MATEMATİK TARİHİNE KISA BİR BAKIŞ

matematik tarihine kısa bir bakış güney GÖNENÇ

UDK: 51(091)

ÖZET Matematik, uygulamalı bilimlerin ve mühendisliğin gelişmesinde en önemli öğelerden biri olmuş, öte yandan matemati ğin kendisi de bu gelişmelerden etkilenerek ilerlemiştir. Tarım, ticaret, imalat ve mühendislik alanlarındaki gereksinme ler matematiğin en baştan günümüze kadar gelişmesinde ana etken olmuştur. Rönesans ve onu izleyen dönemde tica retin isterleri yönünde aritmetik ve cebirin, mühendisliğin isterleri yönündeki de analizin gelişmesi bu sürece ilginç bir örnektir. Başka örnekler arasında sonsuz küçükler hesabının Newton ve Leibniz'ce birbirlerinden bağımsız olarak aynı zamanda bulunması; öklit dışı geometrilerin Gauss, Bolyai ve Lobaçevski tarafından yine birbirlerinden tamamen ha bersiz olarak aynı yıllarda bulunmuş olması sayılabilir.

Matematikle en içli dışlı mühendislik dallarından biri olan elektrik mühendisliğinin geçmişi de matematiğin gelişmesiyle yakından ilgilidir. Bu yazıda matematiğin tarihi genel çizgileriyle özetlenmekte, özellikle elektrik mühendisliğini ilgilen diren konularda katkıda bulunmuş matematikçiler kısaca tanıtılmaktadır.

SUMMARY

Mathematict has been one of the most important tools in the development of applied sciences and engineering; furt hermore mathematics itself has progressed as a result of its being influenced by these deuelopmente. The needs in the areas of agriculture, commerce, manufacture and engineering have been the main factorin the development of mathe matics from the very beginning. The development ofarithmetic and algebra so as to satisfy the needs of commerce, and that of analysis so as to anstuer the requirements of engineering in the wake of Renaissance are interesting examples of the process mentioned above. Among other examples are the development of the infinitesimal calculus by Neıvton and Leibniz simültaneously and independently; the development of non euclidian geometries by Gauss, Bolyai and Lobac hevski again independently in the same decade.

Electrical engineering, a discipline ıvhich is very closely tied with mathematics has a history which has shourn a parallel development to that of mathematics. This article outiines the history of mathematics. Especially those mathematicians who contributed to the development of electrical engineering are introduced.

Bu yazıyı hazırlarken amacımız elektrik mühendisliği eğitiminde ak karşılaştığımız matematikçileri tanıtmak tı. Ne var ki konunun içine girince matematikçileri elektrikte adı geçn ve adı geçmeyen biçimde sınıflandırma nın çok anlamlı bir ayrım olmayacağı görüşüne vardık. Kaldı ki matematiği en çok kullanan dallardan biri olan elektrik mühendisliğine, dolaylı bile olsa her büyük matematikçinin şu veya bu ölçüde bir katkısı olmuştur.

özellikle bir dergi yazısı boyutunda sınırlamak zorunda olduğumuz bu yazıda matematikçiler arasında bir se çim yapmamız gerekti. Bu zorunlu seçimi,, matematik çilerin konuya getirdikleri temel katkıları göz önüne ala rak yaptık. Yazımızda bu kişileri size ilginç geleceğini sandığımız yanlan ile tanıtmaya çalışıyoruz.

1. BAŞLANGIÇLAR

t i. Tarım, sulama ve denizciliğe verilen önem, astronomi nin ve dolayısiyle matematiğin özellikle Mezopotamya1

Büyük ırmakların (Ni l , Dicle, Fırat, indüs, Ganj, Sarı İr da, sonraları Anadolu kıyıları ile Y unanistan'da gelişme

mak ve Y ang Çe) dolayında gelişen ilk uygarlıklarda sine yol açtı.Modern matematiğin temelleri bu yöreler

mevsimlerin izlenmesi, ürünün ve vergilerin hesaplanması, de yetişen ve yapıtlarının bir bölüğü günümüze kadar

toprak ve sulamaya ilişkin hesaplar İ.Ö.5000 yıllarına gelen büyük matematikçiler tarafından atıldı,

uzanan dönemde matematiğin ortaya çıkmasına yol aç

Adını anacağımız ilk matematikçi Tales. Bugün onun

adıyla bilinen ünlü teoremi, onun,Mısırda'ki piramitlerin

Güney Gönenç, Y.Prof. Dr., ODTÜ

yüksekliğini bulmak için piramitin gölgesinin boyuyla

uzunluğu bilinen bir çubuğun gölgesinin boyunun ora nını almasına borçluyuz. Tales İ.Ö. 6 ncı yüzyılda Mile tos'ta (bugünkü Söke ilçesi yakınında) yaşamıştı. Aynı yüzyılın bir başka büyük matematikçisi Pitagor. Pitagor ayrıca mistik bir filozoftu; Güney İtalya'da Crotone'deki okulu, kurduğu tarikata karşı çıkanlarca yakıldı, kendisi de yanarak öldü. Ünlü Pitagor teoremi yanında, Pitagor' un en büyük katkısı matematiğe "kanıtlama" (ispat) kav ramını getirmiş olmasıdır. Karesi 2'ye eşit olan sayının (yani V 2 nin) iki tamsayının oranına eşit olamayacağı gerçeğini de o bulmuştur. O zamanlar sayı olarak yalnız ca tamsayılar ile iki tamsayının oranı olarak deyimlenen rasyonel (= oransal) sayılar bilindiğinden, V 2 nin (ör neğin bir karenin köşegeninin kenarına oranının) "sayı" larla deyimlenememesi o zamanın matematikçilerini çok sıkıntıya sokmuştur. Bugün irrasyonel adını verdiğimiz sayıların kuramı, bilindiği gibi, ancak 19 uncu yüzyılın sonlarında Weierstrass ve Dedekind tarafından ortaya ko nacaktır. \/ 2 nin rasyonel bir sayı olamayacağı ilk ke: Oklid tarafından kanıtlandı. Öklid'in kimi kanıtlarının aradan geçen 2000 yıldan fazla zaman içinde, daha yalın biçimlerini bulmak mümkün olmamıştır.

öklid'in en büyük katkısı geometri alanında tüm bilinen leri düzenli bir biçime sokmak, belirli aksiyom ve postü lalara dayanan bir teoremler dizisi olarak belirlemek ve yazmak olmuştur, öklid'in kurduğu geometri çatısı gü nümüze kadar aynen gelmiştir. Bilindiği gibi öklid pos tülalarından farklı postu lalara dayanan "öklid dışı" geo metriler 19 uncu yüzyılda Lobaçevski (1793 1856), Bol yai (1802 1860) ve Riemann (1826 1866) tarafından ku rulmuştur, öklid'in yalın ve eşsiz kanıtlarından bir tane si de asal sayıların sayısının sonsuz olduğuna ilişkin teo remin kanıtıdır. Bu teoremi şöyle deyimleyebiliriz: "Verilen her sayıdan daha büyük bir asal sayı vardır", iki tamsayının en büyük ortak tam bölenini bulma algo ritması (ünlü öklid algoritması) bugün hemen her bilgi sayar programlama kitabının ilk sayfalarında algoritma kavramına yalın bir Örnek olarak verilmektedir. Bu al goritma şöyledir

En büyük ortak tam böleni aranan iki pozitif tamsayı dan büyüğü m, küçüğü n olsun.

1. m'yi n'ye böl; kalan k olsun ( 0 < k < n olacaktır) 2. Eğer.k = 0 ise: Dur; cevap n'dir. 3. Eğer k = 0 değilse:

m'ye n'nin değerini, n'ye k'nın değerini ver; 1 inci adıma git.

öklid İ.Ö. 4 üncü yüzyılda İskenderiye'de yaşamıştı. Yal nız döneminin değil tüm zamanların en büyük matema tikçilerinden biri olan Arşimet ise Sicilyalıdır. İ.Ö. 3 ün cü yüzyılda yaşamıştır, özellikle alanlar ve hacimler, denklem çözümleri ve (hepimizin bildiği) hidrostatik

üzerine yazdığı kitaplar önemlidir. Kaldıraç ve palanga' nin bulunması, ağırlık merkezi üzerine incelemeler, "Ar şimet Spirali" onun katkılarının pek küçük bir bölümü nü oluşturur. Arşimet çember içine ve dışına çizdiği 96 kenarlı çokgen yardımıyla n sayısının 223/71 ile 22/7 arasında olduğunu bulmuştu. Arşimet Siraküza'yı alan Roma Ordusunun bir askeri tarafından kılıçlanarak öl dürüldü.

Bugün kullandığımız parabol ("uygulama" anlamına ge liyor), elips (= eksikli uygulama), hiperbol (= fazlalı uy gulama) terimlerini bundan 2300 yıl önce yaşamış olan Apollonius koymuştu. Perge'de doğup Bergama'da ölen Apollonius "Konikler" adındaki kitabında bu eğrileri ay rıntılı biçimde incelemiştir.

2. RÖNESANS'A KADAR

Roma İmparatorluğu İ.Ö. 146'da Yunanistan'ı, 64'te Mezopotamya'yı ve 30'da Mısır'ı aldı. Batı , yaygın ta rım düzeni içindeydi, geniş çapta köleci bir toplumdu, bu nedenle bilim ve teknik gelişemedi. Buna karşın, son radan Doğu Roma İmparatorluğunu oluşturacak bölgeler yoğun ve sulamaya dayanan tarım düzeni için deydi, kölecilik hemen hiç yoktu. Doğuda Yunan ve Mezopotamya Hint kültürü gelişerek sürdü. Bu dönem de ilkin bilim merkezi olarak iskenderiye'nin ortaya çık tığını görüyoruz. (İ.S. 100 500 arası). Batlamyüs ve Diofant bu dönemin ünlü bilim adamlarından. Bugün de "Diofant denklemleri" adıyla anılan (kökleri tamsayı olarak aranan) denklemler Babil'li olduğu sanılan Dio fant'ın yazdığı kitaplarla günümüze ulaştı.

İslam uygarlığının gelişmesiyle bilim merkezleri Bağ dat'a (700 900, Abbasi'ler), Merv'e (1000 dolayları, Selçuklular) ve Maraga'ya (1200 dolayları, Hülagu) kay dı. Hintlilerden onlu sayı dizgesi ve "sıfır" rakamının alınması matematikte büyük çığır açtı (6 8 inci yüzyıllar). Bugün kullandığımız "algoritma" ve "cebir" (ing: Algeb ra) sözcüklerini matematiğe veren Harzem'li Musa oğlu Mehmet 780 yılında Harzem'de (bugünkü Özbekistan' da) doğdu. Bağdat'ta çalıştı. Yazdığı iki kitabın 12. yüz yılda gerçekleştirilen Latince çevirileri yoluyla eski Yu nan (özellikle Diofantus), Hint ve 8 9 uncu yüzyıl islam matematiği bütün orta çağlar .boyunca Avrupa'yı etkile di. Mehmet'in birinci kitabı "Kitab ül Cebr vel Mukabe le" (= İndirgeme ve Karşılama Yöntemleri), birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümü, çarpanlara ayır ma, dört işlem kuralları, geometri gibi konuları içerir. Bu kitabın adından Latinceye ve batı dillerine "cebir" sözcüğü geçmiş ve yerleşmiştir. Mehmet'in ikinci kitabı "Kitab ül Muhtasar fi Hesab ül Hindi" adını taşır, Latin ceye "de Numero Indorum" adıyla çevrilmiştir. Bu ki tapta bugün kullanmakta olduğumuz onlu sayı dizgesi

265 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 259 260

ve "sıfır" kavramı tanıtılmaktadır. Bu kitabın etkisiyle, Mehmet'in lakabı olan "Al Hvorizmi" (= Harzemli) sözcüğü, zamanla değişerek alhorism, algorism ve sonun da algoritma biçimine girmiştir. Algoritma terimi bugün "belirli bir problemin çözümü için izlenecek işlemler sırasını gösteren sonlu sayıda kurallar kümesi" anlamına gelmektedir. Algoritmalar kuramı bugün başlı başına bir bilim dalı oluşturmaktadır (A.M. Turing, 1931; A.A. Markof, 1951).

Batı'da Roma'nın yıkılışıyla kölelik yerini feodalizme bıraktı. 12 14 üncü yüzyıllarda feodallere karşı savaşım veren kentler kent devletlerini kurdular. Bu devletler dö neminde ticaret ve savaş yoluyla ilişkiye girilen doğu kültürünün öğeleri ve bu arada matematik batıya aktarıl dı. Coğrafi konumu dolayısıyla bu aktarma İtalya kent devletlerinde başladı (Floransa, Pisa, Venedik.Ceneviz..) Birçok kitap Latinceye çevrildi. Harzemli Mehmet'in kitaplarını çeviren Pisa'lı Leonardo (1170 1230) bir gezginci tüccardı. Leonardo kendi yazdığı eserlerle de katkılar getirmiştir. Bunların en ünlüsü bugün "Fibonac ci dizisi" dediğimiz ve n'inci terimi

Xn Xn

n2

=1,n>2

biçiminde tanımlanan dizidir (İlk birkaç terimi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 2 1 , 34, 55,...). Leonardo'nun babasının adı Bonaccio olduğundan kendisine Filius Bonaccio (= Bonaccio'nun Oğlu) denirdi, dizinin adı da buradan geliyor . Leonardo bu diziye ünlü "tavşan problemi"ni çözerken varmıştır (Her çiftten ayda bir çift ürerse, her yeni doğan çift ikinci aydan başlayarak üremeye başlar sa ve hiç ölüm olmazsa, bir çift tavşandan bir yıl sonun da kaç çift tavşan ürer?) Fibonacci dizisi bilimin pek çok dalında, bu arada algoritmalarla ilgili konularda hep karşımıza çıkar. Fibonacci dizisinin ardışık iki teriminin oranının , limitte, (1 + V 5 ) / 2 » 1.618034 sayısına gitti ğini kolayca bulabilirsiniz. Bir AB doğru parçasını AB/CB = CB/AC olacak biçimde bir C noktasıyla böldü ğümüzde ortaya çıkan AB/CB oranının da en eski devir lerdenberi "altın kesim"' adı verilen ve nerdeyse büyülü bir anlam taşıdığı varsayılan bu sayıya eşit olduğu görü lebilir.

3. RÖNESANS

Feodal toplum düzeninin gerilemesi, ilk burjuva toplum larının ortaya çıkmaya başlaması bir yandan daha aydın lık hümanist bir kültürün yaygınlaşmasına yol açtı, öte yandan kentlerde makina kullanımını getirdi. Ayrıca ge mi ve silah yapımı, madencilik gibi mühendislik becerisi isteyen uğraş alanları gelişti. Bütün bunların sonucu ola rak, Rönesans adı verilen bu dönemde ( 1 4 1 6 inci yy.) başta astronomi ve mekanik olmak üzere bilimlerdeki ge

lişme matematikteki gelişmeyi de birlikte getirdi.

Bugün yanlış olarak Arap rakamları diye andığımız Hint rakamları Avrupa'ya ancak 15 16 inci yüzyıllarda yayıl dı. Bugün kullandığımız " + " , " " gibi imleri, "kare" an lamına kullanılan 2 üssünü; değişken ya da değişmezleri harflerle gösterme yöntemini F. Vieta'ya borçluyuz. Vieta (1540 1603), 393216 kenarlı çokgenler yardımıyla n nin değerini 10'uncu evciğine kadar doğru olarak he saplamıştı. Dördüncü Henri'nin sarayında yüksek yönetim görevlerinde bulunmuş olan Vieta, şifrecilik ta rihinin de en önemli adlarından biridir. İspanyol Kralı İkinci Philip'in şifrelerini çözerek İspanyol ordusunun yenilgisini sağlamıştı.

Bir İskoç soylusu olan J.Napier (1550 161 7) sayıların üs tel bir biçimde yazılabildiklerini gözleyerek çarpma yeri ne üslerin toplanabileceğini, böylece çarpma işleminin toplama işlemine (ve bölmenin çıkarmaya) dönüştürüle bileceğini buldu. 20 yıl aralıksız çalışmayla bugün bizim de kendisinin verdiği ad olan logaritma ("orantılı sayı , lar" anlamına) adıyla tanıdığımız kavramı geliştirdi, 1614'te ilk logaritma tablolarını yayınladı. Logaritmanın bulunmasının o zamanın bilim ve teknik dünyasındaki et kileri bugün bilgisayarların etkisi ile oranlanabilir. Napier'in bulduğu ve kullandığı e(= 2.71828...) tabanlı logaritma idi. Bugün doğal logaritma kullanan ve 8,686 desibel'e eşit iletim birimine verilen "neper" adı J.Napi er'in adından gelmektedir. Oxford Üniversitesinde profe sör olan H. Briggs de 1624'te on tabanlı logaritma tablo larını yayınladı, bu tablolar 1 'den 20 000'e ve 90 000' den 100 000'e kadar sayıların logaritmalarını 14 ondalık lı olarak veriyordu! 10 tabanlı logaritmalar hesaplarda daha kolaylıkla kullanılır, bunlara bugün "adi logaritma" ya da "Briggs logaritması" deniyor. Briggs'in önemli kat kılarından biri de ilkokullarda öğrendiğimiz bölme algo ritmasını bulmasıdır.

Logaritmanın bulunmasından hemen sonra hesap cetveli nin bulunması gerçekleşti. İki yıl arayla, 1630 ve 1632' de iki Londra'lı, R.Delamain ve W.Oughtred dairesel he sap cetvelini buldular. Delamain'in anlatımıyla, bu cetvel "ister yürürken, ister at sırtında" hesap yapmaya olanak veriyordu. Delamain ve Oughtred'in icat üzerindeki ön celik kavgası, karşılıklı suçlamalarla, yıllarca sürdü. Oughtred daha sonra doğrusal hesap cetvelini icat etti ve geliştirdi.

Rönesans'ın açtığı aydınlık ve insancıl ortamda Coperni cus (1473 1543) ve Kepler (1571 1630) güneş merkezli dizgeyi kurdular ve geliştirdiler. Büyük matematikçi ve fizikçi Galile (1564 1642) kendi bulduğu dürbünle ger çekleştirdiği gözlemlerle Copemicus dizgesini kesin bir biçimde doğruladı. Galile, devinimi matematik olarak in celeyen ve yol, hız, ivme arasındaki bağıntıyı kuran bilim

adamıdır. 1633'de Galile'nin Enkizisyon'ca dinsizlikle suçlandığını duyan bir başka bilim adamı, yazmakta ol duğu Copernicus dizgesine ilişkin kitaptan hemen vaz geçti, onun yerine dünyayı merkez alan bir dizgeyi içe ren bir kitap yazdı (1637). R. Descartes (1596 1650) bugün bu kitabıyla değil de bu kitaba yazdığı 100 say falık bir ekle daha çok tanınır. Bu ekte Descartes cebirle geometriyi birleştiren analitik geometri'yi ortaya atar. Bir düzlemdeki her noktanın bir sayı çiftiyle belirlenebi leceğini gösteren Descartes'ın Latince adı olan Renatus Cartesius'dan ötürü bu sayılara cartesius (İng: Cartesian) koordinatları deniliyor. Analitik geometri matematikte büyük gelişmeler sağlayan bir başlangıç olmuştur. Soylu bir aileden gelen Descartes önce Fransız Ordusunda bu lunmuş, sonra 20 yıl Holanda'da yaşamış, İsveç Kraliçesi Christina'ya felsefe öğretmenliği yaparken ölmüştü. Alfabenin ilk harflerini değişmezler için, son harflerini de (x, y, z) değişkenler için kullanma Descartes'ten gü nümüze gelen bir alışkanlıktır. Kuvvetlerin üs olarak yazılması ve karekök İmi de ilk kez Descartes'in kullan dığı gösterilimlerdir.

kişiydi, Descartes'la birbirlerini sürekli kıskanmışlar ve birbirlerinden hep nefret etmişlerdir.

Adına hepimizin çok rastladığı matematikçilerden biri de l'Hospital'dir. Hem marki, hem de kont olan l'Hospi tal (1661 1704), hem paydası hem payı birlikte sıfıra giden kesirlerin limit değerinin bulunmasına ilişkin bil diğimiz kuralı 1696'da yayınladığı kitabında vermişti. Bugün kullandığımız simgelerden negatif ve kesirli üsle ri (x 2 ve x' 2 gibi) ve"°°" u ise adı pek bilinmeyen İngi liz matematikçisi J.Wallis'e (1616 1703) borçluyuz. VVallis,İngiltere'nin içinde bulunduğu karışık dönemde parlamento'cuların (Cromwell) yanını tutmuş ve kralcı ların tüm şifrelerini çözmekle ün yapmıştı.

Bulgularını yayınlamak üzere kitap sayfalarının kenar boşluklarına çiziktirmek alışkanlığı, analitik geometri yi Descartes'la aynı zamanda bulduğu halde, P. Fermat' yi analitik geometrinin bulucusu olarak tanınmaktan alakoydu. Aslında Fermat (1601 1665) analitik geomet riyi üç boyutlu uzayda uygulamıştı. Fermat, Pascal'la birlikte olasılıklar kuramının kurucusu olarak tanınır. Lise geometrisinde okuduğumuz Pascal teoremini ("Bir konik içine çizilmiş altıgenin karşılıklı kenarlarının ke sişme noktaları bir doğru üzerindedir") henüz 16 yaşın dayken bulan B. Pascal'ın (1623 1662) yazdığı "Konik ler Üstüne Deneme" adlı kitabın 16 yaşında bir çocuk tarafından yazılmış olabileceğine Descartes'ı inandırmak mümkün olmamıştı. Pascal 18 yaşında ilk hesap makina sını yaptı. Bir kol çevrilerek çalışan ve dişlilerden oluşan makine 8 evcikli sayılarda toplama ve çıkarma yapabili yordu. Makinenin en önemli iki özelliği şunlardı: 1) On ların aktarılması (toplamada "elde" aktarılması) için, bir dişli 9'dan 0'a geçerken bir soldaki dişliyi 1 ilerleten mandal mekanizması. 2) Çıkarma işlemi için çıkan sayı nın tümleyenini kullanmak ve böylece dişlilerin aynı yönde döndürülmesiyle hem toplama hem çıkarmanın yapılabilmesini sağlamak. Pascal'ın hesap makinası birkaç yıl öncesine kadar yaygın biçimde kullanılan kol lu hesap makinalarının atası oluyordu. Pascal'a başvuran kumarcı bir soylunun kumara ilişkin kimi sorularına kar şılık vermek için Pascal bu sorular üzerinde çalıştı ve Fermat ile uzun yazışmalar yaptı. Bunların sonucu, ola sılıklar kuramının temelleri atılmış oldu. Hemen hepi miz Pascal'ın adını Pascal Üçgeni'nden ötürü de duymu şuzdur. Pascal kombinatorik analiz üzerinde de çalış mıştır, "Pascal üçgeni" bu çalışmaların bir ürünüdür. Pas cal çok aşırı (marazi derecede) dindar ve fanatik bir

Şekli l.SIr Isaac Newton (1642 1727)

4. ANALİZİN DOĞUŞU VE GELİŞMESİ

Newton (1642 1727) için tüm zamanların en büyük ma tematikçisi derler. Sonsuz küçükler hesabını (diferansiyel hesap) 1665'te buldu, fakat 1704 yılına kadar yayınla madığı için buluşun şerefi 1684'te yayınlayan Leibniz'e ait oldu. Londra'yı kasıp kavuran büyük veba salgınından korunmak için sığındığı annesinin çiftliğinde, henüz 23 yaşındayken, Nevvton sonsuz küçükler hesabını, evrensel çekim yasasını ("cisimler birbirini kütlelerinin çarpımıy la doğru orantılı, aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak çekerler") ve beyaz ışığın çeşitli renkler deki ışıkların toplamı olduğunu (ünlü prizma deneyi ve yedi renkli "nevvton çarkı") bir yıl içinde buldu. Evren sel çekim yasasını, bir hesap yanlışı yaptığı sanısıyla ya yınlamadı. 19 yıl sonra, bir gün ünlü astronom Halley, Nevvton'a "Kitleler arasındaki çekim kuvveti uzaklığın

karesi ile ters orantılı olsaydı, gezegenler nasıl bir yörün ge üstünde hareket ederlerdi, hesaplanabilir mi bu?" diye sorunca Newton derhal "Elbet, elips" karşılığını verdi. Halley "Nerden biliyorsun?" dedi, Newton "Hesapla dım!" diye karşılık verdi. Bunun üzerine şaşkınlıktan do nup kalan Halley'in teşvikiyle hesaplar yeniden yapıldı doğru olduğu anlaşıldı, ve Nevvton üç yıl sürekli çalışa rak klasik mekaniğin temelini oluşturan, dünyada yazıl mış en büyük bilimsel yapıt sayılan "Principia Mathema tica"yı yayınladı (1687). Evrensel çekim yasası'nın yanı sıra mekaniğin üç temel yasası da bu kitapta ortaya konuyordu. Nevvton'un diferansiyel hesabına idealist fel sefe adına şiddetle karşı çıkan İrlandalı Piskopos G. Ber keley'in yol açtığı tartışmadan da söz edelim. Berkeley*, Nevvton'un kuramındaki kimi eksiklikleri de fırsat bile rek, sonsuz küçüklerin dine aykırı olduğunu iddia edi yor, hatta Halley için yazdığı "Bir İmansız Matematikçi ye Mektup" adlı kitabında Newton'u "Birinci ve ikinci türevi hazmedebilmek midesizliğini gösteren bir kişi" olarak betimliyordu. Berkeley'e aralarında Maclaurin'in de bulunduğu birçok matematikçi cevap verdiler.

Y ansımalı (aynalı) teleskop'u da ilk bulan Nevvton ol muştur. Denklemlerin köklerinin üsteleme (iieration) yöntemiyle yaklaşık olarak bulunması için bugün Nevv ton yöntemi olarak bilinen yöntemi de o geliştirmişti. Y öntemine örnek olarak aldığı x3 2x 5=0 denkleminin kökünü x = 2,09455147 olarak hesapla mıştı.

Diferansiyel ve integral hesabı 1673'te bularak 1684'te yayımlayan G.W. Leibniz'in (1646 1716) ve Nevvton'un yandaşları arasında kimin bu konuda ilk olduğu konu sunda (daha sonra İngiltere Avrupa çekişmesi biçimine dönüşecek) yoğun tartışmalar ve suçlamalar yapıldı. Fransız asıllı ünlü matematikçi A.de Moivre, 1712'de, İngiltere'nin en yüksek bilim kurumu olan Krallık Derne ği'nce bu tartışmaları incelemek ve arabuluculuk yap mak üzere seçilmişti. Leibniz dx, dy gösterilimini, Nevv ton ise x, y gösterilimini kullandıkları için matematikçi ler "d'ciler" ve "noktacılar" diye ikiye ayrılmıştı. Bugün iki bilginin buluşlarına birbirlerinden bağımsız olarak vardıkları kabul edilmektedir. Ne var ki, Leibniz'in yön temi çok daha üstündü. Bunu kabul etmeyen ve Nevvton'

un yöntemine bağlı kalan İngiltere'de matematiğin geliş mesi bu yüzden 100 yıl kadar duralamıştır. Bugün kul landığımız çarpı (x), eşit (= ) ve integral(J) simgeleri, di feransiyel, integral, fonksiyon, koordinat sözcükleri hep Leibniz'ten kalmadır. Leibniz 1682'de yayınladığı bir makalede d(uu) = u du+ v du eşitliğini veriyor ve dy = 0 koşulunun y'nin en büyük ve en küçük değerlerine, d2y = 0 koşulunun ise eğrinin bü külme noktalarına karşılık geldiğini belirtiyordu. Leibniz ikili dizgeyi ilk kullanan ve önemini vurgulayan matema tikçidir. "Aklın tüm gerçeklerinin bir tür hesaba indir gendiği genel bir yöntem" bulmak istediğini daha 20 yaşında belirten Leibniz'i Russel ve başka bilginler sim gesel mantık'ın kurucusu olarak kabul ederler. Leibniz ayrıca mekanik enerjinin sakinimi yasasını da bulmuş tur. Pascal'ın mekanik hesaplayıcısını inceleyen Leibniz 1671'de toplama ve çıkarmanın yanısıra çarpma ve böl me yapan bir hesap makinesi yapmıştır. Jeoloji, biyolo ji ve tarihle de uğraşmış olan Leibniz ayrıca büyük bir f i lozoftu. Alman idealist diyalektiğinin kurucularından bi ri olarak kabul edilir.

Leibniz'in diferansiyel ve integral hesap üstündeki çalış maları, Jakob ve Johann Bernoulli'ler tarafından sürdü rüldü. Jakob ve Johann Bernoulli kardeşler matemati ğin ünlü "Bemoulli ailesi"nin ilk matematikçileridir. Paris'teki hemen bütün Protestanların bir gece içinde kit le halinde öldürülmeleri üzerine (St. Barthelemy katliamı, 1572) Anvers'ten isviçre'ye kaçan ve Basel'e yerleşen bu aile pek çok matematikçi yetiştirmiştir.

Jakob Bernoulli (1645 1705) kutupsal koordinatları ilk kez kullanmasıyla, "Bernoulli lemniskatı" ile "logarit mik sarmal (spiral)" dediğimiz eğrisi ile ünlüdür. Oslü serilerin hesabında kullanılan "Bernoulli çok terimlileri" ni ve "Bernoulli sayılan"nı da Jakob Bernoulli'ye borç luyuz. Olasılıklar kuramının temelini kuranlardan biri olan Jakob Bernoulli, "Bernoulli teoremi" olarak da ad landırılan ünlü "büyük sayılar yasası"nı bulan matema tikçidir, iki ucundan asılmış bir zincirin (kablonun) aldı ğı biçimi ilk kez hesaplayan ve böylece "zincir eğrisi"ni bulan da Jakob Bernoulli'dir. Zincir eğrisi, bildiğimiz gibi

(*) Nazım Hikmet'in Behey Berk ley! Behey on sekizinci asrın filozof piskoposu Felsefenden tüten günlük kokusu başımızı döndürmek içindir. Hayat kavgasında bizi diziistü süründürmek içindir, diye başlayan şiirini okuyucular anımsayacaktır.

y = a cosh — denklemiyle verilen eğridir (burada a, eğrinin en alçak noktasının x eksenine uzaklığıdır). Zincir eğrisi köprü lerin ve enerji iletim hatlarının hesaplarında çok kullanı lır. Kutuplan bir zincir eğrisi üzerinde bulunan süzgeçle rin özellikleri geçtiğimiz yıllarda Ghausi tarafından ince lenmiştir.

Çevreleri birbirine eşit olan eğrilerden alanı en büyük olanının daire olduğunu bugün hepimiz biliriz. Bu ko nunun incelenmesi değişimler hesabı (calculus of varia tions) denen matematik dalının doğmasına yol açtı. Bu alanda iki kardeş Jakob ve Johanr.'ı büyük bir rekabet ve didişme içinde görüyoruz. Kardeşi Jakob gibi Johann Bemoulli de (1667 1748) babasının tüm karşı çıkmaları na karşın matematikçi olmuştur. Tıp öğrenimini bitir dikten sonra 28 yaşında matematik profesörü olan Jo hann Bemoulli türevsel (diferansiyel) denklemler üstün deki çalışmalarıyla, mekanikte bulup geliştirdiği "zahiri (virtüel) yer değiştirme" ilkesiyle, ilk kez öğrencisi l'Hospital'in kitabında yayınlandığı için "l'Hospital ku ralı" diye bilinen limit teoremiyle tanınır.

Berlin Akademisinde Büyük Frederik'in himayesinde kal mış, yaşamının son 17 yılını yine St. Petersburg'da ge çirmiştir. Euler tüm matematikçiler içinde en çok eser verenidir.28 yaşında bir gözünün, 59 yaşında öteki gözü nün kör olmasına karşın çalışma hızında en küçük bir azalma olmamıştır. Kitap ve makalelerinin sayısı 886'dır. 1911'de yayınlanmaya başlayan ve 72 cilt olarak planla nan "Tüm Eserleri"nin yayını hâlâ bitirilememiştir.

Euler matematiğin hemen her alanına katkıda bulun muştur. Bu nedenle ona "evrensel matematikçi" derler. Lise geometrisinde onun adına "Euler çemberi (9 nokta çemberi)" kavramında rastlarız. ex, sin x ve cos x işlev lerinin hep bildiğimiz seriye açınımlarını da ona borçlu yuz, e'* = cos x + i sin x bağıntısı, türevsel (diferansiyel) denklemlerle ilgili pek çok kural, "doğrusal (lineer), ho mojen denklemler" gibi terimler; 2, e, n, i (= \Z 1), f(.) simgeleri matematiğe Euler'in bıraktıklarına küçük bir örnektir. Euler özellikle maddesel noktanın ve katı cis min mekaniği üzerinde çalıştı. Ayrıca ünlü "Königsberg' in 7 köprüsü''problemini anımsatalım. Bu problemin Eu ler'ce çözümü çizge kuramında önemli bir adım olmuş tur. Bugün bir düğümünden kalkarak her ayrıtından bir ve yalnız bir kez geçmek suretiyle aynı düğüme varabildi ğimiz çizgelere "Euler çizgesi" diyoruz. Euler'in "K kö şeli, A ayrıtlı ve Y yüzlü bir çokyüzlüde K + Y A = 2 dir" biçiminde verebileceğimiz Jbir başka teoremi.de çiz ge kuramının önemli teoremlerindendir (örneğin küp için K = 8, A = 12, Y = 6 ve 8 + 6 12 = 2).

Şekil 2. Leonard Euler (1707 1783)

johann Bernoulli'nin üç oğlu da matematikçi idi. Ortan ca oğul Daniel Bemoulli (1700 1782) hidrodinamik ala nındaki buluşlarıyla ünlüdür. Henüz 25 yaşındayken St. Petersburg'da profesör olan Daniel Bemoulli akışkanla rın basınç yoğunluk ve hızlarını bağıntılayan ve kendi adıyla anılan teoremlerin bulucusudur. Ayrıca astrono mi'de, fizik'te tikel türevsel (kısmi diferansiyel) denk lemlerin birçok uygulamasını ona borçluyuz. Daniel'le babası arasında da çekememezlik egemendi, öyle ki bir keresinde büyük bir ödülün oğluyla kendisine ortaklaşa verilmesini içine sindiremeyen Johann Bemoulli oğlunu evinden kovmuştu (1735).

Dünyanın en büyük matematikçilerinden biri olan L.Euler de Basel'lidir. Euler (1707 1783) Johann Bernoulli'nin öğrencisidir, 20 yaşındayken Johann'ın oğlu Nicolaus Bemoulli ile birlikte St. Petersburg'a gitmiş, 1741'e ka dar oradaki akademide çalışmış, bundan sonra 25 yıl

Fransa'da 1789 Devrimi'nin düşün alanındaki öncüleri 1750'lerde ünlü 28 ciltlik Ansiklopedi'yi yazan ve "Ansikpolediciler" diye anılan bir grup aydındır. Bunlar arasında D'Alembert (1717 1783) matematiğe katkıla rıyla da ünlüdür. D'Alembert 1743 te katı cisim dinami ğini statik'e dönüştüren ve "D'Alembert ilkesi" diye bili nen yöntemi yayınladı. Titreşen tellerle ilgili çözümle meleri, ona Daniel Bemoulli ile birlikte, "tikel türevsel (kısmi diferansiyel) denklemlerin babası" sanını kazan dırdı. Dalga denklemi adıyla bildiğimiz Z t t k2 Z x x = 0 denkleminin D'Alembert çözümü diye anılan Z(x,t) = f(x + kt) + g(x kt) çözümünü o vermiştir. Bilindiği gi bi bu çözüm sola ve sağa doğru eşit hızla yayılan iki dal ganın toplamıdır. Cebirin temel teoremi diye bilinen teo reme de kimi zaman D'Alembert teoremi denir, çünkü 1746'da D'Alembert bu teoremin ispatı için çalışmıştı (Teoremin ispatı 1799'da Gauss tarafından verildi).

Protestan olduğu için Fransa'dan İngiltere'ye göçen A.de Moivre'ı (1667 1754) biz daha çok (cos y + 1 sin <p)n = c o s "^ + ' 's n "V formülüyle tanırız. Olası lıklar kuramında koşullu olasılık ve istatistiksel bağım sızlık kavramlarını de Moivre getirmiştir. Olasılık kura mı konusunda Buffon'u da analım. Aslında bir biyolog olan Buffon 1777'de ünlü Buffon iğnesi deneyini açıkla

di. " sayısının "deneysel" olarak elde edilebilmesi, o/a man için, gerçekten de önemli sonuçlar doğurdu. Buf fon iğnesi deneyini kısaca anımsatalım: Yatay bir düzlem üzerine birbirine paralel A aralıklı birçok çizgi çizilmiş olsun. Boyu 2A olan bir çubuk (iğne) yukardan düzle min üzerine rasgele bırakılıyor. Çubuğun bir çizgi üzeri ne düşmesi ( çizgiyi kesmesi) olasılığının 1/TT olduğu gösterilebilir. Böylece çubuk düşürme deneyini birçok kez yineleyerek TT sayısının yaklaşık değerini bulmak ola naklıdır.

İngiltere'de (Leibniz yerine) Nevvton gösterilimine bağlı kalınması bu ülkede matematiğin uzun yıllar duraklama sına yol açtı. Bu dönemde adını anabileceğimiz matema tikçiler arasında Newton'un öğrencisi İskoçyalı C. Mac laurin'l (1698 1746) adını taşıyan seri açınımından bili riz. Oysa bu seri Maclaurin'in 1742'de açıklamasından 27 yıl önce İngiliz matematikçisi B.Taylor (1685 1731) tarafından bulunmuştu. Taylor, bugün kendi adıyla anı lan

f(x + h) = f(x) + h f (x) + (h2/2!) f ( x ) 4 ...

seri açınımını vermekle kalmamış, bu açınımı x = 0

için de kullanmıştı (ki x = 0 için açınım bugün Maçla

urin açınımı diye bilinir) Bu seriyi Euler daha sonra tii

revsel (diferansiyel) denklemlerin çözümünde kullandı.

Lagrange da kalan terimli biçimini verdi. Taylor, ayrıca,

sonlu farklar hesabının kurucusu olarak bilinir. Büyük sa

yıların faktöryellerini bulmak zorunda kalanlarımız Stir

ling'in adını bilirler. Nevvton'un arkadaşı olan İskoç ma

tematikçisi J.Stirling (1692 1770) 1730'da Stirlin seri

lerini ve

n! ^^/îim (n/e)n

yaklaşık eşitliğini vermiştir.

5. ONDOKUZUNCU YÜZYIL

Fransız Devrimi yeni bir sosyal sınıfın egemenliğini ge tirdi. Endüstri devrimi teknolojinin hızla ilerlemesine yol açtı. Gelişen teknolojiyle birlikte matematiğin de hızla ilerlediğini görüyoruz. Bununla birlikte matematik.çeşit li etkenlerden ötürü endüstri devriminin kafbi sayılan İn giltere'de değil de Fransa ve Almanya'da daha hızlı geliş t i . Artık 19uncu yüzyılda matematikçiler kral sarayların da, aristokrat malikanelerinde değil üniversite ve okullar da çalışmaya başladılar, araştırmacılık yanında hem de öğretmen oldular. Tüm Avrupa'da "bilim dili" olarak kullanılan Latince yerini ulusal dillere bıraktı. Matemati ğin gittikçe gelişmesi ve genişlemesi matematiğin ancak belirli dallarında uzmanlaşabilen bilim adamlarının orta ya çıkmasına yol açtı. Ancak Gauss ya da Poincare'gibi çok büyük matematikçiler matematiğin her dalına ege men olabildiler.

Şekil 3. Pierre Simon Laplace (1749 1827)

Bir İtalyan Fransız ailesinden gelen J.L.Lagrange (1736 1813) Torino, Berlin ve devrimden sonra Paris'te bulun du. Değişimler hesabı ve mekanik alanlarında ünlüdür. Kısıtlı fonksiyonların enbüyük, enküçük değerlerinin bu lunmasında kullandığımız Lagrange çarpanı yöntemi, fonksiyonların ara değerlerinin bulunmasında kullandı ğımız Lagrange arabulum (interpolasyon) yöntemi onun adıyla andığımız yöntemler. Lagrange Devrim'den sonra ölçü birimlerinin saptanması için kurulan komisyon'un başkanıydı. Komisyonda kimi kişilerin 12'li dizgeyi sa vunması üzerine "11'li dizgenin üstünlükleri "hakkında bir rapor yazdı (11 sayısı asal olduğundan gerçekten de 10 ve 12'ye göre üstün yanları vardır). Bu rapordaki alay lı üslup muhalifleri susturdu ve bugünkü 10'lu "metrik dizge" kabul edilebildi.

P.S.Laplace (1749 1827) en çok "Gök Mekaniği"adlı eseri ile tanınır. Biz onu, daha çok, adını taşıyan türevsel denklemden ve "Laplace dönüşümü"nden ötürü tanırız. Elektrik yük yoğunluğunun sıfır olduğu bir bölgede elektrostatik potansiyel, <p,

3x2

3y2

aı_ = 0 2

denklemini sağlar. Bu denkleme, bildiğimiz gibi, Laplace denklemi adı verilir. Sol yandaki deyim, Laplace işleci (operatörü) dediğimiz V2 işleci ile yazılırsa, denklem,

= 0 biçimini alır. Laplace denklemi magnetik ve çe

kimscl potansiyellerin hesaplanmasında; tst ve hidrodina mikte de kullanılır. Genellikle elektrik devrelerinin çözü münde kullandığımız Laplace dönüşümü ise değişmez katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerin (dolayısıyla elektrik devrelerinin) ya da sınır değeri problemlerinin çözümünde kullanılan

L l f ( t ) F(P)

ptf(t)dt

di. Gauss yer magnetizması ve elektrik potansiyel kuramı üzerinde önemli eserler verdi. VVeber'le birlikte elektro magnetik alanların genel kuramını bulmak için uğraştı ama bunu başaramadı (Bu kuram, bildiğimiz gibi, 1873' te Maxwell tarafından bulunacaktır). Hepimiz kapalı bir S yüzeyi içinde (dışında) u.r q elektrik yükü varsa, elek

dönüşümüdür. Laplace bunlardan başka olasılıklar kura mıyla da uğraşmıştır. Napolyon tarafından önce İçişleri Bakanı, sonra senatör, daha sonra marki yapılan Laplace, başka matematikçilerin(özellikle Lagrange ve Legendre' in birçok bulgusunu sessizce kendisine maletmesiyle de ünlüdür.

CF Gauss (1777 1855) bir bahçıvanın oğludur. Çok yoksul bir yaşam içinde geçti çocukluğu. Üç yaşında okuma yazma ve saymayı biliyor ve babasının hesapla rındaki yanlışları buluyordu. Olağanüstü yeteneği farke dilen Gauss,Brunswick Dükünün yardımıyla okudu. Ünlü "en küçük kareler yöntemi"ni 18 yaşında buldu. 22 ya şında cebirin temel teoremi denen teoremin ispatını ver diği teziyle doktora derecesi aldı. Cebirin temel teoremi ("Her gerçel katsayılı cebirsel denklemin en az bir kökü vardır") yüzyıllardan beri ispat edilemiyordu. Karmaşık (kompleks) sayıların bir düzlemin noktaları olarak göste rilmesi, hipergeometrik seriler, karmaşık analitik işlev ler, konform eşleme (konform tasvir), eşdeğerlik (kongrüans) kavramı ve hesabı onun matematiğe pek çok katkılarından yalnızca bir kaç tanesidir. xn = 1 denkle minin çözömü(yani dairenin eşit bölünmesijüzerinde ça lışırken şu ilginç sonucu buldu: Daire, ancak,

N = 2 m . P . P, P n biçiminde yazılabilen N sayılarına bölünebilir (yani cet vel ve pergelle yalnızca bu N gen'ler çizilebilir). Burada P j , P2 Pn ler Fermat asal sayıları denen ve biçiminde yazılabilen birbirinden farklı asal sayılardır. (Örneğin, 30'a kadar sayılar içinde yalnızca şu çokgenler çizilebilir: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30)

Bu buluşundan ötürü Gauss'un mezartaşının üzerinde bu gün bir düzgün onyedigen çizilidir.

Gauss 1807'den ölümüne kadar 48 yıl Göttingen'de pro fesörlük yaptı. Bugün Göttingen'de, onu arkadaşı Weber' le birlikte elektrikli telgrafı icat ederken gösteren bir anıt vardır. Gauss telgrafı 1833'te icat etmiştir. VVeber'le ev leri arasına çektikleri telgraf hattı yoluyla haberleşirler

ELEKTRIK MÜHENDİSLİĞİ 259 260

Şekli 4. CF. Gauss (1777 1855)

trik alanının normal bileşeninin S yüzeyi üstündeki tüm lerinin 4 n q'ye (sıfıra) eşit olduğunu belirleyen Gauss elektrostatik yasasını biliriz. Coulomb yasasından elde edilen Gauss yasası, Maxwell'in 4 üncü denklemini de bi ze verir. Gauss teoremi diye bilinen ve bir vektör işlevi nin normal bileşeninin bir S yüzeyi üzerindeki tümlevi nin aynı işlevin diverjansının bu yüzeyin sınırladığı ha cim içindeki hacim tümlerine eşit olduğunu belirleyen teorem de vektör hesabının (dolayısıyla elektromagnetiz ma kavramının) önemli bir teoremidir. Gauss'un elektrik kuramı üstündeki çalışmaları göz önü ne alınarak magne tik endüksiyon birimine gauss adı verilmiştir, magnetik akı birimi olarak da Weber alınmıştır (1 Weber/m2 = 1 0 4 gauss). Ayrıca elektrik kuramında tüm bir birimler dizgesi Gauss Birimler Dizgesi adını alır. Doğrusal denk lem takımlarının çözümünde kullandığımız Gauss yoket me yöntemi, tümlevlerin değerlerinin sayısal olarak bu lunmasında kullandığımız Gauss Ijimlev formülleri de Ga uss'un matematiğe sayısız katkıları arasındadır. Sekizinci gezegencik (planetoid) Ceres'in yörüngesini ilk kez hesap eden matematikçi olmasından ötürü de 1001 'inci geze genciğe Gaussia adı verilmiştir.

Laplace denkleminin silindirik koordinatlarda çözümün de karşımıza Bessel denklemi çıkar. Bu denklemin çö zümü bildiğimiz gibi Bessel işlevleri adını taşır. Elektrik mühendisliğinde pek çok kullanılan Bessel işlevlerini ilk kez ünlü Alman astronomu F. W. Bessel (1784 1846) kar şılıklı birbirlerinin çekim alanında bulunan üç cisim probleminin çözümü için bulmuştu, sonra daha geliştire

tek 1824te gezegen hareketlerindeki ufak sapmaların he sabındj kullandı. 1840 yılında Uranüs gezegeninin yörün gesindeki çok küçük düzensizliklerin bir başka gezegen den ötürü olduğunu öngördü. Gerçekten de Neptün geze geni 1846 yılında keşfedildi. Bessel işlevlerinin üçüncü türüne adını veren H. Hankel (1839 1873) de bir Alman matematikçisidir.

Fransız Devrimi ve Napolyon döneminin birçok Fransız matematikçisi askeri okullardan yetişmedir ya da bu okullarda profesörlük yapmışlardır. Bunlar arasında Lagrange, L.aplace, Legendre ve Monge'u sayabiliriz. G. Monge (1746 1818) tasarı geometri'yi (deseriptive geometry) bulan matematikçidir. Tasarılgeometri, bildi ğimiz gibi, modern teknik resmi olanaklı kılmış ve tüm mühendislik dallarında bir devrim yaratmıştır. 1779'da keşfedilen tasarı geometri hükümetin kararıyla tam 15 yıl askeri sır olarak saklandı. Devrim sırasında bahriye bakanı olan Monge, karışık dönemde evinin kapıcısı olan bir muhbir vatandaşça ihbar edildi, kaçtı. Monge, sonra dan Napolyon'un en yakın dostlarından biri olacaktır. Napolyon'un İtalya'daki sanat eserlerini savaş ganimeti adı altında yağmalaması sırasında bu eserlerin seçiminde yetkili kılındı. Napolyon'un Mısır'a götürdüğü "Kültür Ordusu"na alındı. Bu "ordu"da bir başka ünlü matema tikçiyi, J Fourier'i de görüyoruz. Fourier (1768 1830) Devrim günlerinde devrimi candan destekledi, giyotinden kıl payıyla kurtuldu. Napolyon döneminde İşere valisi ve baron oldu. Fourier ünlü "Isının Çözümsel Kuramı'adlı eserini 1822'de yazdı. Isı iletiminin, yani ut = k [ u x x + u y y j denkleminin incelenmesi ve bir boyutlu uzayda çö zülmesi için, işlevlerin

y = 1 /2 a0 + Uı Cos x + bx Sin x)

cos 2x

sin 2x)

biçiminde harmonik seriye açılımını getirdi. Yalnız ısıda değil, seste, ışıkta, elektrikte hep kullanageldiğimiz bu serilere bugün 'Fourier serileri" adını veriyoruz, biliyo ruz ki, her dönemli işlev (periyodik fonksiyon) ne kadar karmaşık olursa olsun, sinüs ve kosinüs serilerine açılabi lir. Fourier bu serilerden Fourier tümlevine (integaline) geçti. Fourier'nin bir başka çağdaşı S. Poisson (1781 1840) adını biz Poisson denklemi'nden ötürü biliriz. Poisson, V20 = 0 biçimindeki Laplace denkleminin an cak yük yoğunluğu bulunmayan uzayda geçerli olduğu nu gördü. Eğer bir p yük yoğunluğu varsa, bugün bili yoruz ki, potansiyel V 2 0 = 4 TT p denklemini sağ lar, bu da Poisson denklemidir. Lagrange, Monge, Fouri er ve Poisson Paris'te Ecole Polytechnique'te hoca idiler. Aynı okuldaki bir başka matematikçi A. Cauchy'dir. Cauchy (1789 1857) kullandığımız yüksek matematiği hemen hemen bugünkü biçimiyle formüle etti. Limit ve türev kavramları, sonsuz serilerin yakınsadığı Cauchy ta

rafından açıklık ve kesinliğe kavuşturuldu. Karmaşık de ğişkenli işlevler alanında pek çok katkısı vardır. Artıklı (rezidülü) tümlev teoremi, Cauchy Riemann koşulları en iyi bildiklerimizdendir, kombinatorik çözümlemede de pek çok katkısı vardır. Bağnaz derecede dindar olan Cauchy tüm yaşamı boyunca (dostu Balzac gibi) kralcı oldu. Napolyon'un yenilgisinden sonra Fransız Bilimler Akademisi yeniden kurulmak üzere feshedildiğinde Mon ge'un Akademi'den çıkartılarak yerinin Cauchy'ye veril mesi bilim çevrelerinde yansımalar yaratmıştı. Fikir ola rak ilk kez Leibniz'in ortaya attığı, İsviçreli matematikçi G. Cramer (1704 1752) in geliştirdiği determinant kav ramına ilk kez bu adı veren de Cauchy olmuştur.

Elektrik ve magnetizmanın matematik kuramının kurul masının öncülerinden biri de G.Green'dir. Bir değir mencinin oğlu olan, kendisi de fırıncı olan Green (1793 1841) hiç eğitimi olmaksızın kendi kendini yetiştirmiş az rastlanır matematikçilerden biridir. Elektrik alanında ki tüm matematiksel çabaları izlemiş, Poisson'un bulgu larını genelleyen "Matematik Çözümlemenin Elektrik ve Magnetizma Kuramlarına Uygulanması Üzerine Deneme' adlı makalesini 1828'de yayımlamıştı. Bu makalede geti rilen ve bugün onun adıyla andığımız Green karşılılık teoremi; ayrıca Green teoremi ve Green işlevleri elektrik potansiyelinin hesaplanmasında en önemli araçlardır. İl ginçtir ki Green 40 yaşında Cambirdge üniversitesine ya zılmış ve matematik bölümünü dördüncü olarak bitirmiş ti.

Fransız matematikçi ve fizikçisi A.M.Ampere de çocuk lukta büyük matematik yeteneği gösteren bilim adamla rındandır. Ampere (1775 1836) oniki yaşındayken yük sek matematiğe tümüyle egemendi. Onsekiz yaşındayken babası giyotinle idam edilen Ampere'i 1809'da Paris'te matematik profesörü olarak görüyoruz. 1820 yılında Da nimarkalı fizikçi Oersted, içinden elektrik geçen bir telin pusula ibresini saptırdığını buldu. Oerstedin buluşunun açıklanmasıyla yoğun bir çalışmaya giren Ampere, bir hafta içinde "Ampere adamı" ya da "sağ el baş parmak" kuralı olarak bildiğimiz kuralı buldu. Daha sonra içinden akım geçen iki telin birbirine etkilerini inceleyen Ampe re sarılmış bir telin, içinden akım geçmekle mıknatıs gi bi etki yaptığını gösterdi. Ampere böyle bir sargıya "so lenoid" adını verdi. "Elektrodinamik" ve "elektrostatik" terimleri de onundur. Tikel türevsel (kısmi diferansiyel) denklemlerin çözümleri üzerinde de katkıları olan Ampe re'in adı İ883'de Lord Kelvin'in önerisiyle akım şiddeti birimi olarak kullanılmaya başlandı.

Koordinatları zamana göre sinüs biçiminde değişen eğri leri ilk kez 1815 de ABD'den N.Boıuditch (1773 1838) ve 1857'de Fransız J.A.Lissajous (1822 1880) inceledi ler. Bugün osiloskop ekranlarında hemen hergün karşı mızda olan "Lissajous eğrileri"ni Lissajous, altındaki bir

2 72

Sekil 5. J.C. Maxwell (1831 1879)

delikten ince kum tanecikleri akıtan bir bileşik sarkaç yardımıyla elde etmiş ve incelemişti.

İrlanda'lı bir dava vekilinin oğlu olan W.R. Hamilton (1805 1865) hiç okula gitmeden kendi kendine mate matik öğrendi. İngiltere'de matematiğin gelişmesini du raklatan "Nevvton matematiği"ni değil de, "Avrupa ma tematiği"ni öğrenmiş olması belki de bu yüzdendir. Ha milton 17 yaşındayken Laplace'ın "Gök Mekaniği" ki tabında bir yanlış buldu, yaşamında okula ilk kez 18 ya şında gitti: Trinity Üniversitesinin matematik bölümüne. Bu sırada eşine rastlanmayan bir olayla karşılaşıyoruz: Hamilton henüz okuldan mezun olmadan aynı okula pro fesör olarak atandı. Hamilton'un 1843'e kadarki çalış maları dinamik konusundadır. 1843'e kendisinin"quater nion" (= dörtlü) adını verdiği cebirsel yapıyı buldu. Bu yapının en önemli bölümü vektörlerdir, ("vektör" terimi de Hamilton'undur). Hamilton'dan sonra Gibbs ve Heavi side'ın katkılarıyla geliştirilen ve bugünkü biçimini alan vektör analizi matematiğin çok önemli bir dalı oldu.

sonra 1873'te yayımladı. Büyük bilim adamı M. Faraday' m ünlü deneylerinin üstünden 20 30 yıl geçmişti. Ciltçi çıraklığından gelme olduğundan, en ufak matematik bil gisi olmayan Faraday'ın bulgularının matematik yoldan açıklanması Maxwell'e düştü. Maxweirin bildiğimiz 4 denklemi bugün her elektromagnetizma kitabınının ilk sayfalarında yer alır. Maxwell'in bu konuda çok önemli katkısı Ampere yasasında kendisinin "yer değiştirme akı mı" adını verdiği terimi eklemesi olmuştur. Bu terim ol maksızın elektromagnetik dalgalar da var olamazdı. Max vvell'in,ışığın da bir elektromagnetik dalga olduğunu ve her sıklıkta elektromagnetik dalgaların üretilebileceğini, bunların hızının ışık hızına eşit olacağını kuramsal olarak belirlemesi bu alanda çok yoğun araştırmalara yol açtı. H. Hertz'in 1888'de ilk kez elde etmeyi başardığı elektromagnetik dalgaları 48 yaşında kanserden ölen Maxwell ne yazık ki göremedi. Aradan geçen 100 yıldan fazla zamana ve bu arada klasik mekaniğin Einstein tara fmdan tümden yıkılmış olmasına karşın Maxwell denk lemleri aynen ilk yayınlandığı günkü gibi geçerliğini sür dürmektedir.

Rus matematikçisi P.L. Çebişef (1821 1894) matemati ğin çeşitli alanlarında çalışmış bir bilgindir. Çebişef in matematiğe en büyük katkısı "Bir x sayısından daha kü çük olan asal sayıların sayısı .asimtotik olarak x/lnx e eşittir" teoremini ispatlamasıdır. Böylece öklid'den beri ilk kez asal sayıların sayısı hakkında bir teorem ispatlana bilmiştir. Biz Çebişef in adını daha çok olasılıklar kura mındaki Çebişef eşitsizliğiyle, kutupları bir elips üzerine dizilmiş süzgeçlere verilen genel ad olan "Çebişef Süz geçleri" teriminden, Çebişef çokterimlilerinden ve onun minimaks özelliğinden biliriz. Belirli xj, i = 1, 2, 3,... noktalarında y(\\) değerleriyle verilmiş bir işleve yakla şık bir p(x) çokterimlisi bulmak için en çok kullanılan yöntem.Gauss'un en küçük kareler yöntemidir. Bu yön temde, [y(xj) p(xj)] değerlerinin (yani hataların) ka relerinin bütün i'ler için toplamını enküçük yapacak bi çimde p(x) bulunur. Oysa minimaks yönteminde, bu ha talardan en büyüğünü en küçük yapacak biçimde p(x) saptanır. Bunun için çebişef çokterimlileri denen ve

Bir başka önemli matematik araç hemen aynı yıllarda İn giltere'de A. Cayley (1821 1895) tarafından bulundu: Matris'ler. Cayley 14 yıl avukatlık yapmış ve bu sırada sürekli matematikle uğraşmıştı. Daha sonra Cambridge' de matematik profesörü olmuş ve bu görevde 30 yıl kal mıştır. Cayley matris cebri dışında doğrusal dönüşümler (ki matrislere buradan varmıştır), öklid dışı geometri ler, n boyutlu geometri ve daha pek çok konuyla uğraş mıştır. 900'den fazla makale yazmış olan Cayley'in top lu eserleri 600'er sayfalık 14 cilt tutmaktadır.

J.C. Maxwell (1831 1879) İskoçyalıdır. Elektromagnetik alanların matematik kuramını yıllar süren bir çalışmadan

ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 2.59 • 260

Tn(x) = Cos(n arccos x), n = 0 , 1 , 2 , 3,...

bağıntısıyla elde edilen çokterimüler kullanılır. Çebişef süzgeçleri de transfer işlevlerinde istenenden en büyük sapmanın en küçük (belirli bir değerden az) olması özel liğine sahiptir.

6. MANTIKTAN BİLGİSAYARA

Simgesel mantığın, bir başka deyişle Boole Cebri'nin ku rucusu G. Boole (1815 1864) bir ayakkabıcının oğluy du. Ancak birkaç yıl okula gidebildi, kendi kendini

yetiştirdi. Ailesine yardım için 16 yaşından itibaren köy okullarında ders vermeye başladı. Bir yandan da New ton, Laplace, Lagrange gibi matematikçilerin kitaplarını okuyordu. 1847'de "Mantığın Matematik Çözümlenme si" adlı kitapçığı yayınladı. Aynı yıl "Biçimsel Mantık" adlı yapıtını yayınlamış olan matematikçi ve mantıkçı A.De Morgan (1806 1874) Boole'ün kitabını övdü.Bu kitabı (ve daha önce yayınladığı makaleleri) ile, hemen hiç okul eğitimi olmadığı halde, Boole 1849'da Cork'da (İrlanda) profesör oldu. Boole, kendi adını taşıyan ceb ri içeren önemli yapıtını 1854'te yayınladı: "Düşüncenin Yasalarının incelenmesi". Böylece 200 yıl önce Leibniz' in öngördüğü düş gerçekleşmiş oluyordu. Boole cebri matematikte çok önemli bir dal oluşturdu. İngiliz man tıkçıları De Morgan ((ab)' = a'+b' biçiminde yazabile ceğimiz De Morgan yasasının bulucusu) ve J. Venn (1834 1923 , Boole işlevlerinin değerlerini göstermek için kullandığımız Venn çizgeleri), Amerikalı E.V. Hun tington (1874 1952, Boole cebrini bir küme temel pos tülalardan, "Huntington Postülalarf'ndan başlayarak ye niden formüle eden matematikçi), mantıkçı filozoflar C.S.Peirce (1839 1914, ya da değil (NOR) işleci onun adıyla, "Peirce işleci" olarak adlandırılır, ayrıca felsefe de pragmatizmin kurucusu) ve W.V.0.Quine (1908 ) Boole cebrinde gelişmeler sağladılar. Bu alanda önemli bir adım, ünlü ingiliz matematikçileri Bertrand RüsseII (1872 1970) ve A.N. Whitehead (1861 1947)'in 1910 1913'te yayınladıkları Principia Mathematica oldu. 1938 de C.E.Shannon (1916 ) VE, YADA Boole işleçlerinin elektrik rölelerinin değimlerini seri ve paralel bağlamak la elde edilebileceğini gösterdi (Shannon, ayrıca, enfor masyon kuramının da kurucularındandır). Bundan sonra Boole cebri mantık devrelerinin ve giderek bilgisayarla rın tasarımlanmasında temel araçlardan biri oldu.

Polonya'da oluşan ve adına Varşova mantık okulu denen topluluğun konuya önemli katkıları oldu. S.Lesnieıuski (1886 1939) bu okulun kurucusudur. J. Lukasieıvicz (1878 1956) Viyana'da ünlü mantıkçı G.Frege'nm öğrencisiydi. 1915'te Varşova'da profesör oldu. Bugün "Polonya gösterilimi (Polish notation)" diye bilinen gös terilim Lukasiewicz'indir (kimi Amerikalı yazarlar Luka siewicz'in adı uzun ve yazması da zor olduğu için göste rilime kısaca "Polonya" dediklerini yazarlar!). Polonya gösteriliminde deyimlerdeki her işleç etkilediği öğelerin hemen ardına (sağına) yazılır. Böylece hiç parantez kul lanılmadan ve karışıklığa yol açılmadan deyim yazılmış olur. örneğin gündelik yazımda (a + b).c olarak göster diğimiz deyim ab+c. olarak; a+b . (c+d) . (e+f) deyi mi de abcd + . ef + . + olarak yazılır. Bilgisayarda prog ramın derlenmesi sırasında deyimlerin önce Polonya bi çimine sokulması gerekir. Varşova Okulundan yetişen ünlü mantıkçılardan biri devi. Tarski'dv (1902 ). Bilgi sayar kuramının temellerini daha 1933'te atan İngiliz matematikçisi A M . Turingl (1912 1954) ve Macar Ame

rikalı J. Von Neumann'ı (1903 1957) da analım. Neu mann'ın katkılarına örnek olarak bellekte saklanan prog ram kavramını, bozulabilir öğelerle "güvenilir"(bozul maz) devreler tasarımını, bilgisayarla rasgele sayılar üre timini, kendi benzerini üreten makinalar kuramını, bugün çeşitli uygulamalarda çok önemli bir yer tutan doğrusal programlama'yı ve oyunlar kuramı'nı sayabiliriz. Neu mann 1954'te Mc Carthy döneminin ünlü Oppenheimer davasında Oppenheimer lehine tanıklık yapan bilim adamlarından biridir.

7. YİRMİNCİ YÜZYIL

A.A. Markof (1856 1922) modern rasgele süreçler kura mının temellerini atan Rus matematikçisidir. 1881 'de Petersburg'da matematik profesörü olan Markof 1900' den sonraki tüm çalışmalarını olasılıklar kuramına ayır dı. Merkezi limit teoremi'nin ("büyük sayıda bağımsız rasgele değişkenlerin toplamı asimtotik olarak Gauss dağılımına gider") ispatını Markof vermiştir. Markof un asıl ünü birbirine belli biçimde bağımlı rasgele değişken leri inceleyerek ortaya çıkardığı Markof zincirleri ve Markof süreçleridir. Markof zincirleri bugün mühendis liğin, biyoloji ve sosyal bilimlerin pek çok dalında çok önemli bir araç olarak kullanılmaktadır. Markof un oğ lu A. A. Markof da özellikle 1951'de yayınladığı Algo ritmalar Kuramı adlı yapıtıyla ünlüdür. Markof, algorit maların ilk tam kuramını kurmuş matematikçi sayılmak tadır.

İngiliz bilgini O. Heaviside (1850 1925) yaşama telgraf çı olarak atıldı, ama bir telgrafçı için büyük bir talihsiz lik olarak kulakları sağır oldu. Bunun üzerine kendisini elektriksel olayların incelenmesine verdi, özellikle iki bulgusundan dolayı ün kazanmıştır. Heaviside 1902'de atmosferin üst katmanlarında radyo dalgalarını yansıtan bir iletken katman olduğunu öngördü. Aynı yıl böyle bir katmanın varlığı Amerikalı bilgin A.E. Kennelly (1861 1939) tarafından da öngörüldüğü için, bugün bu katman "Heaviside Kennelly Katmanı" olarak anılıyor. Heavisi de'ın ikinci önemli katkısı elektrik devrelerinin zaman bölgesinde çözümlenmesi için yeni bir yöntem uygula masıdır. Operasyonel hesap gerçi Leibniz'ten beri bilini yordu, özellikle Cauchy 1821'de bu hesabı kullanmıştı. Heaviside bu hesabı elektrik deyrelerine uyguladı. Bu nedenle bu yönteme "Heaviside Operasyonel Hesabı" diyoruz. Günümüzde Heaviside yöntemi yerini (yakından ilişkili olduğu) Laplace ve Fourier yöntemlerine bırak mıştır. Heaviside, devrelerin incelenmesinde, t < 0 için değeri 0 olan, t > 0 için ise değeri 1 olan "Heaviside ba samak işlevi" ya da kısaca "birim basamak işlevi"ni kul lanmıştı ilk kez. Bu işlevin "türevi" olan ve kısaca delta işlevi denen işlevi ise ilk kez İngiliz Fizikçisi P.A.M. Dirac (1902 ) kullandı. (Dirac'ın asıl ünü positron'un

varlığını öngöımesindendir). Bu işlev, 5 (x), şöyle tanım Lınıyorclu:

t / 0 için fi (x) = 0 t 0 için <S (x) + °°

OO

Biz bu işleve genellikle "dürtü" (impulse) deriz. Matema tiksel olarak böyle bir tanım (eğer tanımsa!), sakıncalar la doludur. Bu nedenle burada ayrıntılarına giremiyece ğimiz bir süreçle, 5 (x) i bir işlev (function) olarak değil, dağılım (distribution) olarak tanımlamak gerekmiştir. Genelleştirilmiş işlev kavramının tam ve sağlıklı bir tanı mının verilmesi ve bu tür sorunların kökten çözülmesi 1947'de Fransız matematikçisi L.Schıvartz tarafından gerçekleştirilmiştir. Schwartz, Fransa'nın Cezayir'deki sömürü savaşına karşı çıkan solcu aydınlardan biriydi. Bu nedenle de hükümet onun Paris'teki profesörlük göre vine son vermiştir.

Adi diferansiyel denklem takımlarının kararlılık koşulla rını inceleyen Rus matematikçisi A.M.Lyapunof 1900 yılında "dolaylı" ve "doğrudan" olmak üzere iki yöntem geliştirdi. Kendi adıyla anılan bu yöntemlerden özellikle doğrudan Lyapunof yöntemi, denklem takımının çözü münün önceden bilinmesini gerektirmemesi yönünden daha çok kullanılmaktadır. Özerk (otonom) ya da özerk olmayan; doğrusal ya da doğrusal olmayan denetim diz gelerinin kararlılığının saptanması için Lyapunof yön temleri bugün elektrik mühendisliğinde kullanılan temel matematik araçlarından biridir.

Wiener ve Kolmogorof için "ülkelerinin yetiştirdiği en büyük matematikçiler" sıfatı kullanılmıştır. N. Wiener (1894 1964) bir göçmen ailesinin çocuğu olarak 1894'te doğdu. Slav dilleri profesörü plan babası oğlunun eğiti miyle kendisi uğraştı. VViener 12 yaşında üniversiteye başladı, 18 yaşında matematik doktorasını aldı, bundan sonra B. Russel'ın ve ünlü Alman matematikçisi D. Hil bert'in yanında çalıştı. VViener'i 1919'da Boston'da Mas sachusetts Teknoloji Enstitüsünde matematik hocası ola rak görüyoruz. Rasgele süreçler, özellikle Brovvn hareke t i ; ayrıca harmonik çözümleme, özellikle karmaşık böl gede (complex domain) Fourier çözümlemesi üzerinde çalıştı. İkinci Dünya Savaşında "ateş denetimi" (hareket halindeki uçaklara nişan alma) problemini inceledi. Bu konudaki çalışmalarının sonucu 1949'da kitap halinde yayınlandı. Durağan zaman serilerinin incelenmesi ve bu serilerde kestirim, VViener ve Kolmogorof'un hemen aynı zamanlarda geliştirdikleri bir yöntemdir. VViener denetim ve iletişim mühendisliğinde kullanılan pek çok yöntem geliştirdi. VViener'in bilim çevrelerinin dışına taşan ünü 1948'de yayınladığı "Sibernetik: İnsanda ve Makinada Denetim ve İletişim" adlı kitaptan ötürüdür. Sibernetik (güdümbilim) sözcüğü Yunancada "dümen tutmak, yön lendirmek"ten gelir. Bu sözcüğü ilk kez Ampere (politika

biliminin bir alt dalı olarak) kullanmıştı, fakat sözcük unutulmuştu. VViener böylece 20 ci yüzyılın bu yeni ve önemli biliminin isim babası oldu.

A.N. Kolmogorof 1903 yılında doğdu. Daha üniversite de öğrenciyken bir kümenin Borel kümesi olabilmesi için gerek ve yeter koşullan veren teoremin ispatını verdi, ayrıca Fourier serilerinin yakınsama problemini çözdü. Kolmogorof'un en önemli katkısı olasılıklar kuramını ak siomsal olarak yeniden kurmuş olmasıdır. Daha önceleri olasılık kuramı "istenen sonuçlar sayısının tüm (eşit de recede olası) sonuçlar sayısına oranı" kavramına dayanı yordu. 1929'da Kolmogorof'un aksiyomsal [ölçüm (= measure) kavramına dayalı] kuramı bu konuda kargaşa lığa son verdi. Kolmogorof 1931 'de Moskova Devlet Üni versitesinde profesör oldu. Markof süreçlerinin çözümün de kullanılan Kolmogorof denklemleri Brovvn hareketi nin de genel çözümüne yol açtı. Durağan süreçlerin in celenmesi ve kestirim problemlerini inceledi (1939). İkinci Dünya Savaşı sırasında "ateş denetimi" problemi üzerinde çalıştı. Bu çalışmaların (ve VViener'inkilerin) so nucu olarak güdümlü roketler, radar denetimli uçaklar, bilgisayar denetimli füzeler, meteorolojik kestirimler, beyin dalgalarının incelenmesi gibi konuların matematik temelleri atılmış oluyordu. Kolmogorof aynı zamanda yoğun bir biçimde eğitim, özellikle matematik eğitimi üzerinde çalıştı. Matematik Eğitimi Komisyonunun baş kanı olarak SSCB de orta ve yüksek eğitimde matematik öğretimini yeniden düzenledi, sayısız ders kitabı yazdı.

KAYNAKLAR

Bu yazı aşağıdaki kaynaklardan derlenmiştir:

1. Struik, D.J., A Concise History of Mathematics, Do ver, 1967, Nevv York.

2. Asimov, I., Biographical Encyclopedia of Science and Technology, Pan, 1975, Londra.

3. Bell, E.T. (çev: İnönü, Akova, İsmen, Demirgüç), Bü yük Matematikçiler, M.E.B., 1945, Ankara.

4. Encyclopedia Britannica, 15. basım, 1974, Chicago.

5. Smith, D.E., A Source Book of Mathematics, cilt 1, Dover, 1959, Nevv York.

6. Greene, J.E. (ed), 100 Great Scientists, Washington Square, 1964, Nevv York.

7. Pekelis, V., Cybernetics A to Z, Mir, 1974, Moskova.

8. Taneri, K.Z., Türk Matematikçileri, 1958, İstanbul.