MATEMANTIK

Değerli Matemantıkçılar,

Önceki sayılarımızda Matemantık köşemizde bazı yenilikler yapmayı düşündüğümüzü duyurmuş ve geçen sayımızda da Sayın Necah BUYUKDURA'nın hazırladığı Matemantık Sohbet köşemizi başlatmıştık. Bu sayımızdan başlayarak, bugüne kadar sürekli olarak iki adet hazırladığımız sorularımızın miktarını artırıyoruz. Sizlerin ilgisi ve katkısıyla önümüzdeki sayılarda daha bol ve çeşitli sorular sunmayı planlamaktayız.

Mektuplarınıza gelince: Sn. Veli YALIN (Konya) 383 384. sayıda düzeltmesini yayınladığımız 45. sorudaki 3. sözmetiğe, ayrıca 49. sorunun (a) şıkkına ve 50. sorumuza doğru çözüm göndermiş. Benzer şekilde Sn. Abdülkadir Tozlu (İstanbul) 45. sorumuzun 3. sözmetiğine, 49. sorunun (a) şıkkına ve 50. sorumuza doğru çözüm göndermişler. Yalnız Sn. A. TOZLU, 50. sorudaki 'benim numaramın yarısı Oç basamaklı bir asal sayı olmuş oluyor" ifadesindeki "üç basamaklı" nitelemesini dikkate almadan iki ayrı çözüm göndermiş, Doğru çözüm gönderen Matemantıkçılara teşekkür ediyoruz. Bunların dışında Sn. Bilal AYDURAN'ın (Ankara) 50. sorumuz için gönderdiği yanıt önerisine de teşekkür ederiz. EMO'nun şu andaki en kıdemli üyesi, 4 sicil numaralı Sayın Tahsin ARMAVın (Ankara) zahmet edip gönderdiği ve 50. soru için çözüm önerisini de içeren mektubu elimize ulaştı. Kendisine teşekkür ediyor, yeni mektuplarını bekliyoruz. Geçen sayıdan bu yana bize ulaşan bir başka mektup da kendisi Marmara Üniversitesi İngilizce Ekonomi 1. sınıf öğrencisi olan ancak ablasının meslektaşımız olması nedeniyle köşemizi izleme imkânı bulan Sn. Güzin ATİLÂ'dan (Bozüyük) geldi. 50. sorumuz için göndermiş olduğu çözüm önerisine teşekkür ediyor, yeni sorularımız için çözüm önerilerini bekliyoruz. Unutmadan belirtelim, bu ayki sorularımızdan en az birinin doğru çözümünü bize ulaştıran matemantıkçılar için kitap ödülümüz İletişim Yayınları Cep Üniversitesi serisinden Marcel BOLL'un yazdığı "Matematik Tarihi'l Yaz aylarına girmek üzere olduğumuz bu günlerde herkese matemantık dolu güzel günler diliyoruz.

Hazırlayanlar Necah

BÜY ÜKDURA

M.Serhat ÖZY AR

ALFAMETİK / SÖZMETİK

Türkiye'de yayınlanan kimi der gilerin ve gazete eklerinin "bul maca/bilmece" sayfalarında, TÜRKÇE olarak düzenlenmiş SÖZMETÎK türü bilmeceler, gi derek daha sık görülmeye baş ladı. Bu sevindirici gelişmeye paralel olarak, bunların niteli ğinde de gelişme olduğu gözlen mektedir. Bunlar arasında "çok güzel", "nefis", şahane" denilebilecek nitelikte olanların yanı sıra, "çok kötü", "bulmaca niteliği ol mayan", (ve aslında, yayınlan maması gereken) berbat örnek lere de ara sıra rastlanmakta dır.

ÖRNEKLER (1) PHHYBB = PLHXHAB = LRRPYBHP (kaynak verilmemiş)

(2) ABCDEMÎ + IMEDCBA + SELİ MİYE (Orhan Utkan) (ABCDEMİ, 56 ile bölünebilir.)

(3) SENET + PARA + ÇEK BAN KA (Taner Çelik)

(4) ÇİFT + ÇİFT + TEK = ASAL (Necah Buyukdura)

"ÇİFT' çifttir, "TEK" tektir, "ASAL"da asaldır.

(5) SEKİZ + DOKUZ = ONYEDİ (Halim Kubat) "SEKİZ" 4 ile ve "ONYEDİ" 9 ile bölünür.

(6) ANAP + SHP + DYP = SORUN ise, "SORUN" kaçtır? (Necah Bü yükdura)

(7) BALA + BALA = ÇOCUK (Ha san Uğur) İşlemdeki her terim 14 ile bölünür.

(8) BİLİM + TEKNİK = KALİTE (Necah Buyükdura) l'den 9'a kadar olan rakamlar kullanılmış (9) YEDİ + DÖRT = ONBİR (Halim Kubat) 'YEDİ" 4 ile ve "DÖRT' 7 ile bölünür.

(Bu örneklerin hepsi de, değişik ta

386 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

53 SORU

EMOD İLE SÖZMETİK

Veli YALIN

Yandaki işlemde her harf bir rakamı temsil ettiğine göre EMOD'un simgelediği sayıyı bulunuz.

E MOD E MOD

EMOD

54 SORU

KARE PRİZMA HACMİ

Semlr ÇÎÇEK

55 SORU

GEOMETRİK SÖZMETİK

Necah BÜYÜKDURA

KARE olan tabanın kenarı (a) ve yüksekliği (b) olan bir "KARE PRİZ MA", bir SİLİNDİR ve bir KÜRE içine ayrı ayrı yerleştirildiğinde PRİZ MA'nın tüm köşeleri hem SlLİN DlR'in yüzeyine hem de KÜRE'nin yüzeyine değmektedir. KÜRE ve Sl LİNDİR'in hacimleriyle KÜRE'nin yü zey alanı arasında aşağıdaki bağlan tı olduğuna göre, KARE PRİZMA'nın hacmini bulunuz:

küre alanı (6/5) x küre hacmi (25/9) x silindir hacmi

Sorumuzun (a), (b) ve (c) şıklarında yer alan üç ayrı SÖZMETİK, birbirle rinden bağımsızdır, örneğin, şıkların üçünde de yer alan P'lerin simgeledi ği rakamların aynı olması gerekmi yor. Her SÖZMETİK, ayrı ve diğerle rinden bağımsız olarak ele alınmalı dır.

(a) Küre hacmi formülünü dile geti ren bu SÖZMETİK soruda, eşitliği sağlamak üzere, hangi harfin rakamı simgelediğini bulunuz:

HACİM (3/4) x Pl x R3

HATEHAMTIK S

rihlerde, günlük bir gazetenin haf talık ekinde yayın lanmıştı.)

Sözmetik türü bul macaların iyi olan larında güzel bir şey oluyor çoğu za

man: bir "şıklık", bazen bir "şiirsel lik", ya da bir "zeka pınltısTnın yansıdığı bir nitelik içeriyor. Bunla rın kimisinin çözümü oldukça kolay olduğu halde, kurgusundaki güzel lik onun mutlaka sergilenmesini ve yayınlanmasını gerektirir.

Bu alanda yapıt üretilmesi teşvik edilmelidir, insanlarımızın, kim bi lir ne kadar pırıltılı, ne denli şaha ne buluşları olacağından kuşkum yok... Yeter ki yapıtlarını sergileme, yayınlama olanağının varlığından emin olsunlar.

Bu düşüncelerle ve bu inançla, bu sayımızın SOHBET köşesini bu ko nuya ayırmak istedim.

Bu tür bilmecelerin tarihi binlerce yıl öncesine gidecek kadar eskidir. Aritmetik işlemlerde yer alan ra kamların HARFler ile değiştirilme si yolu ile oluşturulan "BİLMECE" türleri, asırlar öncesi eski ÇlN'de vardı. Yüzyıllar öncesi,.bu türden bilmeceler, "HARP ARİTMETİĞİ" adı ile biliniyordu. Daha sonraları,

bunların (ŞİFRELİ HESAP anla mında), "CRYPTARITHM" adı ile anıldıklarım görüyoruz. Toplama, bölme, v.b. aritmetik işlemlerde yer alan her rakam, belli bir harf ya da bir sembol (işaret) ile değiştirilerek, "ŞİFRE" türü bilmeceler üretilmek teydi (SWNU + TXRW= TXNWY) gibi. Bu tür "HARF ARÎTMETİ Gî"ne dayalı olanların modası geçti, çünkü bu tür bilmecelerin yüzlerce sini bir oturuşta üretmek işten bile değil. Böylesini üretmenin ne sanat sal, ne estetik, ne de uğraş, emek ya da yaratıcılık gerektiren bir yönü var. Tabir caiz ise, bunlar için, "bini bir para" demek çok yerinde olur.

Tanınmış "BULMACACI" J.A.H. HUNTER, 1955 yılında "ALPHA METICS" deyiminin isim babası ol du. Harfli aritmetik türü bilmece lerde kullanılan harfler, anlamlı sözcükler oluşturuyor ise ve bu söz cükler kendi aralarında anlamlı bi çimde ilişkili ise, bu türden olan harfli aritmetik bilmecelere "ALP HAMETIC" denilmeye başlandı. Ki mi çevrelerde KELİME ARİTMETİ Ğİ anlamına gelen WORD ARITH METIC deyimi de kullanılmakta ise de, ALPHAMETIC genel adı hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

Türkçede, bu türden bilmeceler ge nellikle HARFLİ TOPLAMA, HARFLİ BÖLME, HARFLİ İŞLEM olarak nitelenmektedir. SÖZMETİK deyimi ilk kez bu dergide MATE

MANTIK sayfasında kullanıldı.

"JOURNAL OF RECREATIONAL MATHEMATICS" dergisinde "ALP HAMETICS" başlığı altında kap samlı bir bölüm yer alıyor. Çoğu ne fis güzellikte olan örnekleri (Türkçe olmadıktan için), buraya aktarma nın pek anlamı olmayacak. Ancak, YOSHIYUKI MIIYATA imzası ile çıkan ve EINSTEIN'ın ünlü (esme2) formülünü simgeleyen "alphametıc" bilmeceyi (türkçeleştirerek) sizlere sunmak istiyorum:

•••• •2

E

M C*

••

•

E N E RJ * I

Bu işlemde 2 rakamı tekrar kulla nılmıyor. İşlemde yer alan rakamla rın yerine kimi yerde birer benek, kimi yerde harf, bir yerde (=) işareti kullanılmış. Çarpma işleminin so nucu olan "ENERJİ" sözcüğünün hangi sayıyı simgelediğini bulunuz.

Bu örnekte görüldüğü gibi, bir alp hametic ya da SÖZMETİK bilmece de, rakamların tümünün anlamlı sözcükler oluşturması gerekli değil. Kimi zaman, işlemdeki rakam, ra kam olarak kalabiliyor. Kimi yerde

112 386 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

b) Bir kürenin yüzey alanını veren formül üstüne kurulu bu SÖZME TlK'te, Pl'nin "AŞKIN", yani, "trans cendental" bir sayı olduğunu düşü nebilirsiniz. Ama söylememiz gerekir ki, buradaki "Pl" sayısı, "transcen dental" olmadığı gibi "ASAL" bile de ğildir.

ALAN = 4 x Pl x R2 (c) Dairenin alanını ifade eden for mülü veren bu SÖZMETlKle ise, "ALAN" sözcüğü size bir daireyi dü şündürebilir. Ama, belirtmemiz gere kir ki "ALAN" bir "KARE'dir.

ALAN = Pl x R2

ClÇKÛY ADASI

E.R. EMMET

ÜÇKÖY adasında, DOBRAZ, ŞAV ŞAV ve KİRTEK kabileleri yaşıyor. Dobrazlar hiç yalan konuşmaz. Şav şavlar hiç bir zaman doğru laf et mez. Kirtekler ise, pek tutarlı değil ler. Doğru da söylerler, yalan da..

Bir ğün, bir DOBRAZ, bir KİRTEK, iki de ŞAVŞAV pınar önünde karşı laştı. Bunların adları, alfabetik sıray la, Agur, Buga, Coya ve Dabo idi. Her biri, bir diğerinin kimliği ile ilgili olarak birer tümce söyledi:

AGUR :" Buga Dobraz kabilesinden dir."

BUGA : "Agur Dabo'dan daha doğru cudur."

COYA : "Dabo bir Şavşav'dır."

DABO : "Agur bir Dobraz'dır." Bunların hangi kabilelerden oldukla rını bulunuz.

KADEHLER

Masoud RAFATİ

Masanızda, yan yana duran 6 tane boş kadeh var. Her defasında ka dehlerin 5 tanesini başaşağı çevire rek, en az kaç defa kadehlerin 6 sini birden ters konuma getirebilirsiniz?

rakamlar özel işaretle veya sadece birer benekle gösterilebiliyor. Yeter ki işlemin tümü, kendi içinde bir tu tarlılıkla, bir mesaj versin, bir esp risi olsun, bir şeyler söylesin.

Ayrıca, sözmetikler, TOPLAMA, BÖLME, ÇARPMA işlemleriyle sı nırlı olmuyor. Karekök alma, asal çarpanlara ayırma, hatta cebirsel işlemler bile sözmetiklere konu ola biliyor.

Başka bir "MATEMANTIK SOH BET "imizde SÖZMETİKLER konu suna döneceğiz ve bu türün değişik örneklerini ele alacağız. Şimdi, bi raz da sözmetik türü bilmece oluş turmada uyulması gereken kural lardan söz edelim. Bir sözmetik:

(a) Bir şey söyleyen içeriği ile kendi içinde tutarlı bir bütün oluşturmalı (b) Çözümü 'TEK" (unique) olmalı. Birden fazla çözüm çıktığında, söz metiğin yapısı, içeriği veya esprisi ile tutarlı koşul koyarak çözüm sa yısı "TEK'e indirgenir veya sözme tikten vazgeçip çöpe atmak gerekir. İlle de tek çözümlü olsun diye abuk subuk koşullar konulmamalıdır. Yukarıdaki örneklerin ikincisine bakalım: Herşeyden önce, toplama işleminin terimleri arasında anlam sal bir bağ yok. Bütünü ile vermek istediği bir mesaj yok. Üstelik TEK çözümlü değil, TEK çözüme indirge

mek için konulan koşul ise ilk teri min 56 ile bölünebilen bir sayıyı simgelediği, örnek (4)teki sözmetik de temelde TEK çözümlü değil, ama çözümü TEKe indirgemek için ko yulan koşullar, sözmetiği ve içeriği ile ilgili olmakla kalmıyor, ayrıca sözmetiğjn esprisini tamamlıyor.

Yukarıda örneklere bakmaya de vam edelim: üçüncü örneğin kurgu su, içeriği, esprisi kusursuz. Ama, bu güzelim buluşa kıymak ve onu (hayıflanarak) çöpe atmak gerekir di, çünkü bu güzelim sözmetiğin en azından 12 değişik çözümü var.

Diğer örneklerin hepsi de çözümü TEKe indirgemek için konulan ko şul türlerini (başvurulan yasal hile leri) gösteren örneklerdir. Örnek (6)'da birden çok çözüm çıkıyor, ama bu farklı çözümlerin hepsin de de "SORUN" sözcüğünün simgeledi ği sayı değişmiyor. Bu durumda, çö zümü TEKe indirgemek için zorla ma koşul aramanın gereği yoktur. Sözmetiği yazıp, "SORUN sözcüğü nün simgelediği sayıyı bulunuz" de mek, TEK olan yanıtı istemek de mektir. Buna benzer olarak, örnek (8)'in verdiği iki çözümün birinde 0 rakamı yok, diğerinde var. Onun için, "l'den 9'a kadar rakamları kul lanarak toplama işlemindeki sayıla" n bulunuz" diye sorunca, aranan çö züm kendiliğinden TEK'e indirgen miş olur.

SÖZMETÎK konu MATEMANTIK su üzerinde bu kadar durmanın bir nedeni de şu dur: Bu sayfanın okuyucusu olana siz sayın MATE MANTIKÇnann (yayınlanmak üzere) kendi ya pıtlarınızı göndereceğinizi umuyo ruz. Bu konunun meraklısı olanları nızı, karşınıza çıkan sözmetikleri çözmek için kullandığınız muhake me yeteneğinizi ve pırıl pırıl zekanı zı, üretmekte de kullanma yolunda sizleri heveslendirip yüreklendir mek istiyoruz. Yakın bir gelecekte, ödüllü bir yarışma düzenleyeceğiz: "SÖZMETÎK YARIŞMASI", Kurgu tekniği, içeriği, esprisi ve tutarlılığı yönünden değerlendirilip jürinin ve receği puanlara göre birinci, ikinci ve üçüncü'ye ödüller verilecek, dere ceye giren yapıtlar yayınlanacak.

Bu SOHBETimizde yer alan husus larla ve sözmetiklerin çözümleri ile ilgili sorularınızı, bu SOHBET köşe sinde yanıtlamaya çalışacağım. He pinize saygılar sunarım.

Geçen siyada, "Sihirli Kareler" ko nusundaki Matemantık Sohbet kö şesinde söz konusu edilen, şekil ll'deki 8x8'lik sihirli karede, 9500 sayısını 30 defa bulabileceğinizi fı sıldamıştım. Bu 9500 sayısının ne

386 ELEKTRİK f <4 O MÜHENDİSLİĞİ | | O

58 SORU

MATRİSLİ ARİTMETİK

59 SORU

TAKSİ ÜCRETİNİ PAY LAŞALIM

3 SÖZMETİK

Peter MacDONALD

O'dan 9'a kadar olan rakamların her birini, en az bir kere kullanarak, 4x4'lük bir matrisi öyle doldurun ki:

Her sıranın ikinci ve üçüncü rakam larının oluşturduğu sayı, o sıranın iki ucundaki rakamların çarpımına eşit olsun. Ayrıca, her sütunun ikinci ve üçüncü rakamlarının yukarıdan aşa ğıya oluşturduğu sayı da, o sütunun üst ve alt uçlarındaki rakamların çar pımına eşit olsun.

HATEMANTİK

relerde bulunabi leceğini göster mek üzere, sihirli karenin ilgili ha nelerini, aşağıda görüldüğü gibi, harfler ile belirle yelim. Buna göre, 9500 sayısını ve

recek olan haneler şunlardır:

a+b+c+d p+r+s+t c+g+m+s d+g+k+p j+k+p+r a+d+p+t e+b+s+n A+B+G+a t+P+V+Y C+D+T+U

e+f+g+h a+e+j+p d+h+n+t a+b+e+f m+n+s+t b+c+r+s c+h+j+r E+F+d+H G+B+V+P J+L+K+M

j+k+m+n b+f+k+r a+f+m+t c+d+g+h f+g+k+m e+j+h+n A+F+R+Y N+p+R+S E+H+N+S Q+W+X+Z

Q

W

A BC DEF

G ab cdH

J e fghK

L jk m nM

N PrstP RST UVY

X

Z

H.L.NELSON'dan uyarlama

Evleri aynı cadde üzerinde olan üç kişinin, bir işlemle ilgili olarak, birlikte notere gidip imza atmaları gerekiyor du. ARDA'nın evi caddenin bir ucun da, noterin yeri ise caddenin öbür ucunda idi. BORA'nın evi, ARDA'nın evine ve noterin yerine aynı uzaklık ta idi. CENK ise, BORA'nın evi ile noterin yeri arasındaki uzaklığın tam orta yerinde bulunan bir evde oturu yordu.

Önceden anlaşmış oldukları üzere, ARDA, evinin önünden taksiye bindi. Yol üzeri, evinin önünde beklemekte olan BORA'yı aldı. Bir süre sonra, evinin önünde beklemekte olan CENK'i de taksiye aldılar. Noter'in yerine geldiklerinde, taksi şoförüne beklemesini söylediler.

Az bir süre sonra noterden çıkıp tek rar taksiye binerek aynı yoldan geri döndüler. CENK ve BORA, aynı yol dan dönerken kendi evleri önünde indiler. Sonra da ARDA evine vardı. Taksi ücretinin (gidiş geliş) tümünün tutarı olan 8400 lirayı ödeyip evine girdi. Ertesi gün, üç arkadaş bulu şunca, CENK ve BORA, taksi ücre tinden kendi paylarına düşen miktarı ARDA"ya ödemek istediler. Bunun üzerine ARDA, oturup hesap yaptı ve taksi ücretinden herkesin payına ne kadar düştüğünü saptadı.

Takside, "TAKSİMETRE" denilen sa yaç aleti olmadığından şoför, kilo metre başına 2000 lira ücret iste mekte idi. Gidilen yol toplamının, •ODOMETRE" de 4200 metre oldu ğu görülmüş ve buna göre 8400 lira ücret belirlenmişti.

Yollarda duraklamalar, taşınan yolcu sayısı için ekstra ücret talebi ve no terin yerinde bekleme için ayrıca üc ret gibi (hesaplamayı karmaşıklaştı racak) faktörler hesap dışı tutulduğu na göre, CENK ve BORA'nın AR DA"ya ne kadar para ödemeleri ge riktiğini, siz de hesaplayabilir misi niz?

(A)

(B) (C) (N)

16'lık (hexadecimal) sistemde 2 çözümü vardır.

4E2

42E

127 ve 24E

2E4

f

E42

Ayrıca OME ve OEM sayılarının 3 basamaklı olduğu koşulunu gözardı edersek 0 rakamını içerecek şekilde 7'lik sistem için aşağıdaki iki çözüm bulunur:

013 ve 026

(a) 111111 1 4 3 * 7 7 7 231 * 481 259 * 429 273 * 407 (b) 22 2 * 11 (Brian BARVVELL) Burada 2 asal çarpan olarak alınmıştır ve n 1 olmaktadır. n 2 için ise Sn. Abdülkadir TOZLU'nun göndermiş olduğu 1111 1 1 * 101 eşitliği örnek olarak verilebilir.

Benim okul numaram : 914 Arkadaşlarımın okul numaraları: 149,419,491 ve 941.

14 M 386 ELEKTRİK J &} MÜHENDİSLİĞİ

ÇÖZÜM Y ÖNTEMİ:

Üç değişik rakam kullanarak değişik değerlerde (3 basamaklı) ALTI sayı elde edilebilir: abc, acb, bac, bca, cab, cba gibi. Benim okul numaram ikiye bölünebildiğinden, bu üç raka mın bir tanesi 2, 4, 6, veya 8 gibi ÇİFT DEĞERLİ bir rakam olmalıdır. Rakamları (abc) ile simgelersek ve (c)'yi çift değerli rakam olarak alır sak, (a) ve (b)'nin birer TEK DEĞER Lİ rakam olmaları gerekir (1, 3, 7, 9 gibi ama 5 değil).

(abc)'nin veya (bac)'nin yarısı, üç ha

neli bir ASAL sayı olmalı, (a) ve (b) birer TEK sayı olduğundan, (c) 2 ve ya 6 olamaz. Çünkü ab2 ve ab6'nın yarısı herzaman ÇİFT sayı verir ve ASAL olamaz. Buna göre, okul nu maraları, 1, 3, 7, ve 9 rakamlarının ikisinden ve 4 ile 8 rakamlarının bi rinden elde edilecek olan üç rakamın permütasyonu ile bulunabilir. Bunları yazalım:

(A) 134'ün 6 permütasyonu. (B) 138'in 6 permütasyonu. (J) 394'ün 6 permütasyonu. (K) 398'in 6 permütasyonu. (L) 794'ün 6 permütasyonu. (M) 798'in 6 permütasyonu.

(B), (C), (F), (H), ve (M)'deki sayılar 3 ile bölünebildiklerinden, bunların permütasyonları ASAL sayı vermez. Diğerlerine gelince: her birinin 6 tane permütasyonunun ikisi çift sayıdır. Geriye kalan dört tanesinin dördü de ASAL olmalı. (E)'nin dışında olanla rın her birinin TEK sayı veren DÖRT tane permütasyonunun en az biri ASAL olmayan sayıdır. Sadece (E)'deki (194)'ün TEK sayı veren dört permütasyonunun dördü de ASAL sayıdır ve ÇİFT sayı veren (914) permütasyon'nun yarısı (457) ASAL'dır.

ELEKTROMEKANİK KONSTRÜKSİY ON

İMALAT PAZARLAMA SANAY İ VE

TICARET LIMITED ŞIRKETI

Ye n i Os t i m S a n a y i Sitesi

41. Sokak No. 38

06370 ANKARA

Tel : (4) 385 11 27 PBX Fax: (4) 385 11 29

KABLO TAŞIMA SİSTEMLERİ

MODERN «GÜVENLİ T UZUN ÖMÜRLÜ «EKONOMİK

S i z l e r i ç i n e n y e t £ i n < E ÜÇÎ T

BİZİ / İZLEMEYE

DEVAM EDİN.

Ayrıntılı bilgi için Okuyucu Servis Kuponundan (8) numarayı işaretleyiniz.

DERGİMİZ ADINIZA DÜZENLİ OLARAK GÖNDERİLMEKTEDİR.

LÜTFEN ADRES DEĞİŞİKLİKLERİNİZİ ZAMANINDA BİLDİRİNİZ.

386 ELEKTRİK i i f? MÜHENDİSLİĞİ | | J