DARBE-MODÜLASYON TEKNİKLERİ VE GÜÇ İNVERTÖRLERİNE UYGULAMA OLANAKLARI

UDK: 621.314.58 : 621376.54 : 621.376.55

Darbe-Modülasyon Teknikleri ve Güç İnvertörlerine Uygulama Olanakları

Dr. M. Celâl TANJU ODTÜ

ÖZET

PAM ve PWM invertör sistemlerinde harmoniklerin kolayca hesaplanması için formüller çıkartılmıştır. Yalnız, p nin (darbe sayısı) çift ve p/2 nin tek olduğu simetrik PAM ve PWM sistemleri göz önünde bulundurulmuştur. PAM invertör harmonik muhtevası ile kare-dalga invertör harmonik muhtevası arasında yakın bir ilişkinin olduğu, fakat PAM mvertörlerde yanlız n = m . p + 1 dereceli kenar bandların bulun'duğu gösterilmiştir. PWM invertörlerde, genel olarak, PAM invertörlere göre aynı p darbe sayısı için daha yüksek harmonik muhtevası vardır. İncelenen PWM invertöründe bütün tek dereceli harmonikler mevcuttur.

SÜMMARY

The paper formulates expressions which enable the harmonic content of PAM and PWM inverter systems to be readily evaluated. Only symmetrical PAM and PWM systems are consıdered in which the pulsenumber p is even and p/2 is odd. it is shown that there is a close relationship between the harmonic content of a PAM inverter and that of a square wave inverter, but only sideband pairs of or. der n = m.p zç. 1 are present in the PAM inverters. PWM inverters, in general, have a higher harmonic content than PAM systems of the same pulse number p. AH orders of odd harmonics are possible in the PWM system considered.

1. GİRİŞ

Güç invertörlerinden (doğru gerilim/alternatif gerilim konvertörü) endüstriyel sahada geniş çapta yararlanılmaktadır. Bu invertörlerin çıkış gerilimleri çoğu kez kare dalga veya basamak şeklindedir. Sinüsoidal çıkış gerilimine ihtiyaç duyulan hallerde en kolay ve pratik yol, çıkış geriliminin filtre edilmesi olarak görülmektedir. Orta güç ve yüksek frekanslarda distorsiyonsuz sinüsoidal çıkış veren ve % 80 verimle çalışabilecek invertör yapmak mümkündür. Fakat, alçak frekans ve yüksek güçlerde distorsiyonsuz çıkış gerilimini, yüksek verimle (°/o 85-% 90), filtre etmek suretiyle elde etmek

çok zordur; çünkü, filtre kayıpları önemli bir düzeye çıkmaktadır. Aynı zamanda reaktif ele. manlann boyutları büyük olmakta, ağırlıkları ve filtre maliyeti artmaktadır, tnvertör verimini artırmak için filtre kayıpları, komütasyon devre kayıpları ve tiristör veya tranzistorlarm kapama ve sönme kayıplarını asgari düzeye indirmek gereklidir. învertörün bünyesi içinde belirli bir modülasyon yöntemi kullanarak yapılacak harmonik eliminasyon, filtre elemanlarının boyut, ağırlık ve maliyetlerinin küçülmesinde en büyük faktör olarak etkisini gösterecektir.

Güç konvertörlerinin, genel olarak, doğal ko-

mütasyonlu ve cebri komütasyonlu güç konvertörleri olarak sınıflandırılabileceği (1) de belirtilmişti. Bu yazıda yanlız cebri komütasyonlu invertörlere değişik modülasyon tekniklerinin uygulama olanakları incelenmektedir. Darbe- genliği modüle edilmiş (PAM) ve darbegenişliğı modüle edilmiş (PWM) invertör sistemlerinde çıkış gerilim harmonik genliklerini verecek formüller çıkartılmıştır. Yanlız, invertör çıkış gerilimi periyodu içinde basamak veya darbe sayısı, p nin çift ve p/2 nin tek olduğu PAM ve PWM invertör sistemleri incelenmiştir.

1.1. Darbe-Modülasyon tekniklerinin uygulandığı güç invertörlerinden istenilen hususlar

Herhangi bir modülasyon tekniğinin güç invertdrlerine uygulanması halinde invertörün aşağıdaki hususları sağlaması arzu edilir.

1. învertör çıkış gerilim toplam harmonik muhteva yüzdesinin (Ek 3) küçük olması, (Bu yüzde genel olarak % 10 u aşmamalıdır),

2. Endüksiyon motor hız kontrolü için değişik frekanslarda çalışabilme olanağı olan invertörlerde V/f oranının değişimi (V invertör çıkış geriliminin, f invertör çıkış frekansına oranı), V/f oranının frekans değiştirme limitleri arasında sabit kalması ,

3. İnvertör yapımının ekonomik olarak gerçekleştirilmesi,

4. Kontrol devrelerinin basitliği ve modüler yapıda olması,

5. İşletme ve bakımın asgari düzeyde olması arzu edilir.

Bu kriterler içinde invertör ve filtre karakteristikleri bakımından en önemli husus, invertör çıkış geriliminin toplam harmonik muhteva yuzdesidir. Bu yüzde ne kadar küçük olursa invertör o kadar distorsiyonsuz sinüsoidal çıkış veriyor demektir.

2. DARBE-MODÜLASYON TEKNİKLERİ VE GÜÇ İNVERTÖRLERİNE UYGULAMA OLANAKLARI

2.1. Giriş

Darbe-Modülasyon tekniklerini Genel örnekleme Teorisine dayanarak izah edebiliriz. Genel Örnekleme Teorisine göre:

Bir sinyal eğer band limitli ise ve bu sinyalin fm (t), en büyük önemli frekansının fm periyodu Tm = l/fm,Tc aralıklarına Tc < Tm/2 olacak şekilde ayrıhrsa ve her Tc aralığı içinde

sinyalden fm (t) herhangi bir şekilde bir örnek alınacak olursa, her alınan örnek değerinin ve Tc aralığı içinde örnek alınma zamanının bilinmesi halinde o sinyal hakkında bütün bilgi bi liniyor demektir (2). (Şekil la,b).

Yukarıda bahsedilen band limitli sinyal fm (t), modüle eden sinyal olarak tanımlanmaktadır.

Modüle eden sinyalin örneklenmiş olarak gösterilmesine modüle edilmiş sinyal denilmektedir. Modülasyon işlemi, bir taşıyıcı dalga fc (t),

darbe genliğinin liliğinin TCk v e v a

Ack, genişliğinin pozisyonunun Tc

veya sürekörnekleme

zamanı içinde modüle eden sinyalin fm (t) değerine göre değiştirilmesidir. Taşıyıcı dalga

fc (t), darbe genliğinde, darbe genişliğinde ve darbe pozisyonunda meydana getirilen değişiklikler sırası ile darbe genlik modülasyonu

(PAM), darbe genişlik modülasyonu (PWM)

ve darbe pozisyon modülasyonu (PPM) olarak

bilinir.

12. Darbe genlik modülasyonu (PAM)

Taşıyıcı dalga darbe genliklerinin modüle eden sinyalin Tc aralıklarındaki değerlerine göre değiştirilmesine PAM denir (Şekil lc). Ek 1 de gösterildiği gibi, taşıyıcı dalga frekansı fc ve harmonik frekansları n.fc etrafında yanlız iki kenar band frekansı vardır (n.fc + fm). Taşıyıcı dalga frekansı fc, modüle eden sinyal periyodu Tm içinde seçilecek p = Tm/Tc = fc/fm aralık adedine göre tamamen elimine edilebilir. Büyük p değeri için PAM invertör çıkış gerilim harmonik muhtevası çok küçüktür.

p = 18 için toplam harmonik muhtevası °/o 6,817 olmaktadır ki, böyle bir invertörün endüstri uygulamasında filtreye ihtiyaç yoktur. Mamafih, PAM tekniğinde PAM çıkış gerilimini meydana getirebilmek için birbirinden farklı düzeylerde doğru gerilim kaynaklarına ihtiyaç vardır. Bu değişik düzeydeki doğru gerilimlerin değerleri, örnekleme anındaki modüle eden sinyalin genliği ile doğru orantılı olacaktır. Modüle eden sinyal genliği ile doğru orantılı gerilim düzeylerinin yüksek güçte ekonomik bir şekilde invertörlere uygulanabilmesi PAM tekniğinin invertörlere uygulanabilme olanağını sağlıyacaktır.

2.3. Darbe zaman modülasyonu (PTM)

Taşıyıcı dalga darbelerinin herhangi bir parametresinin meydana gelme zamanının, modüle eden sinyalin genliğine göre değiştirilmesine, darbe zaman modülasyonu (PTM) denilmektedir. Darbe genişlik modülasyonu (PWM), darbe frekans modülasyonu (PFM), ve darbe pozisyon (faz) modülasyonu (PPM), PTMna ayrı birer örnek teşkil etmektedir.

Ack fe(t)

K=-3 K=-2 K=-1 V K=0 K=1 K=2 K=3

Q fl K=5 K=6 K=7 K=« K=9 K.10

-31c -2Tc -Tc

O Tc 2 T e 3Tc 4Tc 5Tc 6Tc 7Tc «Tc 9Tc 1O1c 11Te

Şekil la. Genel taşıyıcı dalga, fc (t).

Ut)

/ -2Te -Tc

Tm=1/fm

f

3Tc

7Tc /

f^\H

1 1 1 l/l

11h

Tc 2Tc \ 4Tc 5Tc 6Tc / 8Tc 9Tc 10Tc 11Tc

Şekil lb. Modüle eden sinyal, fm (t).

Kr5

Şekil lc. PAM invertör çıkış gerilimi, p = 10.

AcxiFe(t)

-2Tc -Tc O

Tc 2Tc

3Tc 4Tc 5Tc 6Tc 7Tc

STc 9Tc 10Tc TITc

Şekil İd. PWM invertör çıkış gerilimi, p = 10.

2J.1. Darbe genişlik modülasyonu (PWM) PWM da, modüle eden sinyalin örnekleme anındaki değeri, taşıyıcı dalga darbelerinin ön ve/ veya arka kenarlarının modüle edilmemiş taşıyıcı dalga darbelerine göre, olma zamanlarını değiştirir. PWM invertör çıkış gerilimini elde etmek için bir çok yöntem kullanılır. Fakat nasıl bir PWM sistemi kullanıldığını belirtecek yanlız dört parametre vardır. Bunlar :

1. örnekleme yöntemleri, 2. Çıkış geriliminin alabileceği gerilim düzeyleri: ( + 1,-1) veya ( + 1,0,-1), çıkış geriliminde doğru gerilim bileşeni arzu edilmiyorsa,

3. Bir darbenin her iki kenarının modüle edilip edilmediği, darbenin bir kenarı modüle edilmişse hangi kenarının modüle edildiği,

4. Taşıyıcı dalga frekansı fc nin modüle eden

Elektrik Mühendisiiği 202

sinyal fm frekansına oranı fc/fm = p. Burada p tam sayı olmaktadır.

Hangi yöntem kularuhrsa kullanılsın PWM invertör çıkış gerilimlerinde bütün tek dereceli harmonikler mevcuttur (3). Şekil 3,4,5, ve 6 nın incelenmesi halinde genlikleri % 1 in altında olan bütün harmoniklerin ihmal edilmiş olduğu görülecektir. Mamafih, taşıyıcı dalga frekansından fc küçük harmoniklerin genlikleri p = fc/fm değerinin değiştirilmesiyle ihmâl edilebilecek bir düzeye kadar indirilebilir

cek olursa, PWM invertör çıkış geriliminde bulunan önemli harmoniklerin 7 ci harmonikten itibaren başladığı görülecektir. Dolayısiyle PWM invertörlerde, toplam harmonik muhtevasının büyük olmasına rağmen, kullanılacak filtre 7 ci ve daha yukarı harmonik değerlerini süzmek için tasanmlanacaktır. Küçük dereceli harmonikleri süzmeye yarıyan filtre elemanlarının boyutları, ağırlıkları ve maliyetlerine göre yüksek dereceli harmonikleri süzmek için tasarımlanacak olan filtre elemanlarının boyutları, ağırlıkları ve maliyetleri de daha küçük olacaktır.

Şekil 2.

PWM da bir adet doğru gerilim kaynağına ihtiyaç olduğu için PWM sisteminin endüstride uygulama olanakları fazla olmaktadır. Fakat aynı p değeri için PAM çıkış gerilimi veren invertörlerle PWM çıkış gerilimi veren invertörler karşılaştırıldığı zaman, PWM invertör çıkış gerilim harmonik muhteva yüzdesinin çök büyük olduğu görülmektedir (3). PAM ve PYVM ınvertörlerinin çeşitli p değerlerinde, çıkış gerilim harmonik muhteva yüzdeleri mukayese edilerek Şekil 2 de gösterilmiştir. Şekil 2 den de görülebileceği gibi toplam harmonik muhteva yüzdeleri FWM invertörler için % 40 in altına inmemektedir. Fakat Şekil 4,5,6 incelene-

PAM veya PWM modülasyon tekniklerinden hangisinin uygulanacağı yolundaki tercih, tamamen invertörün kullanılacağı alana ve eldeki maddi olanaklara bağlı kalmaktadır. Ek 2 de PWM invertör çıkış gerilim harmoniklerinin hesaplanabilmesi için gerekli formüller çıkartılmıştır.

23.2. Darbe frekans modülasyonu (PFM)

PFM nun da, modüle eden sinyalin örnekleme anındaki değeri taşıyıcı dalga frekansının modüle edilmesini sağlar. (4) de gösterildiği gibi PFM ve PPM birbiriyle çok sıkı irtibatlıdır. Çünkü, taşıyıcı dalga darbe pozisyonunda meydana

Cı

PWM *>Cı = 0966=%100 PAM -*-Cı=0 955=%100

30-

20" 10- I o fm

38 6

C5

18 2 20ı

14 3

C3

İ88

3fm 5fm fc 7fm

. fc=6fm

P=6

9fm

91 77

J2L Jîi

11fm 2fc 13fm

10 2

•Jf t 59 53

15fm 17fm 3fc 19fm

21fm

44 t

23fm f (Hz)

Şekil 3. PAM ve PAVM üıvertör sistemleri frekans tayfı.

Cn% 100 100'' Cı

-

• PAM

ı=0 9836=%100

40-30" 20" 10

fc=10fm

p=m

C9

22 3 19 2

C7

8.96

5 3ı

î .28 12

3fm 5fm 7fm 9fm fc 11fm 13fm 15fm 17fm 19fm 2fe

23fm f(Hz)

Şekil 4. PAM ve PWM invertör sistemleri frekans tayfı.

Cn%> 1ı00 ıCı

SO"

PWM-*-Cı=09937=%100 PAM =*-Cı =0 9916=% 100

A0

fc=14fm

P = 14

25 5

17 2 Cı?

C11

TI3

10 19 C3

77Iı

67 ı

78 3.3

8.2 8 8 37 3 5

O

-f-

fm 3fm 5fm 7fm 9fm 11fm 13fm fc "5fm 17fm 19fm 21fm 23frn 25fin 27ftn 2fc 29fm f(Hz)

Şekil 5. PAM ve PWM invertör sistemleri frekans tayfı.

100 50--

>Cı=O 9949=% 100

.40-'

no--

20-10-•

22 2

18 3 C17 Cl5 13

C19

59 S3

-»n• H — -+- H f 3fm 5frn 7fm 9fm Tlfrn 13fVT.15ftr. T7fm

67 12

Şekil 6. PAM ve PWM Invertör sistemleri frekans tayfı.

= 18

65 129

27512 33..6

•I V I V il

getirilecek herhangi bir değişildik taşıyıcı dalga frekansının değişmesine yol açacaktır. Ya da, taşıyıcı dalga frekansında meydana gelecek bir değişiklik taşıyıcı dalga darbe pozisyonlarının değişmesine yol açacaktır. Bundan dolayı, yalnız FM nu incelemekle PPM nun bütün özelliklerini, modüle eden sinyal şeklinde gerekli değişikliği yaparak, çıkartabiliriz. (4) de PFM na sonsuz kenar band frekansların, modüle eden sinyal frekans aralıklarında, mevcut olduğu gösterilmiştir.

PFM sistemi, PWM sisteminde olduğu gibi bir adet doğru gerilim kaynağına ihtiyaç gösterir. PFM sisteminin en büyük sakıncası bütün harmonik frekansların çıkış geriliminde mevcut olmasıdır. Mamafih bu harmonik frekanslardan herhangi birinin genliği modülasyon endeksim değiştirmek suretiyle elimine edilebilir. Buna rağmen küçük dereceli harmoniklerin varlığı, yüksek güçlerde, filtre elemanlarının kaba ve ağır olmasına neden olacaktır.

PWM sistemlerinde bütün tek dereceli harmonikler, p nin çift ve p/2 nin tek olması halinde mevcuttur. TC/TC = 1 olması halinde önemli harmoniklerin n = m . p + s olduğu görülmüştür (s = 1,3 veya 5 ve m = 1,2,3,...).

Genel olarak PAM sistemlerinde aynı p değeri için PWM sistemlerine göre çok daha küçük toplam harmonik muhtevası olduğu görülmüştür. Mamafih, pratik ve ekonomik bir PAM invertor yapımında bir takım pratik zorluklar vardır. Pratik zorlukların başında hD basamak adedi gelmektedir. Küçük p değerleri için PAM lu invertör yapmak kolay olabilir. PAM invertör sistemi için gerekli basamak adedi aşağıdaki formülden hesaplanabilir :

hp = (p + 2) / 4 basamak adedi.

(D

örneğin p = 10 için h^ = 3 gerilim düzeyine ihtiyaç duyulmaktadır.

3. SONUÇ

PAM sistemleri için harmonik gerilim değerlerini verecek genel bir formül elde etmek mümkün olmuştur. Bu formülün kare dalga çıkış kış gerilimlerinde yanlız n = m. p + 1 nci harmonik değerleri ile çok yakın bir ilişkisi olduğu Ek 1 de gösterilmiştir. PAM invertör çıkış gerilimlerinde yanlız n = m . p + 1 nci harmonikler mevcuttur (m =1,2,3,... ve p =

PWM sistemleri için genel bir formül elde edilmesine rağmen harmoniklerin hesaplanmasında sayısal bir toplama yapmak gerekmektedir.

4. EKLER

4.1. Ek 1: PAM invertör sistemlerinde harmonik genliklerin hesaplanması

Şekil la da gösterilen genel taşıyıcı dalga fc (t), aşağıda gösterildiği gibi ifade edilebilir:

fc (t) = E Ack • t U (t-A (k) . Tc

U(t-A(k).Tc-Tck/2)]

(1.1)

(1.1) denkleminde,

U (t — a) = kaydırılmış tek basamaklı fonksiyon (Shifted unit step function)

Ack = taşıyıcı dalga k ncı darbe genliği

Tct = taşıyıcı dalga k ncı darbe genişliği

A (k) = k nın bir fonksiyonu olup taşıyıcı dalgaya uygulanacak modülasyonu etkilemektedir.

fc (t) fonksiyonunda darbe genlikleri A^, kosinüsoıdal bir şekilde modüle edilirse aşağıdaki denklemleri yazmak mümkündür :

Tek = T c

Ack = Ac.cos ( k . T c )

(1.2) (13)

A(k) = k

(1.4)

xc = Azami darbe genişliğini,

Ac = Azami darbe genliğini göstermektedir.

Böylece, (12), (1.3), (1.4) formüllerini (1.1) de yerine koyarsak,

Fc(t)

+ oo =S

İC = — o o

(k-Tc) • [U(t—k). Tc +

Tc/2) - U ( t - k . T c - T c / 2 ] Fc (t) aşağıdaki gibi yazılabilir:

(1.5)

+ oo Fc(t) = 2 Ac.cos (k . Tc) . [ U ( t - a ) - k = —oo

U (t-b) ]

(1.6)

Burada,

a = k.Tc-Tc/2

(1.7)

b = k.Tc + Tc/2

(1.8)

Genlik modulasyonlu Fc (t) fonksiyonunu kompleks sonsuz Fourier serisi şeklinde yazabiliriz:

+ oo Fc(t) = E n = —o

(19)

Cn = Harmonik frekans katsayısı ve Tm = wm dir.

(1.10) denkleminde entegrasyon, modüle eden fonksiyonun, fm (t) Şekil lb, bir periyodunu Tm, kapsadığı için Fc (t) nin yalnız p terimini almak yeterlidir. Toplam işaretini entegrasyon işareti dışma alarak Cn aşağıdaki gibi yazılabilir :

Cn = 2/Tm 2 Ac f cos (k . T c ) . [ U ( t - a ) -

k = 0 a=k.Tc—rc/2

U(t—b

(1.11)

(1.7), (1.8), (1.11) denklemlerinin incelenmesi ile entegrasyon limitleri içerisinde ve bütün k değerleri için:

[U(t—a) — U ( t — b ) ] = +1 dir.

(1.12)

(l.ll)denklemi tekrar yazılacak olursa,

C n = ( 2 A c / T J . 2 cos (k.Tc) f e-*"»„,». dt

a=k.Tc—rc/2

(1.13)

Entegrasyondan sonra (1.13) denklemi trigonometrik eşitliklerle aşağıdaki denkleme indirgenebilir :

Cn = (4Ac/nwmTJ. S cos(k.Tc). k=0

sin ( n w m . T c / 2 ) . e - ^ V T c (1.14) denkleminin reel kısmı,

d-14)

Cnr = (4Ac/nwmTJ. E cos(k.Tc). k=0 sın (nwmTc/2).cos(nwmkTc)

(1.15)

(1.15) denkleminde wm = 2.rc/Tm = 2^/p.Tc yerine koyarsak ve trigonometrik eşitliklerden faydalanılarak,

p-1 Cnr = (Ac/n1,).sin<nıîTc/p.Tc).

Burada, Cn = 2 / T m .

(1.10)

cos [(n+l).2-rck/p] + cos [(n— 1) .2uk/p] (1.16)

Bu denklemde n = m -p + 1 , m =< 0,il,2,3,,... Elektrik Mühendisliği 202

den başka diğer bütün n değerleri için C^. = O olduğu gösterilebilir.

Cnr = ( p V n ı t ) . s i n ( n U T c / p . T c ) p ^ 2 (1.17>

p = 2 için,

Cnr = (2pAe/n™)-sin(n1STc/P-Tc) veya

d-18)

Cnr = (4Ac/nu). sin (n-n; Tc/2.TC)

(1.19)

(1.14) denkleminin sanal kısmı da aşağıda gösterildiği şekilde yazılabilir:

p-1 Cm = (Ac/n7i:).sin(nTrrc/p.Tc). £

sin [(n+1) .2-jck/p] + sin [(n—1).

(120)

(1.20) denkleminde bütün p değerleri için Cm=0 olduğu gösterilebilir.

(1.17) denklemi böylece PAM invertör çıkış gerilim harmomklerinin Şekil lc, hesaplanmasında kullanılabilir. T C / T C < 1 oranının değerini değiştirmek suretiyle herhangi bir harmonik genliği sıfır yapmak [sin (n^xc/p-Tc) = 0] mümkündür.

tcA'c < 1 oram aynı zamanda istenilen V/f oranını elde etmede de kullanılabilir. Herhangi bir p değeri ve -rc/Tc = 1 için PAM invertör çıkış gerilim harmonikleri ile kare-dalga harmonik gerilimleri arasında çok ilginç bir bağlantının bulunduğuna da işaret etmek gerekir. Kare dalga invertör çıkış gerilimini gözönüne alırsak,

p = 2 ve -rc/Tc = 1 için,

Cn = (4Ac/niî). sin (n^/2)

(121)

n = m. p + 1 olduğu için n her zaman tek bir sayı olup sin (n^/2) = ± 1 dir.

Kare dalga harmonik genlikleri de,

Cn = 4

(122)

tnvertör çıkış frekans genliği Cj = % 100 olarak alırsak,

Cn % = 100/n

(123)

(1.23) denklemi her zaman bilinen bir denklemdir. (1.18) denklemini de aynı şekilde işleme ta bi tutarsak,

Cn % = 100 sin (nu/p) / [ n sin

] (124)

Fakat n = m . p + 1 dır ve sın (n^/p) + sin (u/p) olur. Böylece,

Cn % = ± 100/n

(125)

Dolayısiyle herhangi bir p değeri için invertör çıkış frekansındaki gerilimin değerini bilmek yeterlidir. PAM invertör çıkış gerilim harmoniklerinin yüzde olarak hesaplanması (1.25) nci denkleme göre kolayca yapılabilir.

42. Ek 2 : PWM invertör çıkış gerilim harmoniklerlnin hesaplanması

Şekil la da gösterilen genel taşıyıcı dalga fc (t), aşağıdaki gibi ifade edilirse, fc(t) = S Ack.[U(t-A(k).Tc + Tck/2) -

U(t-A(k).Tc -Tck/2)]

(2-1)

(2.1) denkleminde PWM invertör gerilimi için,

Ack = A c . g ( k )

(22)

burada g (k) yi aşağıdaki şekilde tanımlarsak,

g (k) = + 1 cos (k.Tc) > 0 için = — 1 cos (k.Tc) < 0 için = 0 cos (k.Tc) = 0 için ve

Tck = Tc.|cos<k.Tc)| A (k) = k

(2.3)

(2.4) (2.5)

(22), (2.4), (2.5) denklemlerini (2.1) de yerine koyarsak,

Fc (t)

L Ac • = —oo

[U

(t-k.

Tc

+

Tc/2.

| cos (k.Tc) | ) - U ( t - k . Tc - Tc/2. |cos(k.Tc)| )].g(k)

(2.6)

Fc (t) yi diğer bir şekilde yazacak olursak,

Fe(t)

=

£ —

oo

Ac.

[U(t-a)

- U ( t - b ) ]. g (k)

(2.7)

burada, a = k.Tc-Tc/2.|cos(k.Tc)| b = k.Tc-Tc/2.|cos(k.Tc)|

(2.8) (2.9)

(2.7) denklemini kompleks sonsuz Fourier serisi şeklinde yazacak olursak, Cn harmonik frekans katsayısı,

Cn = (2/TJ . f Fe (t). e - J»V. dt Ö

(2.10)

(2.7) denklemini (2.10) da yerine koyarsak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz:

p-1 Cn = (2/TJ. 2 Ac.g(k).

b=k.Tc-t-Tc/2.|cos(k.Tc)| J [U (t—a) — U (t—b) ] . e - i " V • d t (2-U)

a=k.Tc-Tc/2.|cos(k.Tc)|

Entegrasyon limitleri içinde bütün k değerleri için,

[ U (t—a) — U (t—b) ] = + 1 dir.

(2.12)

Böylece,

p —1

b

C n = ( 2 / T J . E Ac.g(k). f e-J»wmt.dt

a

(2.13)

buradan,

Cn = ( 4 / n w m T J . E A c . g ( k ) . sin ( n w m T c . k=0

îcos ( k . T ) | / 2 ) . e - i » "

(2.14)

(2.3) denkleminin incelenmesi ile ve sin (—x) = — sin (x) olduğu için (2.14) denklemini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

P-1 Cn = (4Ac/nwmTJ. 2 sin cos (k.Tc)/2].e-J«»n"c

[nwmTc.

(2.15)

wm = 27t/Tm = 27t/p.Tc (2.15) de yerine koyarsak, p-1 CQ = (2Ac/nJ . £ sin [ n - j ^ . cos (k. Tc) /

P-TJ.e 594

(2.16)

(2.16) denkleminin reel kısmı,

P-1 Cnr = (2Ac/n^) . £ s i n £nırcc • c o s ^- ^c) /

p . Tc] . cos (2n-n;k/p)

(2.17)

(2.16) denkleminin sanal kısmı,

p-1 cm = (2Ac/n7t). £ sin [ n ^ . c o s (k.Tc) /

p . T c ] . sin (2nnk/p)

(2.18)

Cn in hesaplanması sayısal toplama ile mümkündür.

PWM invertör çıkış geriliminin Şekil İd, TC/TC = 1 olma hali için tipik frekans tayfı (frequency spectrum) p = 6,10,14 ve 18 için sırasiyle Şekil 3,4,5 ve 6 da gösterilmiştir. Frekans tayflarının incelenmesinden de anlaşılacağı gibi PWM invertör sistemlerinde önemli kenar band harmonikler:

n = m . p ± s , s = l,3 veya 5 ve m = 1,2,3,... olmaktadır.

Not : | X | = X in mutlak değerinin alınacağım göstermektedir.

4.3. Ek 3: İnvertör çıkış gerilim toplam harmonik muhtevasının hesaplanması

Toplam harmonik muhtevası % olarak =

. 100

(3.1)

hesaplanır.

Toplam harmonik muhteva yüzdeleri n = 100 e kadar hesaplanmıştır.

KAYNAKLAR

1. Dr. C. Arıkan, C. Tanju: «Tiristörün Çalışma Prensibi ve Güç Konvertörlerinde Kullanılması», Elektrik Mühendisleri Odası Yayın Organı, Cilt: 16, S. 183, Mart 1972, s. 59-72.

2. B. P. Lathi: «An Introduction to Random Signals and Communication Theory», International Textbook Co., London, 1968.

3. M. C. Tanju: «Investigation Into Various Forms of Pulse Width Modulated Inverters», Ph. D. Thesis, September 1972.

4. /. Brovm, E. V. D. Glazier: «Telecommunications», Chapman and Hail Ltd., London, pp. 370, 1966.