ARAYA GİRME KAYBI İLE SÜZGEÇ SENTEZİ

Araya Girme Kaybı İle Süzgeç Sentezi

ÜDKl 621.872.54

Yazan : Ümit /ÖZGÜNE» Î.T.Ü. Müh. Mtm. Fak.

ÖZET L ve C elemanları İle süzgeç /sentezinde araya girme kaybı metodunun temelleri tanıtılmaktadır, tstenen zayıflama toleranslarından, etekti! transmisyon ve karakteristik /aktör yolu ile z parametrelerinin bulunuşu genel olarak gösterilmiş, yaklaşıklık açısından Butterıoorth, Tchebychev, Cauer tipi ve genel parametreli filtreler incelenmiştir. İncelemelerde özel yollar yerine, gerek notasyon gerek yöntem bütünlüğü getirilmesine önem verilmiş, aırnca özellikle araya girme kaybı ile süzgeç sentezinde bilgisayar kullanmanın önemine değinilmiştir.

SUMMARY

A survey is made of the linsertion-loss method tn

LC filter synthesis. Starting /rom given attenuation tolerances, jderivatian of the open-drcu.it

impedance functions, through the transmission coefftdent and the characteristic factor, is given. The

types of approzimations considered result in Puttenvorth, Tchebychev, Cauer and 'General Parameter filters. lnstead of spedal methods for eactı,, c.

unified treatmentl is made, and the necessity of

computer implementation in inservion loss theory

is shovm,

/

1. GİRİŞ

Elektriksel frekans 6ügeçleri teorisinin temeli yirminci yüzyılın başında atılmıştır. Kari W. VVagner ve George A. Campbell'in öncülüğünden sonra Zobel, Cauer, Darlington ve Filoty gibi araştırıcılar, bu konudaki teorileri ve metodları geliştirmişlerdir. Süzgeç devrelerinin birçok teknik alanda (haberleşme ve ölçme alanlarında ve çeşitli elektronik aletlerde) uygulama bulabilmesi, araştırmaların sürmesine bir neden olmuştur. Giderek süzgeçlerden, geçireceği ve geçirmlyeceği işaretler arasmda çok keskin bir ayırma olanağı istendiği gibi, süzgeç sentezine kristaller, aktif elemanlar ve dağılmış parametreli elemanlar da girmiştir. Bugün süzgeçlerin gerçekleştirilmesinde maliyet problemi bile sentez teorisine etkimektedir. Bu arada, bilgi sayarların sağla dığı olanaklar ile gene süzgeçlere ilişkin yöntem ve teorileri yeniden gözden geçirme zorunlumu ortaya çıkmıştır.

İki kapılı bir devre olan bir süzgeçten istenen, belirli bir frekans aralığındaki giriş işaretini çıkığa hiç iletmemesi (söndürme bandı) bunun dışındaki frekanstaki işaretleri ise aynen iletmesidir (geçirme bandı). Nedensellik ilkesinden dolayı böyle bir süzgeç gerçekleşemez [6], [11]. Ancak kullanıldıkları yerlere göre süzgeçlerin söndürma bantlarındaki zayıflamalarının büyük fakat sonlu, geçirme bantlarındaki zayıflamalarının ise küçük fakat sıfırdan farklı olmaları yeterlidir. Gerçekleştirilecek iki kapılı devrenin parametreleri birer rasyonel fonksiyon

olacağından zayıflama ifadesinin de geçirme ve söndürma bantlarında istenen zayıflama sınırlarını sağlayan polinom veya rasyonel fonksiyonlar olması gerekir. Böylece süzgeç sentezine yaklaşıklık teorisinin de gireceği görülür.

Süzgeç sentezinde belli başlı iki yöntem vardır:

1. Görüntü parametreleri yöntemi.

2. Araya girme kaybı yöntemi.

Bunlardan ilki diğerinden önce gelişmiştir ve İncelenmesi için çeşitli kaynaklara başvurulabilir [3], ,[4], [8]. Bugün süzgeçlerden istenen keskin ayırma olanağı için bu teorinin dayanaklarının yeterli olmadığı görülmüştür. Bu bakımdan, sayısal işlem güçlüklerine rağmen «araya girme kaybı> metodu yeğ tutulmaktadır. Sayısal güçlükler ise, gelişen bilgi sayarlar sayesinde yenilmektedir. Bu yazıda araya girme kaybı yönteminin temelleri anlatılmış ve çeşitli süzgeç tiplerinin bu metod İle hesaplanması Özetlenmiştir. Gerçekleştirmede, basamaklı tipten LC devreleri ele alınacaktır.

2. LO SÜZGEÇLERİNDE GÜÇ VE ZAYIFLAMA [2], [6], [7], [9j, [11], [12], [18] îç direnci R olan bir kaynağın verebileceği P^ maksimum gücü, kaynağın kendi iç direncine eşit bir yüke vereceği güçtür.

Şekil l'deki devreyi ele alalım. Gerçekte, devrenin başındaki E ve R2 öne bağlanmış, sondaki R, ise çıkışa bağlanmış başka birer devrenin ey-

Şekil 1. Ele atman İki kapılı LG devresi.

değeri olarak da düşünülebilir. Bu durumda R, sonraki devrenin giriş, R^ önceki devrenin çıkıg direnci olacaktır. Zı ^ R^ ise devreye Pm gücü verilmemektedir. Bu durumda (transmisyon hatları teorisine de uygun olarak) maksimum gücün bir kısmının yansıdığı söylenebilir. Yansıyan güç Pr ile gösterilirse, kaynaktan Pm — P gücü alınıyor demektir.

Aradaki iki kapılı devrenin sadece LC elemanlarından kurulu olduğunu varsayalım. Bundan dolayı güç kaybı meydana gelmiyecektir. Böylece Pm — Pr gücü çıkışta R-, elemanında harcanacaktır. Şu halde iki kapılı LC devrelerinde;

(2.1)

bağıntısı vardır. P = Re (V.I) genel bağıntısı düşünülür de Z^ = ra!+ J^ konursa

4Rırı

(2.2)

olarak bulunur. Burada, (*) İle eşlenik gösterilmektedir. Şimdi, Şekil 2'yi ele alalım.

Şekil 2a'da Rj'de harcanan güç P 2 0 , 1 ve 2 uçları arasında bir devre girdikten sonra gene R,de

harcanan güç P2 olsun. Tanım olarak P 2 0 / P 2 oranına «araya girme güç oranı» denir. (2.2)'ye benzer biçimde

P*>

Ra(Zı+Rı)(Z»ı+Rı)

Pa

rı(Rı+RB)(Rı

eşitliği elde edilir.

(2.4)

biçiminde gösterilirse

4R1R2

(2.5)

olmalıdır. (2.5) eşitliğine R^ R, ise R, = t2R2, Rj -> R, ise Rj = t2Rj koyalım. Her iki durumda da

1 k=- t

(2.6)

bulunur. Görülür ki R^ = R,, ise P m / P 2 araya girme güç oranına eşit, Kj R^ İse bir katsayı İle bağlıdır. Şimdi,

4 VPm/P2

(2.7)

ifadeleri ile efektif transmisyon faktörü ve karakteristik faktörü tanımlandıktan sonra, zayıflamalara geçelim:

A A 20 log \n(la))\ (dB) veya a ^ İn |H (jj\ (N) (2.8)

«efektif zayıflama» A K A 20 log IKUÛ,)] (dB) veya

(b)

Şekli 2. Kaynak ve yok araşma bir devre girmesi. EloktrtS MOtaendiBllfti 188

(2.91 «karakteristik zayıflama» olarak tanımlanır.

(2.10)

ile yansıma katsayısını tanımlıyarak, (2.1)'in başka gösteriliş şekilleri olan,

(2.11)

1+ ıo""*»

denklemleri elde edilir.

(2.12) (2.13)

Bir süzgeçten istenen özellik, belirli frekans bandında işaretleri çok az bir zayıflatma İle geçirmesi, geri kalan frekanslarda ise zayıflamanın

çok olmasıdır. Gerçekleşmişi ve geçirme bandı belli bir devrenin geçirme bandını değiştirecek dönüşümler vardır [2J, [4], [6], [7], [8], ;[ll-j. Bu olanaklar göz önüne alınarak bu yazıda Örnekler alçak geçiren süzgeç için verilmiştir.

önemli olan P m / P 2 oranı olduğuna göre süzgeç zayıflama toleransları alçak geçiren bir süzgeçte şeklinde belirtilir. Burada A^ söndürme bandın, da istenen en az zayıflama, A geçirme bandında izin verilen en çok zayıflamadır. (2.12) ve (2.13) yardımı ile elektif zayıflamadan karakteristik zayıflamanın, buradan da karakteristik faktörün toleranslarına geçilir. Bu durumda, | K(jw)| fonksiyonunun, bu toleransları ve 3. paragrafta inceliyecegimiz koşullan saglıyan bir fonksiyon olması gerekmektedir.

3. H(s), K(s) FONKSİYONLARI VE, BU FONKSİYONLARIN SAĞLTVAOAKLARI KOŞULLAR

Bir önceki paragrafta [H(Ju)| ve [K(U)\ efektif transmisyon faktörü ve karakteristik faktör tanımlanmıştı. Açıktır ki K(s) ve H(s) İle bunlar arasında

K(s).

(3.1)

H(s).

(3.2)

bağıntıları vardır. §u halde (2.11) eşitliği .

H(s). H(-B) =1 + K(s). K(-S)

(3.3.)

şekline dönüştürülebilir. Gerek k(s), gerekse H(s) rasyonel birer fonksiyon olduklarından

E(s)

H(s) P(s)

(3.4)

F(s)

K(s) P(s)

(3.5)

ve (3.3)

E(s). E(-s) =P(s). P(-s) +F(-s)

(3.6)

olur. Bir İki kapılı LC devresinin z parametreleri İle H(s) ve K(s) arasında :

(3.7)

(3.8)

bağıntısı vardır [1], [6], [7]. Burada ç indisi fonksiyonun çift, t tek kısmını belirtmekte olup Rij ile Rv, Şekil l'de gösterilmiştir, s domenindeki bu fonksiyonlardan istenen özellikler burada; sıralanacaktır. Bu özelliklerin incelenmesine girişilmeyip z parametrelerinin LC devreleri ile gerçekleştirme koşullarından elde edilebileceğinin söylenmesi ile yetinllecektir.

1. H(s) ve K(s) birer pozitif, reel, rasyonel fonksiyondur.

2. H(s) ile K(s)'in paydaları eşittir.

3. P(s) polinomu ya tek ya da çifttir.

4. E (s) bir Hunvitz polinomudur.

5. (3.6) koşulu sağlanmalıdır.

Karakteristik faktörün tanımından Z^'nin (Z21 in) sıfırlarının, yani tronsmisyon sıfırlarının, K(s) in kutupları olduğu görülür. Buna göre; R,, RJJ, H(s) ve K(s)'ln bilinmeleri ile devre gerçekleştirüebilir. Görüldüğü gibi F(s)"in seçiminde oldukça geniş bir serbestlik vardır. Ancak her zaman az elemanlı devreler elverişli olduğundan düşük dereceli polinomlar aranır, özetlenecek olursa, toleransları sağlayacak en düşük dereceli IKU^)!2 bulunacak (2.11) ve (3.6) denklemleri ile E(s). E(-s) kurulup kökleri bulunacak ve E (s) için, yukarda yazılı 4 koşulundan dolayı, sol yarı düzlemdeki kökler alınacaktır. P(s) çift ise (3.7) ve (3.8)

Ec şeklinde, P(s) tek ise

Ec - Kc

»z

=

E, — K ( v

şeklindedir.

(3.10) K,

Belli efektif zayıflama toleranslarını sağlamak için, Iİ(s)'in sıfırlanmn geçirme bandına ilişkin kısımda, kutuplarının söndürme bandına ilişkin kısımda olması gerekir. Böylece geçirme bandında zayıflama küçük, söndürme bandında büV yük olur. Sıfır ye kutuplar doğrudan i^ üzerinde seçilerek K(s) genel olarak

K(s) =

x, (S? + S S)

(3.11)

şeklinde kurulur.

(n = 0, dil, ± 2... olabilir)

4. YAKLAŞIKLIK TİPİ

4.1. Butterworth ve Tchebychev\ süzgeçleri :

Belli bir efektif zayıflama tolerans eğrisi Şekil 3 a'daki gibi olsun ve b'deki gibi bir yaklaşıklık amaca yetsin. .

ElektrlS Mühendisliği 188

AtdB)

ID

UL)

(b) Şekil 3. Buttervvorth tipi yaklaşıklık.

Butterworth tipi adını alan bu süzgeç

P ( s ) = l , | F( ja,) ] a = CJ* ile sağlanır.

(4.1)

= < B

ÛJp

de

| H | 2 = 10 9 > I A P , | K | 2 = ıo(l'1J

„, = <„, de | H | 2 , = ıo 0 > 1 A 8 , | K | 2 = 1 0 M

olacağından (4.1) "den dolayı n C a ) p S = 1 0 0 - I A p . l C^Sn a= 10 S >1A - 1

-1 -1 (4.2)

(4.3)

ve oranlanırsa

l°g \ / ( 1 0 0 ' I A s -

—1) (4.4)

<Up

elde edilir. Ancak buradan n tam sayıya tamam, lanıp (4.3)'den C hesaplanır. Pratikte A , dB olarak küçük bir sayı olduğumdan,

1/(10 *>1AP —1) yerine, (pm-2 — i ) ile geçtim/b bandında kabul edilen p m l ] l maksimum yansıması kullanıla gelmiştir.

E(s). E(-s) = Cs^n +

(4.5)

olacağından,

E (a). E(-a)'In kökleri

—Sin(2k +

(4.6)

biçiminde bulunup E(s) için ffk < 0 olanlar seçilir.

V 1 AldB)

"'""

As

r (û)

ŞeJdl 4. ıTchebychev tipi yaklaşıldık.

Şekil 4'deki yaklagık tipine Tchebychev tipi süzgeç adı verilir. Tchebychev polinomlan :

— 1 «= x «î 1 için Tr = C»s(n arc cosx) bölgenin dışında

(4.7)

? — l')n+ (« — V& — D"] (4.8)

olarak tanımlanır [6J, [11]. Chebychev tipi süzgeçte

P(s)=l

(4.9)

alınıp

E(s) . E(—S) •=. 1 + C T ( s ) . Tn(—s)

(4.10)

ile E(s) .E(—B) kurulur.

rl

—n a r c sin h -;V=C= J

2k — 1 2n

r1

iı

2k — 1

«k ' • Cosh iIn— a r c sin VhC— JI cos 2n

(4.11)

olup <rk <^ O) olanlar alınarak E (s) bulunur, n ve C'nin seçimi Butterworth süzgeci için anlatılana benzer.

Gerek Butteroorth gerek Tchebychev tipi filtreler F(s)'in bir polinom olmasından dolayı «polinom süzgeçleri» adını alırlar. Her ikisi içinde Şekil 5'de gösterilen biçimde bir devre ile sentezleri için doğrudan eleman değerlerini veren ifadeler çıkarılmıştır [9].

o--- i—i- ı •

T TT

°

\M$ü!Lı—'—»JlBfllfllL»—*—UUAifll/~* °

Şekil 5. Alçak geçiren polinom filtrelerini

gerçekleyen LC devresL

4.2. Cauer (eliptik) süzgeçleri [S], [12] :

Hem geğirme hem söndürme bantlarında Tchebychev karakteristiği istensin. Şekil 6a'da görüldüğü gibi burada transmisyon sıfırlarının tümü

polinom süzgeçlerinde olduğu gibi sonsuzda olmayıp, süzgeç <,),, • (O&

u^, sonlu frekanslarında transmisyon «fırları vardır.

\ A{dB)

A(dB) (b)

wnSn nSn-1

rcr^t n (b)

ŞekU 6. Oaner tipi yaklaşıklık.

|H(ju)|a,= l yerine

10°'ıA = 1+ (10 P O ı l A — D [f (O) I2

denklemini ele alalım, o =

-biçiminde

ölçeklenmig frekans olup, böylece Şekil 6a, Şekil 6 b'ye dönüşür. Şekil 6 b incelenirse f (n) İçin

(4.13)

biçiminde bir fonksiyon seçiminin uygun olduğu görülür [2], [5], ,[9], [12]. Burada As, Ap

ve Opi

k = ^ / ^ değerlerinden t fî,, ve a bulunabilmelidir.

yararlanılarak fo, Eliptik fonksiyonlar kullanılarak yapılan inceleme ile [5],

fo=[(10°'1As-l)/(10 »-1Ap-

*/*

ve

(4.14)

— OP|

(4.15)

olduğu gösterilebilir. Ancak eliptik fonksiyonlar

hesaplarda ortaya güçlükler çıkardığından teta

serileri yardımı ile (bazı yaklaşıklıklarda yapılarak) Grossinann'ın [5] aşağıda verilen metodu

çıkarılmıştır.

Vi — ı

(4.16)

1—

2~ 1 +

(4.1T) (4.18)

0.1A. + 1,2 + log (100MP-1)

2 log q

(4.19)

Bin2n

-—q2sin 31, 2n +

2i i 1 — 2q cos

2|qicos 41

6 1 »•

2n + l"

İ+

(4.20)

Ancak uygulamalarda bu formüllere de her zaman başvurulmayıp hazır tablo ve abaklar kullanılır [3], [4], [8], [12].

43 Genel parametrili süzgeçler:

Birçok durumda söndürme bandında zayıflamanın sabit bir değerde olması gerekmez. Söndür-

Elektrik .Mühendisliği. I8E

me bandında zayıflamaların çeşitli frekans aralıklarında belli değişik değerler alması uygun olabilir. Bu durumda geçirme bandında karakteristik Tchebyhev tipinden olacak söndürme bandında ise verilen zayıflamaya uygun olarak değişecektir.

(4.12) eşitliğini yine ele alalım,

elde edilir. dönüşümünü yapalım.

geklinde ölçeklenmiş frekanstır. Şekil 7'ye göre [f(îi)]2'nin ifadesi şu biçimde çıkarılır:

nn (a2 -a2.)2

şekline girer.

[ten)]' = A2 T

P ' (422)

(4.26) <4.27) (4.28)

Şekil 7. SöndUrme bandı boyunca zayıflamanın •ablt otanaması durumu.

(4.12) denklemine başvurularak Î(Q,) = 1 olan noktalarda A = Ap olacağı, görülür. Bunlar O = Ot, ve o = l'dlr.

2 22

Buradan,

[p(n)]

•j n

^

-I

(4.24) (4.25) n 2 ,2

'J

Z - Z-.

fi

(4.29)

dönüşümleri ile

K(Z) = ,

e(Z») e(2?) + Zf (Z2)

(4.30)

elde edilir. K(Z)'in paydasının ^ söndürme bandı kutuplarında kökü olacaktır. Şu halde

(4.31)

olarak yazılabilir. Buradan gerek e gerek fin çift fonksiyonlar olduğu görüJür. Şu halde ^ transmisyon sıfırları (söndürme bandı kutupları bilinen bir filtrede aşağıdaki işlemler ile K(s* kurulabilir):

1. ök dan ok'ya, oradan Zk'ya geçilir.

2. Kökleri Zk olan polinom kurulur. Bunun çift kısmı e(ZP), tek kısmı Zf(Z2) dlr.

•I?2)] 7'.

(4.32)

olarak bulunur.

5. SONUÇ

Bu yazıda araya girme kaybı cinsinden eüageç sentez yöntemi tanıtılmış, basamaklı LC devreleri ile gerçekleştirilmek üzere Buttenvorth, Tchebychev, Cauer ve genel parametreli tipten süzgeçler incelenmiştir.

(3.7) ve (3.8) formülleri ve K(s)'in kutuplarının transmisyon sıfırlan olmasından dolayı verilen yöntemler maksada yeterli olabilir. Ancak ortada daha iki problem olduğu açıktır :

1. K(s)'in bulunması ile H(s)'i de bulmak için,

G(s) = v (s — g ^ + C r C s — qj)

İ

şeklinde bir

G ( s ) = E ( s ) . E f — s ) fonksiyonunun hesabı g';-

rekir. (E(s)'e geçebilmek için G(s)'in tüm köklerini bulmak gerekecektir. Dördüncü dereceden

yüksek polinomlar için bu işlem bir bilgisayarın

kullanılmasını gerektirir. Ancak bilgisayarların

da iglemlerde kullandıkları sayılar sınırlıdır.

örneğin, beş sayı ile (s •+1,0002)j ( s + 0,9998)

çarpımının sonucu;

s2 + 2s + 0,99999996 değil "

S2 + 2S + 1 = (S + 1)2 şekline girecektir. Görülüyor ki, köklerin birbirlerine yakın olmaları durumunda, bunların bulunmaları zorlaşacaktır. Bunu önlemek üzere iki yol önerilmiştir, a. (4.26) dönüşümünü sonuna kadar korumak : Bu işlem G(z)'in köklerinin arasını açar )[1], [7], [10]. b. Kökleri bilinen iki polinomun toplamlarırun kökünü bulmak için bir yol geliştirmek [10]. Bu gün, süzgeçlerin geçirme ile söndürme bantları arasının gittikçe daha dar olması istenmekte, bu durumda Gfs)'in köklerini yeterli doğrulukta bulabilme önem kazanmaktadır. Yukardaki yöntemlere diğer bir yazımızda değineceğiz.

2. Devrelerin fiziksel olarak gerçekleştirilmesinde kullanılan L ve C elemanları ideal değildir. Bunların etkisi sonucunda gerçekleşen H ve K istenileni vermiyecektir. Devrenin topolojisini ve transmisyon sıfırlarını değiştirmeden eleman değerlerini adım adım değiştirerek H ve K"ya yakJagmayı sağlıyan ve bilgisayarlar için programlamaya uygun yöntemler geliştirilmiştir.

Görüldüğü gibi özellikle genel parametreli filtrelerde bilgisayarlar araya girme kaybı ile süzgeç sentezine zorunlu olarak girmiştir. Böylece istenen koşullan sağlıyan filtrelerin eleman değerleri çabuk ve kolay olarak bulunabilmekte, ideal olmıyan elemanların etkisi azaltılabilmekte, örneğin bir basamak fonksiyonunun süzgecin çıkışında ne gibi bir değişim göstereceği süzgeç gerçekleştirmeden görülebilmektedir.

Çalışmalanmda yardımlarından dolayı Sayın Prof. Dr. Tarık ÖZKER'e tegekkürü bir borç bilirim.

KAYNAKLAR:

[1] J. A. C. Bingahm; «A Nefw Method of Solving the Accuracy Problem in Filter Design», IEEE CT., 11. September 1964.

[2] G. Bosse; «Synthese Elektrischer Siebsohaltungen», S. Hirzel Verlag, Stuttgart, 1963.

[3] W. Cauer, «Synthesis of Linear Communication Netvvorks», New York, Mc GrawHill, 1958.

[4] P. R. Geffe; «Simplified Modern Filter Design», New York, John F. Rider Publlshers Inc, 1963.

[5] A. Grossman; «Synthesig of Tchebychev Parameter Symmetrical Filters», İRE Proc., April 1957.

[6] Humpherys; «The Analysis Design and Synthesis of Electrical Filters», Pröntlce Hail, 1970.

[7] H. J. Orchard, and G. C. Temes; «FUter Design Using Transformed Varfables», IEEE CT. 15 Decemıber, 1968.

[8] M. B. Reed; * Electric Network Synthesis>, Prentice-. Hail, 1955.

[9] R. Saal and E. Ulbrich; «On the Design of Filters by Synthesis», İRE CT. 5 December, 1958.

[10] J. K. SkMrirzynski; «On Synthesis of Filters» IEEE CT. 18 Jamıary, 1971.

[11] J. Vlach; «Computorized Approximation and Synthesis of Linear Networks» John Wiley and Sons, 1969.

[12] F. Yücel; Cauer Parametreli Filtreler», P.T.T. Araştırma Lâboratuvan Yayınlan, 1970.

Elektrik MUhândlsllgl 188