OTOKORELASYON METODU İLE RASTGELE FONKSİYONLARIN SPEKRAL ANALİZİ

Otokorelasyon Metodu İle Rastgele Fonksiyonların Spektral Analizi

Yazan : Dr. HalU BENGÎ ODTÜ

ÖZET

Bu yazıda sınırlı süreli eğriler, yahut eşit aralıklı değerler halinde verilen rastgele fonksiyonların otokorelasyon metodu ile spektral analizlerinin nasıl yapılacağı, ve uygulamada nelere dikkat edilmesi gerektiği anlatılmıştır.

SVMMARY This ıcork is an attempt to present to the reader the practical aspectst of, and some of the problems involved in, the spectral analysis of random processes (ıvhich have öeen gathered either in the form of continuous records of finite length or in the form of egui-spaced data) oy autocorrelation.

Evrende ve çevremizde birçok olaylar rastgele (random) değişmeler gösterirler, örneğin astronomi, meteoroloji, jeofizik, mühendislik, komünikasyon, endüstri, ulaşUnma, trafik, ekonomi, ticaret, eğitim, sağlık, pazarlama Vjb. alanlarındaki çeşitli olaylar ve oluşumlar gibi. Rastgele değişimli olayları bir denklemle belirleyip bunları bilinen klasik matematik metodlarla incelemek mümkün değildir. Bu bakımdan rastgele fonksiyonların incelenmesinde istatistik metodlann, bilhassa son yirmi1 yıl içinde çok hızlı gelişmeler göstermiş bulunan korelasyon tekniğinin ötnemi (büyüktür. Bu yazıda korelasyon tekniğinin sadece bir bölümünü teşkil eden otokorelasyon metodu İle rastgele fonksiyonların spektral analizi ile, metodun uygulanmasında İzlenmesi gerekli işlemler anlatılmıştır. Problem genel görüntüsüyle ele alınmış olmakla beraber ağırlık daha çok eşit aralıklı bir rastgele serinin spektral analizinin bilgisayarla çözümüne verilmiştir. Anlatılan spektral analiz metodu stasyoner ve ergodik olan bütün rastgele olaylar için geçerlidir.

1. SPEKTRAL YOĞUNLUK : ^ („)

Bir f(t) rastgele fonksiyonunu tanımlayan en önemli özelliklerinden biri, fonksiyonun spektral yoğunluğudur. Spektral yoğunluk, yahut güç spektral yoğunluğu, fonksiyonun enerji yeteneğinin frekans spektrumu içindeki dağılımını gösterir, ve (D ile veriHr. Burada F („,), f (t)'nin Fourier transformunu gösterir. (1) denkleminden görüleceği

gibi, ff, (^'nın hesaplanabilmesi için f(t)'nin Fourier transformunun bulunması zorunludur. Bir rastgele fonksiyon ise t •= — oo da başlayıp, kendisini hiçbir zaman tekrar etmeden, t = + oo a kadar devam eder. Bu sebeple böyle bir fonksiyonun Fourier transformunu, dolayısıyla klasik metodlarla spektral yoğunluğunu tam olarak hesaplamak mümkün değildir.

Verilen bir rastgele fonksiyonun spektral yoğunluğunu yaklaşık olarak hesaplamanın çeşitli yollan vardır, örneğin, uygulamada böyle bir fonksiyonun, Şekil l'de görüldüğü . gibi, ancak t, ve tj ile sınırlı bir parçasının ölçülmesi mümkün olabileceği için aşağıdaki yollardan biri tutulabilir.

1. f(t)'nin periyodik bir fonksiyon olup periyodunun t, - tj = T olduğu farzedilir ve bu sözde periyodik fonksiyonun Fourier tranaformu hesaplanır. Sonuç bir çizgi spektrumudur.

2. f(t)'nin aperiyodik bir fonksiyon olduğu ve T kısmı dışında t'nin bütün değerleri için f(t) = 0 olduğu farzedilir, ve bu sözde aperiyodik fonksiyonun Fourier transformu hesaplanır. Sonuç bir sürekli yoğunluk eğrisidir. Her iki metodun da hatalı olduğu açıktır; fakat her iki metod da f (t)'nln spektrumu hakkında benzer yaklaşık sonuçlar verirler.

3. Oldukça sık kullanılan bir metod da şudur : f(t) önce bir manyetik banda kaydedilir. Sonra bu bandın iki ucu birleştirilerek sonsuz band haItnde bir band okuyucu cihaza yerleştirilir. Cihazın çıkışı akordlu bir filtre devresinden geçirilir. Cihaz devamlı olarak çalıştırılmak ve bandın her bir devri için filtre başka bir frekansa ayarlanmak suretiyle çıkıştan f(t)'nin spektral analizi elde edilir.

4. Spektral yoğunluk en doğru şekilde otokorelasyon metodu uygulanarak Wiener-Khintchine bağıntısından bulunur.

2. WIENER - KHINTCHINE BAĞINTISI

Herlıangi bir f(t) fonksiyonunun E ( T ) ile gösterilen otokorelasyon fonksiyonu

B ( T ) = Lim

f(C)

J T1

f(t+T)dt (2)

denklemiyle verilir. Bu denklemde T fonksiyonun entegrasyon süresini, T ise f(t) nin f(t + T) durumunu alması için t boyutunda «gecikme» yahut «kaydırılma» süresini gösterir. Bir f (t) fonksiyonunun otokor.>:asyon fonksiyonu E ( T ) İse, E(T)'nin Fourier transformunun, f(t)'nin spektral yoğunluğunu verdiği Norbert Wiener tarafından ispatlanmıştır. Buna göre,

apektral yoğunluğunu bulmak için önce bu fonksiyonun otokorelasyon fonksiyonu hesaplanır, sonra 'bunun Fourier transformu bulunur, önemli bir nokta da şudur: f(t)'nin ortalama değeri sıfır olmalıdır. Aksi halde <£ (<,,) fonksiyonu <„ = 0 için bir impulsa dönüşür.

3. SINIRLI OTOKORELASYON FONKSİYONU : E,(T)

Yukarıdaki denklemlerde T v e ^ sonsuz büyük olarak alınmışlardır. Bu gekilde hesaplanan E ( T ) ve ff, ((,,) sırasıyla f(t)'nin hakiki otokorelasyon ve spektral yoğunluk fonksiyonlarını verirler.

Uygulamada ise bir rastgele fonksiyonun ancak amirli bir kısmını elde etmek mümkün olabileceğinden, T ve T da sınırlıdırlar. T uzunluktaki sir nırlı bir rastgele fonksiyonun «sınırlı otokorelasyon fonksiyonu» E,(T) aşağıdaki (5) denkleminden, ve spektral yoğunluğu da (6) denkleminden hesaplanır :

Es(x) = -

f(t) . f(t+T) dt

-jlOT

E (T)e

(5)

(3)

otokorelasyon fonksiyonu T = 0"a göre simetrik bir fonksiyon olduğundan, bunun Fourier trans- A formu, daha basit olarak, bir kosinüs transfor- s muna dönüşür:

E ( T ) . COS CüT dT

"•\ o

(6)

+ oc

E ( T ) COS .GûT dT

oo

(4a)

yahut tek yönlü olarak aşağıdaki eşitlik elde edilir :

ICO E (T)

cos

urr

(4b)

(4) denklemi «Wle3er - Khintenine bağıntısı» dır. Bu denklemden görüleceği gibi, bir fonksiyonun

(5) denkleminde T entegrasyon süresi önemlidir.

T istenildiği kadar büyük alınabilir, fakat istenildiği kadar kısaltüamaz. Teorik olarak T, f (t) içindeki en düşük frekans periyodunun en az 10 katı olmalıdır, ve işaret/gürültü oranı düştükçe Tnin de 1 - 2 kat arttırılması gerekir [4]. Ayrıca,

Tm/T oranı da % 5 veya daha küçük yapılmalıdır. Burada Tm maksimum gecikmenin mutlak değerini gösterir ( T m = | T m M | ) . Bundan başka, daha önce de işaret edildiği gibi, f(t)'nin sıfırdan farklı f gilbi bir ortalama değeri varsa ilk önce bu ortalama değer f (t)'den çıkarılmalıdır.

Bu şartlar sağlandığı takdirde hesaplanan E s ( T ) , hakiki E ( T ) dan pek farklı olmaz. Bu sebeple uygulamalarda genellikle bu şartlar sağlanmak suretiyle otokorelasyon fonksiyonu (5) denkleminden, ve yaklaşık sonuçların yeterli olarak kabul edilebileceği hallerde spektral yoğunluk (6) denkleminden hesaplanmaktadır.

Şekü l'den görüleceği gibi, ] T | büyüdükçe entegrasyon süresi ( = T — \ ^ \ ) küçüldüğünden, sınırlı

SEKIL I SINIRLI OTOKORELASYON FONKSİYONUNUN ELDE EDİLMESİ otokorelasyon fonksiyonu, daha doğru olarak, aşağıdaki (7) denkleminden hesaplanmalıdır :

Yukarıdaki denklemlerde P ( T ) «gecikme penceresi>dir. P(ü)) İse «spektral pencere» olup P ( T ) nin Fourier transformudur ve ikisi birlikte bir pencere çifti teşkil ederler. ,£'(<„) İse ^>m{0))'tûn grup ortalamasıdır ve * işareti «konvolüsyon» işlemini gösterir. Yukarıdaki (10) denklemi çok önemli bir sonucu açıklamaktadır : Buradan görüleceği gibi (^(^rnın grup ortalaması olan <£m(w). f(t)'nln hakiki spektral yoğunluk fonksiyonu olan (f, ((J'nın P(w) ile «düzgünleştirilmiş» şeklinden ibarettir.

Buradan şu önemli sonuca varılır : Uygun bir pencere fonksiyonu kullanmak suretiyle f(t)'nin T uzunluğundaki bir kusmandan aynı f(t)'nln T _>. oo için spektral yoğunluğu çok yakın olarak hesaplanabilir (Böyle bir işlem Es(^) İle E ( T ) arasındaki farkı daha da arttırdığı halde <£m(<a) yi <£(ü))'ya 5°k yaklaştırır.

Bg(T) = T -

1I - T T- T

Tm « T için (5) ve (7) denklemleri hemen hemen aynı sonuçlan verirler.

4. «PENCERE» FONKSİYONU Her ne kadar yukarıda açıklanan şartlar sağlandığında Es(T) İle E(T) arasındaki fark çok küçülürse de aynı şey ^,s(w) ile ^ (<u) İçin söylenemez. Çünkü, Şekil 2"den

E (T) = B (T) P(T)

f(t - h f(t + j (7) Hesaplama işlemi iki türlü yapılabilir : Uygun bir pencere fonksiyonu P(^) seçildikten sonra, a. önce E m ( T ) = E 3 ( T ) . P ( T ) çarpinu işlenir ve sonra bunun Fourier transformu bulunur. b. Yahut, önce E3(T) ile P ( T ) nin ayrı ayrı Fourier transformlan alıntr ve sonra bulunan Fourier transformlarının konvolüsyon işlemi yapılır.

- K^

|T < T m

>T

(8)

olduğu görülür. Böylece, sıniırtı bir f(t)'nin spektral yoğunluğu (8) denkleminin Fourier transformuna eşit olup

<J> ( ü J ) = (j)

• P(ÜJ)

(9)

m

*

ile verilir.

Ayrıca, f(t) grubunun ergodik özelliğinden dolayı (9) denkleminden

(10) olduğu gösterilebilir. Elektrik Mühendisliği 186

C/21

SEKİL 2

SINIRLI OTOKORELASYONUN ELDE EDİLMESİNİ

VE GECİKME PENCERESİNİ GÖSTEREN PRENSİP SEMASI

(8) ve (9) denklemlerinden de görüleceği gibi her iki rnıetod da aynı sonucu verirler; fakat uygulama bakımından (a)'dakl yol analog hesaplamalar için, (b) deki yol İse sayısal hesaplamalar için daha uygundur.

Uygun bir pencere fonksiyonu Şekil 3'de görüldüğü gibi azçok yarım koslnüs dalgası şeklinde, ve konvolüsyon işleminde etkilerinin mümkün

'al

(b)

SEKİL

3 PENCERE FONKSİYONLARI ( a l CECIKME PENCERESİ

,(bl SPEKTRAL PENCERE

olduğu kadar az olması için yan karıncıkları (side lobes) çok küçük olmalıdır. Bunun için çaigltli pencere fonksiyonları teklif edilmiştir. Uygun iki pencere fonksiyonunun denklemleri aşağıda, ve şekilleri de Şekil 4'd.e verilmiştir.

(a) «Hanning» penceresi:

L » J -2 I 1 +Tcos ^- I

=0 (b) «Hamming» penceresi :

Şekil 4'den de -görüleceği gibi, Hanning penceresinde yan karıncıklar gittikçe küçüldüğünden bunların konvolüsyon yoluyla spektral yoğunluk üzerine yansıyan zararlı etkileri de gittikçe azalır. Bu sebeple, özellikle spektral yoğunluk grafiğinde fazla sayıda ve oldukça büyük maksimalar bulunduğu hallerde, Hanning penceresinin kullanılmasa daha uygun olur.

5. EŞÎT AR.AT.TKT.T BASTGELE SERİ HALİ

Sürekli bir f(t) rastgele fonksiyonunun spektral yoğunluğu analog olarak yukarıda anlatılan şekilde hesaplanır. Spektral yoğunluğun bilgisayar ile hesaplanmasında ayni yol izlenmekle beraber, İşlem aşağıdaki şekilde yapılmalıdır :

1. Spektrumun (fm|n -f m a x ) bandı içindeki yo. ğunluğu hesaplanacaksa, önce f(t) uygun bir filtreden geçirilerek' bu band dışında kalan bütün istenmeyen frekanslar süzülür. Bu süzme işlemi analog hesaplamalar için de zorunludur.

(İD

|T| >

1.08' + 0.92 cos

. . T 1 1 < m T i ç i n (12)

T > T için m

2. fn g fmax olacak şekilde bir fn «Nyqulst frekansı», (veya «katlanma frekansı») ile, bu frekansın

fTm

20 25

SEKİL U HANNİNG VE HAMMING GECİKME PENCERELERİ1 (a) HANNİNG (b) HAMMING SPEKTRAL PENCERELER (c) HANNİNG (d) HAMMING

(13)

ile belirlediği bir zaman aralığı' seçilir.

1 ve 2 adımlan iyi uygulanmadığı takdirde sayısal hesap sonuçlan, frekans katlanması sebebiyle, spektrumun yüksek frekans ucuna doğru gittikçe yükselen yanlış değerler verir.

3. f (t)'nln Tn = n.At süreli Ibir kısmı üzerinden At eşit aralıklarıyla (n + 1) tane değer okunur. Böylece K^—^, X,, x2 ... xm rastgele serisi meydana getirilir (Şekil 5). Bu serinin x gibi bir ortalama değeri bu ortalama değer x,

rastgele serisinin herblr teriminden ayn ayn çıkarılarak sıfır ortalama değerli bir rastgele seri haline getirilir. (Daha önoe de açıklandığı üzere, Tn süresi fm|n İn periyodunun en az on katı kadar olmalıdır).

4. Bu seri sırasıyla T v= O, At, 2.At,

m. A t

kadar kaydınlmak suretiyle, herblr T değeri İçin

bir tane olmak üzere, aşağıdaki (14) denkleminden (m + 1) tane otokorelasyon değeri, Cr = Co,

C1( C2

C^ hesaplanır.

Zi=n-r n-r

- x) ( x

i=0 (H)

Bu denklemde i = 0, 1, 2, . . . . n ve r = 0, 1, 2, . ., m olup maksimum kaydırma T = m.At dir. Hesaplanan Cr otokorelasyon değerleri At aralıklı yeni bir rastgele seri meydana getirirler (T'nun 0, At, 2.At, ... m.At'den farklı değerleri için Cr hesaplanamaz).

5. C. .rastgele serisinin Fourier transformu hesaplanır. Bu işlem (î^-S) serisinin «ham» spektral yoğunluk serisini verir. Bu yeni rastgele seri

P — "P P P

P

olup Af=fn/m eşit aralıklı (m + 1) terimi vardır. Pr değerleri (14) denkleminin Fourier transl'ormu olan aşağıdaki (15) denkleminden hesaplanır.

= At.

C +2

Z(m-1)

ııt-C)

tu ı

c, tft-ICI

'Yrr

O(tı

ı prr / ^

/

M = 1/2 Tm

-i-rî

—.f

SEKİL. 5 EŞİT ARALIKLI BİR RASTGELE SERİNİN SPEKTRAL ANALİZİ

COS 7T . r

(15)

Bu denklemde r = 0, 1, 2

m ve q.= l, 2,

3, .. ., (m — 1 ) .

6. Pr rastgele serisinin uygıın bir spektral yoğunluk pencere fonksiyonu üe konvolüsyon İşlemi yapılarak <xt—x) serisinin «doğru» spektral yoğunluk değeılerlni veren Rr serisi hesaplanır. Bu yeni rastgele sert

R r ( = R l f R2 ..., R m - 1

(16)

olup Af'=fn/im. eşit aralıklı (m — 1) terimi vardır. (Konvolüsyon işlemi sebebiyle Ro ve Rm kaybedilmiş olur). «Hanning» penceresi ile konvolüsyon işlemi aşağıdaki kısa denkleme dönüşür :

Rr = 0.25 P r _ ! + 0.50 P r + 0.25 P r + 1

(17)

«Hamming» penceresi ile ayni işlem (18) denklemine dönüşür :

Rr = 0.23

0.54

r+1 0.23 P

Böylece, (17) yahut (18) denkleminden istenen spektral yoğunluk eğrisinin (m — 1) noktası elde edilmiş, olur.

örnek :

f(t) random fonksiyonunun spektrumu (0 -150) Hz bandını kaplıyor. Tm/Tn = % 5 alınarak, spektral yoğunluk eğrisini çizmek üzere, eğrinin eşit aralıklı 39 noktasj hesaplanacak.

Çözüm :

1. Rm_! = R39 olması İsteniyor (16 ifadesine bak), o halde m = 40 alınacaktır.

2.

riliyor.

m.At m = — = % 5 ven.At n

O halde n = 800 alınacaktır.

*ma» "= 15° H2 veriliyor. Buna

g-öre, fo = 160 Hz alınacaktır. Bu-

radan, At = =

saniye

olur.

4. Böylece, f(t)'nln Tn saniye süreli bir kısımdan

A=

saniye aralıklarla

n + 1 = 801 değer alınarak

St( = X,), X j , Dijj, , . . , X a o o serisi meydana getirilecektir.

5. Spektral yoğunluk eğrlsindeki frekans aralıkları Af = fn/m = 160/40 = 4 Hz olacaktır.

Bilgisayar kullanarak herhangi bir rastgele fonksiyonun Tm/Tr = •% 5 ile spektral yoğunluk eğrisinin eşit aralıklı 39 noktasını elde etmek üzere aşağıdaki Fortran programı hazırlanmıştır :

Spektral yoğunluk grafiğinin çizüebllmesi için' 39 nokta yeterli bulunmuyorsa İlk seçilen katlanma frekansından az farklı yeni bir katlanma frekansı seçilerek yukarıda anlatılan işlemler tekrarlanır. Bu suretle eşit aralıklı 39 nokta daha bulunmuş olur.

örneğin, yukarıdaki örnek problemde f = 180

Hz alınarak spektrumun Af = 180/40 = 4,5 Hz

aralıklı 39 noktası daha elde edilir, (f

Hz olduğundan 150 Hz'den sonraki noktalar sıfır değerlidir). Bu işlem İstenildiği kadar tekrarlanarak spektrumun istenildiği kadar gok sayıda noktası elde edilebilir.

Bilgisayar kullanarak spektral analiz yapılırken işlem f katlanma frekansının ötesinde devam ettirilmemelidir. Çünkü bu lüzumsuz bir iglem olacağı gibi, frekan3 katlanması nedeniyle, spektrum sonsuza kadar devam ediyormuş gibi bir sonuç vereceğinden yanıltıcı da olabilir.

DIMENSION X(800)* SUMC41)* POWER<40>

DO 11 J=l*800 11 READ (1.12) X(J) 12 FORMAT (F3.0)

AVE = 0.0

DO 13 L=l»800 13 AVE = AVE • X(L)

AVE = AVE/800. DO 14 M = 1.800

14 X(M) = X(M) - AV/E DO 15 1=1.41

15 S U M U ) = 0.0 DO 17 M=l*41 N = 801 - M DO 16 I=1>N JsI+M-1

16. SUM(M) = SUM<M> + X(I)*X(J>

17 SUM(M) = SUM(M)/M WRITE (3*300) <K, SUM(K)# K=l*41)

300 FORMAT (İH *I8* E20.6) DO 18 J=l*40

18 POWER(J) = 0.0 DO 20 J=l*40 DO 19 1=2.40

M = (I - 1)*J 19 P0WER(J) = POWER(J) + 2.*SUM(I)*COS(0.0 78539816*M) 20 POWER(J) = POWER(J) + SUM(l) • (-1 )**U)*SUM(41 )

DO 21 J=2.39 21 POWER(J) = (t .25*P0WER(J-l ) + 0.5*POWER(J)+0«25*POWER(J

HRITE (3#400 (I * POWER(K). K=2.39)

400 FORMAT (İH # 18. E20.6) STOP EMO

6. FREKANS KATLANMASI (ALİASÎNG)

At e§it aralıklı bir rastgele serinin spektral analizinde «frekans katlanması», önlenmesi mümkün olmayan bir özelliktir. Bu özellik sebebiyle x, serisinin (O-f-nu,,) içindeki herhangi bir tt frekansı

f a = ( 2 k . fn + f .1) .

k = 0, 1, 2,

(19)

ile verilen sonsuz sayıdaki tt frekanslarından ayırt edilemez. Bu durumu aydınlatmak üzere

At eşit aralıklı a, b, c, d

noktalarının hem

fj hamı de f-, frekanslı ayrı iki sinüs eğrisi üzerinde bulunabileceği Şekil 6'da gösterilmiştir.

Aynı a, b, c, d . . . . noktalarından frekansları

(19) denklemi üe ve^len sonsuz sayıda sinüs

eğrisi geçirilebilir.

f(t)'ye fn ötesinde istenmiyen gürültü işaretleri kanşrmgsa) hesap işleminin f de durdurulması, frekans katlanmasının zararlı etkisini önleyemez. Çünkü bu koşullar altında hesaplanan spektral yoğunluk grafiğinin fn ile fmnI sınırları arasında kalan kısmı, gerçek spektrum ile 2fn'de katlanan spektrum değerlerinin toplamına eğit olacağından yanlış ve gittikçe artan değerler yerir. (Şekil 8). Bunu önlemek İçin fma,'dan büyük bütün frekansların süzülmesi ve At aralığının da

At = •

olacak şekilde seçilmesi zorun-

2fn 2 f n w , ludur. Bu sebeple, spektral yoğunluğun bilgisayar ile hesaplanmasında fn ye yaklaştıkça hesaplanan değerlerde gittikçe bir yükselme görülüyorsa frekans katlanması ihtimali düşünülerek

tn seçiminin (ve filtre ayarının) yeniden gözden geçirilmesi gerekir.

<jyn

SEKİL 6 FREKANS KATLANMASININ SEBEBNI AÇIKUYAN SEMA EŞİT ARALIKLI DEĞERLER BİRBİRİNDEN AYRI İKİ SİNÜS EĞRİSİ ÜZERİNDE BULUNABİLİRLER

Denklem (19)'da f

olup 2k.f ise «kat-

2.At

lanma frekanslamnı gösterir. Serinin (0-f,,,,, )

bandımı kaplayan gerçek spektrumu, Şekil 7'de

görüldüğü gibi, bu katlanma frekanslarında ters

yönde katlanarak sonsuza kadar kendisini tekrar eder. Buradan görüleceği gibi, serinin gerçek

spektrumu (0 - fmM) cMuğu halde, hesap işlemine devam edildiği takdirde, sonsuz uzunlukta periyodik bir spektrum elde edilir. Bu sebeple işlemin fn'den daha ileriye yürütülmesinde hiçbir fayda olmadığı gibi, yanıltıcı bilgi sağlaması ve

-—•'

GERÇEK SPEKTRUM

KATLANAN

.. (ZAHİRİ]

hesap işlemini uzatması sebebiyle aksine zararlı da olabilir. Ancak, t ^ f ıalLX > n alınmışsa (yahut

GERÇEK SPEKIRUM KATLANAN HESAPLANAN YANILİCI KıSIM

7. ÖN DÜZLEME (PREWHtTENİNG)

Ön düzleme, bir rastgele fonksiyonun ^1^) spekral yoğunluk grafiğini azçok yatay duruma getirme işlemidir. Tam yatay yapmak şart değildir : ^((J'nun M ile değişimini yavaşlatmak, d yani — «4(0))'yi küçük yapmak yetişir.

ön düzleme, spektrum ölçme sonuçlarını daha güvenilir yapması, ve işaret/gürültü oranını yükseltmesi bakımından faydalı bir işlemdir. Ancak, bütün ölçme ve hesaplar ön düzlemeli olarak tamamlandıktan sonra karşıt i£lem (dewhitening) uygulanarak esas spektruma geçilmesi gereklidir.

Sürekli işaretlerin ön düzleme işlemi, bu işaretleri uygun analog filtrelerden geçirmek suretiyle uygulanır, tşlem, ölçme zincirinin mümkün olduğu kadar ilk katlarında uygulanmalıdır. Bir rastgele seriye de sayısal olarak ön düzleme işlemi uygulanabilir. Ancak, bu halde işlemin esas gayesi spektral penceredeki yan karıncıkların, hesap işlemi yoluyla spektrum' üzerindeki zararlı etkisini azaltmaktır.

Esas spektrum fmal a doğru gittikçe azalıyorsa,

z;

ki genellikle böyledir, uygun bir sayısal ön düzleme işlemi aşağıdaki şekilde • uygulanır :

Ortalama değeri sıfırlanmış bulunan x( rastgele serisinden

- X, —

(20)

denklemine göre yeni bir xt rastgele serisi meydana getirilir. Burada i = 0, 1, 2, . . . , m. Bu yeni x( serisinin Rr spektrumu hesaplanır. Bu şekilde hesaplanan R , esas x serisinin istenen sayısal ön düzlemeli spektrumudur, ve

'* (II

R' = R

j

TTr

1 + a - 2.a.cos —

(21)

ile verilir. Bu denklemde a değeri genellikle sıfır ile (-1) arasında bi'lunan bir sayıdır, r = 0, 1, 2, . . . , m olup m İse Tm ı= m.At deki m dir. \a\ büyüdükçe ön düzleme etkisi de büyür. Denklem (21) de

= 1 + a2 2 - 22 . a . cos (22) alınırsa, (21) denklemi (23) şeklinde yazılabilir.

=R

(23)

Şekil 9'da Zr nin r ile değişimi gösterilmiştir. Kalın olarak çizilen eğri a = -0,6 alınarak noktalı çizilen eğri ise «ı= -0,9 alınarak çizilmiştir. Bu eğriler r = 0, 1, 2, . . . £0 için çizilmiş olduğundan 39 nokta ile hesaplanacak olan bütün spektral yoğunluk hesaplarında kullanılabilir. Bu (Zr — T) grafiğinden görüleceği gibi bu şekilde uygulanan bir ön düzleme işlemi spektral yoğunluğun düşük frekans tarafındaki genlikleri gittikçe azaltır, yüksek frekans yönündekileri de gittikçe arttınr. Yukarıda anlatıldığı şekilde Rr hesaplandıktan sonra bulunan değerlerin herbiri ayni .r"ye tekaJbül eden Zr değeri İle bölünerek esas Rr spektrumuna dönülür :

R = R'/Z

(24)

r

rr

.

Zr'nin İstenilen değerleri Şekil 9'daki grafikten okunabilir, yahut (21) denkteminden hesaplanarak bulunur, (ön düzleme işlemi spektrumun baş

ve son uçlarındaki birer değer noktasının kaybına

sebep olur).

ön düzleme ve karşıt ön - düzleme işlemleri yukarıda verilen Fortran programına dahil edilmemiştir, îsetndiğinde bu işlemler ayni programa

kolayca eklenebilir.

20 25 30

-.0

Şekil 9. ön düzleme eğrileri : - (1) a = —0,6 için (2) a = —0,9 için

KAYNAKLAR

[1] H. Bengi : «On the Spectral Analysis of Random Processes by Autocorrelation» O.D.T.Ü. Ekim 1968.

[2] Y. W. Lee : «Statistical Theory of Communication», Wiley, New York (1960).

[3] R. B. Blaıckman and J. W. Tukey : «The Measurement of Power Spectra From the Point of View of Communications Englneering», Dover Publications, Inc. New York (1958).

[4] N. A. Anstey : «Introduction to Correlation Techniques», Seismograph Service (England) Ltd. (1963).

[5] J. D. Robsoa : «An Introduction to Random Vibrations», Edlnburgh University Press (1963).

[6] N. F. Barber: «Experimental Correlograms emd Fourler Transforms», Pergamon Pı-ess Oxford (1861).

[7] Y. W. Lee ve J. B. Wiesner : «Correlation Functions and Communications Applications» Electronics (June 1950).

[8] G. A. Korn : «Randam - Process Simulation and Measurements», McGraw-Hıll Co. New York (1966).

[9] B. Grand, et al : «Using Digital Techniques in L. F. Spectrum Analysis», Electronics (Nov. 1960).

[10J M. R. Schroeder and B. S. Atal: «Generalized, Short-Time Power Spectra Eind Autocorrelation Fonctions», J.A.S.A. (Nov. 1962).