyonlarını verir. OlıaTd-e

Vıj

V(V}_

İV£ (YJ

_Wİ;°(Y) (4)

sonuçları elde edilmiş olur, Eu iki denklem ya­ zılışları bakımından birbirlerinin tersi olarak gö­ rü lüyurlarda da, transfer fonksiyonlarının ters­ leri de bir. transfer fonksiyonu olmadığı gerçe­ ğini hatır lam alıdır. Aslında (l, o} ve < ji, o> dü­ ğümleri arasındaki Lransfcr fonksiyonu hesap­ lanırken matematik eşdeğerde k;ıynak ve çözüm fonksiyonlarını gösteren karşılıklı kaynak akfiv admllaiıtdlarınm İkameleri, bu fonksiyonları bir­ birinden tamamen farklı kılar.

Elr grafdan elde edilebilecek topolojik ağaç­ ların aayısı T, devrenin akım gralı matrisi A; ve geri İlim grafı A„ nin evriği A v ' olduğuna göre topolojik toulaııi ağaç sayı

T=det|A, AT'|

d)

di e.

Dûvra fonlcsty onlarının pay ve payda poll Koru­ larını meydana getiren ağaç İçi ndmllonalan çar­ pımları tsaret Fernıülııayonıt KıUdeti ile bulunur. işaret permüfaatonu kaidecinin uygulanışı ör­ neklerde dalıa iyi anlaşıl önektir.

ürrıoh :

Şekil B (a) dalcl carpraz tip devrenin Trans­ fer empedanfiinııı hesabı :

Transfer eınpcdansı Zt = T ! 3 / 3 , olduğundan cüzüm fonltslyonu olan Vc nin çözüm fonksi­ yonu elemimi çıkışa paralel vo kaynak lonltalyonu elemanı c;irişe paralel triarok bağlanır. Şekil 8 (b) de bunu görmekteyiz. ^u devre böylece gorfçek devrenin matematik c^de^crl lıalinc gel­ miş, olur. Eundan aonıa devrenin yıaslv eleman­ ları birer topolojik eleman oiarak g'oatei'erek Se­ kil S 1c) deki topolojik graf elde edilmiş olur.

Topolojik garfton Bnce yalm» akım aktlv admlLansları ve topolojik elemanlar alınarak akım ve gei'lllıtı alt graflan çizilir: Çekil S). Bu iki grafdan elde. edileock bütün orlak topolojik ağaç İçi admltans çarpımları İki grupta toplanır. Bun­ lar y aktiv ad mi tamlarını İçine alanlar ve bu

Elektrik Mühendisliği :•.:>

olup bunlardan Hk Lki agacln admltanalarann akım ve serilim ^rafları Üzerindeki yerleri ayttıdir, Olıalde ağaç ndmitûnsltırınnı çarpımlarının yalnJssca İlk llüainin İşaretleri dogiçik olabilir. rtutılzLnıı İşaretlerinin nasıl bulunacağı aşağıdaki

Ak'Sn,f,

Gerilim

i'cfitl i

W (Y> : V <Y) :

yY,Y3l yYAY, Y ^ Y , . Y.Y.Y,,

Yty3Yfl. Y.Y.Y.,,

,•

»dml tansı İçine almayanlar. C2) denklemine gtiı* y Ue". çarpın; durumunda planlsu- W (Y> pDiınomütıu ve diğerleri de v (Y) pgiinomunu ve­ rirler. OhAlde Şeklî fl dan bu çarpımlar bulunur,

vs

Y^Y,. Y,YJ41

Y,l u *** YV ^ Y . Y , , TaY,Y9

Y, Y3 * „ Ys v , Y* *a Y( Yw Yj Y^ 1 6 ,

gibi düzenlenen İşaret pcrmülasyonu tablosu İle bulunabilir, £)l£er egna İçi admitanalan çarpımlann;n işaretleri nynt tarzda düzenlenecek tablo (la bulunabilir, Bu Iglam yapılınca bunların po­ zitif laaruL olacakı garfllür.

Topolojik ağaçların adih. çarp.

f&%

İ«İ?.

taaret permtiLaHyonu matrisi

Ağaç hdmftnnslan çarpımı­ nın igaretl

— Ya Ya

v Y.

y Ya

r, - Y ,

Yn

T . -y

( _ U T I + CI^ 1 t + J = ( 1) (_ l ) * M = _ ı

. Burndö n = lyarel purmütasyonu matrisindeki nebativ İgurellsırln taymı, q E bu matrlade Bütünlün nynı elemanlardan kurmak için gereken eleman yet değiştirme sayısıdır. Matrisin satirlan I ve V Jle göfiterllııda, olup akını ve gerilini ET»flınlJU belirtir, 1, 2, 3 rakamları «e gösteri­ len. sütunlar Jse düğünde re aittir.

Böylece transfer enıpedanst. (4) denkleminden

YaYft.y,,

V (Y)

%&%%ı + ^ Y j Y , + ytY,T, + Y Y l Y i 4 + Y ^ Y . + Y ^ Y , + :Y1Y,Vfl+Y1Y,Y,+Y1YaY,

4-Y=Y,Ya + YIT,Y, + Y3Y,YJ

+ T T ^ V , + Y>Y,Y„ I

Ornck 2 :

Şekil İÜ fa) dakl gert beslemeli amplffikatJi rün kazanç fonksiyonun hesaplanışı : Burada-

Kasanç fpnkaiyt)hü

Vı

TLZı %

=YtZ

olduğuna göre Vt transfer adini tansı hesaplanıp ZL yük empsdansı İle çapınnakdır.

Y. transfer admlta&sının hesabi için devre'

nitı elektrik! .eşdeğerinden lıateketla matematik eşdeğeri ve Şekil (o) deki topolojik grafı ç inile­ bilir. Y, nln tanımı gareglnce cözum fonksiyununu bir ulam - kaynak aktlv adnıitansı alstrük gtrifl düfrümlerl arasına bağlamı lalıdır, Bu; graftELa elde edilen Şekil 11 deki akım Ve gerilini alt gva fi arından bulunan ortak ağaç. lcl admllsınK çarpımları Ikl grupta .toplanır. Bunlar y yi İhti­ va edenler ve İhtiva etmöynükır ;

vv{Y) : VmLj yV.VL, >'Y YL' yY.Yr, yY, Yr ,y î t b ' P ıVYi ğ; >'Yr gj, ,yY, g„,, | V(Y) : Y ^ f T u " ^ Y J Y L

Bu ognç çarpırnlannuı İbaretleri İşaret pfinnütasyonu tablam yardmuyla aşağıdaki gibi bulu­ nur.

TO[JOlO j [1{ jııİnf'Ljsnn flılm. r;jırp.

t^Etrot purmiit as yo nn m a t r i s i

a3

.1

Ağaç lulm, çarp, işareti

1 Ij

i y —Y 1

a+ı C—D = — 1

İT L, yY Y rı ıP

> y —Y

Î:

rr

' İ —Y t v 0 —Y t

Yo

Y' y

I>

go

gy

(—D = - ı t—i) = - ı (-D = - ı

yYg sP yY g tP

1 tıı ei

1i

Ü

v 0 —Y s

gy r

iy v0

Y —Y y

s y —Y —Y

v 0 —Y —Y

f—1}

( — 1 ) = —%

1+2 (—D - — ı

(—D = — ı

'1 + 1

İ—i} =;—İ

[tL

-. E YY at J u

vY e

FîeKLrHc MÜhanaisllfrl 103

1+3

Y (—1)

T,

g -Y

Ol

Y0

İJ

3+a

{—D

M<m 9raft

Ger i lif* S™/f

Şekil; İZ sı

V {Y)

Krtzaqç fonksiyonu G =

Z L olup

payda poünamu tamamen tıcgattv olup ücgnüv

işaretini pay it alacak

YY — g Y

ı i mı

G =-

Y Y + Y Y + Y Y 4-YY + Y Y

ıf

fL

tK R L

+ •Yg:+Yg +Y g + Yg

İP I p bulunmuş olur, Örnek 3 :

El» I m

Şekil 12 {a} d&kl fcaült •.:•. ı:.,ı. >.•.:•:IL ..LU; lifi-

Itatöi'Uıı tmnafer adıtıttausı glrlg cmpedanslmn

hesabı.

v paramıîLrelıirl kullanılmakla devrenin elektrik

eşdeğeri Ştik. 12 {b> deki gibidir. TraEidfer admltansı İçin topolojik graf ve alcım, gerilim alt

graflorı Şek, 12 (o} efe g^rûlmcıktcdlr. Böylece

devrenin agag İçi admltasıa çarpımları:

W(Y) y y y - y y y . y y Y . y y Y ,

fr

IE

iL

V(Y) Yıy Yr L

olup, tunların İşaret permü losyonu tııbloau aşa­

ğıdaki gibi düzenlenir,

büylece transfer admltonsı

J i t.

y y — ( Y Y + yy +

[i

lL

yYsyy)

iLi0

Olüt,

Giriş empudanainm hesabı için kaynak oktlv ad tıd Caııslartuı (1,0] düğümleri arasına bağ­ lamak gerekir. Böylece topolojik graf in ve akım, gerilim alt graflarıııın durumu Şek. 13 deki gi­ bidir, Aynı şekilde a ğ a ; admltaıislart çarpım­ larının İşaret tabİ03j aşağıdaltl gibidir. Ağaç admil atışları çarpımları:

W(Y}: yYY , yyy , y y y , yY y , yyY

J L la

rT

1a

İL

V(Y): yy Y, yYY , yy Y ia ı ı ı & rr ı

olduklarına, güre tabi unun durumu

Topolojik İşaret pprmill:ı>, • .i: i nıntrLşl

afcaelamı

adın. çarp,

Çarpım işareti

yy y rr ı li yy ?

°ı

1L f 1L

yt

o (—1)

=1

i 0 —Y Y y

y+ı

v y _ Y Y 0 (—1) = — 1

ı.

y y

y 0

(—D = — 1

i 0 —Y y

v y -Y y

o (—1) = — 1

J

i 0 y Y .y

0 ı-D

=-ı

i 0 —Y vY y

!

L,

İ+3 (-1) =

i V. a

(tJ

AJc.m Gi-öA

Şekil i 11

Topolojik avuçların ıııtnn, çarp.

Igııret ııerTnlSlasyomı Ttıutriıl

Çarpımların ı -.ı r. 11.-r;

I I, yyy 1n yyy ta y YY 1O yyy L t, yyı y1 n i t 1.

iy Vy iy Vy iy Vy iV Vy iV Vy iY VY

]Y VY

Y vY

-Y y !

1'

t)

(—13 = 1

{—D = 1

(—1) - 1

l>

y (~1) = - - 1

»eklinde olun Bflylcce £İrJg empcdamı

Z=

=,

V(Yj

ıL

l-yy _ y y + Y y H-yY

1D

r(

ı i.

yyY +yYY — y y y

LıL

tt j

Ömflk 4 : Tabanı tonmklı baalt bir tranalatfirtU lunpnfihJltör kalının akım kazancının beMbı:

'L

tf=

^

I,

Y L V, =

Zt YL

olduğuna

güm Z, transfer empedansını hesaplayıp yllk

attmltanaı İle çarpmak maksada yeter.

Devrenin r parama Lrçlcrl e! hainden egdefiorl çizilerek matematik eadegeri ve Lopolajlk gafı­ na goelleblle bilir, Transfer admltanaı tanımın­ dan Tay dal anarak (1,03 vc (3.0) düğümleri ara­ ğına bir akım ve gerilim karşılıklı kaynaklarını bağlamak îjeruklr. Eıı suretle fjüJt- U den, çürü­ ten egdegerFer ve g a f l a r elde edilir.

Jörtirllt M(ibtnı)tif!iitf us

(d) Ahtr, Gmfi

::•<

Şek. 14 (c) dek) topolojik grafean Lkl nlt e;rei t! İde G dil İr, 14 (d). Bu ülL ^mflp-rdan eldü cdUen urLnk agns aümLtaıısIarı çiirpun.arj işaretler] ile ağacıdaki t a b l o d a eldti edilir,

X'uj Mıl.jJ M-f iijaçlnnıı inlin. çıırj),

t^BJşti İlerini.tuşlunu mulrİKİ

A £:.[,' julrıı.

çar|). itfa.

yg g et a yg <ıg J3 ti

Ygg ge c

YgY se L

Yg Y |t H L

Y gY ec L • gg g a i! c gg Y aE L ggv

«(TL

«g Y Y aSU

Ve i yo iY a ir

« iY tr iY i -- S

—s V U ig 0 s V a ig

İT

—g C g û g B S B

—g t

"g

—g 6 g E g B

—S c y

—<ıg

—g . B

•e

g. S

ge

c

B

1,

.ip

—ttg

s (—1) = 1 s {—D = 1

C-l) = 1

'İHİ-M (—D = — i

(°)

{€) O

Akfrn Grafi Ul * Gcnti'ın Gruft

Bu tablodan-akım kazancı fonkalyoııu

Şcktl: IS

Y g g + Y g Y + Yg Y

E 0 O p ti L

gSL

(gg + g g ) Y eD ec L

+ Y g Y + gg g + g g Y

s C L a II e

ftBJ-

+ g g Y — -g Y Y .o C L , E . f f L

çe killide bulunmuş olur.

örnek S : Geri besleme devresi oî&rak anodu İle ızga­

rası arasıtuln gratbr bulunan bir ampÜÜkatbrÜnün çıkış empedaıtamm. bulunuşu :

Elelitrit M itilen ti Uıl Lg t 1Ü3

3-

Çıknj eınpcdansı fonkalyonu Za = V,/!^ şek­ linde olduğunu göre devrenin graûnüa (3,0) dü­ ğümleri nm-ium birbirine sar! dumnıcln, (ilan i)d kaynak aktlv odıııltanaı bağlamak gerelür, Şek. 15 (b), Devre fonksiyonu tanımından dolayı e* kayıiagı kısa devre edilmelidir. Ağaç adııallanalan çarpımlan ve işaret tabluaujı yardımıyla, çılog empedanaı derhal yazılabilir.

?< *

§E

(a)

Topolojik tşaret permlltasyonu malrhl

(tflnı. çarp.

îsarot

yYg ıU yqq ıa yqg

1m

i —<ı f —q vg

y (-1) = 1

2+1-

Y qq

". 1 2

V gY

Lp 1

Pıa

î"—q a

İV

] i —q vq a

—q ı g p

Y r.

{-V

=

1.

Y (—13 = 1

1+1

C-l) =

^fc(JP, Ofifi o SeWÜm Gra£

Buradan çıkış empadansı

EV£Y)

Yg + q q — qg

ip

I a M TU

q qı Ya

ıq aqPn

gp Tı

ürntk fi ',

Son olar&k eedeğıer devresi verilmiş nlan transtorıriûrörlil bir amplifikatör devresinin çı? kuj ompedaiiKinın hesaplanışı :

Şek. 16 da devrenin lopoloJLlî grafı ve bunla­ rın akım, gerilim alt omlarının, çizilmesi İle el­ de olunan a£»£ . aamltanalan çarpımları yukarı­ daki tablodaki gibi İşaretleri tle birlikte bulun­ duktan sonra çıkış admltansı i

V(Y) Y,=

YY + Y Y + Y g +

2 c eD

Vff_yy_lsy

ip 3 4

Y +Y

KeUrik MohcnaİBİlfl 103

-.",

1. P t ö t . Dr. TftnSc OifcOf; D e v i r AuaJlzh Çora N o t ­ l a n , Î.T.Ü. EteStrlIC Falı.. iadO.

2 BfralLU ' Paia&mUûD: Lüıoftr NetWQrJi AnBlyalE, J o h n Vı'liır,', luûü.

i t i m - C h l e n ; Topoloni-cal AnuJjSİTi a n a EynttmıLS of ComnıunicatLon nfcîvVOrBa, ColUmblIt Univ. Pfpba, 1Ö02.

Betti; Siı;n<ı Tupalıifflcttl CJonjsIdcraılıms m N e t ' WQTk Ttıeory, HLE, TraöS. PO, CT. -S, 1068 say­ la W - 4Û.

3 MayoeU - 8 « } ı u : TüpoloBİcııl FormulM fior Net­ i m l e FuncLloıiH. Un't*. of IHİIIÖÜJ BulİHtln N o ; 4+0. • 446. Eıiff. Lal*. StHilOll 1057.

Coates; General Topolnalcîil P o n w l c a . r o r Llnfrar ]fet*<ırfc PUnCtifırtK. İRE, Ttana. PG, Ut. -5. IP&fl ftayfa 39 - il.

4. Retıd - 5 e * l ı u . U u c a r Grupta Unıl Glectrlckl

Ncv^üris,' Anaları - w«sicy. ıoaı.

10. Jîarury. Grapli T h e o f f 4tlHl Elısntrlc Nnlworl«,

İRE Tran». PO; CT, -0, 1969.

Jl. Pullfin; Topotogleal and MatcLr K f t h o d s . Rlöar puiı. ısa^.

11. Oe Plan: Lınoar AcUve Netrorfc Thoory. Prtn tlco • Hull. l B S t

5, PUILOÜ; Hanüboak ol Transistor CLrüult tteaign. prcntics - Hail, ıoaı.

13. Wejnbürsf; KeLIrorJc Analvala and Üynthcalfl. Mc Grate - Ttlll. Iûfl2.

2B

EH-ktrifc MülırndUiHgl 103