GERİ BESLENMİŞ SİSTEM STABİLİTESİNDE KÖKLERİN GEOMETRİK YERİ

U DK : 621.372.5

Geri Beslenmiş Sistem StaMlitesinde Köklerin Geometrik Yeri

Sevim TAN Y. Müh. O.D.T.Ü.

ÖZET :

Geri beslenmiş sistem stabilitesinde büyük önemi olan karakteristik denklem kökleri nin açık çevre transfer fonksiyonu kazancı ile değişmesi, açık çevre sıfır ve kutupları bi lindiği taktirde denklemi çözmeksizin incelenmiş; neticenin mümkün olduğu kadar kolay ve çabuk elde edilmesini sağlayan çeşitli özellikler belirtilerek misallere uygulanmıştır.

Bir basit geri beslenmiş kontrol sistemi ka rakterize eden transfer fonksiyon genel olarak

C (s)

şeklinde yazılabı

R (s)

1+KG (s)

lir. Burada Şekil 1 den görüleceği üzere, C (s)

çıkan büyüklük Laplas Transformasyonunu R(s)

giren büyüklük Laplas Transformasyonunu,

KG (s) ise ileri sinyal yolundaki blokun transfer

fonksiyonunu göstermektedir. K blokun kazancı

yani transfer fonksiyonun s=O konarak elde

edilen değeridir.

R(s

Şekil: ı

Böyle bir sistemin davranışı [l+KG(s)] C (s)

= R(s) ifadesine tekabül eden diferansiyel

denklemle belirlidir. Karakteristik denklem ise

l+KG(s)=O ifadesine tekabül etmektedir. Mi

sal olarak KG (s) =

R(s)

veya S+2

1+s

(s+2) C ( s ) = R ( s ) elde edilir,

d

Diferansiyel denklem

C(t) + 2C(t) = R(t)

dt

şeklindedir. Karakteristik denklem ise s+2 = O

olarak bulunur; bu ifade ise misalimizde

l+KG(s) = 0 a tekabül eden 1 +

=O

dan başka birşey değildir. R (t) = O konularak elde edilen homogen diferansiyel denklemin ge nel çözümü, —2 karakteristik denklemin kökü, A da başlangıç şartlarının belirttiği bir sabit ol mak üzere A e ~ " şeklinde bulunur. Sistemin girişine tatbik edilen R(t) nin birim basamak fonksiyonu olması halinde esas diferansiyel

1 denklemin bir özel çözümü — olarak elde edi

leceğinden genel çözüm C(t) = A e " + — 2 olarak çıkar. Görülüyorki çözüm gerek başlan gıç şartlara gerekse sisteme giren büyüklük olan R(t) ye tâbi olmıyan bir kısmı ihtiva etmekte dir ki bu da karakteristik denklemin kökü olan —2 ile belirlidir.

Şekildeki blokun transfer fonksiyonunu K bir

den farklı pozitif reel bir sayıyı göstermek üze

re

olarak kabul edersek, sistemin davra

nişini karakterize eden denklem

— C(t) + ( K + l ) C (t) = R (t) haline gelir. dt

Karakteristik denklem ise s + ( K + l ) = O dır ve homogen denklemin genel çözümü A e — ' k + ı ) ' olarak elde edilecektir. Bu basit misal K nin sis tem davranışı üzerine tesirini göstermektedir. K değeri büyüdükçe geçiş (transient) daha kısa müddet devam edecek, başka bir deyişle, R (t) nin meselâ birim basamak fonksiyonu olması ha linde, çıkan büyüklük nisbeten daha kısa süren

1 bir geçişi müteakip — sabit değerine yaklaşa

2 çaktır.

Ele aldığımız misalde karakteristik denkle min çözümü hiçbir güçlük arzetmemiş bulunu yor. K ya muhtelif değerler vererek kökleri

kompleks düzleme yerleştirirsek, geometrik yer Şekil 2 den görüleceği üzere reel eksenin bir kısmı • olarak elde edilir. Gerek karakteristik denklemden gerkse Şekil 2 den görülüyorki bü imajiner

K=2 K=3 K ,0

S= 3 S= 2 S=

şekil: 2

tün pozitif ve reel K değerleri için sistem stabil kalacak'yani karakteristik denklem pozitif reel veya reel kısmı pozitif olan kompleks köklere sa hip • olmıyacaktır.

. Aynı düşüncelerle Şekil 3 de görülen sistem

"Y

J

—•r

(s•1>(s •3)

C(3)

lerden biri üst diğeri alt yarı düzlemde kalmak üzere reel eksenden uzaklaşırlar. Böyle bir gra fik birkere elde edildikten sonra istenilen geçiş davranışını gerçekleştirecek K değeri kolaylıkla tayin edilebilir.

Karakteristik denklemin ikinci dereceden da ha yüksek olması halinde bahis mevzuu geomet rik yerin çizilmesi, veya tatonman yoluyla belli bir davranışı gerçekliyen K değerinin tayini, komputer kullanılmasını icabettirecek kadar uzun hesapları gerektirebilir. Köklerin geomet rik yeri (root locus) adını taşıyan metot ise ka rakteristik denklemin çözümünü icabettirmeden geometrik yerin çizilmesini mümkün kılmakta dır.

J3

K=5 J2 K=3 J1

K=3

K=5

Şekil : 3

incelenirse Karakteristik denklem

1+

= O veya (s+1) (s+3) + K = O

+)+)

olarak bulunur. K pozitif ve reel kalarak değiş

tiği taktirde, kökler —2 | V I — K ifadesinin

belirttiği şekilde değişirler. K nın sıfırla bir ara

sındaki değerleri için her iki kök de negatif de

ğerlere sahiptir, bu taktirde geçiş exponansiyel

azalma şeklinde olacaktır. K nın bir den büyük

eğerleri için ise homogen denklemin genel çözü

mü e *« (Cos VK—11 + Sin V K — 11) ola

rak bulunacağından, geçişin titreşimli olacağı

fakat titreşim amplitüdünün zamanla exponan

siyel olarak azalacağı neticesi çıkar. Demekki bu

sistem de stabil bir sistemdir. Karakteristik

denklemi gerçekliyen s noktalarının . geometrik

yeri Şekil 4 de gösterilmiştir. K nın sıfır değeri

için kökler —3 ve —1 dir. K sıfırdan + 1 değe

rine doğru artarken kökler biribirine yaklaşır,

nihayet K = l değeri için her iki kök de biribiri

ne eşit ve —2 değerindedir. K nın f 1 den iti

baren daha büyük değerler alması halinde, kök

Şekil: 4

Metodun esası 1 + KG (s) = O ifadesini sağ lıyan s değerlerinin aranması yerine, KG (s) in açısını —180° veya m bir tam sayıyı göstermek üzere —180° ( m360° yapan s noktalarının aranması, daha sonra da bu açı şartını sağlıyan her bir s noktasına tekabül eden ve KG (s) in genliğini bir yapan K değerinin tayini üzerine dayanır. 1 + KG (s) = O ifadesi yerine

1 G(s) = —180° j m360° açı şartı ve G(s) = —

K genlik şartı olmak üzere iki ayrı eşitliğin kulla nılması geometrik yerin tayininde birçok kolay lık temin etmektedir.

Genel olarak bir sistemin açık çevre transfer fonksiyonu ele aldığımız misallerde olduğu gibi yalnız kutuplan değil, sıfırları da ihtiva eder. Sistem açık çevre transfer fonksiyonu Şekil 5 de görüldüğü üzere Z sıfırını ve Pj, P2, P3 kutup larını ihtiva ediyorsa, s geometrik yer üzerinde bulunup bulunmadığı araştırılan bir deneme noktası olmak üzere açı şartı:

imajin«r

şekil

a—(/Sı + £2 + A.) = —180° ( m360° olarak yazılabilir.

Bahis mevzuu s noktası için bir iletki ile «. Piı 02. & açıları ölçülecek olursa eşitliğin sağ lanıp sağlanmadığı hesaplanabilir. Gayet basit bir alet olan Spirale ise yukardaki işlemi daha kolaylıkla yapabilmekte, şekil üzerinde gezdiril diğinde ayrıca toplama ve çıkarmayı gerektir meden doğrudan doğruya sıfır ve kutup açıları arasındaki farkı göstermektedir. Bu fark 180°

£ m360° şartını gerçeklemediği taktirde, işle min başka bir deneme noktası için tekrarlanma sının icabedeceği aşikârdır.

Açı şartını sağlayan noktaya tekabül eden K

sZ

değeri —————— = — amplitüd şartından

sZ,sPj,sPj,sPs mesafeleri ölçüldükten sonra hesaplanır. Eğer Spirule kullanılırsa bu işlemin daha kolaylıkla yapılması mümkündür.

Buraya kadar anlatılanlar geometrik yerin ancak ve ancak tatonman ile elde edilebileceğini gösteriyorsa da, aşağıda sıralıyacağımız bir çok özellik işi kolaylaştırmakta, ve hâttâ bazı prob lemler hakiki geometrik yer yerine tayini çok kolay olan asimptotların ve birkaç özel noktanın bilinmesiyle kâfi bir yaklaşıklıkla çözülebilmek tedir.

Özellikler kısaca şöyle özetlenebilir.

1) Geometrik yerin muhtelif branşları açık çevre transfer fonksiyonu kutuplarından başlar ve branş sayısı açık çevre transfer fonksiyonu kutuplarının sayısına eşittir:

Geometrik yeri K nın değişen değerleri için 1 + KG(s) = O ifadesini sağlıyan s noktaları nın teşkil ettiği düşünülürse, K = O olduğu tak tirde eşitliğin sağlanması ancak G (s) in sonsuz olmasiyle kabildir. G(s) i sonsuz yapan s de ğerleri ise bu ifadenin kutuplarına eşit s değer

Elektrik Mühendisliği 03

leridir. Bu şekilde açık çevre kutuplarına geo metrik yer üzerinde K= O. değerinin tekabül ede ceği görülüyor. Branşların sayısı ise belli bir K değeri için çözüm teşkil eden s değerlerinin sa yısına eşittir, ki bu da 1 + KG(s) = O ifadesi nin derecesi demektir. Fizik olarak gerçekleşti rilebilen sistemlerde G(s) ifadesinin kutup sayı sı sıfır sayısından yüksektir; bunun neticesi ola rak da l+KG(s) = O ifadesinin derecesinin ya nı geometrik yer branş sayısının G(s) in kutup sayısına eşit olacağı söylenebilir.

2) Açık çevre transfer fonksiyonu sıfırlara sahipse branşların bir kısmı bu sıfırlar üzerine kapanır, geriye kalan branşlar ise sonsuza uza nır :

Bu özellik de gene geometrik yeri l+KG(s) = 0 denklemini sağlıyan s noktalarının teşkil et tiği düşünülerek gerçeklenebılir. K nın sonsuz büyük değerleri için bu ifadenin çözümleri G(s) 1 sıfır kılan s değerlen yani açık çevre sı fırlarıdır. Bu şekilde branşların bir kısmının K nın sonsuz büyük değeri için mevcut açık çevre sıfırlarına erişeceğini görmüş olduk. Geriye ka lan açık çevre kutup ve sıfır sayıları arasındaki farka eşit sayıda branş sonsuza uzanır zira s nin sonsuz büyük değerleri de G (s) i sıfır yapabi lecektir.

3) Geometrik yerin sonsuza uzanan branşla 360° rina ait asimptotları arasındaki açı P —Z dir. Burada P açık çevre kutupları, Z ise açık çevre sıfırları sayısını göstermektedir. Reel ek senle asimptotlara yaptığı en küçük açı ise 180° dir: P—Z

1 + KG (s) = O ifadesi G (s) = — K

şeklinde yazılabilir, s nin sonsuz büyük değerle

ri için G(s) n = P — Z olmak üzere

kabul

sn

edilebilir. Bu ifadenin açı şartını sağlıyabılmesi

I s 4. 180° ip m360°

•— =

olması ile mümkündür.

P—Z

Burada m ye muhtelif değerler verilerek muh

telif asimptotların reel eksenle yaptıkları açılar

elde edilir. Asimptotlar arası açı ile asimptotla

rın reel eksenle yaptığı en küçük açının değen

bu ifadeden görülmektedir.

4) Asimptotların başlangıç noktasının reel

eksen üzerinde ve açık çevre sıfır ve kutupları

nın ağırlık merkezinde olduğu kabul edilebilir.

Buna göre kutuplarda birim kütle, sıfırlarda bi

rim negatif kütle bulunduğu ve pa, p2, p3... ün mevcut açık çevre kutupları, z,, z2, z3... ün de

sıfırlarının absislerini gösterdiği düşünülürse,

başlangıç noktasının absisi

(P1+P2+P3 ) —(Z! + z,+Za...

P —Z saplanabilir.

ifadesi ile he

5) Sonsuza uzanan branşların iki veya daha fazla olması halinde yani P—Z=n>.2 ise kapa lı çevre transfer fonksiyonu kutuplarının ağırlık merkezi K nın değeri ne olursa olsun değişmez ve reel eksen üzerindedir:

Kapalı çevre transfer fonksiyonu Şek. 1 de

görülen sistem için

• dir. Bu ifade

1 + KG (s)

nin kutuplarının 1 + KG (s) = O m kökleri ol

duğu aşikârdır. Bu köklerin su s2, s3... olduğunu kabul edelim. G(s) ifadesi a ve b ler reel sayı

ları göstermek üzere

+ b 3 s z~3

V'

Plı

Sr + a j S r +a a

î

+raa 3zs p 3

şeklinde yazılabilir. P—Z=2 kabul edersek

l+KG(s) = O ifadesi SP 4. a^1" 1 4 ( a a + K ) s p * + . . . = O olarak elde edilir. Şu halde köklerin toplamı

Sı+s2+s3+ değerine tâbi değildir.

= a, dır ve K nm

6) Reel eksen üzerindeki bir noktanın sağ

tarafındaki kutup ve sıfır toplamı tek sayıda ise

bu nokta geometrik yere aittir:

Böyle noktaların açı şartını sağladığı kolay lıkla görülür.

7) Reel eksen üzerindeki açık çevre kutup

larından başlayan branşların reel eksenden ay

rılma noktası, bütün açık çevre kutup ve sıfırla

rının reel olması halinde

—

1 x—pn

1 X Zm

1 pk X

1 Z| X

ifadesinden hesaplanabilir. Burada x ayrılma

noktasının P ve Z ler ise sirasiyle kutup ve sıfır

ların absislerini veya orijine olan uzaklıklarını

göstermektedir, n ve m x noktasının sağındaki

k ve 1 ise solundaki kutup ve sıfırlara tekabül

eden indislerdir. Şekil 6 da görüldüğü gibi ayrıl

ma noktasına çok yakın geometrik yer üzerinde

ki bir A noktası için açı şartı, açıların tanjantla

rının radyan değerlerine eşit olduğu kabulüyle.

Al , Al

x Pı 1

x — zx 1

jX

Z2

x —z ,

o—x z . — x p , — y

olarak yazılabilir ki bu da yukardaki ifadeden

başka birşey değildir. Umumiyetle ayrılma nok

tasının yeri yaklaşık olarak bilindiği taktirde

denklemin doğrudan doğruya çözülmesi yerine

ı ImoJInK

JT rt«t r e —•

Şekil: 6 x e değerler verilerek tatonman yapılması neti ceye çok daha kolay ulaştırır.

8) Ayrılma noktasının tayini bakımından kompleks sıfır ve kutuplar reel eksen üzerinde eşdeğer tesirli bir çift sıfır veya kutup olarak nazarı itibara alınır:

Şekil 7 de görüldüğü gibi orijinden x uzakli ğındaki bir ayrılma noktasına nazaran B nokta sındaki bir çift kutup, kompleks P3 ve P2 kutup larına eşdeğerdir. Hakikaten A noktasında açı

Şekil: 7 şartı yazılırken Pj, P2 kutuplarının varlığı dola yısiyle Px A ve P2 A vektörleri açı ifadesine y—S değerinde bir açı katar. Şeklin geomet risinden y=a+p ve <*=/3+8 eşitlikleıi yazılabi lir. Bu iki ifadeden y—8=2/3 bulunur.

Kutuplardan A noktasına uzanan vektörlerin açık çevre tarnsfer fonksiyonuna bağışladığı açı, 2/s mutlak değerinde pozitif bir açıdır. P x x ePı noktasından çizilen dikmenin reel ekseni kestiği B noktasından A ya uzanan vektörün reel eksenle yaptığı açı ise Ax mesafesi çok küçük olduğundan P kabul edilebilir. Bu noktada çift kutup bulunduğuna nazaran da açı 2/3 olacaktır.

Buradan anlaşılıyorki yaklaşık ayrılma nok tası seçildikten sonra bu noktayı kompleks ku tup veya sıfırlara birleştiren doğruya çizilen dik melerle eşdeğer reel, çift sıfır ve kutuplar bulu nur, bundan sonra da 7. özellik kullanılarak tah minin iyi olup olmadığı araştırılır.

9) Branşların imajiner eksenle kesim nokta larına tekabül eden frekans ve K kazancının de ğeri 1+KG (s) = O denkleminde s yerine j<o konulup reel ve imajiner kısımlar ayrı ayrı sıfı ra eşitlenerek bulunur. Routh Testi ile de bu malumatın elde edilmesi mümkündür.

10) Bu metot geri besleme yolunda Şekil 8 de görüldüğü şekilde transfer fonksiyonu AF (s) olan bir blokun bulunması halinde de kullanıla bilir.

Şekil: 8

Bu taktirde açık çevre transfer fonksiyonu KG (s) AF(s) ve karakteristik denklem de 1 + KG(s) AF(s) = O dır.

Yukarda sıraladığımız özellikleri nazarı iti

bara alarak geometrik yerin ne şekilde olduğu

nu bir kaç misalde inceliyelim.

Misal 1

s+4

(s+2) (s+9)

Açık çevre kutupları s = — 2 ve s= — 9

Açık çevre sıfırı ise s = — 4 dür.

Geometrik yer, açık çevre kutupları sayısı iki

olduğuna nazaran iki branşa sahiptir. Branşların

K=O a tekabül eden başlangıç noktalan s= —2

ve s = — 9 dur. Bu branşlardan birisi K = os

değeri için açık çevre sıfırı olan 4 noktasına

ulaşacak, diğeri ise sonsuza uzanacaktır. Sonsuza

giden branş asimptotuyla çakışacak yani reel ek

senle yaptığı açı 180° olacaktır. Aynı zamanda

reel eksenin —2 ile —4 arasındaki kısmı sağ ta

rafta tek bir kutup bulunduğundan geometrik

yere aittir. Her iki branş da reel eksen üzerinde

bulunuyor, branş sayısı ikiden fazla olamıyaca

ğına göre başka branş aranmasına lüzum yoktur.

Netice Şekil 9 da gösterilmiştir.

Bu misal için karakteristik denklem klasik

yolla K nın muhtelif değerleri için çözülürse

aynı neticelerin elde edilebileceği aşikârdır.

ımajmer

K..o K=0

K= ~ K=0

Şekil: 9

Misal 2

s+9

G(s)

(s+1) (s+4) (s + 10)

Açık çevre kutupları s = — 1, s = — 4 ve

s = —'10,

Açık çevre sıfırı ise s = — 9 dur.

Geometrik yer üç branşa sahip olacak bun

lardan birisi K = OB için, s = — 9 açık devre sı

fırına erişecek diğer iki branş ise sonsuza uza

nacaktır. Asimptotların sayısı iki dir; bunların

180°

reel eksenle yaptığı en küçük açı

= 90°,

360°

aralarındaki açı ise

= 180° olacaktır.

Kapalı çevre kutuplarının yani 1+KG (s) ifa desi sıfırlarının vektörel toplamı sabittir ve K nın değerine tâbi değildir. K=O değeri için branşlar açık çevre kutuplarından başladığına nazaran l+KG(s) = O ifadesinin K = O için kökleri — 1 , —4, ve —10 dur. Bunların toplamı —15 vermektedir ki bu değer açık çevre kutup sayısı, sıfır sayısından iki büyük olduğuna na zaran K nın değişmesine tâbi olmıyacak ve dai ma aynı kalacaktır. Demekki l+KG(s) = O ifa desinin herhangi bir K değeri için köklerinden ikisinin bilinmesi halinde üçüncü kök kolaylık la hesaplanabilir.

Asimptotların başlangıç noktası verilen ifa

—1—4—10—(—9)

deye göre 2 bulunur.

= — 3 olarak

Sağ tarafta tek sayıda sıfır ve kutup kalması bakımından reel eksenin —4 ve —1 arasındaki ve —9 ile —10 arasındaki kısımları açı şartını sağlar; geometrik yere dahildir.

K=O için —1 ve —4 kutuplarından çıkan branşlar K nın belli bir değerine kadar reel ek seni takibedip sonra ayrılırlar ve birisi yukarı ya diğeri aşağıya kıvrılarak K_> co için asimp totlara yaklaşıp sonsuza uzanırlar.

Ayrılma noktası orijine x mesafede ise

x—1

4—x 10—x 9—x

ifadesinden tatonmanla x = 2,54 olarak bulunur

Bukadar malumatla geometrik yer takriben çizilebilir, açı şartının sağlanıp sağlanmadığım araştırmak için iletki veya Spirale kullanılması

B

K=0 B, . K = 10 9

13 12

|1 K=0

ree

Şekil: 10

na lüzum kalmadığı görülüyor. Geometrik yer üzerinde, herhangi bir noktada K değerinin ne olduğunun bilinmesi ' istenirse mesafeler ölçüle rek amplitüd şartı kullanılır veya Spirule ile bu değer tâyin edilir. B noktasına tekabül eden K değeri ölçme ile 62 olarak bulunmuştur. Aynı K değeri için diğer kökler Bt ve B2 olacaktır.

Misalimizde K nın küçük değeri için karak teristik denklemin her üç kökünün de reel ol duğu ve bu durumun ayrılma noktasına kadar devam ettiği görülüyor. Ayrılma noktasında iki branş çatıştığı için üç reel kökten ikisi eşit ola cak ; K nın daha büyük değerleri içia ise birtek reel, iki kompleks konjüge kök elde edilecek tir. Ayrılma noktasına tekabül eden K değeri için sistem kritik söndürülmüştür. Bu noktadaki K değeri

J__

(»—2,54)

6.46

K (10—2,54) (4—2~54) (2,54—1)= 1,54x1,46x7,46 amplitüd şartından 2,6 olarak bulunur.

K = 2.6 için karakteristik denklemin iki kö kü —2,54 değerine eşittir; üçüncü kök ise —9 ile —10 arasındaki üçüncü branş üzerinde bulu nur . Köklerin toplamı —15 olacağına nazaran üçüncü kök —9.92 değerinde çıkar geometrik yer şekil 10 da gösterilmiştir.

Misal 3:

ise

(S + 1) (s+4) (s + 10)

Açık çevre kutupları — 1 , 7—4, ve —10 dur.

Geometrik' yer üç branşa sahiptir. Branşlar K = O için — İ , —4 ve —10 noktalarından bağlı

yarak K H> co için sonsuza uzanırlar. Asimptot sayısı üçdür.

Asimptotların başlangıç noktası: —1+(—4) + (_ 10)

=' —5 olarak çıkar.

Asimptotların reel eksenle yaptığı en küçük 180°

açı

= 60°, asimptotlar , arası açı

360° 3 = 120° dir.

Kapalı çevre kutuplarının yani karakteristik denklem köklerinin vektörel toplamı Knın bü tün değerleri için sabit ve —1 + (—4) + (—10) = —15 değerine eşittir.

Reel eksenin —4 ile —1 arasındaki kısmı ile —10 noktasının solunda kalan kısmı açı şartını sağlıadığı için geometrik yer üzerindedir.

fenajiner

A'*\ 7.35

/K=0

ib

V£

reil

Çİ7.36

ŞeMl : 11

1— ve —4 den başlayan branşların reel ek senden ayrılma noktasının orijine »ggiriıgt

X—1 10—X 4—X ifadesini gerçekleyen x = 2,35 olarak tatonman la bulunur.

Geri beslenmiş sistemi kritik sönümlü kılan

K değeri

ifa

K (2,35—l)ı(4—2,35) (10—2,35)

desinden,17 olarak elde edilir.

Karakteristik denklemin bu K değeri için iki kökü biribirine eşit've —2.35 değerinde üçüncü kök ise —10,3 değerine eşittir. K nın kritik ' sö nüme tekabül eden değerden daha'büyük olma sı 'halinde geri beslenmiş sistemin geçiş davra nışı titreşimlidir.

Stabilite limitini yani branşların imaginer eksenle kesim noktalarını tâyin etmek için l+KG(s) = O ifadesinde s = j w koyalım :

O

1+7(Tj

(

veya — j w3 — 15tua + 54 ju?

bulunur, imajiner kısım

jıy (— w* + 54 )

sıfıra eşitlenirse kesişme noktalarının ordinatı

to = +_ 7,35 elde edilir.

Reel kısmın sıfıra eşitlenmesiyle —15 w 2 + 40 + K = O bulunur.

Bu ifadede «> 2 = 54 konularak K = 770 elde edilir. Stabilite limitinde karakteristik denkle min iki adet ^7,35} e eşit imaginer kökü bir de 15 değerinde reel kökü bulunur. Reel kö kün değeri gene köklerin vektörel toplamının —15 değerine eşit olmasından istifade edilerek hesaplanmıştır. Bu misale ait geometrik yer şe kil 11 de görülmektedir.

Misal 4

G(s) = •

s(s2 + 12s+45)

Açık çevre kutupları 0, —6 + 3 j ve —6—3j değerindedir.

Üç sonsuza uzanan branş ve üç asimptot bu lunur.

Asimptotların başlangıç noktası

= 4 olarak elde edilir.

Asimptotların reel eksenle yaptığı en küçük açı*60° ve asimptotlar arası açı ise 120° dir.

Reel eksenin negatif tarafı geometrik yere aittir, zira bunun üzerindeki herhangi bir nokta nın sağında bulunan kutup ve sıfır sayıları top lamı tektir. K değerinin artmasiyle komplex ku tuplardan başlıyan branşların reel eksene inip biribiri ile karşılaşması bu eksen üzerinde bir miktar ilerledikten sonra tekrar ayrılıp asimp totlara yaklaşması beklenebilir. Bu branşlarında reel ekseni takibetmesi halinde karakteristik denklemin her üç kökünün de reel olması icabe decektir.

Ayrılma noktası bu misal için ikinci derece den bir denklemin çözümü ile elde edilebilece ğinden tatonman kullanılmasına lüzum yoktur.

Şekil 12 den görüldüğü gibi ayrılma nokta sının Ada bulunduğunu kabul edelim eşdeğer çift kutbun A noktasına uzaklığı 1+m dir. Ayrı

9 ca dik üçgen özellikleri kullanılırsa 1 = — elde m edilir.

Ayrılma noktasının gerçekleşmesi gereken

•3J

Şekil : İZ

denklem bu taktirde 6—m veya m2 — 4m + 3 = 0

1+m 9 —+ m m

Buradan m1(2 = + 2 +_ V 4—3 = 3; 1 elde edilir.

Bu netice absisleri —5 ve —3 olan iki ayrıl ma noktasının varlığını gösteriyor. Bunlardan .—5 noktasına kavuşma noktası demek biraz da ha makul görünmektedir, zira bu noktada komp leks kutuplardan çıkan branşlar reel eksende kavuşmakta ve bu hal ikinci nokta olan —2 ye kadar böylece devam etmektedir.

İki kritik noktaya tekabül eden K değerleri sırasiyle 50 ve 54 dür K bu değerler arasında değiştiği taktirde, bu açık çevre transfer fonksi yonuna sahip geri beslenmiş sistemin geçiş dav ranışı titreşimsiz olacak yani karakteristik denk lemin bütün kökleri negatif reel kalacaktır. K = 50 için karakteristik denklemin iki kökü —5 üçüncüsü ise —2 değerine eşittir. K = 54 olması halinde ise kökler —3, —3, ve —6 olarak bulunur.

Sistemin stabilite limitinde K = 540 dır. Bu taktirde reel kök —12, imajiner kökler ise +_JV45~= +J6.7 çıkar.

Geometrik yer Şekil 13 de görülmektedir.

Son olarak

olarak verilmiş

s(s + a—jb) ( s + a + j b )

geri beslenmiş bir sistemin, bir veya bazı K de

ğerlerinde kritik sönümlü olabilmesi için a ve b

arasında bulunması gerekli bağıntıyı arıyalım. a

ve b nin herikisinin de pozitif reel olduğunu ka

bul edeceğiz.

Şekil 14 a dan görüldüğü üzere b2 = 1 x m b2 veya 1 = — yazılabilir,

ımajtner

ımajıneı

Şekil: 13

A ayrılma noktası ise

a—m 1+m b2

şartı sağlanmalıdır.

—+m

Buda 3m2 — 2am + b2 =0 ad+eVnakl2e—m3inbi2 verir.

Buradan kökler m,,2 =

olarak

çıkar, m in bir uzunluğu temsil etmesi bakımın

dan pozitif ve reel çıkacağı aşikârdır. Demekki

kompleks kutuplardan çıkan branşlar ancak a2 ^ 3b2 olması halinde reel eksen üzerinde bir leşebilirler. a2 = 3b2 hâli kavuşma ve ayrılma

noktalarının çakışmasına tekabül eder. Şekil 14 b de geometrik yer a2 = 3b2 şartını sağlıyan

G(s)='

için çizil

s(s+3—JV3) (S+3 + JV3) mistir. Sekil 14c ise a 2 < 3 b 2 şartına tekabül eden

Şekil : 14 (a)

için takribi geo

s(s+3—J2) (S + 3+J2)

metrik yeri göstermektedir.

Referanslar:

1) Walter R Evans, «Control System Dynamics,» McGraw Hill Book Company, Inc , 1954.

2} J C Güle, M J PĞlegrin, P. Decauline, «Peed back Control Systems,» McGraw Hill Book Company, Inc, 1959.

3) John G. Truxal, «Automatic Feeüback System Synthesls,» McGraw Hill Book Company, Inc , 1955.

4) John G. Truxal (editör), «Control Engineers' Handbook,» McGraw Hill Book Company, Inc., 1958.

5) C. J. Savant, J r , «Basic Peedback Controi Sys tem Design,» McGraw Hill Book Company, Inc., 1858.

6) Robert A. Bruns, Robert M. Saunders, «Analy sis of Peedback Control Systems,» McGraw Hill Book Company, I n c , 1955

7) Harold Chesnut and Robert "W Mayer, «Servo mechanisms and Regulating System Design,» ı. Cilt, ikinci baskı, John Wiley and Sons Book Company, Inc., 1959. (Yazar son referansta bazı hatalar bulunduğu kanaatindedir.)