SAYISAL SÜZGEÇLER

sayısal süzgeçler

a. rıza akçay

ÖZET

UDK: 621.3 72.54

Günümüzde büyük önem kazanan sayısal süzgeçleri tanıtan bu yazıda, önce gerekli ön bilgiler verilmiş, daha sonra sayısal süzgeçlerin çözümlenmesi ve tasarımı üzerinde durulmuştur. Kavramların ve uygula yımların anlaşılmasını olanaklı kılmak amacıyla örneklere de geniş ölçüde yer verilmiştir.

SUMMARY

Digital filters v/hich have great importance in todays technology are introduced in this article. After having developed the necessary background, the analysis and synthesis of digital filters are discussed and the concepts introduced are extensively illustrated by examples.

GENEL

Sayısal süzgeçler için gerekli olan örnekselden sayısala ve sayısaldan örneksele çevirileri daha iyi anlamak için aşağıdaki önbilgiler verilmiş tir.

1. ÖRNEKLEME

Örnekleme, zaman uzayında düzgün olarak dağılmış anlarda imin değerlerini elde tutma işlemidir, örneksel im, zamana bağlı olarak sürekli bir de ğişim gösterdiğinden, örneksel düzenler üzerinden ancak sürekli olarak gönderilebilirse karşı ta rafta alınabilir. Oysa sayısal düzenlerde değişim kesikli olduğundan örneksel imden belli anlarda değerler alıp göndermek, kalan sürede de başka imleri aynı biçimde göndermek uygundur. Ancak ör neksel imden alınan örneklerin sıklığı önemlidir. Kulağın, imin gönderilmediği süreyi ayırdedememe si gerekir. Alışılagelmiş, Shannon yada Nyquist örnekleme kuramı olarak bilinen sonuçlar, bir ör neksel imin aslına uygun olarak alıcıda yeniden kurulması için örnekleme sıklığının, örneksel imin sıklık bandındaki en yüksek sıklıktan en az iki kez büyük olması gerektiğini gösterir. Yani örnekleme sıklığı , f ; sıklık bandının en yüksek bileşeni, fm ise

Örnekleme sıklığının 8000 Hz olduğunu varsayar sak, f = l/T denklemi uyarınca, 125 ps'de bir ör nekleme yapmak gerekir. Şekil 1.1'deki gibi bir ses dalgasını ele alalım. Burada eşit zaman ara lıklarıyla örneksel imden örnekler alınmıştır. Çizgilerle boyutsuz gösterilen bu zaman aralığı, aslında belirli bir örnek alma süresi kadardır. Öyle ise şekildeki düşey eksene koşut çizgiler, örnek alma anındaki im genliğini gösterirler. Mik rosaniye dolayındaki bu sürede genlikte büyük bir değişiklik olmadığı varsayılarak, bu vuruşun genliğine değişmez olarak bakılır. Buna ani örnek leme denir. Genlik değişimi olduğu gibi alınarak yapılan örneklemeye doğal örnekleme diyeceğiz.

Çıkışında çok kısa süreli akım yada gerilim dar beleri üreten bir düzen, zaman uzayında örnekle me düzeni diye bilinir. Öyle ki bu darbeler ses dalgasının gözönüne alınan anlardaki ani değerle rini verirler. Herbiri değişik genlikte olabilir. Bu nedenle bunlar, vuruş genlik bindirimlidir. Şekil 1.2'de bu işlemi yapabilecek bir düzen verilmiştir. Ses kaynağı, bant geçiren bir süzge

f >'2 f m s olmak zorundadır. A. Rıza Akçay, PTT Araştırma Laboratuvarı ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 233

Şekil 1.1. Bir ses dalgasından örnek alma.

Bant geçiren suzgec

Yüksek girij empedansı

Şekil 1.2. Zaman örnekleme düzeninin öbek çizimi.

çe uygulanmıştır. Bu süzgecin amacı sıklık bandı nı sınırlamak olup, örnekleme işlemi sırasında sanal sıklıkların ortaya çıkmasını önler. Süzgeç, r direnci ile sonlandırılmıştır.

G, uygun zamanlama darbeleriyle, r üzerindeki ani gerilimin A yükseltecinin girişine aktarılmasını sağlar. Bu yükselteç yüksek bir giriş empedansı gösterir. A yükseltecinin çıkışındaki R yük diren ci üzerinde G'ye vuruş uygulanıp uygulanmamasına göre bir dizi vuruş elde e d i l i r . P, Q noktaları nın solundaki devreye eşdeğer bir ikinci devre, P, Q noktalarına bağlanabilir. Ve zamanlama vuruş l a r ı özdeş s ı k l ı k l ı , fakat zaman ekseninde biraz kaymış olarak düşünülürse, bir ikinci kaynağı ör nekleme olanağı vardır.

2. ADIMLAMA *

Örneklenen im genliğinin belirlenmiş kesikli de ğerlerden birine eşit alınması işlemine adımlama denir. Şekil 2.1 adımlama işlemine ilişkin değiş kenler arasındaki bağıntıyı göstermektedir.

Adımlamada ilk akla gelen şey tepeden tepeye olan im genliğini belli bir sayıya bölerek belirli adımlama düzeyleri elde etmektir, örneğin, 8 V1 luk bir gerilimi, 128 aralığa bölerek adımlamak isteyelim. Burada 128 adım düzeyi vardır denir. Çıkıştaki imin alabileceği kesikli değerlerin sa yısı adım düzeyleri sayısını verir. Burada her düzey 62,5 mV'a karşılık gelir. 62,5 mV, adımla ma adımı yada basamağı adını alır. Adımlama adımı belirli düzeylerden herbirinin genişliğidir.

0 62,5 mV birinci düzey, 62,5 125 mV ikinci düzey vb. olmak üzere belirlenirler. Böylelikle adımla yıcının girişine 0 62,5 mV arasında hangi örnek genliği gelirse gelsin, örneği karşı tarafta ye niden elde ederken (buna adımlayıcının çıkışı de mek uygun olur) bu aralığı ancak tek bir gerilim değeriyle belirtebiliriz. Kodlayıcıya giren 0 62,5 mV arası, çıkışta 0 yada 62,5 mV gibi tek bir değer olarak kabul edilebilir. Bunun gi

* Yabancı dillerdeki "Çuanta" sözcüğüne karşılık bu yazıda "adım" kullanılmış, "Ouantization", "Ouantizer" yerine de "adımlama" ve "adımlayı cı" denilmiştir. Bu karşılığın çok başarılı ol madığını bilmekle birlikte daha önce önerilmiş "nicem" ve "tane" sözcüklerinden daha iyi ol ması, yabancı bir kökten "kuantalama", "kuanta layıcı" gibi sözcükler türetmenin de yanlışlığı nedeniyle "adım" kökünü yeğledik. (Elektrik Mühendisliği)

giriş dalgasının

•• genliği

X

1 'j1

1 <1

Ar,KVhyhyyAiyii| w y

i! |1

ı 'i İ ı l ıill

iI I1|

11 1i

Şekil 2.1. Adımlama a. Adımlama özeliği b. Adım gürültüsü

giriş dalgasının genliği

bi 62,5 125 mV arası 62,5 yada 125 mV; 125 187,5 mV arası da 125 yada 187,5 mV olmak üzere sapta nabilirler. Ancak çıkışı böyle tanımlamamız dutu munda, iki tabanına göre yazılan kodlarla kodlama işlemi sırasında bir adım üzerinde belirsizlik ortaya çıkar, tik düzeyin çıkışta 0 V alınması durumunda en üst düzey; 62,5 mV alınması durumun da ise en alt düzey çıkışta gözönüne alınmaya cak demektir. Bu belirsizliği yarıya indirmek için (0 62,5 mV) arasındaki birinci düzey çıkışta ikisinin ortalaması olan 31,25 mV ile belirlenir. (62,5 125 mV) arası 93,75 mV; (125 187,5 mV) ara lığı da 156,25 mV olmak üzere saptanır. Böylelik le çıkışta 31,25 mV'un altındaki gerilim değerle riyle, en üst düzeyin üst yarısı olan (7.96875 8V) aralığı elde edilemez. Bu sayısal açıklamalardan adımlayıcının girişine, q adımını göstermek üze re; n = 0, +1, ±2, ±3... artı ve eksi tam sayılar olmak koşuluyla nq ile (n +l)q arasındaki tüm de ğerlerden hangisi uygulanırsa uygulansın çıkışın da (2n + l)q/2 elde olunacağı anlaşılır. (0 q) aralığı q/2; (q 2q) aralığı 3q/2; (2q 3q) ara lığı 5q/2 olmak üzere adimi ayıcı çıkışında ortaya çıkarlar.

8V, 128 düzey yerine, tepeden tepeye ( 8 V , +8 V) arasında alınan bir gerilimi; ( 8V 0 V ) arasını eksi 128 düzey ( 0 V 8 V ) arasını artı 128 düzey olmak üzere 256 düzeyde adımlıyabiliriz. Kullanı lan ses dalgası ister sinüs dalgası, ister 0 or— talamalı Gauss dağılımlı bir işlev olsun, 0 orta lama özeliğinin sonucu olarak adımlayıcı özeliği 0 noktasına göre bakışımlıdır.

2 . 1 . Birbiçimli yada Doğrusal Adımlamadaki Adım Gürültüsü

Yukarıda açıklandığı biçimde, belirli bir geri lim değerini yada genel olarak akım da olabilen bir imin değerini adımları eşit almak koşuluyla adımlamaya doğrusal yada birbiçimli adımlama de

——~ » (1) Giri? imi

^ ^ • ( 1 ) Adımtonmu

\ «iki?

ÇIKIŞ 99/2

Yanılgı

V^Z^?1*

1*1

• Zaman

Şekil 2,3* Adımlanmış bir im ve yanılgı eğrisi.

5 9/2

31/2

9/2 5 1 49 39 29 9

9 •9/2

29 39 49 59

•39/2

•59/2

79/2

ÇIKIŞ |

•99/2 (a)

49 39 29

9 »9/2 79/2 59/2 39/2 9/2

9/2 39/2 59/2 79/2 99/2 9

39 49

ÇIKIŞ

Şekil 2.2. Adımlama a. Adımlama özeliği b. Adımlama eğrisinin değişik bir yorumu

Şekil 2.2a1da adımlama işleminin 0 volt dola yındaki durumu gösterilmiştir. Şekil 2.2b ise ço ğunlukla kullanılan, adımlama işleminin dolaylı olarak anlaşılmasını sağlayan özeliği vermek tedir. Özellikle gürültü hesaplamasında bu eğ ri göz önünde tutulur. Gerçekten nq ile ln+l)q arasındaki girişlerin (2n+l)q/2 olarak çıkışta belirlenmesinin başka bir anlamı da vardır. Bunu şöyle açıklayabiliriz. Çıkıştaki q/2, 3q/2, 5q/2... değerlerini birleştiren eğriyi çizersek, bunun üzerinde q, 2q, 3q,.. değerleri de vardır. Acaba çıkışta nq olarak belirlenen bir değer adım layıcı girişindeki hangi değerleri belirler? Ba sit bir ortalama hesabı bize çıkışta nq olarak belirlenen değerin girişteki (2n l)q/2 ile (2n + l)q/2 aralığına karşılık geldiğini belirtir. Gürültü hesabını yaparken bu kavramdan işe başla mak kolaylık sağlar.

Düz çizgiler düşüncel (ideal) adımlayıcıyı belir tir. Birçok girişlerin tek bir nq değeri ile gös terilmesi bir yanılgıya neden olur. Bu da imin genliğinden bağımsız olup salt değer olarak en fazla q/2 kadardır.

Şekil 2.1b'de bu yanılgının testere dişine ben zer değişiminin her adım düzeyinde yinelendiği görülmektedir. Bu bir adımlama bozulmasına neden olur ve imin genliğinden bağımsızdır. q küçül dükçe adım gürültüsünün azalacağı görülmektedir. Bunun için adım düzeyleri sayısını artırmak ge rekir. Bu da devre yapısının çok daha karmaşık olacağı anlamına gelir. Adım gürültüsü özellikle küçük genlikli imler üzerinde etkindir. Ses imle rini iyi iletebilmek için genlik değerlerinin 1/100, hatta bazen 1/1000'e kadar olan ayrıntı larla saptanması gerekir. Bu da 35 40 dB, hatta 60 dB'lik bir aralığın elde tutulması anlamına gelir. îşte bu çok güçsüz düzeylerde adım gürül tüsü gücünü elden geldiğince azaltmak, birbiçim li adımlamada, ancak düzeyleri çok artırmakla yerine getirilebilir.

Şekil 2.3'te bir dalganın adımlanması ve yanılgı eğrisi verilmiştir.

2.2. imin Adımlama Gürültüsüne Oranı

Adımlama sonucunda; nq, n ' i n c i düzeye karşılık gelen dayanak gerilim olmak üzere, q adım basa

mağı genişliği olmak koşuluyla

(2n

2n+

q^x<

aralığmdaki bir X girişinin nq ile gösterilebi leceğini belirtmiştik. (2.1) eşitsizliğinden

nq

a. << X < nq + ?

İmin, q aralığındaki istatistiksel dağılımı P(X) ise, adımlama gürültüsünün gücü

nq +

( x n q ) 2 P(x)dx

nq olarak tanımlanabilir.

q arılığının küçük olduğunu ve P(X) in bu aralık ta değişmediğini varsayacak olursak, (2.3)

Bn= 12 P(nq)

biçimini alır.

(2.4)

P(nq) n ' i n c i aralık*; dc^l.s:.i "ıiği düşünülen P(X) değeridir. q p(nq) p(n) inin n ' i n c i düzeyde ol ma o l a s ı l ı ğ ı n ı gösterecek olursa

Bn=1^2~ ^ P(n)

<2 5>

Tüm adımlama basamaklarındaki toplam gürültü gü cü

B = £Bn = n

£P(n) q2 dir. n

(2.6)

Tanım uyarınca £P(n) =1 olduğundan, tüm basamak ların eşit olduğu varsayımıyla birbiçimli adım lamada

(2.7)

bulunur, îm/gürültü oranı

12S

(2.8)

olarak gösterilir.

(2.7)'deki denklemden, gürültünün karesel orta lamasının yani gürültü gücünün q2/12 olduğu görül mektedir. q yerine bunun yarısı alınırsa, yani dü zeylerin sayısı iki kat artırılırsa gürültü gücü dört kez azalmış olur, bu da 6 dB'lik bir gürültü düzeyi güçsüzlemesine karşılık gelir. Öyle ise gü rültüyü azaltmak için adımlama düzeylerini artır mak başvurulabilecek bir yoldur.

q2/12'lik bir gürültü gücünün q//~3 lük bir etken gürültü gerilimine karşılık geleceği, karekök alarak kolaylıkla bulunur. Ayrıca (2.8)'deki S gürültü gücünü de gerilimin etken değerinin kare sine bağlı olarak yazabiliriz. Etken gerilim de ğerleri türünden (2.8) denklemi

2/1V „, S/B=( — )2

(2 9)

biçiminde yazılabilir. Güçlü düzeylerde bir doy ma olayı ortaya çıkar ve imin türüne bağlı olan bir sınırlama gürültüsü doğar.

3. KODLAMA

Adımlama konusunda söylendiği gibi, adımlanmış bir örnek, belirlenmiş kesikli değerlerden biriy le gönderilebilir. Ancak ses için yaklaşık olarak 100 örnek genliği kullanmak gerektiğinden, bunla rı karşıda birbirinden ayırdedebilecek devreler yapmak güçtür. Buna karşılık bir vuruşun varlık yada yokluğunu anlayabilecek devreler kolaylıkla yapılabilir. Ses için 100 dolayında örnek genli ği gerektiğinden, ikili sayı düzeniyle bu genlik leri belirtmek için 27 = 128 ayrı kod kullanmak yeter. İkili kodlama dediğimiz bu düzen bugün ço ğunlukla kullanılmaktadır. Yedi haneli sıfır ve birlerden oluşan her iki sayı bir adım düzeyine karşı düşürülür. Adım düzeyleri sayısını artır mak için ikili sayının hanesini artırmak gerekir. Örneğin, sıfır ve birlerden oluşmuş sekiz haneli ikili sayılarla 256 adım düzeyini kodlama olana ğı vardır. Bir cetvelle gösterecek olursak, kod daki vuruşların sayısı ve adımların sayısı ara sında aşağıdaki gibi bir değişim elde edilir.

n koddaki darbe sayısı

5 6 7

9 10 11

adım sayısı (2n)

32 64 128 256 512 1024 2048

Kodlama için sıfır ve birlerden oluşmuş vuruş di zileri yerine değişik sayıda vuruş bileşenlerin den oluşmuş diziler kullanılabilir. Bu vuruş bi leşenlerinin sayısı 3 ise (ternary) üçlü, dört ise (quaternary) dörtlü vb. kod sistemleri adını alırlar. Genel olarak elde edilen adım sayısı, b kullanılan bileşen sayısını göstermek üzere, bn dir. ikili düzende vuruş dizilerinin bileşen leri sıfır ve bir olduğundan b = 2, adım sayısı 2n dir. Genel eğilim ikili sistem üzerindedir. Uzak aralıklı iletişim düzenlerinde yüksek im/gü rültü oranı gereği ikiden fazla bileşen içeren kodlama düzenlerinin kullanılmasını gerektirir.

3.1. Kodlanmış Bir İmde Gürültü Değeri

Adımlanmış bir imde toplam im/gürültü oranının

2/~3v

S/B=(

^k_)2

olduğunu (2.9) denkleminde söylemiştik.

Tepeden tepeye gerilim; q adım olmak üzere V = b n • q biçiminde yazılabilir. Değişimin sinüs sel olduğunu varsayarak bir yarıçevrimin enbüyük tepe değeri bnq/2 dir. Etken değeri elde etmek için bunu /~2 ile bölmek gerekir. Öyleyse

etk 2 / I yazılabilir.

Bunu, S/B'nin verildiği denklemde yerine koyacak olursak

q./T

bulunur.

10 log S/B =20 log b n + 1 0 Iog3 10 log 2

b = 2 varsayımı ile 10 log S/B = 6n + 1,76 dB

(3.3)

tm/gürültü oranı türlü biçimlerde tanımlanabil diğinden V k yerine tepeden tepeye gerilimi alırsak, bu oran (2 /2) çarpanıyla artar; bu da 9 dB'lik artışa denk düşer.

10 log S/B = 6n + 10,79

olur.

Uygulamada en çok rastlanan tanım (3.3)'teki denklemdir. Bu denklem genel olarak 6n~k biçi minde yazılabilir, k imin türüne göre değişebi lir ve 2 < k < + 9 sınırları arasındadır. Ele al dığımız örnekte ses imini sinüssel aldığımızdan k=l,76 bulunmuştur. Sinüssel bir modelin yeter li sonuçlar vermediği yerlerde normal bir gen lik dağılımı benimsemek zorunluğu vardır. Şimdi böyle bir im için k nın kaç olacağını araştıra lım.

Adımlayıcı imin değişim aralığının 4 + 4 V k arasında olduğunu varsayalım. Bu değişim aralığı sıfır ortalamalı bir Gauss P(X) işlevine oldukça uygundur. Öyle ki im örneklerinin değer leri 1/10 000 den daha az bir olasılıkla bu ara lığın dışına düşerler. Öyleyse imin tepeden te peye olan değerini 8 V k almak olanaklıdır.

Adım q 8 V k / 2 n olarak bulunur ve et

S/B= (

V etk

de yerine koyacak olursak

10 log S/B = 6 n 7,26

Buralarda söz konusu edilen gürültü yalnızca adım gürültüsü olup, ne sinüssel im, ne de Gauss da ğılımlı bir im için elde edilen denklemler uygu lamada yeterli sonuç vermezler.

Kodlayıcılarda bir de saptam yanılgısı vardır ki bu da adımlama yanılgısına göre çok etkisiz sayı labilir. Saptam yanılgısı kod açıcıya gelen bir kodun yanlış bir gerilim örneğine çevrilmesidir.

dilimin eğimi aynıdır. Bundan sonraki her dili min eğimi bir öncekinin iki katıdır.

Şekil 3.2'de öbek çizimi gösterilen sayısaldan örneksele çevirgeç ardarda bağlı iki bölümden oluşur. Bunlardan birincisinin en az ağırlıklı dört rakkam (E,F,G,H) tarafından belirlenen çı kışı (eı), birinci dilim için 0 ile 4V, öbür di limler için 4V ile 8V arasındadır, eı ikinci bölümde BCD ile belirtilmiş dilime göre çeşitli oranlarda güçsüzletilir. Bu devrenin ilk bölü mündeki tranzistor anahtarları ve ikinci bölü mündeki AET (alan etkili tranzistor; anahtarla rı kodlayıcı için gereken yüksek hızı sağlar.

3.3. Kodlayıcı

Uygulamada kullanılan dizgelerin çoğunda, adım lama ve kodlama işlemleri bir arada, kodlayıcı (encoder) olarak adlandırılan düzende yapılır. Kodlayıcıları çalışma ilkelerine göre üç sınıfta toplayabiliriz. Bunlardan birincisi sayarak kod lama yapan türdendir, tmin anıl değeri içinde en küçük birimden genel olarak adım kaç tane ol

3.2. Sayısaldan örneksele Çevirgeç (S/ö)

Şekil (3.1)'de e olarak gösterilen eğri S/Ö çe o virgecin sayısal girişi ile örneksel çıkışı ara sındaki bağıntıyı gösterir. 128 sayısal giriş yedi bölümlü bir ikili sayıcıdan elde edilir. Yedi haneli bir sayısal giriş BCDEFGH ile göste rilir. En ağırlıklı üç hane B,C ve D 000,001,010, 011,100,101,110,111 birleşimleriyle sekiz dilimi belirler. Bu dilimlerin herbiri içindeki 16 eşit basamak ise, EFGH ile belirlenir. îlk iki

112 1 2»

Şekil 3.1. S/ö çevirgecinin giriş çıkış eğrisi.

22 7

duğunu sayarak bulur. Adım düzeyleri sayısı m ve her işlem için saptama süresi t ise böyle bir kodlayıcıda enbüyük kodlama süresi m t kadardır. Uzun zaman gerektirdiklerinden kullanışlı sayıl mazlar. Her keresinde bir adım düzeyine karşılık gelen gerilimi üretip, imin genliğini bununla karşılaştırdıklarından "bir kerede düzey kodla yan" kodlayıcı adını da alırlar. İkincisi koşut kodlayıcılardır. Tüm adım düzeylerine karşılık gelen genlik değerleri kodlayıcıda saklı oldukla rından çıkışa birlikte verilir ve im genliğinin bunlardan hangisine karşılık geldiği hemen belir lenir. Gerekli kodlama süresi t kadardır. Çok hızlı çalışırlar. Ancak çok sayıda (adım düzeyle ri sayısı kadar) karşılaştırıcı gerektirdiklerin den kullanışsızdırlar. İmin genliğine karşılık gelen kodu hemen bulduklarından bir kerede söz cük kodlayan düzen diye adlandırılırlar. Üçüncü kodlayıcı türü ardışık yaklaşımlarla çalışan yi neli yada ağırlıklaştırılmış kodlayıcıdır. Kod kelimesindeki ikili rakamlardan her birini bir karşılaştırma sonunda saptar, m düzey içeren bir kodlayıcıda kod sözcüğündeki rakam sayısı log m dir. Örneğin 128 basamak içeren bir kodlayıcıda kod sözcüğü 7 rakamdan oluşur. Rakamlar sağdan başlayarak ağırlıklaştırılmışlardır. Ağırlıklaş tırılma katsayıları (1,2,4,8,16,32,64, vb.) ka dardır. Kodlama için gerekli zaman t • log m ka dardır. Gerekli karşılaştırıcıların sayısı koşut kodlayıcılara göre çok az, kodlama için gerekli zamanda sayıcı kodlayıcılara göre az olduğundan en uygun kodlayıcı türleridir. Bir kerede ikili rakam saptayan kodlayıcı da denebilir. Bu sayı lan kodlayıcı türlerinden başka bunların karışı mını kullanarak değişik düzenler elde edilebilir.

im değeri

Vuru; kod bindliirimi kodu \ \ \ \ Şekil 3.3. Sayıcı kodlayıcı a. Temel ilkesi

Adımlama

* adımları

6 e ı— _

—

3 2

2 1

b. Sayma biçimi

Vuruş genlik J L bindirimi vuruşu

Dayanak 1

Karşıloş tırıcı

Dayanak 2

• — ! tırıcı !

Karşıhoş tırıcı

Şekil 3.4. Koşut kodlayıcı.

M A N T 1 K

K A P Vuruş kod 1 bindirimi ta

3.3.1. Sayıcı türden kodlayıcı En yalın biçimiyle örneksel imle doldurulauş bir sığaçtan oluşmuştur. T zamanında örneksel im or tadan kalkmış yani sığacı doldurmuş ve sığaç de ğişmez akımda boşalmaya başlamıştır. Ti zamanın da gerilimin değeri belli bir eşik değerine va rır ve sayma işlemi durur. Örneksel örneğe karşı lık gelen sayısal kod, zaman sayıcıdaki bilgiler den 'sod dönüşümü ile elde olunur. Uygulamada kullanılabilen sayıcı kodlayıcının te mel ilkelerini inceleyelim. Burada zaman sayıcı yerine, ikili sayıcının verdiği kodlar örnek gen liğini belirleyen kodlardır.

SCO

Şekil 3.2. Sayısaldan örneksele çevirgecin öbek çizimi.

Vuruş üretecinden alınan vuruşlar geçit devresi üzerinden ikili bir sayıcıya uygulanır. Geçit ay nı zamanda karşılaştırıcı tarafından denetlenir. Karşılaştırıcıya, örnek genliğini belirleyen vu ruş genlik bindirmeli vuruşlar uygulanır. Sayıcı nın verdiği kodlar sayısaldan örneksele çevirgeç te örneksel bir ime dönüştürülür, sayısaldan ör neksele çevirgecin çıkışı karşılaştırıcıya uygu landığından burada söz konusu çıkış imiyle darbe genlikli bindirme vuruşları vuruş genlik bindir meli imin genliği ile çevirgeçten uygulanan gen lik eşit olduğu anda geçit karşılaştırıcının de netimi ile kilitlenir ve üreteçten ikili sayıcı ya başka vuruşların girişi önlenir, ikili sayı cının içeriği olan kodlar örnek genliğini belir leyen kodlardır. Bu im vuruş kod bindirmeli oldu ğundan dolaysız olarak bundan sonraki kata ileti lebilir. Bu yöntem aynı zamanda sıkıştırma öze liğine kolaylıkla uygulanabilir. Bunun için ya çevirgecin çıkışındaki örneksel im uygun biçimde üretilir, ya belli anlarda sayıcının sayma sık lığı değiştirilir, yada kodlama 12 ikili rakamla birbiçimli olarak yapılıp, sonra 8 koda dönüştü rülür.

Böyle bir kodlayıcının ilkesi Şekil 3.3a'da gös terilmiştir. Şekil 3.3b'de ise genliği sekiz bi rim olan bir imin sekiz adımda sayma yöntemi ile kodlanması gösterilmiştir.

3.3.2. Koşut türden kodlayıcı n tane ikili öğe içeren bir kod elde etmek için 2n l karşılaştırma düzeyi sağlayacak 2n l tane karşılaştırıcı gerekir. Örneksel im hepsine birden aynı anda uygulandığında karşılaştırıcıların çı kışları bir mantık kapısında gerekli değişimlere uğrayarak girişe ilişkin kodu verirler. Daha ön ce söylediğimiz gibi hızlı olmalarına karşılık çok sayıda karşılaştırıcı gerektirmeleri nede niyle en çok dört, beş ikili öğe içeren kodlar için kullanılırlar. Dolaysız kodlayıcı da denir. Girişe örneksel im uygulandığında bağıl karşılaş tırma gerilimleri uygulanan girişten daha küçük 'olan tüm karşılaştırıcılar bir çıkış verirler. Bu çıkışlar istenen ikili kodu elde etmek için mantık matrisinden geçerler. Pahalıdır, çok yer kaplar, harcadığı güç önemli ölçüdedir. Bu neden lerden ötürü kullanılmağa elverişli değildir. Şe kil 3.4'de koşut kodlayıcıya ilişkin bilgiler ve rilmiştir.

3.3.3. Koşut yaklaşımlı kodlayıcı

Böyle bir kodlayıcı ilke olarak örneksel karşı laştırıcı, mantık öğelerinden oluşmuş bir küme ve n ikili öğeli sayısaldan örneksele bir kod çözücüyü içerir. Karşılaştırıcının bir girişine T gibi bir zamanda sıfır olan kod çözücünün çı kışı, öbür girişine kodlanacak olan örnek geri lim uygulanır, örnek gerilimin öteki karşılaş tırıcı girişinden büyük yada küçük oluşuna gö re, örneğin imi artı yada eksidir denir. Birbi çimli kodlama durumunda, T dan sonra gelen Ti süresi içinde kod çözücü, kodlanacak en büyük gerilimin yarısına eşit değerde (Vmajç/2) bir gerilim üretir örnek geriliminin bundan büyük yada küçük oluşuna göre elde edilecek ikili ele man (0 yada 1) bellekte saklanır. Örnek gerilimi V / 2 den büyükse bu gerilim yerine kod çözücü max den V / 2 + VJ^JJ/A toplamı üretilir, karşılaştı max rıcıya verilir. Örnek gerilimi V / 2 den küçük max se bu gerilim silinir, kod çözücüden V / 4 ge max rilimi üretilerek karşılaştırıcıya verilir. Her hangi bir örnek gerilimini 7 ikili sayı ile kod lamak istersek kod çözücüden üretilebilecek ge

rilim en küçük değer olarak V /128'e kadar max iner. İşlem, kod öğeleri tam olarak elde edilin ceye dek sürer. Kod çözücüden ilk üretilen geri li"1 v m a x / 2 olduğundan ilk saptanan ikili öğe en çok ağırlıklı olan ikili öğedir. Sekiz öğeli bir kodu BCD biçiminde yazdığımızı anımsayacak olur sak A örneğin imini, B en ağırlıklı öğeyi B,C,D, sırasıyla daha az ağırlıklı öğeleri belirler. Kar şılaştırma sonunda kod sözcüğünün tüm öğeleri kar şılaştırma gerilimini denetleyen "flip flop"lardan elde edilir. Şekil 3.5'te ardışık yaklaşımlı bir kodlayıcının ilkesi verilmiştir.

GİRİŞ

1. SAYISAL SÜZGEÇLER HAKKINDA GENEL BİLGİ

Örneksel süzgeçler endükleç, sığaç ve direnç kul lanarak gerçekleştirilirken, sayısal süzgeçlerde çarpma, toplama ve gecikme öğeleri kullanılır.

Bir sayısal süzgeç, örnekler şeklinde çıkış imi vermek üzere örneklendirilmiş giriş imi üzerinde bir algoritma yoluyla iş görür. Bu işlem genel amaç için gerçekleştirilmiş bir hesap makinasında yerine getirilebileceği gibi yalnızca bu belli amaç için bir sayısal devre de yapılabilir.

Sayısal süzgeç kullanmaktaki amaç sürekli süzgeç tekinin aynıdır; ancak gerçekleştirilme biçimleri birbirinden ayrılır.

Doğrusal sürekli süzgeç kuramı, doğrusal sayısal süzgeç kuramı ise doğrusal fark denklemleri üze rine kurulmuştur. Doğrusal türevsel denklemlerin çözümünde Laplace dönüşümleri kullanıldığı halde, fark denklemlerinin çözümü için Z dönüşümleri el verişlidir.

Bir sayısal süzgeç tasaramlamada amaç; çarpma, toplama ve geciktirme işlemlerini sıklık geçirme ve söndürme işlemi yapacak biçimde düzenlemektir.

Bir sayısal süzgecin nasıl çalıştığı hakkında da ha iyi bir bilgi vermek için aşağıda basit iki örnek verilecektir.

Korsıtas Vuruş tırıcı genlik bindirimi vuruşları

ti

t n t n+1

4 4.

T7

7 Sıfırlama (Reset)

I I I I

2n 1

j Füp Roplor 2|°

Örneksel

Sayısal

Şekil 3.5. Ardışık yaklaşımlı (ağırlıklaştırılmış) kodlayıcı.

Önce yukarda sözü edilen üç işlemi (çarpma, top lama, geciktirme) bir sürekli ime aşağıdaki biçim de uygulayalım:

Sistemin girişi ej(t) ise çıkışı

e (t)= ei(t)+otıei(t T) + a ei(t 2T)

olsun. Buna göre Lapİace dönüşümü yardımı i l e (1.1) eşitliğinden aşağıdaki eşitlik elde e d i l i r .

( S ) E . (S) (1+. oce + u*e ) oı

Buradan da geçiş işlevi

MS)

H(S) = E.(S)

aı e ~ s T + a e " 2 s T ) 2

Girişteki bir fQ sıklığının söndürülmesini ister sek s = juo yazarak geçiş işlevini sıfıra eşitle riz.

Yukardaki geçiş işlevi için bu işlem yapılırsa:

Bu karmaşık e ş i t l i ğ i n gerçel ve sanal kısımları sıfıra eşit yazılır:

1 + ciı cosuoT+a2 cos2u)oT= O aı sinü)0T+oi2 sin2u)oT=0 ve bu denklemlerden aı,ci2 hesaplanarak

aı = 2COSÜJOT a2 = 1 bulunur.

O halde aı ve 02 çarpım katsayıları bu e ş i t l i k l e ri sağlayacak biçimde seçilirse düzenin çıkışın da f0 sıklığı bulunmaz.

Aynı işlemi sayısal olarak gerçekleştirmek i s t e r sek (1.1) bağıntısı yerine aşağıdaki bağıntıyı kullanırız.

e*(nT) = e*(nT) + aıe*(nT T) + a2e*(nT 2T) (1

Burada n : bir tam sayı T : örnek alma dönemi e^ : örneklenmiş ve kodlanmış giriş imidir.

(1.2) bağıntısını gerçekleştiren bir devre Şe k i l 1.1'de verilmiştir.

Burada ve bundan sonraki öbek çizimlerde

e"lnT)

K«"|nT)

: Çarpma öğesi,

•D>

(nT T) •• : Geciktirme öğesi,

'• Toplama öğesi

olarak gösterilmiştir.

• —'

\7

0C1 d" (nT T) , 1

«*o <nT>

a (nT 2T)

<*2 «2ef(nT 2T)

Şekil 1.1. (1.2) denkleminin gerçekleştirilmesi.

Şekil 1.2. (1.3)bağıntısı ile verilmiş sayısal süzgeci gerçekleştiren devre.

Örnek l'deki geçiş işlevinin tersi olan bir geçiş işlevi alalım.

2ST 1+ gıe + 62ee

Yukarıda yapılana benzer biçimde

Bı = 2cosw T o

P _1

için fp sıklığında

payda sıfır olur, yani bu sıklık için kazanç son suzdur. Diğer bir deyişle s = j w geçiş işlevinin bir kutbudur. O halde örnek 1'dekinin tersine bir söndüren süzgeç değil geçiren süzgeçtir. Bu süzgeci gerçekleştiren devre Şekil 1.2'deki gibi dir. Giriş ve çıkış imleri arasındaki bağıntının ise aşağıdaki gibi olacağı kolayca görülebilir.

e*(nT) = (nT) ei

T T) B e*(nT 2T) 2

2. SAYISAL ve ÖRNEKSEL SÜZGEÇLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

Mikroelektronik sayısal devrelerin artan hızları, azalan fiyatları ve küçük boyutları, örneksel dev relerle yapılmasına alışageldiğimiz süzme işlem lerinin sayısal devrelerle gerçekleştirilme olana ğını daha da artırmaktadır.

Sayısal süzgeçlerle yüksek dereceden kesinliklere ulaşılabilir, ve örneksel süzgeçlerde karşılaşı lan bazı gerçekleştirme sorunları ortaya çıkmaz (örneksel devrelerin gerçekleştirilmesinde bazen eksi öğeler gerekebilir, sayısal devrelerde böyle bir sorun yoktur).

Oldukça alçak sıklıklardaki bantlarda (0,01 lHz gibi) ekonomik olarak gerçekleştirilebilirler ki, bu sıklıklar için örneksel öğelerin boyutları önemli ölçüde büyüktür. Bu sayılan yararlara karşılık, sayısal süzgeçler de süzme işlemini yerine getirmede, sonlu sözcük uzunluğu (word length) üç tür yanılgıya neden olur. Örneklerin adımlanması, süzgeç katsayıları nın tam kesin olmaması ve çevirmelerden dolayı yanılgıların birbirine eklenmesi. Bunlar süzge cin çıkışında bir gürültü oluşturan nedenler oLa rak düşünülebilir.

SAYISAL SÜZGEÇLER 1C1N GEREKLİ MATEMATİK

1. SÜREKLİ BÎR İMDEN ÖRNEK ALMADA DİKKAT EDİLECEK NOKTALAR

Sayısal süzme işlemini gerçekleştirmek için giriş imi T aralıklarla alınmış örnekler biçiminde ol malıdır. Bunun için sürekli giriş iminde bulunan en yüksek sıklık bileşeninin döneminin yarısından daha kısa süren bir arayla sürekli girişin örnek leri alınmalıdır. Gösterilebilir ki örneklenmiş imden yeniden örneksel ime geçebilmek için örnek alma aralığı, sözü geçen süreden daha büyük olma malıdır. T aralığı ile alınan örnekler doğrusal sayısal bir koda çevrilir.

Örnek alma ile im zaman ekseninde süreksiz duru ma getirildikten sonra alman bu örneklerin gen likleri de adımlamak suretiyle süreksiz duruma getirilir.

Böylece sınırlı sözcük genişliğinden (word length) başka bir deyişle sınırlı adım sayısından adımlama yanılgısı denilen bir yanılgı ortaya çıkar.

Örnek alma döneminin, örneksel imin siklik yörün gesindeki en yüksek sıklığa bağlı olduğunu söyle dik. Bu dönem ayrıca süzgeç devresinin hızına da bağlıdır. Şöyle ki; devre, bir örneğin girişe gel mesiyle yapmaya başladığı işlemleri, ikinci örnek giriş kapısına geldiğinde bitirmiş olmalıdır. Böylece T örnek alma dönemini süzgeç devresinin hızına da bağlamış olduk.

Görüldüğü gibi sürekli giriş iminin en yüksek sıklık bileşeni, T yi üstten, devrenin hızı ise alttan sınırlar. Şöyle ki;

f : Sürekli girişteki en yüksek max sıklık bileşeni, tj : Süzgeç devresinin hızı,

T : Örnek alma dönemi

olmak üzere t, < T <

2f max

eşitliğinin sağlanması gerekir.

Ayrıca GİRİŞ bölümündeki Örnek I1de olduğu gibi bir sayısal süzgeçte örnek alma aralığı ile ge ciktirme öğelerinin geciktirme süreleri aynı tu tulur. Sürekli bir imin sayısal olarak nasıl sü zülebileceği Şekil 1.1'de görülmektedir.

2. SAYISAL SÜZGEÇLERDE KULLANILAN FARK DENKLEMLERİ

2.1. m inci Dereceden Doğrusal Fark Denklemi

Tanım: m inci dereceden doğrusal fark denklemi aşağıdaki biçimde yazılan denklemdir.

=I i=0

Lix(nT

iT)

J K f (nT İT) ı=l

Burada x : Değişken (burada giriş) y : Bağımlı değişken (burada çıkış) L^ : i önceki girişin katsayısı (x(nT iT)'nin) K£ : i önceki çıkışın katsayısı (y(nT iT)'nin dır. Görüldüğü gibi "L"ler "x"lerin, "K"lar da "y"le rin katsayılarıdır ve nT anındaki çıkış daha ön ceki m çıkış değerine ve yine daha önceki r giriş değeri ile "nT" anındaki giriş değerine bağlıdır.

2.2. Doğrusal Fark Denkleminden Sayısal Süzgece Geçiş

Gerçek zaman uzayında sayısal olarak süzme işle mi yapmak her yeni örnek için (2.1) denklemini yinelemek demektir. (2.1) denklemini gerçekleşti ren bir devre Şekil 2.1'de gösterilmiştir. îste nen bîr sayısal süzgecin saptanmasında temel so run K^ ve L,£ değişmezlerinin bulunmasıdır.

Birçok uygulamalı düzenlerde yalın birinci ve ikinci derece fark denklemleri kullanılır. Şöyle ki; istenilen süzgeç, bu denklemlere ilişkin ya lın sayısal süzgeçlerin ardarda ve koşut bağlan maları ile elde edilir.

x (nT rT)

Örn»kl«nmis im

Sürekli im Orneks«lden sayısala («virgeç

Sayısal süzgeç

Sayısaldan Sürekli im örneksele çevirgec

Şekil 1.1. Bir sayısal süzme işleminin çeşitli adımlarının öbeksel gösterimi.

Şekil 2.1. (2.1) denklemini gerçekleştiren devre. 231

Yi M )

(2.2) ve (2.3) biçiminde yazılmış denklemlerde

daha açık olarak görülebilir.

3. Z DÖNÜŞÜMÜ

Burada giriş ve çıkış dizileri x(nT) ve y(nT) nin "n"nin sıfırdan küçük değerleri için, sıfır oldu ğunu varsayacağız. Başka bir deyişle x(nT)= 0 n< 0 y(nT) = 0

varsayılacaktır.

Tanım: Bir x(nT) dizisinin Z dönüşümü, X(Z),

X(Z) = £x(nT)Z~n n=0 biçiminde tanımlanmıştır.

Not: Bir çok diziler için yukardaki (3.1) sonsuz toplamı, yakınsak olur ve kapalı biçimde göste rilebilir.

Şekil 2.3. Fark denklemlerinin koşut düzenlenmesi. (2.3) denklemlerini gerçekleştiren devre.

n^O için

ise, Z dönüşümü X(Z) = J z"11 biçimindedir. n=0

T* —n i Z=

olduğu kolayca gösterilebilir.

Bu durumda, x(nT) =f.' n dizisi için n

x(z) =

Şekil 2.2. Fark denklemlerinin seri düzenlenmesi. (2.2) denklemlerini gerçekleştiren devre.

yi (nT) = Kıı yi (nT T) + Kı yi (nT 2T) + L x(nT)

y (nT) = K ıy (nT T) + K y (nT 2T) + L ıyı(nT)

Yukardaki (2.2) denklemleri bir ardarda düzen oluşturur. Şöyle ki; denklemlerden birincisine değgin yi çıkışı ikinci denklemin (yada ikinci denkleme ilişkin devrenin) girişini oluşturmakta dır. Bu denklemleri gerçekleştiren devre Şekil 2.2'de görülmektedir.

Aynı düşünüşle aşağıdaki (2.3) denklemleri de bir koşut düzen oluştururlar (Şekil 2.3).

yi(nT) = Kiıyi(nT T)+ K yi(nT 2T)+ Lı ı x(nT) i2

y (nT) =K ıy (nT T) + K y (nT 2T) +L x(nT)

2ı

ys(nT) = yı (nT)+y (nT) 2

Bu yukardaki (2.2) ve (2.3) denklem takımlarından herbiri dördüncü dereceden tek bir denklem olarak yazılabilirse de, sayısal süzgecin özellikleri

Dönüşüm değişkeni Z genellikle, karmaşık bir de ğişkendir ve X(Z) de bir karmaşık değişkenli i ş lev olur.

4. FARK DENKLEMLERİNDE Z DÖNÜŞÜMLERÎNÎN KULLANILMASI

(2.1) biçimindeki bir doğrusal fark denkleminin çözümünde de Z dönüşümlerinden y a r a r l a n ı l a b i l i r . Bunun için (2.1) denklemini önce aşağıdaki biçim de yazalım.

I K.y(nT İT) = £ L.x(nT İT)

(4.1)

Şimdi (4.1) denkleminin iki yanının Z dönüşümünü alalım.

oo x(nT iT)•+ I x(nT iT)Z~ n=0 y(nT iT) > £ y(nT iT)Z~ n=0

yukardaki dönüşümler (4.1) de yerine konularak

f K. J y(nT İT)z"n = J L f x(nT İT)z"n

£

(4.2)

Teorem: İT kadar geciktirilmiş x(nT iT) dizisinin Z dönüşümü temel x(nT) dizisinin Z dönüşümünün Z~i i l e çarpımına e ş i t t i r .

Kanıt:

x(nT)z" n=0

Yukardaki denklemin her iki yanı Z x ile çarpılın

X(Z)Z"İ= I x(nT)z"(n+ İ} elde edilir. Bu denklemin sağ yanında n= m i ya zarsak,

• 00

X(Z)Z"1= I x [(m i)T] Z"m m=i elde ederiz; m< i ise m i = n < O olur. Daha önce söylediğimiz gibi n < O için x(nT) = O dır. Böylece (Z) toplamını m= i yerine m = 0 dan başlatırsak sonuç değişmez; çünkü m= O dan i 1 e değin olan m değerleri için x |(m i)| sıfırdır.

Sonuç olarak X(Z)Z~ı=f x(nT iT)Z~n olduğunu gö 0 rürüz ki eşitliğin sağ yanı İT kadar geciktiril miş olan x(nT iT) dizisinin Z dönüşümü, sol yanı ise x(nT) dizisinin Z dönüşümünün Z"1 ile çarpıl mışıdır.

Bu teorem (4.2) denkleminde kullanılırsa,

Y(Z)

K X(Z) L.Z

ız

elde edilir; buradan da

v . ,~i

(4.3)

Y(Z) = X(Z) bulunur.

K.Z i=0

= X(Z).H(Z) (4.4)

örnek 1 i_jl, n = O için O, n * O için biçiminde bir dizi seçersek bunun için X(Z)= 1 olur. Böyle bir girişin tepkesi H(Z) in ters Z dö nüşümünden başka bir şey değildir. Çünkü Y(Z)=H(Z) dir. Bundan ötürü x(nT) = 1,0,0. .. biçimindeki bir dizi, örneksel süzgeç kuramında birim dürtü "6(t)"nin yaptığı işlevi yapar (bi lindiği gibi {6(t)} = l dir ve yine {1,0,0...} dizisinin Z dönüşümü 1 e eşittir).

Bir önceki bölümdeki (4.4) denklemine dayanarak, sayısal süzgecin yine aynı bölümdeki Şekil 2.1' dekinden değişik biçimde gerçekleştirilmesini el de edebiliriz. Bildiğimiz gibi (4.4) denklemi, Şekil 2'yi veren (2.1) denkleminden Z dönüşümü alarak elde edilmişti. Şimdi bulacağımız, aynı denklemi gerçekleştiren başka bir devre olacaktır.

önce w(nT) ara dizisine karşılık gelen W(Z) ara imini

W(Z) = X(Z) m

II

Y ( Z ) = W(Z) r L.Z olarak tanımlarız.

ut (nT)

DİZGE İŞLEVİNİN İNCELENMESİ

1. DÎZGE ÎŞLEVÎ ve İRDELENMESİ Bir önceki bölümdeki (4.4) denkleminde Y(Z) açık olarak, x(nT) girişinin Z dönüşümü i l e H(Z) dizge işlevinin çarpımı olarak belirlenmişti. Burada dizge işlevi

L İL Z

I K.Z

Z değişkeninin kesirsel (rasyonel) bir işlevi dir. Ve katsayılar ilk fark denklemimiz bir önce ki bölümdeki (2.1) in katsayılarından oluşur.

ELEKTRtK MÜHENDİSLİĞİ 233

u> (nT raT)

Şekil 1.1. (1.2) denklemlerini m » r için gerçekleştiren devre.

(1.1) denklemlerinin ters dönüşümleri aşağıdaki gibidir:

w(nT) = x(r.T)

Kiw(nT iT)

(1.2)

y(nT) = i=0

Bu denklemlerden giderek Şekil 1.1'deki devre el de edilir. Bu tür devre daha az sayıda geciktirme öğesine gereksinim gösterir ve bu yüzden bazı ger çekleraeler için yeğlenir.

Örnek 3

Giriş imi, x(nT) = e

biçiminde bir karmaşık

üstel dalganın örneklenmiş i olsun.

Bu tür bir giriş için bir önceki bölümdeki (4.1) denkleminden elde edilecek sonuç aşağıdaki biçim de gösterilebilecek bir karmaşık üstel dalga ola caktır.

y(nT)=F(ejwT)eJnuT

bu giriş ve çıkışı bir önceki bölümdeki (2.1) denkleminde yerine koyarak,

İ K . F ( e j Ü ) T ) e j ( n " İ ) w T = f L . e " j ( n İ ) a ) T

i K.F(ejWT)eJnü)Te Jiü)T

=j

. V J j n U

iuT

Le

i=0 X

i =i=00 X

I K.y(nT)e JİÜ)T = f L.

Bu son denklemden ( x > yi çö zer s ek

y(nT) i=0 =

jiıoT

I h x(nT) m e

(1.3)

i=0 elde ederiz ki, bu gösterim H(Z) dizge işlevinde Z = e J u T konularak elde edilen gösterime eşittir.

(1.3) denklemi örneksel düzenlerdeki geçiş işlev

lerinde s = jü) konulduğunda elde edilen denkleme

karşılık gelir. Bu sonuçtan, sıklık uzayındaki in

celemelerde yararlanabiliriz.

2. SAYISAL SÜZGEÇLERİN SINIFLANDIRILMASI

Bir sayısal süzgecin giriş ve çıkış imlerin ara

sındaki bağıntının,

nı

y(nT) = I L.x(nT İT) I K.y(nT İT)

fark denklemi ile verildiğini ve bu denklemlerden giderek ve Z dönüşümlerini kullanarak aşağıdaki

Şekil 2.1. Yineli olmayan bir sayısal süzgeci gerçekleştiren devrenin öbek çizimi.

biçimde bir sayısal geçiş işlevi elde edilebilece ğini gördük:

I L.Z"1

H(Z)=Y ( Z ) "İ = °

X(Z)

1 + T K.Z i=l X

Tanım 1: L^ ve K£ katsayılarından en az birer

tanesi sıfırdan değişik ise, (2.1) dizge işlevi

ile verilmiş olan sayısal süzgeç "yinelidir"

(recursive) denir.

Yineli süzgeçte çıkış, yalnız şimdiki ve daha ön ceki "r" tane girişe bağlı olmayıp aynı zamanda daha önceki "m" çıkış değerine bağlıdır. Böyle bir süzgecin öbek çizimi Şekil 1.1'de gösterilmiştir.

Tanım 2: Yukardaki (2.1) geçiş işlevinde bütün Ki değerleri sıfır ise, buna ilişkin sayısal süz gece yineli olmayan sayısal süzgeç denir.

Böyle bir süzgeç Şekil 2.1'de gösterilmiştir.

Bu tanımlanan iki tür sayısal süzgeçten, yineli olmayanların sınırlı bir belleği vardır ve çok iyi evre özelikleri verebilirler. Buna karşılık keskin bir geçiş bandı istendiği zaman çok sayı da öğeye gereksinirler. Diğer tür yani yineli olanlar ise tam karşıt özellikler gösterirler. Az sayıda öğeyle keskin geçiş bandı verir, buna karşılık kötü evre özeliği vardır ve sınırsız bir belleği bulunur.

3. Z UZAYINDA DİZGE İŞLEVLERİNİN İNCELENMESİ

Bu bölümün 1 no'lu alt bölümünde H(Z) nin sıklık tepkesi olan bir işlev olarak ele alınabileceğini gördük. Bunun için Z = e ^ koyarız, bu da karma şık Z uzayında birim çember üzerinde bulunan nok talara karşılık gelir.

Dizge işlevi H(Z) kesirsel bir işlev olduğundan, değişmez bir çarpan farkı ile sıfırları ve kutup ları türünden tek olarak gösterilebilir. Buna gö re karmaşık uzayda H(Z) nin sıfırları ve kutupları gösterilirse, herhangi bir Z değeri için H(Z) geo metrik olarak Şekil 3.1'deki gibi hesaplanabilir.

Bir oo sıklığına süzgecin göstereceği tepke şu bi çimde bulunur:

Önce Z = e ^ noktasını karmaşık uzayda belirle riz. Birim çember üzerindeki bu noktanın kutupla ra olan uzaklıklarını P1.P2.P3.'.; sıfırlara olan uzaklıklarını ise Z1.Z2.Z3... ile gösteririz. Bu durumda;

lH(e

I }

=

P1P2P3...

Örnek 2. Şimdi de ikinci derece denklemini ele alalım:

y(nT) = Kıy(nT T) + K2y(nT 2TJ + x(nT) yukardaki denklemin dizge işlevi,

1 KıZ K2Z dir. Z = e yazarsak,

H(ejUT) = 1 Ki (cosüJT jsincüT) K2 (cos2a)T jsin2wT)

Şek'1 3.1. H(e * )nin geometrik olarak hesaplanması.

KICOSÜ)T K2COS2ÜJT)2 + (Ki sintoT + K2sin2uT)

olur (Şekil 3.1). H ( e J W ) nin evresi ise; sıfırla rı, Z = eJ"1' noktasına birleştiren evreçlerin ger çel eksenle yaptıkları açıların toplamından, ku tupları bu noktaya birleştiren evreçlerin gerçel eksenle yaptığı açıların toplamının çıkarılmasıy la elde edilir.

H(eJ

+(J)

Yukarda anlatılanlar Şekil 3.1'de üç kutup ve iki sıfır için gösterilmiştir.

Sürekli süzgeçler incelenirken sıklık, S uzayında sanal eksen üzerinde ölçülürken, burada Z uzayın da birim çemberin çevresi boyunca ölçülmektedir.

Birçok düzenlerde birinci ve ikinci derece fark denklemlerinin kullanıldığını daha önce söylemiş tik. Şimdi bunlara ilişkin sıklık tepkesi işlevle rini örnek olarak çıkartalım.

Ele alınan fark denklemi aşağıdaki gibi birinci dereceden bir fark denklemi olsun

y(nT) = Ky(nT T) + x(nT)

Buna ilişkin sayısal geçiş işlevi

1 H(Z) =

1 KZ ı biçimindedir. Sıklık tepkesi için Z=eJ

yazarak

ıdiT

elde edilir. Burada

1 K(COSÜ)T jsinuT)

/(l KcoswT)2 +K2sin2uT 1

/l + K2 2Kcosu>T

Kısino)T+K2sin2uT bulunur. H(Z) nin kutupları ise, paydayı sıfıra eşitleyerek

1 KIZ"1 K Z~2 = 0 2

Z^KıZ K = 0 2

K 2 olarak bulunur. Kj/4 + K < 0 olursa kutuplar kar 2 maşık eşlenik olur. Ve birim çembere yaklaştıkça özsalınım duyulmaya başlar (Şekil 3.2). Z = eJ kutuplara yaklaştıkça, genlik işlevi |H(eJuT)|'nin sıklıkla değişimi bir sürekli dev reninkine benzemeye başlar. Yalnız burada, genli ğin ve evrenin toT'ye göre dönemsel olduğuna dik kat edilmelidir. Herhangi bir kanıta girişmeden söyleyebiliriz ki kararlılığın sağlanması için H(Z) nin bütün kutup ları birim çemberin içinde bulunmalıdır. Ayrıca kutuplar ve sıfırlar gerçel eksen üzerinde bulun malı yada karmaşık eşlenik çiftler biçiminde olma lıdırlar.

I 20 • m 40

= arctg

sinıoT l/K coswT

•+• 1OOO

3000 f (Hi)

Şekil 3.2. Bir sayısal özsalmgacın sıklık özeliği.

ELEKTRİK fÜHENDtSLİĞt 233

SAYISAL SÜZGEÇLERİN TASARIMLANMASI

1. DÜRTÜ TEPKESİNİ DENKLEŞTİRME YÖNTEMİ (İMPULSE İNVARÎANCE)

Sayısal süzgecin tasarımlanmasında önce örneksel bir süzgecin geçiş işlevi bulunur, sonra sayısal süzgecin dizge işlevine geçilir.

Çıkış noktamız, aradığımız sayısal süzgecin x(nT) = 1 , 0 , 0 . . . biçiminde b i r girişe göstereceği tepkenin, benzemesini istediğimiz örneksel süz gecin bir dürtü 6(t) girişine göstereceği sürek li tepkenin örneklenmişine eşit olmasıdır.

Bu durumda geçiş i ş l e v i verilmiş b i r ömeksel süzgeç i l e arasında yukarda sözünü ettiğimiz denk lik (benzerlik) bulunan sayısal süzgeci kuracağız.

Sürekli bir süzgecin birim dürtü tepkesi f ( t ) , geçiş i ş l e v i F(s) nin ters Laplace dönüşümü ola rak b e l i r l e n i r . F ( s ) .

U y a r ı : Eğer örneksel süzgecin sıklık özeliği ör nek alma sıklığının yarısından daha yukarı sıklık lara değin sıfır olmadan süregidiyorsa, sayısal süzgecin sıklık tepkesi, ilgili sürekli süzgecin sıklık tepkesinden önemli ölçüde değişik olabilir. Bu durum Şekil 1.1'de görülmektedir.

örnek 1 Bir kutuplu alçak geçiren RC süzgeci ile buna kar şılık gelen sayısal süzgeci karşılaştıralım. Sözü geçen örneksel süzgecin geçiş işlevi, F(s) ve sa yısal süzgecin dizge işlevi, H(Z) aşağıdaki gibi dir.

F(s) = l f a ' H ( Z ) = ,. aT ı 7 J. e LJ

Örnek alma sıklığı 1 Hz olsun; buna göre iki süz gecin sıklık tepkeleri Şekil 1.1'dek' gibidir.

Görüldüğü gibi sürekli süzgeç ile sayısal süzgeç arasında denkliğin tam olması yukardaki koşula bağlıdır.

biçiminde verilmiş olsun. Bu durumda f ( t ) aşağı daki gibidir:

Sayısal Lerner süzgeci

F(s) =

Bi(s+ a) <s+ a)2+ b |

f(t)=

( 1)°

Sayısal süzgecin geçiş işlevi H(Z) nin ters Z dönüşümü olarak belirlenen h(nT) dürtü tepkesinin, f(t) nin örneklenmesine eşit olmasını istiyoruz:

h(nT) = f(t) t öyleyse:

ta(nT) = I A . es'.nVT i=l olur. İki yanında Z dönüşümünü alırsak,

B = ( 1) i

', i= 2,...,m 1

geçiş işlevi ile belirlenmiştir.

Lerner süzgecinin yüksek dereceden evre doğrusal lığı ve iyi bir bant geçirme özeliği vardır.

(1.1) ilişkisinden

l e"aT(cosbiT)z"1 l 2e"aT(cosb.T)z"

H(Z) = Ih(nT)z_n buradan da

A. l l n=0

yazılabilir. m= 3 için bir gerçeklemeye gidersek.,

Ai 1

elde edilir. Böylece, geçiş işlevi F(s)=ZA£/(s+si) i=l olan bir örneksel süzgece geçiş işlevi

H(Z) = I

olan bir sayısal süzgeç karşılık gelmektedir. Bu radaki Ai ve s£ değişmezleri F(s) nin birlikte verilmiştir. Bu yöntemde elde edilen ilişki,

" j, ^ T F( = m A

§ • 2oN\

3 JK

! 3 _ 40

\

N^ ^^

II Sayıtol suzgtçı / \ ilişkin helik.

ÖrnskMl süzgaç* ilişkin öz«Vı'k

İl 1 e iV1

biçimindedir.

2 f(Hz)

Şekil 1.1. Bir kutuplu sayısal ve ömeksel süzgeçlerin sıklık özelikleri.

1+ q2 2qcoscoT

\/ W { 1+ r2 2rcos(üJ uo)T} {1+ r2 2rcos(oH üJ0)T} bulunur. Yukarda yaptığımız gibi, bu belirleme karmaşık eşlenik kutupların ve birçok durumda, bir de sıfırın seçilmesi ile olur. Bunlardan fark denklemi ve dizge işlevi kolayca elde edilebilir.

a) 2.1 gösteriminde q = COSOJ T alınırsa u) = u öz

salınım sıklığında ve r nin bire çok yakın olduğu

nu düşünerek uygun yaklaşıklıklarla, (2.2) aşağı

daki biçimde yazılabilir.

«(nT) (b)

G1

1 2

G2

y,(nT)

2(l r)/T

Görüldüğü üzere genlik (kazanç) 'dan bağımsız

olur. Böylece q = cosıo T seçerek ÜJ sıklık bölge

sinin neresinde bulunursa bulunsun kazancı değiş

meyen özsalıngaçlar yapmak olanağını elde ederiz.

r l'e çok yakın olduğu için özsalınım sıklığın daki kazanç önemli düzeyde olacaktır. Süzgecin kazancını bilmek, taşma olmayacak biçimde sözcük uzunluğunu (word length) seçmek gerekir.

b) q= 1 seçersek 0) = 0 için genlik sıfır olur (doğ ru akım için).

c) q = 0 için H(Z)'de sıfır ortadan kalkar ve doğ ru akımdaki kazanç u 'dan bağımsız olur.

Şekil 1.2.a. "G^" öbeklerinin gerçekleştirilmesi b. 3. dereceden sayısal Lerner süzgeci nin gerçekleştirilmesi.

her terimi aşağıdaki fark denklemi ile hesaplanan bir y£ çıkış bileşeni verir.

y (nT)= i

e

aT (cosb T) { 2 (nT

yi

T)

x(nT T)

e~2aTy.(nT 2T)+ x(nT)

çıkış ise "i= 1,2,3" için elde edilen yı,y2,y3'ün uygun biçimde koşut olarak bağlanması ile elde edilir. Gerçekleşme Şekil 1.2'de gösterilmiştir.

2. SAYISAL ÖZSALINGAÇLAR (REZONATÖRLER)

(1.1) ilişkisine dayanarak sayısal özsalıngaçlar (rezonatörler) belirlenebilir. Fakat uygulamada sayısal özsalıngaçlar, sürekli özsalıngaçlara baş vurulmadan belirlenirler.

Bilindiği gibi Z = re~JWo kutupları ve Z = q sıfırı olan bir özsalıngacın dizge işlevi

qZ Zr(cosu T)Z *+ r2Z

olacaktır; buradan sıklık tepkesinin genliği he saplanırsa

3. SAYISAL SÜZGEÇLERİN DİZGE İŞLEVİ GENLİĞİNİN KARESİNDEN SAPTANMASI

Alışılagelmiş süzgeç hesabında, Buttervorth ve Çebişef süzgeçleri, aşağıda verilen (3.1) ve (3.2) denklemlerinden istediğimiz koşullara uy gun olanı seçilerek saptanır.

1 •=

1+ ( coc

E2V n

Vj(x)= x ; V2(x)= 2 x 2 l ;

n l V n l ° V

(x) 2x

+

x)+V

(x)=

Aynı yol sayısal süzgeçler için de izlenebilir. Daha önceki bölümde H(Z)'in Z~lfin bir kesirsel

işlevi olduğunu söylemiştik. Z'nin birim.çember üzerindeki değerleri için de, H ( e J u T ) , eJ.uTlnin kesirsel işlevi olacaktır. 0 halde, | H ( e J a ) T ) | 2 ,

"a)T" li iki trigonometrik işlevin oranı olarak

gösterilebilir. Alçak geçiren süzgeçler için uy

gun iki büyüklüğün karesi biçimindeki iki denklem

aşağıda verilmiştir.

|H(ejuT)l2=

tg2n(u)T/2) 1+ tg2n(to T/2) c

O.3)

sin2n(iüT/2) 1+ sin2n(urT/2)

(3.3) ve (3.4) deki işlevlerden elde edilen eğri ler, Buttervorth süzgeci için elde edilene çok benzer (Şekil 3.1 ve 3.2). u kesim sıklığı ise sürekli durumdaki ile aynı işlevi görür.

(3.3) denkleminde tg • ü)T/2 yi, e J W türünden ya zar sonra e J w T yerine Z koyarsak:

|H(Z)|2 = tg2n

tg2n 0) x

oo T 2

+ ( ı)n(

Z — 1 . 2n Z+ 1

elde ederiz. Bu denklemin Z = l'de 2n katlı sıfı rı olduğu görülür; kutuplarını bulmak için ise:

olacaktır. (3.7) ve (3.8) denklemlerinden gide rek p uzayındaki Bu dairenin Z uzayında yine bir çember meydana getireceği gösterilebilir ve Z uza yındaki bu çemberin odağının özboyutlarının ve ya rıçapının gösterimi aşağıdaki gibidir.

n tg2

1 •tg2

tü T c

2 oocT

= secw T c

v =0 c

P=

2 tg2 1 tg2

2c cu T

= tgW T c

(3.9)

Genel olarak p uzayındaki kutupların x ve y bile şenleri hesaplanır ve (3.7) denklemlerinde yeri ne konursa, Z nin gerçel ve sanal bileşenlerinin genel gösterimi elde edilir.

n=1

Şekil 3.1.

(3.3) biçimindeki bir denklemden elde edilecek sayısal süzgecin sıklık özeliği

Şekil 3.2.

(3.4) işlevinden elde edilecek bir sayısal

süzgecin vereceği

sıklık özeliği

dönüşümünü kullanırız. Bu durumda kutupları bul mak, bir Buttervorth süzgecininkilerini bulmaya dönüşmüş olur.

P olarak kutuplar p = x + j y , Z olarak ise Z = u + jv biçiminde olsun. Z'in gerçel ve sanal bileşenleri aşağıdaki ters dönüşümden giderek

1 tg

il

ü) T

2tg

c2

cos

LU

J|

j

m = 0,1,

wT

nnr

V m=

2 t g ~~T~s i n n

1 "2tg

di T c 2

cos ^

t2

+g

wT c 2

Yukardaki denklemlerde m = 0,1

2n l'dir. Ayrı

ca denklemler n:tek için geçerlidir, n:çift ise

mır/n yerine (2m+ l)ır/2n koymak gerekir.

Şekil 3.3'te s ı f ı r ve kutuplar ü)cT=ır/4 (p = 1) ve n=2 için geometrik olarak gösterilmiştir.

Sıfırları ve kutupları bulduktan sonra |H(eJ ) | 2 işlevi bunlarla belirlenmiş olur. Doğaldır ki, ^ ( e J " 1 ) ! nin gösteriminde sadece birim daire içinde kalan karmaşık eşlenik kutuplar gelecektir.

(3.6)

x ve y türünden hesaplanırsa şu denklemler elde

edilir:

1 x2 v2 (l x)2+y2

(3.7)

y2

Şimdi kutupların geometrik gösterilimini düşüne lim: P uzayında elde edilen kutuplar, Buttervorth süzgecinde anımsayacağımız üzere, özeği (merkezi) sıfır noktasında olan ve tg oo T/2 yarıçaplı çem ber üzerinde düzgün olarak yerleşmiştir. Bu çem berin denklemi

X2 + y 2 = t g 2

(3.8)

Şekil

3.3. (3.5) denklemi ile verilen süzgecin,, büyüklüğünün karesinin sıfır ve kutuplarının geometrik olarak gösterilişi (p=lf n=2 alınmıştır).

Eğer genlik karesi gösterimi

İH(eja 'T)|2 =

İ

(3.10)

tg OJ T c tg

olarak seçilirse aynen (3.3) denklemi için yaptı ğımız gibi davranılır. P= (Z 1)/(Z+1) dönüşümü ile p uzayında bulunan kutuplar, Çebişef süzgecin de olduğu gibi bir elips üzerindedir. Bir elips üzerine dizilmiş bu kutuplardan giderek Z uzayında elde edilen kutuplar ise yürekbiçimli (kardioit) bir eğri üzerinde bulunurlar, p uzaymdaki ve Z uzayındaki kökler hesaplanırsa aşağıdaki bileşen ler bulunur.

x= atg

cos 6

U y a r ı : Kararlı H(s) süzgecinin yine kararlı bir s a y ı s a l süzgeç vermesi i ç i n bu dönüşümde olduğu gibi s uzayının sol yarısının Z düzleminde birim çember i ç i n e dönüşmesi g e r e k i r .

(3.11) dönüşümüne göre Z = e J "

s değerini bulalım. Bunun i ç i n

yazarız.

eJV+1

+e

ye karşılık gelen (3.11) de Z = e J 0 1

V V = jtg

V (3.12)

O halde Z ==eeJ"j a") l~) i ye s = jwA k a r ş ı l ı k gelmektedir. S o n u ç : Sayısal süzgecin cop sıklığına göstereceği tepke süzgecin

;

y = btg — ^ — sın 9

"c1 2(1 atg — ~ — cosO)

u=

0) T

O) T

( 1 atg —j— cosG) + b 2 t g 2 — ş — sine

(1 atg

c W T 2btg — ^ — s i n e

ÜTT

—j— c o s 6 ) 2 + b22ttgg2 — = — sin2e

4. SAYISAL SÜZGEÇ İŞLEVLERİNİN ÇÎFDOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER KULLANARAK BELİRLENMESİ

Yukarda görülen durumlarda p= (Z 1)/(Z + 1) dönü şümünü yapmakla, sayısal süzgecin hesaplanması da çözülmüş bulunan bir alışılagelmiş süzgeç sorunu nun çözümüne indirgenmiş olur. Örneğin (3.3) ve (3.10) un kutuplarını bulmak daha önce çözülmüş bulunan örneksel Buttervrarth va Çebişef süzgeçle rinin kutuplarını bulmaya dönüçmüştür.

Bu bizi sayısal süzgeçlerin düzenlenmesinde yeni bir yönteme götürmektedir, bu doğrudan doğruya s uzayını kullanarak hesaplamaktadır.

H(s) ile verilmiş bir örneksel süzgecimiz olsun; bunun sıklık tepkesi, s ye sanal eksen boyunca değerler verilerek bulunur. Yine bildiğimiz gibi bir sayısal süzgecin sıklık tepkesi ise dizge iş levinde Z ye özeği sıfır noktasında olan birim çember üzerinde değerler vererek bulunur.

Bu durumda H(s) de s yerine Z nin öyle bir kesir sel işlevini koyalım ki s uzayındaki sanal eksen Z uzayındaki birim çember üzerine düşsün.

Böylece elde edilecek H'(Z) nin, Z birim çember üzerinde gezdirildikçe, vereceği değerler, H(s) nin, s sanal eksen üzerinde kaydırıldıkça, alaca ğı değerlere eşittir.

Böyle kesirsel yalın bir işlev aşağıdakidir.

z~ 1 s Z+ 1

(3.11)

AU = tg ~T~

(3>13)

sıklığına göstereceği tepkeye eşittir.

Yukardaki (3.11) ve (3.13) denklemlerine dayana rak şöyle bir yöntem geliştirebiliriz.

1) Gerçekleştirilmesi istenen sayısal süzgecin, cı)pi dönüşül sıklıklarına karşılık gelen uı^i sıklıkları (3.13) denkleminden elde edilir (süzgeç bandının alt ve üst sıklıkları, en çok söndürülmesi istenen sıklık vb.).

2) Sayısal süzgeçten istenen özellikler ve yeni O>AI sıklıklarına uygun olarak, bir H(s) geçi; işlevi düzenleriz (Bildiğimiz örneksel süzgeç yöntemleri ile).

(3.11) dönüşümü s uzayındaki sanal ekseni L uza yındaki birim çember üzerine düşüren tek işlev de ğildir. Aynı işi görecek başka bir işlev de

Zz 2ZCOSIJJ T + 1

(3.14)

Biraz önce yapılana benzer biçimde gösterilebilir

ki, sayısal süzgecin wD sıklığına göstereceği tep ke,

cos o T coscOpT

^^

sinV örneksel süzgecin sıklığına göstereceği tepkeye eşittir.

(3.15) ten görülür ki, (3.14) işlevi alçak geçi ren H(s) yi bant geçiren H'(Z) ye dönüştürmekte dir. 0 halde (3.14) denklemi bant geçiren sayısal süzgeçler tasarımlamak için aşağıdaki gibi kulla nılabilir.

1) Bir ^ orta sıklığı seçilir, yada bu sıklık, o süzgecin özellikleri arasında verilmiş olabilir.

2) İstenen sayısal süzgecin özellikleri ile belir tilmiş olan dönüşül sıklıklardan, örneksel süz gece ilişkin dönüşül sıklıklar (3.15) denklemi yardımıyla hesaplanır.

3) Örneksel süzgece çevrilmiş olan verilerden ör neksel geçiş işlevi H(s) saptanır.

4) s = Z2 2Zcos<Jı T + l/Z2 1 yazar, gerekli işlem o leri yaptıktan sonra, payı ve paydası çokterim

ELEKTRÎK MÜHENDİSLİĞİ 233

li şeklinde bir H'(Z) elde ederiz. Bu elde edi len denklemden aranan sayısal süzgeç gerçekleş tirilir.

!jjo'ın seçiminde tutulacak yol:

Bu seçim ç e ş i t l i biçimlerde yapılabileceği gibi, geçirilecek bandın iki uç sıklığı wDı ve ü ) D 2 ' n i n (3.15) denkleminden verecekleri u^j ve 10^2 sıklık ları birbirlerinin karşıt işaretlisine eşit olacak biçimde s e ç i l e b i l i r (yani GO^J = t o ^ ) . Bu varsa yımdan sonra (3.15) denklemini oinj, OJ^I , ve UI Q2 > u^2 için yazalım.

costJ^T cosu T

Ax

sino)D1T

2)

u)c sık

l

UAj ığın

d

0,325 s a) 3 dB

ıklığında düşme ve

(yada UA2/^

düzgülentniş 1 C = 0,726/0,325

= 2,23 düzgülenmiş sıklığında en az 10 dB düş

me verecek örneksel Buttervorth süzgecini oluş

turmalıyız.

a)

İH(s)|2 = l=e2( l)V

Geçirme bandı sonu için düşmeyi 3 dB aldığımız dan e= 1 olur (ıÜJJ: düzgülenmiş sıklık)

1 A2

COSı)J T cosw_ T

Ü2

D 2 S İ n U

denklemi top1arsak,

cosi' T

0=

c o s u _DTi

sino)D

, COSrı|oJ T cos(Üjj_2 T

D 2 S İ n ü )

elde ederiz, bu eşitlik düzenlenir ve trigonomet rik özdeşlikler kullanılarak cosıJJoT çözülürse,

• = ° C S 2 "P,' + y.2

(3.16)

bulunur. Yukarda söz edilen koşulu yerine getire cek olan cosı|<oT (3.16) bağıntısından hesaplanır.

Şimdi bu yöntemi daha iyi açıklamak için örnekler vereceğiz.

b) n yi bulmak için aşağıdaki işlem yapılır: |H(ju)| >• 10 dB |H(ju))| »• 20 dB

= 10 l + (2,23)2n= 10 (2,23)n=3 buradan n = 2 eide ederiz. c) Sıra kökleri bulmaya gelmiştir: (s : düzgü lenmiş) s = ( 1) n = 2 olduğuna göre

Tasarımlanacak süzgeçten istenen özellikler ve di ğer veriler:

sol yarı düzlemdeki kökler: sı,2= ( 0,707 + jO,707) 0,325

—— '• Örnek alma s ı k l ı ğ ı —= = 10 kHz

O1dan 1 kHz'e kadar düşme düz olarak en çok 3 dB, 2000 Hz'den yukarı s ı k l ı k l a r için 10 dB'den daha çok söndürülmüş olsun isteniyor.

Yukardaki koşulları örneksel olarak b i r Butter worth süzgeci yerine g e t i r i r .

1) u^j ve UA2'yi hesaplıyalım:

Önce o)])2T/2Iyi ve <ı)])2T/2 u)Aı = tgtüp^T/2 de yerine

bulur, koyar,

sonra bunları <ı)Aıve ^Aî'yi

1 kHz • 360" = 18U 10 kHz .2

= 0,23± J0.23

dür. sı ve S2 yi H(s) de yerine koyarsak

H(s)

S1S2 (s sı)(s s )

S2 (Sı + S2)3+SıS2

s2 + 0,46s + 0,106

3) s yerine % + i " yazarsak

H'(Z)=

Zl

Z

) + 0,106

2 kHz • 360 10 kHz . 2

= tgl8 =0,325 Aı w. =tg36° = 0,726

A2.

0,106(Z2 + 2Z+ 1) 1.556Z2 1.788Z+ 0,646

H'(Z) = 0,0677

Zz + 2Z + 1

Z2 1.142Z +0,412

elde edilen bu dizge işlevinden giderek, ara nan süzgeç g e r ç e k l e ş t i r i l e b i l i r .

Bu örnekte ise s * Z2 2ZCOS<JJOT + 1/ (Z2 1) dönüşü münü kullanacağız. İstenen süzgecin v e r i l e r i aşa ğıda yazılmıştır.

f = — = 1000 Hz: Örnek alma s ı k l ı ğ ı

Geçireceği bant 100 Hz 400 Hz (uç sıklıklarında güçsüzletme en çok 3 dB)

Söndürme: 45 Hz ve daha alçak, 450 Hz ve daha yük sek sıklıklarda en az 20 dB söndürülmüş olacak.

1) cosıJjoT'nin seçimi 100 Hz ve 400 Hz nin (3.15) dönüşümünden verecekleri u^ı , u^ s ı k l ı k l a r ı n ı n birbirlerinin karşıt işaretlisine eşit olmasını istersek cosıJjoTIyi daha önce bulmuş olduğumuz (3.16) dan hesaplayabiliriz.

cosıjı oT = • ^

bu denklemin payı

° cos { 2İÖÖ0~Hz

27r(10

Hz)} = cos y = 0

eder ve COSıJJOT=0 olur, bunu (3.15) de yerine ko yarsak,

ÜJA^ = cotguD.T

100 Hz ve 400 Hz için uD = cotg36° =± 1, 38

45 Hz i ç i n ıÜI = c o t g l 6 , 2 ° = 3,44

450 Hz i ç i n w2 = c o t g l 6 2 ° = c o t g l 8 ° = 3,08

2) Şimdi sorunumuz, 0 < Ü J < 1 , 3 8 için güçsüzletme nin 3 dB yi geçmediği ve u> = 3,08 den sonra güçsüzletmesi 20 dB veya daha çok olan b i r ö r neksel süzgeç geçiş i ş l e v i bulmaya dönüşmüştür.

Bunun i ç i n | H(jw) | 2 = 1/1 + (o) / U ) c ) 2 n biçiminde uc = l,38 için bir Butterworth süzgeci hesapla rız.

Not: o)2 = 3,08 için 20 dB güçsüzletme isteğimize göre bu u)ı = 3,44 içinde kendiliğinden sağlanmış olur.

Düzgülenmiş sıklık 0) / ÜJC = 3,08/1,38 2,23 için 20 dB yada daha çol: güçsüzletme istendiğine göre:

< 10

Geçiş işlevi ise,

"S1S2S3

H(s) =•

(s sı)(s s )(s s )

biçiminde olacaktır, sı, s , S3 değerlerini yeri 2 ne koyarsak:

H(s) = s3 + 2sz + 2s + 1 buluruz, s yerine s/1,38 koyarsak: 2,6

H(s)= s3 + 2,76s2 + 3,8s + 2,6 elde ederiz.

3) Şimdi sıra gerekli dönüşümü yapmaya gelmiştir. Yalnız COSIJJ T= 0 olduğu için, bağıntı

Z2 + 1

Z2 l biçimini a l ı r , bunu H(s) de yerine koyar, ge rekli cebirsel işlemleri yaparsak,

H'(Z) = 0,257

Z6 3Z" + 3Z2 + 1

Z6 0.58Z" + 0.42Z2 0,056

denklemiyle aranan sayısal süzgecin dizge i ş levi H'(Z) yi buluruz.

SONUÇ

Bu yazıda sayısal süzgeçlerin özellikleri, ne bi çimde gerçekleştirildikleri, dizge işlevleri ve sayısal süzgeçlerin tasarımlanmaları incelenmiş tir.

Varılan sonuca göre, bir sayısal süzgecin gerçek leştirilmesinde bütün zorluk işimizi görebilecek dizge işlevini oluşturmaktan çıkmaktadır. Gerçek leştirilmek istenen süzgecin özelliklerine bağlı olarak dizge işlevinin biçimi ve katsayıları de ğişmektedir. Dizge işlevi elde edildikten sonra buna karşılık gelen devre kolayca gerçekleştiri lebilir.

Örneksel süzgeç bireşimi geniş biçimde incelenmiş ve yöntemler geliştirilmiştir. Bundan yararlanarak Bölüm 4'de görüldüğü gibi sayısal bir süzgecin dizge işlevini bulma sorunu örneksel bir süzgecin geçiş işlevinin bulunmasına indirgenebilir.

_ço_ n _

(

)2 >ıoo 1=

w

2,232n_>99

n = 2 25 < 99 eşitsizliği sağlamaz n= 3 124 > 99 sağlar

düzgülenmiş s için kökler: s j = e n (i=0,1,2,3,4,5), sol yarıda kalan kökler ise

sı= l ; s ,3 = 0,5 ± jO,866'dir. 2

KAYNAKLAR

1. Rabiner L.R., Charles M.Rader, D i g i t a l Sigı al Processing

2. Rader CM., Alan V.Oppenheim, Digital Processing of Signals

3. Huelsman L.P., Active F i l t e r s : Lumped, Distributed, Integrated, Digital and Parametric