BAĞLAÇ DİYAGRAMLARI KURAMI VE UYGULAMALARI

BAĞLAÇ DİY AGRAMLARI KURAMI VE

UY GULAMALARI NECDET SEN

UDK: 513.83

ÖZET

Bu çalışmada, karmaşık fizik yapılı toplu bile şenli devinik dizgelerin (dinamik sistemlerin) birleştirilmiş modellerini bulmayı amaçlayan ve dizge/denetim mühendisliği tekniğinde henüz ye ni bir konu olan "bağlaç diyagramları" yöntemi anlatılmış ve çeşitli uygulamalar verilmiştir. Bağlaç diyagramlarının özellikle dizge benzeti minde (sistem simülasyonu) başarı ile kullanıla bileceği örneklerle gösterilmiştir.

SUMHARY

in this paper, the "bond graphs" method, which

aims at finding the combined model s of complica

ted dynamic systems consisting of lumped compo

nents, and which is a new subject in system

science and control engineering, is presented;

and several applications of the method are gi

ven. it is shown by examples that the bond

graphs method can be successively used' in

system

simulation.

1. GÎRÎŞ

Bir devinik dizgenin çözümleme ya da bireşiminde kuşkusuz ilk adım, o dizgenin uygun bir matema tiksel tanımlamasının (modelinin) bulunmasıdır. Matematiksel model, ilke olarak, verilen bir diz genin doğal yapısından ve davranışı sırasında dizgeyi oluşturan fiziksel bileşenlerin sağla dıkları fiziksel yasalardan yararlanarak elde edilir. Ancak matematiksel modelin bulunması, bazı özel durumlar dışında,.kolay olmayan bir iştir ve çoğu kez yanlışlıkların yapılmasına yol açar. öte yandan, teknikte son yıllardaki hızlı gelişmelerin sonucu kurulmakta olan dizge lerin boyut ve karmaşıklık derecelerinin artmak ta oluşu, model bulma sorununun önemini artırmış ve güçleştirmiştir. Bu durumda mühendisler, yeni

Necdet Şen, Doç.Dr., KTÜ

ve güçlü yöntemlerin bulunması ve geliştirilmesi gereğini sezmişlerdir. Bu gerçeğin gözönüne a lınmasıyla, günümüzde pekçok araştırıcı devinik dizgelerde çözümleme yapabilmek ve özellikle mo del sorununu çözebilmek için, dizgelerin geomet rik yapısından giderek, sistemdeki değişkenlerin birbirleri arasındaki bağıntıları ilgili fizik sel yasaları sağlayacak biçimde yazma yolunu seç mişlerdir. Fiziksel benzeşim ilkesinin benimsen mesiyle elde edilecek fizik bir devreden yarar lanmakla, elektrik devreleri kuramında yapıla geldiği gibi doğrusal çizgeler tekniği ve onun topolojik özellikleri kullanılmaktaysa da kar maşık fizik yapılı bir dizgede değişik enerji bölgeleri arasındaki çoğu kez çizgelerle doğru dan doğruya modellenememesi yöntemin kullanıla bilmesini kısıtlar. Bu kısıtlama uç çizgeler kavramından yararlanarak giderilebilirse de bir takım uzun çözümsel hesaplamaların yapılmasını gerektirir. Ayrıca topolojik kuram ancak toplu bileşenii durumlarda kullanılabilir, öte yandan, "kütle indüktans" fiziksel benzeşimi için her zaman doğrusal çiege modeli bulunmayabilir [l]. Oysa, verilen bir fiziksel dizgenin yapısı ne olursa olsun, doğrudan dizgeye bakarak gözlem yoluyla bağlaç modelinin bulunabilmesi, soruna çözüm arayan kişi ile dizge arasında bir ilişki sağlamış olur. Eğer bir çizge modeli, dizgedeki değişkenler ve dış etkiler arasındaki fiziksel etkileri belirleyebilecek biçimde çizilebilirse, çözümlemelerde geçerli olabilecek genelleştiril miş bir yol bulunmuş olur. Bu düşünceden hareket le geliştirilmiş olan "bağlaç diyagramları" kura mı da işte böyle bir amacı gütmektedir. Günümüz de değeri henüz anlaşılmaya başlanan bağlaç di yagramları yöntemi, gerçekte devinik dizgeler ve denetim mühendisliğinden esinlenerek, Massachu setts Institute of Technology'de 1961'de Paynter [2] tarafından bulunup yine aynı yerde Karnopp ve Rosenberg [3,4] ve Thoma [5] tarafından geliş tirilmiş ve diğer birçoklarınca [6 10J çeşitli devinik dizge araştırılmalarında kullanılmıştır. Bağlaç diyagramları kuramının en önemli özelliği, verilen bir karmaşık fiziksel yapılı dizgenin bilgisayarla benzetimini yapabilme olanaklarını içermesidir [3,9,10].

Genel olarak bağlaç diyagramları yönteminin sağ ladığı yararlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:

1. Verilen dizgenin yapısı ve karmaşıklık özel liği ne olursa olsun, dizgeyi oluşturan fizik sel bileşenler arasındaki bağlaşımları da göz önüne alarak birleşmiş bir işlemsel geometri kurulabilir.

2. Kurulan bu "çok kapılı geometrik yapıya" baka rak dizgenin içindeki enerji bağlaşımları ara sındaki enerji/güç alışverişini gösterecek o lan matematik bağıntılar yazılabilir. Buna bağlaç diyagramlarının topolojisi gözüyle ba kılabilir.

3. Herbir bağlaç bileşeni ilgili olduğu enerji kapısının iç ve uç değişkenini birlikte gös terdiğinden, n bileşenli bir bağlaç diyagramı 2n düğümlü bir işaret akışı diyagramına ya da ilişkin bir öbek diyagramına (block diagram) dönüştürülebilir. Bu ise örneksel bilgisayar benzetimine olanak sağlar.

4. Yine enerji kapıları arasındaki ilişkiler fi ziksel bileşenlere göre düzgün sıralar biçimin de yazılarak sayısal bilgisayar programlaması da yapılabilir. Paynter tarafından ileri sürü len ve Ro8enberg [3] tarafından geliştirilen ENPORT programı bu amaca yöneliktir.

5. Bağlaç diyagramları ortak bir geometrik model kurabilme olanağı verdiğinden, değişik sınıf tan devinik dizgelerin devre modellerinin elde edilmesinde yararlı olur. öte yandan, fiziksel benzeşim ilkesi yardımıyla böyle bir devre e lektrik devresi olarak gerçekleştirilerek elde edilen modelde birtakım ayarlamalarla, dizge nin fiziksel yapısı en iyi değerlerde yeniden kurulabilir (optimumlaştırma sorunu).

6. Bağlaç diyagramları dizgenin iç yapısını ger çeğe uygun olarak gösterdiğinden öğretici bir değer taşır. Oysa bu özellik ne öbek diyagram larında ne de işaret akışı diyagramlarında ol mayıp birtakım hesaplamaları gerektirir. Öbek ve işaret akışı diyagramlarının yalnız doğru sal matematik nitelikteki dizge modelleme yön temleri olmalarına karşılık, bağlaç diyagram ları genel bir özellik taşır.

7. Bağlaç diyagramları doğrudan doğruya enerji alışverişi olaylarının çizimsel bir modelle mesi olduğundan, bağlaç diyagramından adım adım gerçek fiziksel dizgeye geçilebilir; bu özellik devinik dizgelerin bireşimi olanakla rını da kabaca verebilir.

Bağlaç diyagramlarının devinik dizgeler kuramı yöntemleriyle ilişki Şekil l'de açıklanmıştır.

2. BAĞLAÇ BİLEŞENLERİ, ENERJİ KAPILARI

2.1 Genel Tanımlar

En ilkel biçimde bir bağlaç bileşeni A ve B gibi iki altdizge ya da iki enerji kapısı arasında Şe kil 2a'da görülen ve bu iki kapıyı birbirine bağ layan bir çizgi parçasıyla gösterilir. Bu göste riliş gerçekte A dan B ye (ya da B den A ya) bir e f gücünün aktarıldığını göstermek üzere Paynter [2] tarafından tanımlanmıştır. Böyle bir bağlaç bileşeni, A ve B enerji kapıları arasında e uç değişkeni (ya da çaba değişkeni) ve f iç değişke

Gerçek Dizge

/

Bağlaç diyagramı 4

^

^ Sayısal Benzetim

Benzetim

^ — I Eşdeğer fiziksel 1 devre modeli

_

"•" 1

öbet ya da

] Doğrusal çlzge modeli

1.a diyagramı

örneksel benzetim

1 [ \ | Topolojik kurallar i\ 1

{ ^ Sayısal çbzüm

Şekil 1. Devinik dizgeler kuramı yöntemleri ve bağlaç diyagramlarıyla ilişkisi

Şekil 2. Bağlaç bileşenlerinin gösterilişleri

Şekil 3. Bir bağlaç diyagramı

B1lesen

Tek kapılı bileşenler ve sınıflandırılması

Gösterilim

Y önlendirilmiş bağlaç gösterilişi Matematiksel

akış kaynağı caba kaynağı enerji tüketen bileşen enerji bir ik t i ren, sığaç türü bileşenler enerji bir ik t i ren indükleç türü bileşenler dönüştürgeç tü rü enerji aktarıcılar

t(t) = J,(t)

v(t) = V (t) g

•Jn(t) = f ( T )

T R ( O = gR(v ) R

v (t) = f (/x dt)

Tc(t) £ g (v ) cc

= g (/v dt)

îki kapılı bileşenler

(n)

Tl

\>2

'TR 1 (n) 2

topaç türü

'JR

enerji akta

rıcılar

O bağlac birle şimi (çaba de ğişkeni değiş mez enerji ka pısı)

1 bağlaç birle şimi(akış değiş keni değişmez enerji kapısı)

Oç kapılı bileşenler

Or

d

Uı L

1ı

—A ı '

V2

Vı = V2 = Vj Tl T2 İ 3 » O Tl = İ 2 = T3 Vı " V2 " V3 = " 0

Çizelge 1. Bağlaç diyagramı bileşenleri ve sınıflandırılması

ni (ya da akis değişkeni) ile gösterilen birbiri ne ters yönde etkiyen bir "nedensellik" (causa lity) çiftine karşılık olarak düşünülebilir. Ya ni, eğer bu kapılardan birine bu değişkenlerden birisi etki ederse (giriş) o kapıda öteki değiş kenin belirlediği bir karşıt etki (çıkış) elde edilir. Şekil 2a'da görülen yarım ok gücün A ve B kapıları arasında aktarılış yönünü göstermekte dir. Şekil 2a'daki dik gösterilişe eşdeğer bir gösteriliş Şekil 2b'de görülmektedir. Bir kapıda nedenselliği göstermek Üzere değişkenler Şekil 2c ve 2d'de görüldüğü gibi yönlendirilir. Bu yönlen dirme güç yönlendirmesinden bağımsızdır. Değişken yönlendirmesi, her seferinde A ve B kapıları ara sına ters yönlü iki ok çizilecek yerde, bağlaç çizgisinin, e değişkeninin yönüne karşı gelen u cuna dik küçük bir çizgi çekilerek gösterilebilir. Bu, aynı zamanda güç yönlendirmesinin de bir tek çizgide gBsterilebilmesini sağlar. Şekil 3'de ge nel yapılı yalın bir bağlaç diyagramı görülmekte dir. Bu diyagramda £, fiziksel dizgedeki tekli enerji kapılarını (dizgenin etken ve edilgen bi leşenlerini) ve Bfc, bu kapıların bağlı oldukları ikili ya da daha çoklu enerji kapılarını göster mektedir. Böylece B kapıları, fiziksel bileşen lerin ya dizi bağlı oldukları f iç değişkenleri ortak olan fiziksel çevreleri (circuit), ya da ko

1 ' : elektrik,

: mekanik dönme ,

u

hareketi

T' : ısıl işlem, S

F V ' : mekanik öteleme hareketi

P : akışkan hareketi Q'

A : kimyasal işlem v'

Şekil 4. Tek kapılı bağlaç bileşenleri ve çeşitli dizge değişkenlerinin uç (çaba) ve iç (akış) değişkenleri olarak sınıflandı rılması

şut bağlı bulundukları e uç değişkenleri ortak o lan fiziksel düğümleri (node) göstermektedir. Eğer dizgede enerji aktarıcı ya da dönüştürücü nitelik te fiziksel bileşenler varsa bunlar yine By çoklu enerji kapıları olarak bağlaç diyagramında yer a lırlar. Bu türden olan enerji aktarıcılar enerjiyi ya belli bir oranda yine aynı tür enerjiye dönüş türürler (dönüştürgeç, transformatör) ya da bir başka tür enerjiye dönüştürürler (topaç, jiratör). Faytner [2] tarafından verilen tanımlara ve göste rilimlere uygun olarak, e değişmez enerji kapıları "0", f değişmez enerji kapıları "1", bağlaç dönüş tür geç ler i "TR" ve bağlaç topaçları da "JR" ile gösterilirler. Elektriksel dizgelerden bilindiği gibi dönüştürgeç ve topaçlar enerjiyi belli bir orana göre bir uçtan ötekine aktarırlar. Eğer bu enerji aktarılışı başka bir enerji kapısı tara fından denetlenleniyorlarsa "MTR" ya da "MJR" ile gösterilirler. Buradan anlaşıldığı gibi, bir bağ laç diyagramı, düğümleri enerji kapıları, bile şenleri de bağlaçlar olan bir doğrusal çizgedir. Bağlaç diyagramlarının da kendilerine özgü bir topolojisi kurulabilir [lO] . Bu topolojinin, 0, 1, TR ve JR kapılarına göre e f çarpımıyla ve rilen genelleştirilmiş güç bağıntılarından geliş tirileceğini unutmamak gerekir. Bu iş, gerçekte elektrik devreleri kuramında topolojik durum denk lemleri için yapılan genelleştirmenin bağlaç di yagramlarına uzanımı niteliğindedir. Kuvvet geri 1im türü fiziksel benzeşim ilkesinin benimsenme siyle çeşitli fiziksel dizgeler için tek kapılı bağlaç bilşenlerinin temel değişkenleri (neden sellikleri) Şekil 4'deki gibi sıralanabilir. Şe kil 4'den görüldüğü gibi bağlaç bileşenleri çiz gilerinin Ustünde bulunan fiziksel değişkenler her zaman çaba değişkenlerini gösterirler ve bir birlerinin fiziksel benzeridirler. Böylece, v:e lektriksel gerilim, F: mekanik'öteleme kuvveti, T: mekanik dönme momenti, P: akışkan basıncı, T: ısı derecesi, A: kimyasal gerilim (afinite) değişkenleridir. Bağlaç çizgilerinin altında ka lan fiziksel değişkenler de birbirinin fiziksel benzeri olup, i: elektrik akımı, V: mekanik öte leme hızı, u: mekanik dönme hareketindeki açısal hız, Q: debi (akışkanın birim zamanda geçen hacim değeri), §: entropi hızı, y: kimyasal tepkime (re aksiyon) hızı ya da kütle akışı gibi değişkenler dir.

2.2 Bağlaç Diyagramlarının Kuruluşu

Tekli enerji kapılarında olduğu gibi ikili ya da çoklu enerji kapıları Şekil 5'deki gibi modellen dirilebilir. Tekli ve çoklu enerji kapılı bağlaç bileşenlerinin yapısı Çizelge l'de görüldüğü gibi bütün özellikleriyle sıralanabilirler.

Bağlaç dönüştürgeçleri ve topaçlarının kullanı lışlarını göstermek üzere Şekil 6'daki fiziksel dizgeyi örnek alalım. Burada görüldüğü gibi elek trik üretecinin verdiği enerji bir doğru akım mo torunu çalıştırmakta ve bu motorun milinden alı

419 Blektrik Mühendisliği 225

"T*3 (t)

(2) = , „

O) <3'

I ıT

(2) (îj ~~ I (2)"<1> C

FızikMl bojlontı

bojtoç yapın

Fiziknt bogantı

bogUK yapaı

JAL • ı î \y

şekil 5. a)3 kapılı fiziksel bağlantılar ve bağlaç modelleri b)Çeşitli çok kapılı bağlaç yapıları ve bağlaç yönlerinin belirlenmesi

Kaynak e9

Kaynak

Uyartım

i (»)

«u hu

DA Motoru

"S

" P°mPQ

Şekil 6. Bir fiziksel dizgenin bağlaç diyagramının kuruluşu a)Gerçek dizge bjîlkel bağlaç diyagramı

Ef^

Lm Rm

Jı Kt

im\ ( ^

| pr«T»^|

. Ra i Ea +' (a)

MA hid. pompa

P2t pı| Q

Ea

LaK

1|

Lm

'm La

\/

Eg M 1 1 (im)

•^ MJR

*.Ra

it

Kt

(»ı)|

•A 1 1

Bt

=0 (T)

(b)

IP (">2) ]

A1

Bp

P2 (P) l [

^TR A 1 (!} )

"i

Şekil 7. a)Karmaşık fiziksel yapılı bir dizge b)Bağlaç yönleri verilmiş bağlaç diyagramı

nan mekanik dönme enerjisi bir sivili pompayı ça lıştırıp akışkanı basmaktadır. Bu yalın dizge i çin Şekil 6b'deki gibi bir ilkel bağlaç diyagramı çizilerek enerji kapıları ve bağlaç değişkenleri belirlenir. Bağlaç bileşenlerinin güç aktarılım yönleri bu örnekteki dizgede isteğe göre seçile meyeceklerinden (görülen fiziksel durum nedeni) şekilde görüldüğü gibi seçilmelidir. Ancak geniş fiziksel yapılı sistemlerin bağlaç diyagramların da güç aktarılım yönlerinin 0,1, TR ve JR kapıla rı için seçimleri isteğe bağlı olarak yapılabilir. Bu sorun bağlaç bileşenlerinin topolojisi ile il gilidir [10].

Şekil 6b'deki gibi kabaca çizilen bağlaç diyagra

mı, kaynak, DA motoru, mil ve sivili pompayı oluş

turan fiziksel bileşenleri gözönüne alarak dizge

nin enerji kapılarını gösterecek biçimde yeniden

çizilebilir. Şekil 6a'daki dizge açık olarak çizi

lirse Şekil 7a'daki eşdeğer dizge «İde edilir.

Dizgenin enerji kapıları, % ve i akımlarının do a laştığı çevreler, ooı ve 002 açısal hızlarının etki

lediği mekanik dönmeler, mildeki T dönme momenti

ve Q debisinin etkilediği akışkan akışı olup fi

siksel bileşenler ve enerji dönüştürücüler göz

önüne alınarak bağlaç diyagramı Şekil 7b'deki gi

bi kurulabilir. Buradan görüldüğü gibi 1 kapıları

için akım, hız ve debi değişkenleri, 0 kapıları

için moment değişkeni ortak değişken alınmıştır.

Motor, alan akımı ile denetlenen bir topaç bağlaç

ve pompa da, dönüşüm oranı pompa katsayısına eşit

bir dönüştürgeç bağlaç ile gösterilmiştir. Burada

Lfl, L ve Km, R motor devresinin indüktans ve

dirençlerini, I » I ve B > pB m i ı ve po^Pf1"» ey

lemsizlik moment ve sürtünmelerini, K milin katı t

lık katsayısını göstermektedir. E , E elektrik a

kaynakları, Pı, P2 pompanın akışkan girişi ve çı

kışındaki basınçları göstermektedir. Burada kuş

kusuz en önemli işlerden biri nedensellik dik çiz

giciklerinin belirlenmesidir. Bunun için hemen

söylenmesi gereken, bu yönlendirmenin, enerji bi

riktiren fiziksel bileşenlerin nedensel değişken

lerinin durum değişkenlerini kullanabilecek bi

çimde seçilmiş olmalarıdır. Bu düşünce özellikle

bağlaç diyagramlarıyla sistem modellerinin yasal

(kanonik) modellerinin bulunmasında büyük rol oy

nar. Böylece, L,I ve K fiziksel bileşenlerinin ne

densellikleri bu amacı gerçeklemek için Şekil 7b'

de görüldüğü gibi, R ve B lerin nedensellikleri

de ilgili topolojik düşünceyi bütünleyici anlamda

olmak üzere seçilmişlerdir [10]. MJR ve TR kapıla

rının nedensellikleri bağlı oldukları kapıların

türüne göre (burada 1 kapısı durumu görülüyor) se

çilmiştir. Pompanın akışkan girişi bir akış kayna

ğı, çıkışı da basınç kaynağı gibi düşünülmüştür

(kuşkusuz bunun tersi de düşünülebilir).

3. DİZGE DENKLEMLERİNİN ELDE EDİLİŞİ : KANONİK DURUM BİÇİMİ

Bir bağlaç diyagramında, 0, 1, TR ve JR kapıları ile tek kapılı dizge bileşenleri arasındaki güç

alış verişi denklemleri kolayca yazılabilir. An cak 1 kapılarında f akış değişkenleri aynı kalaca ğından, bu kapılarda yalnız e çaba değişkenlerinin nedenselliklerini gözönüne alarak cebrik toplamı nı; 0 kapılarında ise bu durumun tersi olacağından f akış değişkenlerinin cebrik toplamını yazmak ge rekir. Bu iş, gerçekte, bağlaç diyagramlarının geometrisi yardımıyla yazılan Kirchhoff Maxwell devre denklemlerinin fiziksel dizgeler için genel leştirilmiş şeklidir. Mekanik, elektroteknik, a kışkan ve ısıl olayları birlikte alarak devinik dizgelerin yapısındaki davranışları bağdaştırdı ğından bağlaç diyagramları yöntemine "genelleşti rilmiş fiziksel devreler kuramı" gözüyle bakıla bilir. Buna benzer bir yöntem önceleri Kron ta rafından (1939 1945) düşünülmüş ve "diacoptic" yöntemi (yırtma yöntemi) geliştirilmişti. Bu yön temin, ayrı ayrı enerji bölgeleri arasındaki ba ğıntıları genel olarak açığa kavuşturamamış olması önemini yitirmesine neden olmuştur. Kron'un yolu, bağlaç diyagramı diliyle ancak 1,0 ve TR kapıla rını kapsayabilecek kadar bir güç kazanabilmiş bir yöntem olarak kalmıştır. Kirchhoff Maxwell teorisi ise ancak 1,0 kapılarını kapsayan bir bağ laç yapısına karşılıktır. Oysa bağlaç diyagramları doğrusal durumda 1, 0, TR, JR ve genelleştirilmiş durumda da 1, 0, MTR ve MJR kapılarını bulunduran bir yapıyı içerdiğinden pek çok fiziksel diz genin modellendirilebilmesinde güçlü bir yöntem olarak geliştirilmektedir.

Dizge denklemlerini durum değişkenleri kullanarak

yazmak, en az sayıda enerji değişkeni kullanarak

dizgenin matematik modelini bulabilme olanağını

sağlar. Bu doğrudan doğruya bağlaç diyagramına ba

karak yapılabilir. Bunun için, çizilen bağlaç di

yagramı üzerinde, durum değişkenlerini verecek bi

çimde nedenselliklerin belirlenmesi gerekmektedir.

Bu iş, yine bağlaç bileşenlerinin 0, 1 kapılarının

geometrisine uygun olarak doğrudan doğruya dizgeye

bakarak sağlanır, örnek olarak Şekil 8a'daki diz

geyi alıp durum değişkenlerinin nedenselliklerini

ve yine ve bunlara göre 1, 0 ve TR kapılarının uy

gun nedenselliklerini verelim. Bu durumda Şekil

8b'deki bağlaç diyagramı elde edilir. Bu bağlaç

diyagramı, üzerinde gereken işlemler bitmiş olup,

kanonik bir matematiksel model vermeğe uygundur.

Bu yüzden böyle bir bağlaç diyagramını "kanonik

bağlaç diyagramı" ya da "durum bağlaç diyagramı"

diye adlandırmak yerinde olacaktır. Şekil 8b'deki

durum bağlaç diyagramında enerji değişkenleri Jı^

ve mı, bileşenlerinin uç ve K ve K bileşenlerinin

iç değişkenleri olduklarından, dizgenin bütün de

ğişkenleri bağlaç diyagramı üzerinde bütün birleş

tirici 1,0,TR kapılarının geometrik özellikleri

gözönüne alınarak bunlar türünden işaretlenir.

Yalnız burada j bileşeninin durum değişkeni olma 3 dığını görmek gerekir. Bu, bir topolojik kesitle

mede (cut set) fiziksel akı depolayabilen enerji

bileşenlerinden birinin durum değişkeni olmaması

özelliğidir [il]. Böylece, durum bağlaç diyagra

M

il 6. Bağlaç diyagramlarımla durum modeli elde

Ki

edilişi.

,

a. Bir' mekanik dizge

b. Dizgenin durum değişkenlerine göre

yönlendirilmiş bağlaç diyagramı modeli

Şekil 9. a)Fiziksel dizge: doğru akım şönt motoru b)Dizgenin yönlendirilmiş bağlaç diyagramı c) Dizgenin örneksel benzetimi

mına bakarak durum denklemleri V I , V H , T 2 , T 5 durum değişkenleri türünden aşağıdaki gibi bulunur:

\>ı = K2T2 + Mı (t)

+ — K2T2 " K5T5

1 mı,

T$

• Vı,

(D

Bu denklemlerin matris biçimde yazılmalarıyla İ A X + B_ 11 durum modeli elde edilir.

B«r2

Ksr2mı,

Vı, 0 —

J +r2mt, 5

V*

3+r2mı,

T2 Jj

m»

1 0

Mı (t) 0 0 BU

(1) denklemlerinden görüldüğü gibi, bağlaç diyag ramlarından elde edilen durum denklemlerinde bir takım matris hesaplamaları ve dolayısıyla olabile cek işlem yanlışlıkları ortadan kaldırılmış olur. Ne var ki, bağlaç diyagramları tekniğini kullanma yı bir alışkanlık edinmek gerekmektedir, öte yan dan, böyle bir alışkanlık bağlaç diyagramcıya, ve rilen bir karmaşık dizgenin herhangi bir matema tiksel işlem yapmaksızın, doğrudan doğruya gözlem yoluyla adım adım bir durum işaret akışı diyagra mını bulabilme yeteneğini de kazandırır. Oysa du Tum denklemlerinin işaret akışı diyagramlarını gözlem yoluyla elde etmek yakın bir geçmişte bir takım araştırıcıları oldukça ilgilendirmiş olan bir konu idi [il,12].

4. BAĞLAÇ DİYAGRAMLARI ÎLE FÎZÎKSEL DÎZGELERÎN BENZETÎMÎ

4.1 örneksel Bilgisayar Benzetimi Bağlaç diyagramlarıyla fiziksel dizgelerin birleş tirilmiş modelleri bulunduktan sonra, örneksel bilgisayar benzetimleri de yapılabilir. Gerçekten bir bağlaç bileşeni, Şekil 2'de görüldüğü gibi iki

işaretin gösterilişi olduğundan, enerji kapıları ve bu kapılara bağlanmış olan fiziksel bileşenler arasındaki enerji alışverişini kolayca göstermede yardımcı olur. Bu özellikler Şekil 5b ve 5c1den açıkça görülmekteyse de, bağlaç, akış ve öbek di yagramları arasındaki dönüşümler çeşitli enerji kapılarına göre Çizelge 2'deki gibi sıralanabilir. Genelleştirilmiş durumda TR v e J R iki kapılıları başka enerji kapılarının değişkenleri ile denetle niyorlarsa, bu bileşenlerin dönüşüm oranları ilgi li kapının ortak değişkeninin birer işlevi olur. Bu özellik geribeslemeli denetimdizgeleri ve e lektronik devrelerin incelenmesinde özellikle ya rarlı olur, «Basit bir örnek olmak üzere, Şekil 9«' daki doğru akım şönt motorunu alalım. Önce dirge nin bağlaç diyagramı .Şekil 9b'deki gibi doğrudan doğruya gözlem yolu ile çizilir .ve bağlaç bileşen lerinin nedensellikleri verilir. Sonra da Çizelge 2*deki kurallara uygun olarak öbek diyagramının çizilmesine geçilir. Bu blok diyagram gerçekte bir örneksel bilgisayar benzetim modelidir. Bağlaç bi leşenlerinin nedensellikleri durum denklemlerini verecek biçimde seçilmiş 'olduklarından* bu benze tim bir durum modelini çözmek üzere kurülauş olan örneksel bilgisayar programlamasıdır.

4.2 Bağlaç Diyagramlarından Îşaret Akışı Diyagramlarına Geçiş tşaret akısı diyagramları kullanarak doğrusal çok değişkenli dizgelerin.model ve çözümlemesi, son on yılın modern mühendislik tekniğinin oldukça güçlü bir yöntemi durumuna gelmiştir. Ancak veri len bir dizgenin bu diyagramlarla geometrik olarak modelini kurabilmek yine birtakım çözümsel işlem lerle elde edilen çok değişkenli doğrusal cebrik denklemlerin uygun biçimlerde yazılmasını gerekti rir. Oysa, ötedenberi işaret akışı diyagramları yöntemini kullananlar araştırdıkları dizge modeli ni doğrudan doğruya dizgeye bakarak bulma yolları nı aramıştırlar. Çizelge 2'den görüldüğü gibi, bağlaç diyagramları bu olanağı sağlar. Örneğin, Şekil 8'deki bağlaç diyagramının işaret akışı di yagramı dönüşüğü Şekil 10b'de görülmektedir. Bu dönüşüm,'önce bütün enerji kapıları ikişer düğüm le gösterilip, sonra diyagramdaki nedenselliklere göre akışlar bu düğümlerde toplanıp çıkartılarak elde edilmiştir.

5. SONUÇLAR VE BAĞLAÇ DİYAGRAMLARI TEKNÎĞÎNÎN ÖTEKÎ UYGULAMA ALANLARI

Bu çalışmada, dizge biliminin ve denetim mühen ' dişliğinin hemen en yen.i tekniği olan ve özellik le verilen bir dizgenin matematiksel modelinin bulunmasında ve örneksel bilgisayar benzetiminde pek elverişli olan bağlaç diyagramları kuramının özellikleri ve birtakım temel uygulamaları örnek ler vererek açık bir dille incelenmiştir. Bağlaç diyagramlarıyla durum modellerinin bulunacağı 8 zel bir teknik verilmiş, öbek ve işaret akışı di yagramlarına dönüşümü gösterilmiştir.

Eaglac bileşeni

öbek diyagramı U^

diyagramı

el .

1* 2 1 DO d/n)

feicil 10. Bağlaç diyagramından işaret akışı diyagramına geçiş

a. Şekil 8'deki dizgenin bağlaç diyagramının, işaret

akışı diyagramı dönüşüğünü elde etmek üzere

»o

adlandırılışı

b. İşaret akışı diyagramı modeli

1İ

—r JR

f2

f3

e2

l/n

e2 o

1/n

1/n}* f2

Çizelge 2.

Bağlaç diyagramlarının temel tanım ve özellikle rinden anlaşıldığına göre, dizgeleri bu yoldan çözümlemek bir anlamda, "genelleştirilmiş bir de vin ik dizgeler kuramı" geliştirmek demektir. Bu tekniğin, tek türden enerji domenleri için sınır lanmamış olması nedeniyle, mühendisliğin çeşitli dallarında, özellikle süreç denetim (process control) mühendisliğinde pek yararlı olacağı açık tır. Bağlaç diyagramlarının çağdaş dizgeler bili mi açısından en önemli özelliği durum değişkenle ri tekniğinin en genel' durumlarda kullanabilme olanağını vermiş olmasıdır. Oysa, alışılagelen yöntemlerde böyle bir genelleme yapmak kolay de ğildir. Bağlaç diyagramları, çok değişkenli ve birçok değişik enerji domenli altyapıların doğ rusal olan ya da olmayan bağlaşımları ile oluşan karmaşık yapılı fiziksel dizgelerin çözümü için en genel bir yoldur. "Vektör bağlaç" [lO] kavramı tanımlanarak ve yine doğrusal olmayan durumlarda dizge bileşenlerinin enerji bağıntılarından yarar lanarak yazılacak "diferansiyel nedensellikler" tanımlarıyla [lO] bu teoriyi genelleştirme olanak ları araştırılmıştır. Bu işin Lagrange ve Hamil ton devimbilimi ile birleştirilmesi, mühendislik te olduğu kadar fiziğin birçok dallarında da geo metrik bir çözümleme olanağı sağlayacaktır. Bağ laç diyagramları tekniğinin uygulamalı bilimlerde birçok alanlarda kullanılabileceği söylenebilir. Bunlar arasında eriyik geçişim olayları (difüzyon) enzimler bilimi, kimyasal işlemler, ısıl işlemler, termodinamik çevrimlere göre çalışan bütün makina lar [13] fizyolojik olaylar [l4] biyokimya ve ben zerleri gibi enerji alışverişi olaylarını içeren bütün doğal olaylar sayılabilir.

Doğrusal çizgeler kullanarak toplu parametreli dizgeleri çözümlemek her ne kadar bilinen bir yolsa da bağlaç diyagramları tekniği bu yöntemle rin sınırlı oldukları bütün durumlarda çalıştığı gibi, bir çok matris/vektör işlemlerinin doğura bileceği güçlük ve yanlışlıkları da ortadan kaly durmaktadır. Ancak doğrusal çizgelerle bağlaç di yagramları arasındaki topolojik benzerlikler a raştırılmağa değer bir konudur.

Bağlaç diyagramları çeşitli fiziksel dizgeleri bir arada tekilleştirebildiğinden bağlaç diyag ramları tekniğine alışmış kimselerce pratik ta sarım problemlerinde başarıyla kullanılabilir. Dizge yapısı karmaşık da olsa, bağlaç diyagramla rı 0,1,TR ve JR kapılarının geometrisinden yarar lanarak çeşitli dizge işlevlerinin gözlem yoluyla hesaplanmasında kolaylık sağlar. Fakat bütün bun ların yanında bağlaç diyagramlarının en üstün ya nı bilgisayarla çözümlemede araştırıcıya sağladı ğı yararlardır.

6. TEŞEKKÜR

Çalışmanın hazırlanması konusunda gerekli litera türü vermeyi lütfeden sayın Prof.Jean U.Thoma

(İsviçre), Prof.Dean Karnopp (California Univ.) ve birlikte çalıştığım sayın Prof.Henry M.Paynter (M.I.T.)'a burada teşekkür etmeyi bir görev saya rım. Ayrıca birçok verimli tartışmalarda bulundu ğum eski öğrencilerim sayın Y.Müh.Kemal Altınışık ve sayın Y.Müh. îsa Kılıç'a teşekkürlerimi belirt mek isterim.

KAYNAKLAR

—^—

[l] Shearer, J.L., A.T.Hutphy, H.H.Richardsan s "introduction to System Dynamics", Addison Wesley, 1967

[2] Paynter, H,M. : "Analysis and Design of En gineering Systems", M.I.T. Press, 19661

[3] Rosanierg, R.C. : "Computer Aided Teaching of Dynamic System Behavior", Sc.D.Thesis, Dept.of Mech. Eng. M.I.T., Cambridge, Mas sachusetts, 1965

[4] Karnopp, D.C., R.C.Rosenberg, : "Course Notes of Special Summer Course, 2.22s, Physical System Dynamics, M.I.T., Temmuz 1967

[5] Thoma, j.u. s "Grundlagen and Anvendungen der Bonddiagranme", Verlag W.Girardet, Essen, 1974

[6] Trans, ASME,: Jour.of Dynamic Systems, Measu rement, and Control, Spe.Iss.on 'Bond Graphs, •Eylül 1972

[7] Takahashi, Y., H.Rabins, D.M.Auslander, : "Control and Dynamic Systems", Addison Wesley, 1970

[8] Thoma Jean U. : "Bond Graphs for Thermal Energy Transport and Entropy Flow", Jour. Frank.Inst., Ağustos 1971, s.109 120

[9] Altınışık, K. : "Termik Bir Santralın Matematik Modelinin Bağlaç Diyagramları Yöntemiyle Bulun ması", Mak.Yük.Müh.Diploma Tezi, K.T.O., 1974

[lOİ Şen, W. . "Dinamik Sistem Modellerinde Enerji Bağlaçları", Doçentlik Tezi, 1973

[il] Şen, N. : "Genel Tipten Elektrik Devrelerinin Durum Denklemleri ve Çözümleri", 1.TÜBİTAK Bilim Kongresi Tebliği, 4 6 Ekim 1967 ve Ba yındırlık İşleri Dergisi, Cilt 44, No:8 9 1968, s.32 38

[12] Lago, Ğ.V., R.H.Becker, J.E.Barbay, : "State Equations Formulations via Flow Graph Techni ques", 6th Asilomar Conference on Circuits and Systems, Kasım 15 17, 1972, Pacific Grove, California

[l3] Hylen, G.J., R.E.Van Sontag, : "Fundamentals of Classical Thennodynamics", J.Wiley, 1973

[14] Riggs, D.S.,: "Control Theory and Physiolo gical Feedback Mechanisms", VJilliams and Wilkins Co., 1970

425 Elektrik Mühendisliği 225