ELEKTROMAGNETİK BÜYÜKLÜKLERİN TANIMLANMASI, BOYUTLARI, BİRİM SİSTEMLERİ VE BOYUT ANALİZİNİN KULLANILIŞI

YASAR EPSOY

UDK: 621.3.081

ÖZET

Elektromagnetik büyüklüklerin boşlukta ve cisim içerisinde aynı ilkelerle mantıklı tanımları, farklı boyut sistemlerinde büyüklüklerin boyutla rı açıklanıp çıkartılmıştır. Daha sonra, elektro magnetik büyüklüklerin uluslararası simgelerle birimlerinin, birimler arasındaki bağıntıların ve farklı birim sistemlerinde Maxwell denklemlerinin çizelgeleri yapılmıştır. Elektromagnetik büyük lüklerin boyutlarının kullanılışı iki örnekle a çıklanmıştır.

SUMMARY

A logical consistent set of definitions of e lectromagnetic guantities in vacuum and material, dnd their dimensions in different systems of di mensions are explained and derived. Depending upon the dimensions of electromagnetic guantities, the systems of units are set up. Furthermore, the units of electromagnetic quantities with their inter national symbols, the relations between them, and Maxwell 's eçuations in different systems of units are tabulated. The use of dimensions of electro magnetic guantities are explained in two examples.

1. GÎRÎŞ

Fizik yasaları, çevremizde meydana gelen gerçekle ri açıklayabilmek için kendimizin tanımladığı ya da türettiği kavramlar yardımıyla matematiksel o larak yazılır. Eğer bu kavramlar arasındaki iliş kiler tam anlaşılmıyorsa, bu yasaların anlamı ek siktir ya da anlamsızdır diyebiliriz. Bununla be raber, bu kavramların doğuşu ve geçerli oluşu yi ne deneysel gerçeklerdir. Böylece yeni bir fizik sel büyüklük eksiksiz olarak tanımlanacaksa, bu büyüklüğün nasıl ölçüldüğü, eğer dolaylı bir yolla ölçülüyorsa, bunu tanımlayan büyüklüklerin nasıl ölçüldüklerinin bilinmesi gerekmektedir, örneğin, elektromagnetik büyüklüklerin duran ve hareket durumundaki cisim içerisinde farklı tanımlanmış olmaları [ 1,2 ] ve bu büyüklüklerin cisim içeri sinde ölçülemez oluşları, elektromagnetik büyük lüklerin sağladığı Maxwell denklemlerinin farklı görünmesine' yol açmakta ve aynı büyüklüğün farklı birimlere sahip olabildiği görülmektedir [ 3 J. Ayrıca özel durumlarda tanımlanan bir büyüklüğün, genel durumlarda da aynı şekilde kullanılması, ölçülemeyen büyüklüklerin ana büyüklükler olarak seçilmesi yanlışlıklardan sayılabilir.

Yaşar Ersoy, öğretim Görevlisi, ODTÜ

Öte yandan fizikte kullanılan sabitlerle değiş kenlerin birbirlerinden farklı boyutları vardır. Aynı büyüklüğün birçok boyutu ve birimi vardır. Bu boyutlar, seçilen temel boyutlara ve fizik bü yüklükleri kapsayan ana fizik yasalarına bağlı dırlar [ 4 3 . Örneğin, mekanikteki ana yasalar, Nevton'un ikinci hareket yasası ve yerçekimi ya sasıdır; seçilen temel boyutlar ise geometrik, kine matik ve dinamik büyüklüklerin herbirinden birer tane almakla mümkün olur. Şöyle ki; uzunluk, za man, kütle ya da hacim, hız, iş vb. Böylece seçilen temel boyutlara ve klasik fiziğin ana ya salarına göre diğer fiziksel büyüklüklerin boyut ları türetilir. Eğer fiziksel büyüklüklerin boyut ları biliniyorsa; unutulan bir formülün doğrulu ğunu kontrol etmede, boyut analizi ile laboratu varda değişkenler arasındaki bağıntıların bulunma sında, denklemlerin boyutsuz duruma getirilmesin de ve ayrıca birim sistemlerinin düzenli olarak öğrenilmesi ve birinden öbürüne geçilmesinde ya rarı olur [ 4,5 ] .

Bu yazıda amacımız, elektromagnetik büyüklüklerin tanımını verdikten sonra, boyutlarını ve en çok kullanılan birim sistemlerini sistemli bir biçim de tanıtmaktır. Ayrıca en çok kullanılan birim sistemlerinde Maxwell denklemlerini yazıp farklı lıkları belirlemek ve boyut analizinin nasıl kul lanıldığını örnekle gösterip tanıtmaktır.

2. ELEKTROMAGNETÎK BÜYÜKLÜKLERİN TANIMLANMASI

Bir fiziksel kuram matematik büyüklüklerle ilgili bir küme ve bu büyüklükleri birbirine bağlayan e şitliktir. Eğer n tane büyüklük ve bu büyüklükler arasında k tane bağıntı varsa, genel olarak bü yüklüklerden n k tanesi ya bağımsız olarak tanım lanmış, ya bir sezgi olarak kalmış, ya da kümenin tanımlanmamış doğurucu öğeleridir. Buradaki k ta ne büyüklük kuramsal bağıntılar yardımıyla biçim sel (formal) olarak tanımlanmışlardır. Eğer n k tane bağımsız büyüklük tanımlanmamışsa, sonuçta oluşan kuram soyuttur, örneğin grup kuramı vb. Bununla beraber, eğer bağımsız büyüklüklerden n k tanesi dışardan etkiyen fiziksel büyüklükler yardımıyla epistemik (epistemic) olarak tanımlanmışsa, sonuç ta tüm büyüklüklerin oluşturduğu küme ve bağıntı lara fiziksel kuram denir. Örneğin, elektromagne tik kuramın ana büyüklüklerinden elektrik ve magnetik alan, mekanik büyüklükler ve deney yar dımı ile tanımlanırlar. Bu nedenle elektromagne tik kuram soyut bir kuram olmayıp, fiziksel bir kuramdır.

Elektromagnetik kuramda, en önemli büyüklükler hacimsel büyüklükler olan elektrik yükü (q), akım şiddeti (i), magnetik akı (*); ve yoğun büyüklük ler olan elektrik yük yoğunluğu (p), elektrik akım

59i

yoğunluğu (J), elektrik alan şiddeti (E), magne tik akı yoğunluğu (B), elektrik akı yoğunluğu ya d;| elektrik indüksiyon (D), magnetik alan şiddeti (H), polarizasyon (P) ve magnetizasyon (M)dir. Bu büyüklükler genel olarak yerin ve zamanın işlevi dirler. Hacimsel büyüklükler epistemik olarak ta nımlanabilirler ve yoğun büyüklükler biçimsel ta nımlara bağlıdırlar. Bununla birlikte, özel du rumlarda yoğun büyüklükler de epistemik^olarak tanımlanabilirler. Örneğin, t , B , 5 ve H boşluk ta, p, J, M ve P ise cismin her noktasında aynı ise tanımlanırlar.

Uluslararası Elektroteknik Komisyonu'na (Interna tional Electrotechnical Commission, IEC) bağlı komitelerden bazıları uluslararası elektroteknik terimler üzerinde çalışmakta ve büyüklükleri ta nımlamaktadırlar. Şimdi elektromagnetik büyüklük lerin ne şekilde tanımlandıklarını görelim:

1. Elektrik yükü "boşlukta", r noktasında bulu nan q yüküne, r' noktasında bulunan q' yükünün etkidiği kuvvet F(r),

(r r')

(1)

r M3

olan Coulomb yasası Lle tanımlanır. (1) denklemin deki kj değişmez bir sayıdır. (*)

2. t ve § "boşlukta", birim hacimdeki Coulomb Lorentz yasası

?=p? + JxS

(2)

ile tanımlanır. (2) denkleminde?nin tanımında birim hacimdeki sınama yükü p ve 3 nin tanımında akım ilmiği (current loop) kullanılır. Deney sıra sında bu büyüklükler için boşlukta kullanılan ba ğıntılar

v' S = 0

(3)

VxE* =

(4)

dir. Böylece E ve S nin cisim içerisindeki tanımın da (3) ve (4) denklemlerinin her noktada sağlan ması gerekmektedir. (4) denklemi Faraday yasası olarak bilinir ve (3) denkleminin anlamı da magne tik yüklerin olmadığıdır.

3. S ve H "boşlukta", diferansiyel denklemler yardımıyla tanımlanır. Bu büyüklükler elektrik yükünün korunumu ilkesi

M ff .o

(5)

ve D için her zaman çözümü olan Gauss denklemi

ile kapalı olarak tanımlanabilir. (6) denkleminin çözümünün tekliğini sonra gözönüne alacağız ve (5) denklemi (6) denkleminin yardımıyla (7)

olduğu için J+ —rr nin bir vektör potansiyelden türetilebileceği a n l a ş ı l ı r . Bu nedenle H (8)

diferansiyel denklemi (Ampere yasasının Maxwell tarafından değiştirilmiş durumu) ile kapalı ola rak tanımlanır. Tekrar (8) denkleminin H için çö zümünde teklik koşulu çözüme yeni sınıtlamalar getirir.

(5 8) denklemlerinden, H nin gerçekte elektrik a kım dağılımından meydana gelen ve temelde magne tizma ile ilgisi olmayan bir vektör potansiyel olduğu anlaşılır. Bu nedenle tanımlarda 3 tane mantığa uyaıı ayırım görülür: Biri H ve 5 çiftinin, öbürü t ve 8 çiftinin tanımıdır. Üçüncüsü ise fi şimden cisime değişen bünye denklemlerindeki e lektrik ve magnetik geçirgenliklerdir.

Eğer t ve p verilmişse ît, B ve H, D nin tanımları ortak değildirler. Gerçekte^j ve p bilinmeyen bü yüklüklerdir, fakat j nin, E nin Ohm yasası

j = oit

(9)

ile azalmayan tek değerli işlevi olduğu varsayı lır. Daha sonra (3 6, 8 9) denklemleri gözönüne alınırsa, elde 3 tane vektör, 3 tane skalar, 12 tane birbirinden bağımsız olmayan denklem ve 4 ter«si vektör olmak üzere 12 tane bilinmeyen var dır.

4. Maxwell denklemleri, (3,i,6,8) denklemleri "boşlukta" deneysel olarak sağlanırlar.

Boşlukta soyutlanmış elektrik yükü durgun, yani zamanla değişmeyen E yi ve boşlukta soyutlanmış akım taşıyan £elde durgun B yi oluşturur. Oluşan alanlar D ve H için (6) va (8) diferansiyel denk lemlerini sıjğlar|ar. Çöylece boşlukta ve durgun halde D ve H yi E ve B ile orantılı olarak serbest çe tanımlayabiliriz.

(10)

(11)

"o

(10) ve (11) denklemlerindeki (') işareti, büyük lüklerin durgun değerlerini, alttaki (b) ise boş luktaki değerlerini göstermektedir. Son iki denk lem, büyüklüklerin zamanla değişmesi durumunda da doğrudur. Bu genelleştirme (3) denkleminin

'Hb =

(12)

olmasını gerektirir; ve bulada H ye uygun vıj> kat makla, (8) denklemini etkilemediği kolaylıkla an laşılır. Bir başka genelleştirme ise (4) ve (10)

denklemleri yardımıyla (boşlukta T=0)

yazılabilir. Bir vektörün rot'unun div'i sıfır (*) Tanımların kolaylıkla anlaşılır olması için, bu kısımda değişmezlerin rasyonel m k s A bi rim sistemindeki değerini yazarak kullanaca ğız ve daha sonraki bölümde bu durumu açıkla yacağız.

dir. (4) denkleminden yararlanarak n2 = 0

(14.a)

*= °

3t

(14 b)

yazılır. c ışığın boşluktaki hızı olmak üzere Q

Mo =

(14.c)

olup, E ve S (14) denklemini sağlar.

5. Cisim içerisinde elektrik ve magnetik alanlar doğrudan doğruya ölçülemezler, fakat varlıkları cismin çevresindeki alanlar yardımıyla anlaşılır. Cisim boşlukta bir yere konmadan önce bir noktada var olan alan, cisim konduktan sonra azalma ya da artma şeklinde bir değişikliğe uğrar.

6. Cisim içerisinde t, B, D ve H arasındaki bağın tılar yereldir. Bu bağıntılar, her noktada değiş tiği gibi, her yönde de değişebilir. Ayrıca bu büyüklükler arasındaki bağıntı doğrusal olabildi ği gibi, doğrusal olmayabilir de. Bunlara ek ola rak geçmişteki olaylar da büyüklükler arasındaki bağıntılara etki eder. Bu bağıntılar cisimden ci sime değişir ve aralarındaki bağıntılar deneyler den yararlanarak ampirik olarak ya da sürekli or tamlar kuramının aksiyomları kullanılarak buluna bilir [ 6 ] .

7. t, B, D ve H cisim içerisinde ve cismin dışın da Maxwell denklemlerini, cisimle çevresi arasın da ise sınır koşullarını sağlarlar. Stoke ve Gauss teoremlerinin Maxwel^ denklemlerine uygulanmasıyla ve sonlu E, B, 0 ve ti değerleri için aşağıdaki sınır koşulları elde edilir, n cismin yüzeyine dik birim vektör olmak üzere

xn=0

(15)

M •n=0

(16)

M x n = Js

(17)

Böylece, boşlukta E^ve B^yi açıkça tanımlarken, bunlar yardımı ile D ve H yi de tanımlamak mümkün olmaktadır. Cisim içerisinde ise bu büyüklüklerin tanımlanması için ayrıca Maxwell denklemleri ve sınır koşullarına gerek vardır. Cisim için çoğu zaman, P ve M ile gösterilen iki yardımcı büyük lük tanımlanır (*).

X? E B ^ f

(19)

X'M E ^ 6 H

(20)

(19) ve (20) denklemlerinde, rasyonel birim sis teminde X=X'= 1 ve rasyonel olmayan birim sistem lerinde X=X' =4ır dir.

3. ELEKTROMAGNETÎK BÜYÜKLÜKLERİN BOYUT LARI

Elektromagnetik büyüklüklerin boyutlarını, mekanik büyüklüklerin boyutlarından yararlanmadan belir lemek, ya da elektromagnetik büyüklüklerin boyut larını, yalnız mekanik büyüklükler için seçilen temel boyutlar cinsinden pratikte yazmak mümkün değildir. Bu nedenle, mekanikte seçilen uzunluk, kütle ve zaman büyüklüklerinin boyutlarına ek o larak, hacimsel büyüklüklerden ya da yoğun büyük lüklerden herhangi birinin seçilmesi, veya D ile £ yi, g ile ft yi birbirine bağlayan dielektrik sabiti (elektrik geçirgenlik) e ve magnetik sa bit (geçirgenlik) den birinin seçilmesi ile e lektromagnetik büyüklüklerin boyutları elde edi lir. Bir seçim yapıldıktan sonra elektromagnetik kuramın ana büyüklüklerinin ve türetilen büyük lüklerin boyutları, seçilen temel büyüklüklerin boyutlarına ve elektromagnetik kuramın temel ya salarına bağlıdır. Seçilen temel büyüklük genel likle elektrik yükü (q) ya da akım şiddeti (I), dielektrik sabiti (elektrik geçirgenlik, e) ve magnetik sabit (geçirgenlik, u) dir. Temel yasa lar olarak da 2. bölümde verdiğimiz yasalar alı nır. Doğaldır ki mekanik büyüklükler için yukar daki seçimin dışında, başka büyüklükleri seçmek mümkündür [ 4] ve buna göre de elektromagnetik büyüklüklerin boyutları değişecektir.

(18)

dir. Burada [£ ]] simgesi, içindeki büyüklüğün cisim dışında ve cisim içerisindeki farkını, Js yüzeysel akım şiddeti yoğunluğunu, us ise yüzey sel elektrik yükü yoğunluğunu göstermektedir. Cismin içerisinde elektrik ve magnetik alan ta nımlanmak istendiğinde, cisim içerisinde düşünü len içerisi boş olan küçük kovukların kenarların da bu sınır koşullarının sağlanması istenir. Ci sim tam yalıtkansa us=0 dır ve (18) denklemi daha çok bu durum için kullanılır. Bu arada, bu sınır koşulları cisim içerisinde ve dışında elektromag netik büyüklükler farklı olduğu için cismin özel likleri hakkında bilgi edinmek için de kullanılır. Örneğin, disk şeklindeki örnek bir cisim üzerinde ki ooS yardına ile 5 ile E arasındaki bağıntı, ibre seki linde bir çisim üzerindeki Js yardımı ile de B ile H arasındaki bağıntılar hakkında bilgi edinilir.

9. Cisim içerisindeki ?, 5, 3 ve H arasındaki ba ğıntılar (bünye denklemleri) basit fiziksel kısıt lamalarla denklemlerin çözümünün tek olmasını ga rantiler.

Bir fiziksel büyüklüğün boyutunu gösterirken bu büyüklüğü köşeli ayraj^içinde göstereceğiz, örne ğin, hızın boyutunu £v J biçiminde göstereceğiz. Vektörel büyüklüklerin boyutunu yazarken bazı ko laylıklar sağlaması için bu büyüklükleri de ska lar gibi kabul edeceğiz. (**) Bir büyüklüğün boyu (*) Bu tanım Giorgi^Sommerfe^ld tanımıdır/ Giorgi Kennelly ise X'M = B ~ v H seklinde tanımlamak tadır. [_ 3 ]. Öbür tanımlar Çizelge 4'de gö rülmektedir.

(**) Gerçekte vektör büyüklüklerinin boyutları bu büyüklüğün doğrultusundaki yer vektörünün bo yutuna göre yazılır. Eğer doğrultu bilinmiyor sa, Dekart (karteziyen) koordinat sisteminde yer vektörünün boyutu (Lx Ly Lz)5 dür. Ayrıca kütleyi de"eylemsizlik ve gravitasyon kütlele rinin boyutları olarak ayrı ayrı yazmak müm kündür. Bu durumda bir büyüklüğün boyutunun karışık görünmesine rağmen, boyut analizi île problem çözülürken denklem sayısında bir art ma yaptığı için tercih edilir. Fakat bu, bü yüklüğün bir birim sistemindeki birimini de ğiştirmez.

tunu bulurken, bir sistem içerisinde her fiziksel büyüklüğün bir boyutu olduğunu ve aynı boyuttaki büyüklüklerin toplanabileceğini gözönüne alırız; büyüklüklerin tanımından ve fizik yasalarından yararlanarak boyutları buluruz. Örneğin , L V ]=[ uzunluk ] [ zaman J"1 . Aynı şekilde türev ve integrallerin tanımından boyutlarını bulmak mümkündür:

Uzunluk, kütle ve zamanın boyutlarını L, M ve T ile gösterir ve elektromagnetizma içinde temel büyüklük elektrik yükü q alınır ve [q] = Q ile gösterilirse, elektromagnetik büyüklüklerin boyutları, (5) denkleminde her terimin aynı boyuta sahip olması (toplanabilmesi için) gerektiğinden .

[at]

[î] = L"2TQ olur. Aynı şekilde (2) denkleminden! veJ3 nin, (6) denkleminden 3 nin, (8) denkleminden H nin, (9) denkleminden o nin, (10) denkleminden e in, (11)

denkleminden u in; (19) ve (20) denklemlerinden 0 de P ve M nin l'nci çizelgede gösterilen boyutları elde edilir. Ayrıca bilinen tanımlardan öbür e lektromagnetik büyüklüklerin boyutları kolaylıkla bulunur. Bu durumda (1) denklemindeki ki boyutlu bir sabittir ve ı = L3MT 2n 2 dir.

Eğer elektrik yükü değil de dielektrik sabiti te mel boyut seçilseydi, (1) denklemi skalar olarak

gq.' F=

(21)

T (r r1

yazılır ve buradan [q]=[q']= L* M* T " 1 e± bulunurdu. Benzer şekilde, önceki bağıntılar kul lanılarak l'nci çizelgede gösterilen boyutlar el de edilir. Eğer magnetik sabit temel boyut seçil seydi, Coulomb yasası magnetik kutup şiddetleri m ve m' için

F= (r r')2

(22)

y a z ı l ı r ve buradan [m] = [m1] = L* M± T "1 elde edilir ve daha sonra da H nin tanımı için kullanılan

H=

(23)

den [ H ]= L ^ M ^ T " 1 u~2 elde edilir, öteki büyüklüklerin boyutları Çizelge l'de görülmekte dir.

Benzer şekilde I akım şiddetinin temel boyutunu, U da potansiyel farkının boyutunu göstermek üzere LMTI ve LTUI boyut sistemlerini tanımlamak ve Çi zelge l'deki büyüklüklerin boyutunu elde etmek mümkündür. Örneğin, LMTI sisteminde

[?]=

, [ e ]=L"3M~1 T"*I2 ve aynı

büyüklükler LTUI s i s t e m i n d e i s e [ t "1 = L"1 U ,

[e] = L İTU l dir.

J

Son durumda, iki elektromagnetik temel boyut ve mekanik büyüklüklerden de kütlenin boyutu alın maksızın elektromagnetik büyüklüklerin boyutu el de edilmiştir. Bu tarzda tanımlanacak sistemlerde ki elektromagnetik büyüklüklerin boyutları, sistem li bir şekilde birim sistemlerini açıklamakta ve kullanmakta(*),boyut analizi ile problem çözmekte ve denklemleri boyutsuz duruma sokmakta kullanı lır. Herbirinin öbürüne göre sağladığı üstünlük ler olduğu gibi, sakıncalar da vardır. En yaygın olanı ve pratikte kullanılanı LMTQ ya da LMTI dır. Bu arada elektrostatik problemler içinLMTc, magnetostatik için de LMTu sisteminin yeğ tu tulduğu ve özellikle birim sistemlerinin çıkartı lışında kullanıldığını belirtmek gerekir.

4. ELEKTROMAGNETİK BÎRİM SİSTEMLERİ

Elektrik ve magnetizma konuları ile ilgili birim lerin hem karışık, hem de şaşırtıcı bir geçmişi vardır. Uzun yıllar kavramların nasıl tanımlana cağı, hangi birim sisteminin kullanılacağı, eğer farklı sistemler kullanılıyorsa birinden ötekine nasıl geçileceği birçok fizikçi ve mühendisi uğ raştırmıştır. özellikle 1960'dan önce yazılan ki taplarda ve araştırmalarda, şu an yapılan bazı kuramsal araştırmalarda bile birbirlerinden fark lı birim sistemleri kullanıldığı için bildiğimiz fizik yasasının bazı terimlerinde bize yabancı gelen bazı birimli ya da bir imsiz katsayılar gö zükür. Kullanılan birim sistemi mekanik ve termo dinamikli birim sistemlerine benzemiyorsa, bu durum, denklemin gerisinde yatan fiziksel gerçe ğin anlaşılmasında daha da şaşırtıcı olmak tadır. (**) Şimdi yeni yazılan kitaplarda u

<.*)Pratxk amaçlar için elektrik mühendisliğinde kullanılmakta olan msVA (metre, saniye, volt, ampere) birim sistemi, LTUI boyut sistemine dayanır. Gerçekte, kütlenin boyutunu enerji boyutu cinsinden (ve [enerji] = VI olduğun dan; yazmak mümkündür. Bu, bir anlamda görelik kurammdaki enerji = mco2 dir.

{**)Göreliklikuantum alan kuramı ve öğesel (eleman ter tanecikler kuramı ile uğraşan fizikçiler, iki evrensel değişmez olan Plank değişmezi h 6,6256 + 0,0005 x 10~34 Js ve ışığın boşluktaki hızı CQ^2,997925 + 0,000003 x 108m/s yi boyutsuz ve miktarını da 1 olarak kabul edip kullanır lar. Oluşan birim sisteminde bir tane birim vardır ve o da genellikle uzunluk birimi ca dir.

luslararası birim sistemi kullanılıyorsa da, eski klasik kitaplar ve yeni araştırmaların bir bölüğünde bu durum devam etmektedir. Bu neden ledir ki, bu yazıda, bu konuyu aydınlığa kavuş turmak, birim sistemlerini ve bu birim sistemle rinde kullanılan birimleri uluslararası simgeler le tanıtmak, kullandığımız birim sisteminin ne olduğunu daha iyi açıklayabilmek amacımız olmuş

Elektromagnetik kuramdaki büyüklükler için kulla nılan çeşitli birimler ve bu birimler cinsinden yazılan elektromagnetik kuramın yasaları ilk ba kışta oldukça karışık ve şaşırtıcıdır. Bu karışık lığın ve şaşırtıcılığm sebebi elektromagnetik kuramda seçilen temel boyutlar, temel yasaların seçimi ve temel boyutların ölçüldüğü birimlerdir. Bu nedenledir ki eğer büyüklüklerin boyutları bi liniyorsa ve bir birim sistemi tam öğrenilmişse diğerlerine geçiş oldukça kolaydır. Unutulmaması gereken noktalardan biri, bir büyüklüğün belli bir boyut sisteminde bir tane boyutu varken, birçok biriminin olabileceğidir.örneğin, LMTQ sisteminde enerjinin boyutu L2MT~2 iken, birimleri erg , joule, kWh vb. olabilir. Bir başka önemli nokta da, bir büyüklüğün şiddetinin birimi ile ters o rantılı olduğudur.

Elektromagnetik büyüklüklerle ilgili formüller yazılırken iki eğilim görülür. Birinde bazı terim lerin önünde 4w gibi bir katsayı olurken, diğe rinde 4ır değişmezi yoktur. Bu durum herneka dar büyüklüklerin boyutunu etkilemezse de, birim lerini değiştirir. Eğer hareketsiz duran elektrik yükleri için yazılan Coulomb yasası ve akım taşı yan tel için Ampere yasasında 4TT yazılmışsa bu sisteme rasyonel, yazılmamışsa bu sisteme rasyo nel olmayan birim sistemi denir. Böylece se çilen temel boyutlar ne olursa olsun, yani is ter LMTQ, LMTI, LMTe, LMTy ve diğerleri, herbiri için rasyonel ve rasyonel olmayan birim sistemle ri tanımlanıp, büyüklükler için birimler türeti lebilir.

Burada elektromagnetik kuram için yukardaki boyut sistemlerinden çıkartılabilecek bütün elektromag netik birim sistemlerini değil, pratikte ve ders kitaplarında en çok kullanılan uluslararası birim sistemi ile, sürekli yayınlarda çıkan kuramsal ve deneysel araştırmalarda kullanılan birim sistemle rinin doğuşunu ve ötekilerle ilişkisini inceleye ceğiz. Eğer LMTQ temel boyut seçilmişse, mekanik bUyUklükler için temel birimlerin metre (m), ki logram (kg) ve saniye (s)nin genellikle seçilmesi, eğer LMTe ve LMTu temel boyut seçilmişse mekanik büyüklükler için, santimetre (cm), gram (g) ve (s)nin genellikle seçilmesi kullanılan birim sis temlerinin sayısını azaltır. Aksi halde, örneğin foot (ft), pound (lb) gibi, ingilizlerin kul lanmış oldukları mekanik birimler de gözönüne a lınırsa bu sayı daha da artacaktır.

4.1. Giorgi (ve SI) Birim Sistemi

Elektromagnetik büyüklüklerin LMTQ boyut siste mindeki boyutlarının elde edilişi 3.bölümde gö

rüldü. Temel mekanik boyutları için m, kg, s ve elektrik yükü için de Coulomb (C)un birim seçil mesi ile, elektromagnetik büyüklüklerin birimle rini hem rasyonel, hem de rasyonel olmayacak şe kilde tanımlamak ve formülleri yazmak mümkündür. Fakat rasyonel olmayan sistem kullanılmadığı için biz yalnız rasyonel sistemi inceleyeceğiz. Pratik te elektrik yükünün C olarak ölçülmesinden çok a kım şiddeti Ampere (A) olarak ölçüldüğünden ve 1C=1As olduğundan m k s A (metre, kilogram, sa niye, Ampere) birimlerinden oluşan rasyonel birim sistemine Giorgi birim sistemi denir (*). 1960 yı lında toplanan uluslararası bir kongrede, m kg s A birimlerine, termodinamik sıcaklık birimi Kelvin (K), ışık şiddeti birimi olarak mum (cd)un eklen mesi ile Uluslararası Birim Sistemi (Systeme In ternational d'Un i t es SI) oluşmuştur[ 8 J.

Çizelge l'den yararlanarak, elektromagnetik büyük

lüklerin birimleri Çizelge 2'de uluslararası sim

geleri ile görülmektedir [ 7 J. Bu sistemde bi

rimli

iki

değişmez

olup,

bunlar

V o ^ ve

d r ve

(14.c) denklemini sağlarlar.

4.2. Elektrostatik (es) ve Elektromagnetik (em) cgs Birim Sistemleri

Mutlak es cgs ve mutlak em cgs birim sistemleri birbirinden bağımsız durgun elektrik ve durgun magnetizma için oluşturulmuş en uygun birim sis temleridir. Başlangıçta elektrik ve magnetizma, birbirinden ayrı fizik olayları olarak biliniyor du. Şimdi de elektromagnetik kuram öğretilirken aynı tarihsel gelişim izlenirse bu sistemlerin kullanılışı hesaplama bakımından kolaylıklar sağ lar. Şöyle ki: Durgun elektrikteki büyüklüklerin birimlerini, Coulomb yasasındaki boşluğun dielek trik sabitini 1 alarak, santimetre gram saniye (cm g s) cins inden elde etmek mümkündür. Aynı şekil de magnetik kutup şiddetleri için yazılan Coulomb yasasında boşluğun magnetik sabitini 1 alarak, magnetizmadaki büyüklüklerin birimlerini c m g s cinsinden elde etmek mümkündür. Diğer taraftan bu iki fiziksel olaydaki büyüklüklerden ikisi, k değişmez olmak üzere Ampere yasası

H «ds = k i 2

(24)

ile birbirlerine bağlıdırlar. Bu durumda, örneğin akım şiddeti için her iki birim sisteminde bulu nan birimler

(''elektrik = cm? gi s"2

(25.a)

(*)ölçmede birimlerin kullanılmasının ve birim sistemlerinin oluşum tarihi eskidir. Burada ta rihinden söz etmek uzun olacağı için, bu konu ile ilgili kısaca şunları söylemekte yarar vardır. Prof. Giorgi 1903 yılında mekanikte kullanılmakta olan m kg s birim sistemi ile e lektromagnetizmadan seçtiği dördüncü büyüklüğün birimini {boşluğun magnetik sabiti (geçirgen liği) 4^ x10~7 birim) birleştirerek, oluşan sistemi pratikte kullanılır duruma sokmuştur. 1935 yılında IEC'nin yaptığı toplantıda ise Giorgi'nin önerisi benimsenmiş ve bu öneri 1948 yılında toplanan uluslararası, ağırlık ve ölçme lerle ilgili konferansa getirilmiştir. Böylece 1950 yılında mkgs ye ek olarak A in de akım şiddeti birimi olması kararlaştırılmıştır.

SÎMGESÎ

* 0 Y U T SÎSTEMLERİ

LHTQ

LMTe

LMTu

LlM*T"le*

LMT 2Ç 1

L İMİT"1e"*

L *M*« *

L"2Q

iî

L"ıT İQ

L*M*T"2.*

elektrik akım

L"2TQ

dielektrik sabiti

L"3M İT2Q2

sabit

V

polarizasyon

LMQ"2 L 2Q

L 2TV1

elektrik skalar potansiyel

L2MT"2(? 1

magnetik vektör

A

potansiyel

LMT^Ç"1

kutup şiddeti

sığa

L^M 1^2

Le

direnç

L2MT"1Q"2

L^Te"1

özindüksiyon

L2MQ"2

L"xT2en

•e

l^MT"1!?"1

Çizelge 1. Ble/ctromagneti/c Büyüklüklerin Boyutları

L *M*T ^ ,*

L 2T2u X

LVT »U*

L*M*T"1 u*

LT^u

L Vî"1 U*

ELEKTROMAGNETIK SİM

BÜYÜKLÜKLER

GESİ

Giorgi(mks A)

Gauss

Birimler Arasındaki Bağıntılar

Coulomb (C) q

As

Ampere (A)

statC (stC) Franklin (Fr)

stA

Nevton C* (NC"1) • Vm <

stV cm

abC Bi s abA Biot(Bi)

em birim abV cm"1

stC stA stV cm"1

1 C = 2,998 109stC = İO"1 abC

1 A = 2,998 109stA = İO"1 abA

İVm"1 =3,336 10"5stV cm"1 =106 em birim

stC cm"2

—2 s t C cm

lCm"2=3,336 10"5stC cm"2 =106 em birim

dielektrik s ab it

Fm"1

cm s2 2

lFm"ı=l,129'10u es birim = l,257 10 ıocm"2s2

magnetik geçirgenlik

S

Wb m " 2

Tesla (T)

Am"1 Lenz (Lz)

Hm"1

es birim es birim cm s2 2

Gauss(Gs)

Gs

Mx cm"2

Oersted(Oe)

Oe

em b irim

1 T = 3,336 10"7es birim = İO" Gs lAm ^3,766 108 es birim =1,257•10"20e lHrnn=8,89 10"ı6cm s2 2 =7,98 105 em birim

elektrik potansiyel direnç sığa

Bzindüksiypn elektrik iletkenlik polarizasyon

u Volt (V)

R Ohm (Cl)

C Farad (F)

L Henry (H)

* Heber (Wb)

G

Siemens (S)

n"1

?

Am"1

sta stF cm gtH s t mho dipol moment

abV abC! abF abH cm Maxwell(Mx)

ab mho magnetik moment

stn stF stH

Mx st mho

4ı ıı vj momGnt cm3 magnetik moment

1 V = 3,336 10"3stV = İO8 abV

1 » = l,113 10"ı2stf! = İO9 abn

1 F = 8.987 1011 stF = 10"9 abF

1 H = l,113'10"ı2stH = İÖ9 abH lWb = 3,336 I0"ue8 birim = İO8 Mx

1 S = 8.988 1O11 st mho = 10"9 ab mhd

Çizelge 2. Elektromagnetik Büyüklüklerin Birimleri ve Birimlerin Oranları

(i)magnetik = emi gi s"1

(25.b)

olup, birbirlerinden farklıdırlar. Bu örnekte ol duğu gibi bütün büyüklüklerin es ve em birimleri bulunur ve bu birimlerin oranları alınırsa, bu o ranların cm/s nin *1 ve *2 ci kuvvetleri olduğu görülür. Bu durum "aynı iki fiziksel büyüklüğün oranı, değişmez ve bir imsiz bir sayıdan başka bir şey olamaz" aksiyomunu bozar. Bundan başka, örne ğin aynı akım şiddetini her iki birimde ölçen am permetreler yapılsa göstergelerin 1 'e yakın olma sından çok 1/(3'1Q10) kadar olduğu görülür. Böyle ce iki birim sistemindeki birimlerin oranı ve bu oranın sayısal değeri bakımından bu iki sistem bir arada anlamlı olmazlar. 0 halde elektromagne tik büyüklükler mekanikteki c m g s birimleri kul lanılarak ele «lınacaksa aşağıdaki yollardan bi rinin seçilmesi gerekir.

a. Mutlak elektrostatik cgs ve mutlak elektromag netik cgs birim sistemleri:(*)

Bu iki sistem eskiden kullanılan ve oldukça şaşırtıcı birim sistemleridir. Çünkü elek trostatik cgs birim sisteminde cismin elektrik geçirgenliğinin boyutsuz ve böylece birimsiz ka bul edilmesi sonucunda elektromagnetik büyüklük lerin hepsinin birimi cm, g ve s cinsinden elde (*)Kitaplarda kullanılmakta olan es cgs ve em cgs birim sistemleri eski ve yeni durumu ile kulla nılırken isim karışıklığı olmaktadır. Buradaki "mutlak" dey iminin anlamı elektromagnetik büyük lükler için yalnız cm, g ve s nin alınması ile oluştuğudur ve öbürü ile karıştırılmaması için kullanılır.

StMGESt

BİRİK SİSTEMLERİ

cmVs 1

cmigi

cm g s ~ 2

cm~?g2s~1

cm2g2s~2

es birim em birim cm s " 1 cm s""1

cnT^g^s""1

cm~*g^

dielektrik sabit

e=D/E

cm * s ^

cm2s~2

cm~*gi

cm İgîs~l

fi.

cmigzs"2

cmTîgis"1

magnetik sabit

U=B/H

CHTV

c m s2 2

potansiyel farkı sığa direnç özindüksiyon magnetik akı

cmigîs"1

cmîgis"2

cm

cm"1s2

cm*g*

cm"1 s 2 cm s " 1 cm cm^g^s"1

cm"1 s cm2s~2 c m s2 2 c m s2 2 cm s

magnetik kutup şiddeti

cm5g5

cm^gzs 1

cm2g2

cm"1 s cm s ı

çizelge 3. Mutlak es cgs ve Mutlak em cgs Birim Sistemlerindeki Büyüklüklerin Birimleri ve Oranları

elektrostatik cgs elektromagnetik cgs

*•

»•

D, H

MAXWELL DENKLEMLERİ

Lorentz kuvveti (birim yük için)

1 co2

D=E+4ıTP H=C02B 4TTM

V 5=4ırp, VxH=4nj"+ | r vx£+ | f = o, v S=o

?+vx5

D= r ^ î + 4 7 1 ^ 'o

$ D=4iTp, VxH=4ırî+oftr

tf=S 4ırf4

^ ? + | | = o . $S=o

Gauss (cgs)

fî=S 47rft

Lorentz Heavis ide (cgs)

34+?

1 Û=3 M

^ £ + J l f =0, ?.3=0 '"o 3 t

Mi"*

Giorgi (rasyonel m k s A)

107 4wc02

4wx10~7

tf= L 5 M"

f r 3 p ,f c d W +| |

$x?+ || =0, $ S=0 dX

fizelge 4. Maxwell Denklemlerinin Çeşitli Birim Sistemlerinde Yazılışı

î+VxS

Edilir. Büyüklüklerin mutlak es cgs birim siste mindeki birimleri Çizelge 3'de görülmektedir. Ay ıı şekilde elektromagnetik cgs birim sisteminde :ismin magnetik sabiti (geçirgenliğinin boyutsuz ye birimsiz varsayılması sonucunda, elektromagne— tik büyüklüklerin hepsinin birimi cm, g ve s cin sinden elde edilmektedir* Büyüklüklerin mutlak em ;gs birim sistemindeki birimleri ve birimlerin iki sistemdeki oranı Çizelge 3'de görülmektedir. 3. es cgs ve em cgs birim sistemleri: 3u birim sistemleri, LMÎ boy utlarına elektrik büyüklük Lerden yada magnetik büyüklüklerden dördüncü bir joyut seçimi ile oluşmuştur, es cgs birim sistemi

MTE, em cgs birim sistemi de LMTu boyutları ile ilgilidirler. Bu nedenle önceki bölümde olduğu ?ibi ne e, ne de V birimsiz değildirler. Giorgi jirim sistemine benzer tarzda, e ve V için temel sirim değil de, es cgs birim sisteminde elektrik rükû için, em cgs birim sisteminde akım şiddeti Lçin cm, g ve s ye ek olarak dördüncü birim seçi lir, es cgs birim sisteminde elektrik yükünün bi rimi statCoulomb (stC) ya da eşdeğerdeki Franklin [Fr)dir (oysa mutlak es cgs birim sisteminde y^k birimi emi gi s"1 dir). em cgs birim sisteminde akım şiddetinin birimi abAmpere (abA) ya da eşde ğerdeki Biot (Bi)dur (oysa mutlak em cgs birim sisteminde akım şiddeti birimi emi gi s"1 dir). 3bür büyüklüklerin her iki birim sistemindeki bi

rimleri Çizelge 2'de görülmektedir. Çizelgenin fazla karışık olmaması için öteki büyüklüklerin birimleri1, temel birimlerin biri cinsinden veril miştir. Bu birimlerin kolaylıkla eşdeğerleri bu lunabilir. Bu iki birim sisteminde bir büyüklüğün oranı c n (n=±l, *2)dir.

o c. Gauss ve Lorentz Heaviside Birim Sistemleri: mksA (Giorgi) birim sistemi kadar çok kullanılan bir başka birim sistemi de, Gauss birim sistemi dir. Giorgi birim sistemi makroskopik cisimler i çin ne kadar uygunsa, Gauss ve Lorentz Heaviside birim sistemi de mikroskopik cisimler için uygun dur. Gauss birim sistemi, rasyonel olmayacak şe kilde Coulomb ve Ampere yasalarının yazılmaları, es cgs ve em cgs birim sistemlerinden ortaklaşa seçilen birimlerle oluşturulur. Büyüklüklerin Ga uss birim sistemindeki birimleri Çizelge 2'de, Maxwell denklemleri ise Çizelge A'de görülmekte dir. Eğâi Coulomb yasaları ve Ampere yasası ilk önce rasyonel yapılıp, sonra es cgs ve em cgs bi rim sistemleri birleştirilirse, Lorentz Heaviside birim sistemi cüretilmiş olur.

Bu bölümde ele alınan birim sistemlerinde yazıla cak Maxwell denklemleri, birim elektrik yükü üze rine etki eden Lorentz kuvvetinin görünüşü bakımın dan birbirlerinden farklıdırlar, çizelge 4'de bu denklemler bir arada görülmektedirler [ 9 ].

5. BOYUT ANALÎZtNÎN ELEKTROMAGNETÎK KURAMA UYGULANMASI

Bu kısımda amacımız boyut a n a l i z i i ç i n k u l l a n ı l a n yöntemleri anlatmak ve ne şekilde uygulandığını kuramsal olarak açıklamak d e ğ i l , daha çok i k i ö r nek üzerinde boyut a n a l i z i n i n n a s ı l k u l l a n ı l d ı ğ ı nı kısaca göstermektir.

a. Varsayalım ki, direnci R, özindüktansı L, sığa sı C olan bir elektrik devresinin frekans (sıklık) formülü

2TT(L )B

(26)

şeklinde olsun. (26) denkleminde a ve B hatırla yamadığımız bilinmeyenler olsunlar. Büyüklüklerin Çizelge l'deki boyutlarından yararlanarak a ve 6 değerlerini buluruz.

Çizelge l'de LMTQ boyut sisteminden kolaylıkla

[ R ] = L2MT İI? 2, [ C ] = L ZM İT^2, [ L ] = L2MQ~2 ve tanımından [ f ] = T"1 dir.

(26) denkleminin sağ tarafındaki ifadenin payın daki işlemin yapılabilmesi için RaL / C nin bo yutsuz olması gerekir. Yani

L° M 0 T V [c] dır.K , L veC nin boyutları yerine konur ve e şitliğin sağlanması için o=2 olduğu görülür. Yi ne (26) denkleminin doğru olabilmesi için her iki tarafın boyutunun birbirine eşit olması zorunlu dur. Buradan,

]=[ ı 1 yazılır. Büyüklüklerin boyutu yazılıp, denklem çözülürse 8 = 1/2 bulunur. Böylece (26) formülü nün doğru şeklinin

'"4 C

2ır/UC olduğu anlaşılır.

b. Uzunluğu !• olan bir televizyon tüpü içerisine elektrik yükü e, kütlesi m olan bir elektron v hızı ile giriyor. Eğer elektronun hızına dik ola rak bu tüp içerisinde magneeik akı yoğunluğu B olan bir alan varsa, elektron . ilk doğrultusundan birim uzunlukta ne şekilde sapar?

Varsayalım ki elektron fırlatıldığı doğrultudan birim uzunlukta d/D kadar sapsın. Bu sapma miktarı diğer değişkenlerin bir işlevi olarak düşünü lürse

d/D = f(t, e,

B)

(27)

yazılır. (27) denkleminde f yi değişkenlerin bir kuvvet serisi olarak yazıp bu serinin herhangi bir terimini, C değişmez bir sayı, o, y, z, w ve t bilinmeyen olmak üzere

d/D = CJ.aeyfnzvwBt

) ( 2 8

olarak a l a b i l i r i z . Eğer (28) denklemi doğru ise, bilinmeyenler öyle olmalıdır ki, her iki tarafın boyutu aynı olmalıdır, yani

d/D

(29)

d i r . Çizelge l'deki LMTQ boyut sistemi kullanıla rak ve d/D nin boyutsuz olduğuna dikkat ederek

L°M°TOQO

(30)

yazılır. (30) denklemi yalnız ve ancak x+w = 0, z+t = 0 w t = 0, y t = 0

(31)

ise sağlanır. (31) denklem sisteminde 5 bilinme yen ve 4 tane de doğrusal bağımsız denklem olduğu için, genel çözümü yapılırsa

d/D =

(32)

bulunur. (32) denkleminde birim sapmanın diğer değişkenlere ne şekilde bağlı olduğu görülüyor. Buradaki C katsayısı deneysel ya da analitik yol la bulunur. Eğer uzunluk boyutları vektörel yazıl saydı a nin değeri de bulunabilecekti.

KAYNAKLAR

[l] Tai, C.S1., "A Study of Electrodynamics of Moving Media", Proc. IEEE, Cilt 52, s.685 689, 1964

[2] Penfield, P.Jr. ve H.A. Haus, Electrodynamics of Moving Media, Cambridge, Mass.: MİT, 1967

[3] "Coulombs Lav Commitee of the AAPT", Am. J. Phys., Cilt 18, s. 1 25, 69 88, 1950

[4] ODTÜ Mühendislik Bilimleri Bölümü, ES 100 "Engineering Computations" ders notu, Ankara 1972

[5] Douglas, J.F. , An Introduction to Dimensional Analysis for Engineers, London: Sir Isaac Pitman and Sons Ltd., 1969

[ö] Coleman, S.D. ve E.H. Dili , "Thermodynamic Restrictions on the Constitutive Equations of Electromagnetic Theory", Zeitschrift für angevardte Math. und Physik, Cilt 22, s.691 702, 1971

[7] Hvistendahl, H.S., Engineering Units and Physical Quantities, London: Macmillan and Co. Ltd., 1964

[8] Chisttellv B. ve E.CM. Grigg , SI Units, Sydney: John Wiley and Sons, Aust. Pty. Ltd, 1971

[9] Jackson, J.D., Classical Electrodynamics, New York, N.Y: John Wiley and Sons, Inc., 1967