LİNEER OLMAYAN ELEKTRİK DEVRELERİNDE OPTİMUM DİNAMİK KARARLILIK

UDK: 621,8.028

Lineer Olmayan Elektrik Devrelerinde Optimum Dinamik Kararlılık yazan: Necdet ŞEN Enek. Y. Müh.

ÖZET:

Dinamik bir sistemin kurulması ve çalış masında karşılaşılan en önemli problem, sis tem performansının en iyi olmast ve bu du rumda kararlı kalabilmesidir. Bu yazıda genel koşullardaki bir sistemin optimum dinamik kararlılığı için gerekli matematik bağıntılar araştırılmıştır. Lineer olmayan BLCM devrele ri örnek olarak alınmış ve kanonik vektör matris sistem denklemleri fonksiyonel bi çimde yapılmıştır. Yeni bir tip Liapunov Fonksiyonati tanımlanarak Pontryagin ve Ha milton Jacobi Denklemleri devrenin kapalı çevre modelinin optimum kararlılığı araştı rılmıştır.

SUMMARY:

in the desing and operation of a dynami cal system, the most important problem is the optimum system performance whllst ma intaining system •stabüity. The a uthor in vestigated the necessary mathematical rela tionships for optimum dynamical stability under general conditUms. A non linear BLCM netıoork is given as an example and, the cano nical matrix vector equations are presented in functional from. A nem type of Liapunov functional has been devised. Further, the stability of a close loop model of a non hne ar nettoork is optimized by the Pontryagin Prindple and Hamilton Jacobi Eguations.

Sembollerin tanıtım sırası:

K

durum vektörü

kaynak vektörü

U_

türev

zaman

t

akım ve gerilim kaynakları vektörü

topolojik ağaç dalları ve bağları İl

D

giyi belirten ve elemanları ± 1,0 olan

topolojik transformasyon matrisi

LJapunov skaler fonksiyonu

V,

skaler potansiyel fonksiyonu

İM vektörün iç çarpımı

gradyen operatörü

L ve C glftTnıı.nin.rımn köşegen mat

risleri köşegen olan matrisleri

H,

Hamilton ve Lagrangian fonksiyon

ları

P

Raylelgh kayıp fonksiyonu

toplam kayıp fonksiyonu

çarpan vektör (Lagrage çarpanları

vektörü gibi)

1,2

topolojik ağacın bağ ve dallarını gös

teren İndisler.

Giriş:

Zaman değişkenli lineer olmayan sistemler genel olarak vektör matris gösterilimi ile kano nik biçimde

* = £(«(*).üW )

(D

lfr

gibi bir diferansiyel denklem ile belirtilebilirler. Genelleştirilmiş devreler teorisi bakımından x durum vektörünün bileşenleri, devrenin lineer grafmdan seçilen normal topolojik ağaçtaki ma ximum sayıdaki kapasitanslann gerilimleri ve bu ağacın bağlarındaki masdmum sayıdaki in düktanslann akımları, u vektörünün bileşenleri ise, sistemi uyaran bağımsız akım ve gerilim kaynakları vektörleri olup [1, 2, 3],

ito

(2)

«M

biçimlerinde yazılabilirler, Genel tipten lineer olmayan bir RLCM devresinin çeşitli biçimlerde devre denklemlerini geliştirmek mümkündür (Pa rametrlk Analiz [2, 3], Hamilton Lagrange Jacobi [9] gibi)

Buradaki düşüncemiz dinamik kararlılık du rumunu ve onun optimumlaştırılması olup, Lia punov Kararlılık Teoremine devineceğimizden, bu teoremin dayandığı temel kavram olan enerji dü şüncesinden hareket edeceğiz [4,5].

Kirchhoff Denklemleri, Potansiyel Fonksiyonu ve Topolojisi:

Kirdhhoff'un Akım ve Gerilim Postülalann dan hareketle [1, 2], (3) denklemlerini yazmak mümkündür.

Mühendisliği 156

(3)

Bu denklanı çok değişkenli bir fonksiyon düşün cesi ile [8], (4) gibi bir iççarpımın integrali olan bir skaler fonksiyon olarak yazılabilir.

(4)

Bu bağıntıya dikkat edilirse Moser'in [6] lineer olmayan devreler için elemanter devre düşünce siyle klasik biçimde yazdığı (5) deki P ( v c , ' ) potansiyel fonksiyonunun benzeridir.

(5) k(iı)

Moser bu denldemlerl yararken devreyi eleman ter olarak düşünmüş, ve tünel dlyot devrelerine uygulamıştı. Gerçekte bu denklemleri geniş ola rak ele alıp saf kapasltans öz çevreleri ve öz indüktans kesitleri için ve yine bağımlı kaynak lan da İşe karıştırarak yazmak mümkün olabi lir. (8) den hareketle (1) tipindeki denklemler (9) dakl gibi yazılabilir.

(9)

"Uİıt.*J O

burada

(10)

olarak yazılabilir. Denge konumunun kararlılığı düşünülerek lineer olmayan bir RLCM devre sinin potansiyel fonksiyonu ı

(4) ıntegrali ile tanımlanan fonksiyon bir çiz gizel integral olup yola bağU değildir ve bağım sız V2 ve ij değişkenleri cinsinden genel olarak (6) daki gibi yazılabilir.

(6)

Amacımız denge konumundaki kararlılık duru munu aramak olduğuna göre zorlanmamış bir sistemde (u = 0) yukardaki potansiyel fonksi yonu topolojik olarak (7) deki gibi tekrar yazı labilir.

C1C

0y i.J

Burada bağımlı kaynaklan pasiv elemanların akım ve gerilim fonksiyonları ile belirttiğimizi kabul ediyoruz. (7) denklemlerine dikkat edilirse akım vektörünün bileşenlerine göre gradyeni Kirchhoff'un Akım ve Gerilimler Kanunu olarak ortaya çıkar. Böylece (1) denklemlerine benze terek kolayca (8) elde edilir.

durumuna gelir. Bu denklemin sag tarafının bi rinci terimi reaktif elemanların ikinci terimi ise direnç sınıfından olan (girator, ideal transfor matör, NIC ve alçak frekans bölgesine küple di renç elemanları gibi modellendirilen tüb ve tran sisitorlar) devre elemanlarına aittir. Bu İntegral terim Hamllton Lagrange dinamlğindeki Ray leigh kayıp fonksiyonlarının aynıdır (toplam ka yıp fonksiyonu) [9].

Liapunov Fonksiyonunun Seçilişi [4, 5] :

V (x, t) Liapunov Fonksiyonu skaler bir fonk siyon olup x.;^0 olmak üzere pozitiv definit bir fonksiyondur. V(0) = 0 d i r . Liapunov 2ci meto duna göre eğer bu fonksiyonun birinci zaman türevi x^;0 olmak üzere negatif ise (1) deki gibi tanımlanan dinamik bir sistem aslmptotik olarak kararlıdır.

Genel tip bir RLCM devresinin u = 0 alına rak Tellegen Teoremi [11] uygulanırsa devrenin akım ve gerilimleri arasında (12) deki gibi iç çarpım bağıntısı elde edilir.

veya

Bu denklem kolayca (13) durumuna getirilebilir*

UfcA (8)

(13)

Elektrik Mühendisliği 156

Bu denklem Hamilton Lagrange Denklemlerin den bulunabilen sonucun aynıdır* ve gibi yazılabilir (u = 0 olmak üzere).

^ (Kinetik enerji) +

(14)

—(Potansiyel enerji) = — (Toplam kayıplar)

Bu son iki sonuç birbirlerinin aynı olup, denile bilir ki (13) deki sağ tarafın integrali pozitif de finlt olduğu zaman bir Liapunov fonksiyonu el de edilir.

Eğer sistemde bağımsız kaynaklar yoksa ve •. "(X, t) matrisi pozltif definit ise ve yine direnç lerin •î^rekterlstikleri ile reaktif elemanların de poladıkla: enerji fonksiyonlarının karekteristik leri artan fonksiyonlar iseler sisteme tamamen kararlıdır gözü ile bakılabilir.

Optünumlaştırma [7,12] : (1) deki gibi tanımlanan bir sistemde u(t) vektörü, bir kapalı çevre kontrol sisteminin gi riş, vektörü olsun. Bu, devre düşüncesi ile, 'ba ğımlı kaynakların var, bağımsızların sıfır ol ması anlamına gelir (bir osilatör devresi gibi). Bu durumda sistemin optimumlaştırılması (örne ğin mlnimumlaştınlması) istenen Liapunov fonk siyonu,

(15) Olarak alınmakla

(16)

performans indeksi fonksiyonu olarak yazılabilir. Diğer taraftan Pontryagin Prensibindeki düşün ce ile Hamilton Kanonlk Denklemleri

(17)

yazılır; burada >. V V(x) abnarak Pontryagin Ponksiyonu

(18)

biçiminde olup, Hamllton Jacobl denklemlerine göre

H=0

(19)

yazılarak optimum Liapunov fonksiyonu için (20) alınabilir,

^GO{ (^>

(20)

böylece (16) için aranılan performans indeksi fonksiyonu bulunmuş olur. (9) daki devre denk lemlerini ve (20) deki sonuç birleştirilirse

elde edilir. Bu sonuç (16) da yerine konularak Lagrange tipi performance indeksi elde edilmiş olur. Problemin buradan sonrası bilinen bir Var yasyon Hesabı işlemi durumuna gelmektedir.

Sonsöz ve İrdeleme : Optimumlaştırma işle minde performans İndeksi fonksiyonalı bir Lag range tipi olarak düşünülmüştür. Daha ileri bir çalışma olarak hangi durumlarda performans in deksinin Bolza tipi performans fonksiyonalı olarak ele alınıp alınamayacağı düşünülebilir. Ve yine gürültü kaynakları ve bozucu büyüklükle rin (1) denkleminde alınmış olduğu durumlarda problemin Stokastlk Optimumlaştırılması yapıla bilir.

KAYNAKLAR:

1. Bryant, P. R.: Order of Complexity of Elec trical Netvvorks, Proc. IEE (London), Part C (105), pp 174 188, June 1959.

2. Kuh, E. S. Rohrer, R. A.: The Stata Va riable Approack to Network Analysis, Proc. IEEE, Vol. 53, pp. 672 686, july 1965.

3. Chua, L. O. Rohrer, R. A.: On the Dyna mlcal Equations of a Clasal of Nonlinear RLC Networks, IEEE Trans. CT 12, No. 4 pp. 475 489, Dec. 1965.

4. Hahn, W.: Theory and Applications of Lia punov*s Direct Method, Prentice Hall, 1963.

5. Kalman, R. E. Bertram, J. E.: Control System Analysis and Deslgn via the Second Method of Liapunov, Part I. Trans. ASME J. Bas. Eng. pp. 371 393, june 1960.

6. Moser, J. K.: On the Differential Equations of Electrical Circuits, and Global Nature of the Solutions, Int. Symp. on Nonlln. Mech. and Nonlinear Diff, Eqns 31 July 4 Aug. 1961, pp. 147 154, Editör: S. Lefchetz La Salle, Academic Press, 1963.

7. Aüıans, M. Falb, P. L.: Optimal Control, 1966, McGraw Hill.

8. Fleming, W. A.: Functions of Several Vari ables, Addison Wesley 1965.

9. Şen, N.: Topologic Hamiltonian Analysis of Netvrork their Stability investigation by Lia punov Method IEEE llth. Mldvcest Symp. on Circuit Theory, May 13 14, 1968, Unlverslty of Nötre "Dame, Indiana, "U.S.A. Editör. IEEE CT Grub, pp. 390 398.

10. Şen, N.: Genel Tipten Elektrik Devrelerinin Durum Denklemleri ve Topolojik Çözümle ri, Tur. Bil. ve Tek. Araş Ku. (TÜBİTAK) 1. Bil. Kong. Tebliğ, 4 6 Ekim, 1967, Anka ra Üniversitesi, ve Ba. Bakan. «Bayındırlık İşleri Dergisi» Cilt. 44 8, 9, sayfa 32 38, 1968.

11. Tellegen, B.D.H.: A General Network The orem \vith Applications, Philips Res. Rep. 7, 1952.

12. Weaver, L. F. Schultz, D. C: NASA Con tractor Rep. CR 193, Marc 1965, Wash. D.C. USA.

Elekti ik Mühendisliği 166