MATEMANTIK

Değerli Matemantıkçılar,

386. sayımızda Matemantık sayfalarımızdaki soru sayımızı artırmış ve bu değişikliğe ko şut olarak ilginizin ve katkınızın artacağını öngörmüştük. Geçtiğimiz ay boyunca elimize ulaşan 17 ayrı mektup ve onlarca çözüm önerisi, soru sayısındaki artışın meyvelerini al maya başladığımızı gösterdi. Gönderdiğiniz mektuplar için tüm matemantıkçılara yürek ten teşekkürler.

Doğru çözümlere gelince:

Ankara'dan Sayın Üner BAŞAR 53, 56 ve 59, Trabzon'dan Sayın Ayşe İMAMOĞLU 56, 57 ve 59; Ankara'dan Sayın A. Naci IŞIKLI 59; Ankara'dan Sayın Cemal OKTAR 57, is tanbul'dan Sayın Cemal SADIKİ53,56 ve 57, İzmit'ten Sayın Recep ÜÇTEPE 53 ve 59, Mersin'den Sayın Firuzan İNAL 53, Ankara'dan Sayın Aysun ÖZDEMİR 53, 55 ve 57; Nevşehir'den Sayın Ali Koksal HOCAOĞLU 53, 56 ve 59; Sivas'dan Sayın Özden ÖZ BEN 55, 56, 57 ve 58;Kocaeli'nden sayın Mustafa POYRAZ 54; Mersin'den Sayın O. Nedim ARDOĞA 53,54 ve 57; Diyarbakır'dan Sayın Mehmet TERECİ 53, 56 ve 57 nu maralı sorularımıza doğru çözümler göndermişler. Ankara'dan Sayın Ulvi ACUNER ise 386. sayımızda yayınladığımız 7 soruyu da doğru olarak çözüp bize ulaştırmış. Ayrıca, çiçeği burnunda meslektaşımız, Sayın Reha ARGAÇ'ın İzmir'den göndermiş olduğu ka lın zarfın içinden 53,54,55,56,57 ve 59 numaralı sorularımıza doğru çözüm çıktı.

Bizleri sevindiren bir başka mektup ise Edremit'ten sevgili kardeşimiz Serkan ÇAG LAR'dan geldi. Serkan henüz 15 yaşın da ve bu yıl Edremit Lisesi'nde Lise 2. sınıfa geçmiş. Babası meslektaşımız ve odamız üyesi olduğu için dergimiz evleri ne geliyormuş. Bu sayede köşemizi izle me fırsatı buluyormuş. Serkan'ın mektu bundan 57. sorumuza doğru yanıt çıktı. Serkan'a başarılar diliyor ve yeni mek tuplarını bekliyoruz.

İstanbul'dan Sayın Abdülkadir TOZ LU'dan gelen mektuptan ise her zaman olduğu gibi bir soru önerisi çıktı. Kendisi ne teşekkür ediyoruz. Sn. A. TOZLU, ayrıca 382. sayımızda 48. soru olarak yayınladığımız "Sihirli Petekler" soru muzla ilgili olarak bir açıklama gönder miş. Bu açıklamaya yan sayfalarda yer veriyoruz. Sayın O.N. ARDOĞA'da mek tubuna bir soru eklemiş, ancak kaynak ve çözüm belirtmemiş.

Son olarak Bayburt'tan bize yazan ve Sayın Necah BÜYÜKDURA'nın 386. sa yıdaki "Alfametik/Sözmetik" başlıklı soh betinde yer verdiği 7 numaralı sözmeti ğe doğru yanıt gönderen Sayın Ümit ÇE VlK'e de teşekkür ediyoruz.

Bu ay ki sorularımızdan en az birisinin doğru çözümünü bize ulaştıran mate Hazırlayanlar; mantıkçılar için ödülümüz İletişim Yayın ları Cep Üniversitesi serisinden Jose Necah FRECHES'ın yazdığı "Kablolu TV kitabı. BÜY ÜKDURA Tüm matemantıkçılara sağlıklı ve mutlu M.Serhat günler dileyerek, sorularımıza geçiyoruz. ÖZY AR

FIBONACCI

Fibonacci'yi bilmeyen bir arkada şınıza, hüner gösterip şaşırtmak isterseniz, kafadan gelişigüzel iki tam sayı seçmeajpi söyleyin (Bu sa yıların ikisi de pozitif veya negatif, ya da biri negatif biri pozitif olabi lir). Bu iki sayı, bir sayılar dizisi nin ilk iki elemanı olsun. Dizinin üçüncü elemanı, ilk iki elemanının toplamından oluşsun. Bundan son raki elemanların her biri de, ken dinden önce gelen iki elemanın toplamından oluşsun. Bu dizi, en azından 10 11 elemanı içerecek ka dar çoğalsın. Bu durumda, son 3 elemana X, Y ve Z dersek, [(z/y)+(y/ x)V2'nm 1 618 «ayısına çok yakla şık bir «ayı olduğu yolunda bir ke hanette bulunarak arkadaşınızı şa

264 388 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

65 HANGİSİ DAHA BÜY ÜK?

Morris WALD a» V1O + V17 ve b= V53 verildiğine göre, a ve b'den hangisi daha büyük tür?

Kalem kağıtla (karekök alma yönte miyle) veya hesap makinası ile 10, 17 ve 53'ün kareköklerini bulup kar şılaştırma yaparak cevabı bulmak, çok kolaydır. Sorunun yanıtını (bu sayıların kareköklerini hesap etme den), başka bir yoldan bulmalısınız.

66 Y ANLIŞMATİK

E.R EMMET

Aritmetik öğrenmeye meraklı Şapşal Amcamız yine çuvalladı. Aritmetik ki tabındaki bir toplama sorusunu def terine geçirirken (her zaman yaptığı gibi) sayıları yine yanlış yazdı. Üste lik toplamayı da yanlış yaptı. Sonra da övünerek, marifetini (aşağıda ve rilen toplama işlemini) gösterdi. Yap tığı yanlışlar kendisine gösterildiğin de de, "Bütün rakamlar yanlış olmuş sa n'olmuş yani?.. Hiçbir rakamdaki hata 1'i geçmiyor ki. Kimisi 1 fazla ol muş, kimisi do 1 eksik. O kadarcık tan na çıkar ki?.." diye bir de kafa tuttu.

Bu toplama işleminin doğrusunu ya zabilir misiniz?

7668 + 2692

67 SORU

ALFAMETİK SİHİRLİ KARE

Maxey BROOKE derlemesi (Türkçeye uyarlama : N.B.)

Elektrik akım devrelerinde, gerekli olan durumlarda kullanılan bir aletin Türkçe adını oluşturan harflerin her biri (sırasıyla) 1234567890 rakamla rıyla değiştirilerek bir şifre kodu oluş turulmuş.

Her sıranın, her kolonun ve her kö şegenin toplamı 275 olan 5x5'lik bir SİHİRLİ KARE'deki sayılar, (şekilde görüldüğü gibi) şifrelenmiş.

Kullanılan şifre kodunun anahtarı (ve elektrik akım devrelerinde kullanılan bir aletin TÜRKÇE adı) olan SÖZ CÜĞÜ bulabilir misiniz?

IIÎİIİITII t I IITEIIITII 1 t f

Tl

Örneğin, oluş turulan dizi söyle olsun: 46, 21, 25, 4, 28, 33, 62, 95, im, 252, 40$, 601, lOtO ve

AY UW

1 2

3 4

ERGİM ÇFTLERİN

SAY ISI t 1 2 3 5

Y AVRU ÇİFTLERİN

SAYISI

ÇİFTLERİN TOPUM SAYISI

c

"PIBONACC! SAYISF\ hiç ummadık yerlerde karşımıza çakıyor ve çok ilginç öaelliklerleriyîe ta nınıyor.

Tavşanların üremesi tablosunda, tavşan nüfu su arttıkça, ERGÎN nüfu

1070)+<lÛ70/661)y2=1.61825.. Di

sun YAVRU nttfü*a ora

zioStt başlangıçtaki İ elemanının ne oldogu önottli değil, fakat dizi

6 ? 8

deki «l«mao myım, çoğaldıkça» bu

21 34

nı, FIBONACCI SAYI

13 21

34 SS

SFna yaklaşır: 1,618~* <1V$y2

dirideki son M «temanın oram, y ş Dairede çevrenin oranı olan (n) sayısı ve tabii ğ logaritma tabanı olan (e) sayı* gibi matematiğin bilinen sa yiteftndfttt olan 1,6180339.. değeri,

la ilgili bir probleme yer vermesi idi. Bir çift tavşandan, her ay, yeni bir çift tavşan üremekte, yavrular bir ay içinde erginleşip çiftleşmek te ve bir ay sonra dünyaya yeni bir çift tavşan getirmekte ise, tavşan

Bu «ay*, FIBONAC Cl'den asarlar önce» Yw»an mat** matikçîleriiK» bilinmekteydi ve "İLAHİ ORANTI" olarak adlandı rılmıştı.

AB doğru parçası üzerinde oyla bir C noktası seçelim ki, ACnjn

PIBONACCI SAYISI'dır, Matema ların nüfus artışı nasıl bir tablo CB'ye oram, AB'nin AC'ye oranına

tikte M (<?) veya TAU (t) sembolü gösterir?..

arili

eşit olsun. Yani: AC/CB » AB/AC. Bu oran, hesaplandığında değen

Aylara göre, tavşanların kaç çift

1202 y»İ}ö4a italyan matematik, olduğunu gösteren kolonlardaki sa

pai, pjsalı LEONAİIDO FIBO. yılar, her kolonda aynı diziyi oluş

NACCI, "UbtrAbaci" isimli kitabı* : turmaktadır ve bu sayı dizisi, Fi

fa yayınladı* Bu yapıt çok önemli id}, çftnkö hesap isinde çok karma

İdamlar gerektiren "ROMEN

BONACCI sayılan olarak bilin mektedir. Fakat ilk iki sayısı deği

ÎAKÂMLARI" yerine "ARAP RA fik olan ve ondan sonraki her sayı

mn Avrupa'da yaygın nın, kendinden Önceki iki sayının

laşmasını sağlamıştır. Fakat FI toplamına eşit olan başka diziler

BONACCrye daha büyük ün ka de FIBONACCI dizisi olarak anıl

zandıran şey, kitabında, tavşanlar maktadır.

(1+ &V2 olarak bulunur. Çok e*ki çağlardan bugüne dek bu oran mi marîde ve «analla kulîamlagelnöV tir. Şimdi "Brltish M u s e u m ^ olan Ve B»ki Yattan medeniyetinin doğuşundan yüzyıllarca önce ya»U m$ olan unîO AHMES'in PAPY di'nin, Um4fQQ yılında inşa »dili siyle ilgi!! çok geniş olarak mimari ve teknik ayrıntılar yer almıştır. "AHMES"in Papyrusu'nda, pirami

LT MM DA RC LD MU GD GT UM LR O M GR UU TL MO RL UO TG TA OU RA TC AD DO RG

SORU

ASANSÖRLÜ KULELER

Jaime Poniachic Arjantin

Aşağıdaki şekilde, her biri 9 katlı iki kule ve her kulenin 2. ile 9. katları arasında çalışan iki bölmeli asansör leri görülüyor.

konulmuş. Asansör herhangi bir kat ta iken, asansör bölmelerinin ve bu lunduğu katın kod rakamları, üç ba samaklı bir sayı oluşturuyor ve bu sayı, o katın numarası ile (kodu ile değil) tam olarak bölünebiliyor. Ör neğin, asansör 6. katta iken, kod ra kamları ile oluşan üç basamaklı sayı 720'dir ve bu sayı (' .at No'su olan) 6 ile tam olarak bölünür. 8u kural tüm katlar için geçerlidir.

İkinci kulenin katları ve asansörünün iki bölmesi, O'dan 9'a kadar rakam larla kodlanmış. Bu kodların, birinci kuledekinden değişik yerlerde yeral mış olmalarına karşın, bu kulede de asansör kodları ile kat kodunun oluş turduğu üç basamaklı sayının kat no'su ile tam olarak bölünebilmesi kuralı yine geçerlidir.

Asansörün iki bölmesine ve kulenin İkinci kulenin kod rakamlarını yerleş katlarına tek rakamlı kod numaraları tirebilir misiniz?

9 8 1 0 5 4 3 72 6

Birinci KULE

•• 9

*8

•* 7 •* 6

*5

•• 4

^3 ^2

din yapısındaki bir "KUTSAL ORAN"dan söz edilmektedir. BÜ YÜK GİZE PRIMADI'nin mimarisi ile ilgili olarak günümüzde yapılan Ölçümler, piramidin tepe noktası ile taban merkezinin taban kenarı na olan uzaklıkları ORANI'nın 1,618'e (nerdeyse tam olarak) eşit olduğunu göstermiştir.

içinde bulunduğumuz asnn baş larında, Amerikalı matematikçi Mark BARR, bu ilginç oran için, Yunan alfabesinin bir harfi olan (<p) sembolünü lanse etti. Yunan alfabeaindeki (<p), PARTHE NON'un büyük mimarı ve ünlü Yu nan heykeltraşı "PHIDIAS'm adı nın baş harfidir. Parthenon'un mi marisinde ve yontu eserlerinde bu KUTSAL ORANTI yaygın olarak kullanılmıştır.

ru parçalarının ardışık büyüklükte olanları, yine aynı orantıdadırlar.) Bir daire yarıçapının, daire içine çi zili ONOEN'in kenar uzunluğuna oranı da FIBONACCI sayısına eşit tir.

Adı, ister FIBONACCI sayısı, is ter KUTSAL ORAN ister ALTIN ORAN (altın bölme), isterse (<P> ya da (T) olsun, bu gizemli sayı akla gelmeyen (umulmadık) yerlerde karşımıza çıkıp duruyor. Bugün bi le resimde, heykelde, mimaride, de korasyonda ve $anabn, moda dahil,

aklınıza esen her dalında bu oran kullanılmakta. Tabiat bile bu oranı kullanıyor. Çevremizdeki bitki dünyasına bakmamız bile bizi çok şaşırtabilir. Bir bitki sapında (ya da bir ağaç dalında) boyveren yap raklar, (ya da filizler), nasıl sırala nırlar? Bir filiz veya yapraktan bir sonraki filiz (ya da yaprak), daim ya da sapın çevresinde belli bir "dolanma" aralığından sonra çıkar. Bakarsınız ki bir kiraz dalında, bir filizden sonraki her 5'nci filiz (2 tur dolanmayla) aynı hizaya gel mekte. Kiraz dallarındaki bu tur

Eski Yunan'da, Pisagorcuların, beşgeni ve beş köşeli yıldızı, mistik inançlarının simgesi olarak seçmiş olmalarının, kutsal orantının bu simgelerde egemen olması ile bağ lantılı olduğu ileri sürülmüştür. (Şekil l'de beşgenin köşegenleri, birbirilerini bu KUTSAL ORAN Tl'da keserler. Şekil 2'de de, AB ta banına B'den çıkılan BP dikmesi, CD'yi yine bu oranda böler. Şekil 3"teki yıldızda seçebileceğiniz doğ

Ec (Şekil 2)

İkinci KULE

9 8

69 SORU

CEBİRSEL SÖZMETİK

Necah BUYÜKDURA

Sorunun (a) ve (b) şıklarındaki söz

metikler, birbirinden bağımsız olarak

ele alınmalıdır.

5 (a) ÜÇ OTUZ 90 EDER

Bu şıktaki sözmetik, olduğu gibi

okunursa, eşitliğin doğru olduğu

görülür. Sayı belirten sözcüklerin

harfleri, belli rakamlarla değiştiri

lirse, eşitlik yine doğru olacaktır. Eşitliği doğru kılan sayısal değer

leri bulunuz.

(ÜÇ)3 + (ÜÇ)2 = 3 x (OTUZ)

(b) KAÇ "tek" BİR "çift" eder?

Bu sözmetiği oluşturan eşitlikte,

"ÇİFT" sözcüğünün simgelediği sayı, çift bir sayıdır. "TEK" sözcü ğü de tek olan bir sayıyı simgele mektedir.

Sözmetikte, (O)'dan (9)a kadar rakamların sekiz tanesi kullanıla biliyor. Kullanılmayan iki rakam ile oluşan sayının ASAL olduğu bilindiğine göre, bu eşitliği sayı sal olarak yazabilir misiniz?

BU x TEK = ÇİFT

sayısı ile her periyoddaki filiz (dal cık) sayısının oram olan 2/5 kesti, pek çok sayıda başka ağaç türlerin de de aynıdır. Karaağaçta bo oran 1/2, kayın ağacında 1/3, armutta 3/ 8, sögtltfte 5/13*tür. Benzer oranlar ot, çiçek, sebze ve diğer bitkilerin saplan üzerindeki yaprakların sı* raJams düzenlerinde gözlenebilir. Bu gibi oranların tümünde, pay ve paydayı veren sayıların, daima $1 bonacrî dizisinin iki ardışık sayı sından oîastagu gerçeği şaşırtıcı» dır Botanik aleminde bu gözlemin istisnasına (dış etken nedeni ile bitkinin zedelenmiş olması dışın da) rastlanmış değildir. Çok tasa sap etrafında dolanan yapraklarda (karanfil, güî, lale, gibi çiçeklerdeki taç yapraklarda) ve ayçiçeği çekir deklerinin spiral dolanım,oranla rında Fİbonacci dizisinin 13/34, 21/ 55 ve mertebesi daha yüksek olan oranlan gözlenebilir.

Eski çağlarda KUTSAL olduğu zannedilen niteliği ile aralan, son raları "Fibonacri sayısı" adını alan ve 19. yüzyılda ALTIN ORAN diye isimlendirilen (cp)'nin saymakla bitmeyecek kadar çok sayıda şaşır tıcı özellikleri var. Başka bir MA TEMANTIK Sohbette bu konuya tekrar döneceğiz. Şimdiki sohbeti

tntö, ZHQ üyelerinin İlgisini çek*. Amper değerleri ölçülür). (Bak şe

* *•

*. ..*. »

kil4)

Şekil 4teM devre şemaajnâa, di« Bu arada, size ufacık bir soru

I tOAttt «ynt degerâe im VB muz var: öyle bir pozitif X sayısı

Ix akımı»! Amper İse, bu durumda bulunuz ki bu sayının bir eksiği, * ' J " t î^'a kadar olan akım şiddet» kendinin tersine (yani l/3Ce) eşit

leri Ur Kbonacci di»» v«rir (yani, olsun.

İ l£$j5&$£M 5S

PÜF NOKTASİ KONULU SOHBETTEKİ SORULAR İÇtN AÇKLAMA:

Geçen sayıda, POF NOKTASf konulu sohbetimize sizler» iki sorumuz vardı: Gdlrt so rusu ve delinen kür» sorusu. G J e t sorusunda, iç içe iki dairede içtekine teğet olan Hjp şirt uzunluğu verilerek daire halkasının atanı isteniyordu. Demek ki daire halkasının alanı, teğet kirişin uzunluğunun fonksiyonudur {ve dairelerin sayısal boyutlarına bağlı değiloır. Öyleyse, içteki daireyi sürekli olarak küçülttüğümüz düşünelim ve her defasında 1 Km. uzunluğunda bir doğru parçasını bu küçülmüş daireye (orta noktasında) teğet kıldığımızı varsayalım, Bu durumda dıştaki daire, bu doğru parçasını kirişi alan daire olacaktır. Bu zi hinsel yöntemle iç daireyi küçültmeye devam edersek, limitte iç daire bir nokta olur ve 1 Km. uzunluğundaki kiriş ise, dış dairenin çapı olur. Öyleyse, istenilen alan, çapı 1 Km. olan bir dairenin alanına eşittir.

De!ln»nKûre sorusunda da aynı PÜF noktasını yakalamak söz koriusudur: Deliğin ve kürenin çaptan verilmediğine göre, demek ki kürenin delindikten sonra, geriye kalan hac mi, sadece deliğin uzunluğunun fonksiyonudur. Delfc çapının »(sıfır) olduğunu varsayar sak, deliğin uzunluğu olan 6 cm.'nin küre çapına eşit olduğu görülür. Soruda istenilen ha cim ise, çapı 6 cm. olan bir kürenin hacmine eşittir.

70 AMİRAL BATTI/1

EMOD İLE SÖZMETİK

GEOMETRİK SÖZMETİK

P. Gordon ve M. Shenk

"AMİRAL BATTI" adı ile bilinen oyu nu hemen herkes oynamıştır okul sı ralarında. Bir oyuncu, kağıt üzerine 10x10 boyutlarında bir ISKARA (her sırada 10 birim karesi olan ve 10 sı radan oluşan bir matris) çizer. Oyun cu, aşağıda şekilleri gösterilen gemi lerini bu matrise yerleştirir. Gemiler yatay veya dikey konumda yerleşe bilir, fakat iki gemi arasında en az bir birim kare kadar aralık olmalıdır.

Diğer oyuncu, gemilerin hangi kare lere yerleşmiş olduklarını bulmaya çalışır.

Aşağıdaki 10x1 Oluk şekilde, 10 par ça gemi yerleştirilmiş bulunuyor. İpu cu olarak, 2 adet DENİZALTI gemisi nin yerini, başka 2 geminin birer ka resinin yerini ve şeklimizde boş oldu ğunu bildiğimiz karelerin 2 tanesinin yerin işaretledik. Ayrıç*, şeklimizdeki her bir sırada ve her bir kolonda dolu olan karelerin kaç tane olduğunu, sı raların sağına ve kolonların akına yazdık.

Gemilerin nerelerde gizlendiklerini bulabilir misiniz?

İut• M

ı

UH

II

I II

o•

268 388 E L E K T R İ K MÜHENDİSLİĞİ

EMOD 9376

(a) Bu şıkkın koşulsuz TEK Çözümü şudur:

KARE PRİZMA HACMİ

HACİM . (3/4) x Pl x R3 32805 (3 /4 )x 6 0 x 9 3

PRİZMA HACMİ = 18 birimedir. So rudaki veriye göre:

(b) Soruda, bu şıkkı tanımlarken, "Pl'nin "ASAL" olmadığı belirtil mişti. Buna göre tek çözüm:

küre alanı s (6/5) x köre hacmi = (25/9) x silindir hacmi

Kürenin yarıçapına (R), silindir taba nının yarıçapına da (r) diyerek bu eşitlikleri yazalım:

4 w R* = (6/5) (4/3) % R» = (25/9) n r* b

Bu eşitliklerin üçünü de Ji"ye bölerek Tileri yok ettikten sonra, bu üç eşitli ğin ilk ikisinden: R • (5/2) elde edilir. Bu üç eşitliğin birincisi ile üçüncüsü nü ele alalım:

4 w R2 = (25/9) K r2 b

ALAN =. 4 x Pl x R2 6860 = 4 x 3 5 x 7 2 (c) Bu şıkta ise, "ALAN" sözcüğünün simgelediği sayının "KARE" oldu ğu söylenmişti. Aşağıda verilen çözümde, "ALAN'ın simgelediği 3136 sayısı bir "KARE"dir (56'nın karesi). Buna göre tek Çözüm:

ALAN Pl x R2 6860 « 4 9 x 8 2

R s (5/2)'yi yerine koyarak kısaltma yapınca:

ÜÇ KÖY ADASI

SONUÇ 1 : r2 . (9/b) bulunur.

diğer taraftan, KARE PRİZMA'nın SİLİNDİR

içine yerleşmiş olduğu duruma bakalım. Silin

dirin tabanında, PRİZ MA'nın tabanını oluştu ran ve kenarı (a) olan

karenin

köşegeni

aV2'dir. Bu köşegen, silindir tabanının çapı

olan (2r)"ye eşittir. Do layısı ile:

BUGA doğru söyledi ise, bu durum da COY A ve DABO'nun her ikisi de ŞAVŞAV olmalıdır. Ama o zaman COY A'nın doğru söylediğine varan bir çelişki doğuyor. Demek ki BUGA doğru söylemedi.

BUGA yalan konuştuğuna göre AGUR'un dediği doğru değil.

AGUR'un dediği yalan olduğuna gö re, DABO'nun dediği de yanlış de mektir.

SONUÇ 2: 2r s aV2 veya: r s (aV2) / 2'dir.

SONUÇ 2'deki fnin değerini, SONUÇ 1'de yerine koyunca, a*b 18 bulunur. Bu da, söz konusu prizmanın hac midir.

Geriye, doğru konuşan DOBRAZ'lı kişi olarak COY A kalıyor, öyle ise DABO bir ŞAVŞAV'dır.

BUGA'nın yalan söylediği bilindiğine göre, demek ki AGUR DABO'dan daha doğrucu değil. DABO'nun ŞAV ŞAV olduğu belli olduğundan, DA BO'dan daha doğrucu olmayan AGUR da bir ŞAVŞAV'dır. Demek ki KİRTEK olan kişi, BUGA'dır.

KADEHLER

Buna göre: E 5, F 2 (veya E 2, F 5);

niyetli" olan çözüm, bu değildir. Ön ce, insanı yanılgıya düşüren bu (mantıklı ama doğru olmayan) çö zümü verelim.

Kadehler, aşağıda gösterildiği şekil de, 6 hamlede ters çevrilebilir. Her hamlede ters çevrilen kadehler, x ile belirtilmiştir.

<6 >

G=6, H 7 (veya G 7, H 6);

B 2, M 7(veyaB=7, M 2);ve

C 1 , N«2 (veya C=2, N 1) olmalıdır.

Bu değerlerin değişik konumlarda yerleştirilmeleriyle çözümün simetrik biçimleri elde edilir (2, 3, 4 ve 5 nu maralı şekiller).

90° rotasyon ve ortadaki iki sıranın yer değiştirmesiyle, temel çözümün değişik biçimleri de elde edilebilir.

AB CD E 10 F

G4 2 H

KMN P Sekili

7 2 13 5 10 2 642 7 8 729

Şekil 2

32 17 8 7 29

(A)

(B)

(C)

(N)

Taksi ücretinden herkesin payına düşen miktarları hesaplamak için, her bir yolcunun taksiyle gittiği yolun uzunluğunu, ölçek olarak ele almak gerekir. CENK'in taksi ile gittiği yol, tüm yolun dörtte biri kadardır. BO RA'nınki de tüm yolun yarısına eşit tir. ARDA ise, yolun tamamını taksiy le gitmiş bulunmaktadır. Öyleyse, taksi ücretinin 4 2 1 oranlarında paylaşılması gerekir. Buna göre, 8400 lira olan ücretin 1/7'si olan 120ü lirayı CENK'in ödemesi, 2/7'si olan 2400 lirayı BORA'nın ödemesi ve geriye kalan (4/7'si tutarındaki) 4800 liranın da, ARDA'nın payına düşen miktar olması gerekir.

Böylece her yolcu, ta<si ile gittiği yol oranında ödeme yapmış olur. MAN TIKLI değil mi?..

Mantıklı olmasına mantıklı gibi gö rünse de doğru ve "HAKKANİYETLİ" çözüm bu değildir.

MATRİSLİ ARİTMETİK

Matrisin herhangi bir köşesine (0) ra kamı gelirse, matriste en az dokuz tane (0) rakamının yer alması sonu cu doğar ve dolayısı ile geriye kalan dokuz rakamın en az birer kere mat riste yer alması olanaksız olur.

Benzer bir irdeleme için, (1) rakamı nın da herhangi bir köşede olamaya cağı sonucu çıkar, öte yandan, her hangi iki rakamın çarpımı 9O'lı bir sa yı veremeyeceği için (9) rakamı ya uçlarda, ya köşelerde, ya da (3093) veya (7497) formlarında olduğu gibi bir sıranın (ya da bir sütunun) üçün cü rakamı konumunda olabilir.

Oeneme yanılma yöntemi ve biraz da mantık ve irdeleme ile matrisin or tasındaki (2x2'lik) iç matrisin üst sıra sının (10), art sırasının da (42) olma sı gerektiği bulunur (şekil 1).

2 10 5 7 42 6 9 72 8

Şekil 3

5 10 2 642 7 7 213

97 28

2 10 5 7 426 3 217

Şekil S

TAKSİ ÜCRETİNİ PAY LAŞALIM

Bu sorunun hemen akla gelen ve çok mantıklı gibi görünen bir çözümü var. Nitekim, MATEMANTIK okurları mızdan birkaçı bu çözümü gönder miş. Ne yazık ki çok mantıklı olduğu sanılmasına karşın doğru ve "hakka

DOĞRU ÇÖZÜM: Gidilen yolun ta mamını üç ayrı bölüm halinde düşü nelim.

(1) ARDA'nın tek başına taksi ile git tiği yol. Bu yol, tüm yolun yarısına eşit olduğundan, yolun bu kesimi için ARDA'nın 4200 lira ödemesi gerekir.

(2) BORA ile ARDA'nın birlikte, taksi ile gittikleri yol. Bu yol, tüm yolun dörtte biri olduğundan, bu kesim için ücret tutarı 2100 liradır. Bunu da, ARDA ile BORA'nın paylaşması ge rekir, öyle ise bu kesim için ARDA ile BORA'nın her birinin payına 1050 lira düşer.

(3) CENK, BORA ve ARDA'nın birlik te gittikleri en son kısım. Yolun bu bölümü de tüm yolun 41e biri oldu ğundan, bu kısım için taksi ücreti = 2100 lira tutarındadır. Bu miktarın, CENK, BORA ve ARDA arasında eşit olarak paylaşılması gerek. Bu kı sımda, ARDA"ya düşen pay 700 lira, BORA'ya düşen pay 700 lira, CENK'in payı da 700 lira olmalıdır.