MEKANİK BİR KOLUN BİLGİSAYAR İLE DİNAMİK SİMULASYON VE BU SİMULASYON ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ KONTROL YÖNETİMLERİNİN DENENMESİ

MEKANİK BİR KOLUN BİLGİSAYAR İLE DİNAMİK SİMULASYONU VE BU SİMULASYON ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ KONTROL YÖNTEMLERİNİN DENENMESİ

Mehmet BODUR ve M Erol SEZER ODTÜ Elektrik ve Elektronik Müh. Böl., ANKARA

ÖZET

ir j" » • ı u »ı

ı* ı

ı

Endüstriyel robotların manipülatör kısmını oluşturan

.

.. . . . .. . . . . . . .

mekanik kolların, dinamik denetimim incelemek uze

re, üç eklemli bir manipülatörün dinamik simulasyo

nu, bilgisayar kullanılarak gerçekleştirilmiştir. PAS

CAL ile yazılan benzetim (simulasyon) programı, ma

nipulatörün her bağlantısının eylemsizliğini ve coriolis

bağdaşımlarını, Lagrange bağıntılarıyla elde etmekte

ve bulunan türevsel denklemi Runge Kutta yöntemi

,

,.*

ile zamana bağlı olarak çözmektedir.

y

Benzetim programı, üç bağıntılı bir kolun sabit ko num ve hız geribeslemeli denetimine uygulanmıştır. CP/M işletim sistemli mikrobilgisayarlarda üç bağlan tıdan oluşan bir kol için, bir ardışım 25 saniye sür mektedir.

1 •> 7

1. GİRİŞ

Mekanik kollar, teleoperatör uygulamalarındaki gibi bir insan tarafından, ya da iş robotu uygulamalarında ki gibi doğrudan bilgisayar ile denetlenebilen, birbiri ne eklem yerlerinden (joints) bağlı bağlantılardan (links) oluşan mekanik bir yapıdır. Kolun eklemlerin de, bağlantıları birbirine göre hareket ettirecek uyar gaçlar (actuators) bulunur. Bu uyargaçlar ya üzerinde ki burudan (ya da kuvvet) etkilenmeksizin adım mo torları gibi amaçlanan durumu izler; ya da durumdan bağımsız olarak DC motorlar gibi ekleme uygulanacak buruyu ayarlar. Kolun çalışırken uygulayacağı kuv vetler denetim altına alınacaksa, eklemdeki buruyu ayarlayan uyargaçlar tercih edilir.

Bir kolun dinamik denetimi, uyargaçların, bağlantıları istenilen konum (position) ve hıza getirmesi için uy gulamaları gereken buruyu sağlamasıyla gerçekleşir. Kolun eklemlerine uygulanan kuvvetlere (ya da buru lara) bağlı olarak, kolun zaman içindeki hareketinin hesaplanması kol dinamiği (Manipülatör Dynamics) olarak adlandırılır. Kolun dinamik formülasyonu 1965 yıllarında Kahn ve Uicker tarafından Lagrange yöntemiyle, aynı sıralarda Hooker ve Margulies tara fından Newton Euler yöntemiyle çözülmüştür (2).

Kolun dinamik benzetimi, çevrim içi ters dinamik çö züm ile ileribeslemeli denetimde, veya mekanik kollar da uygulanabilecek çeşitli denetim algoritmalarının denenmesinde kullanılır. Basitleştirici varsayımlar ya pılmamış tam benzetimler, bir ardışım için birkaç sa niye bilgisayar (VAX 11) zamanı gerektirir (2). Ek lemlerdeki buruların önemsenmeyecek bazı bileşenle ri ihmal edildiğinde ardışım süresi 10 ms.nin altına inebilmektedir.

Kola uygulanacak en basit denetim, her eklem için di ğer eklemlerden bağımsız, sabit hız ve konum geribes lemesidir. Bu durumda bağlantıların hareketlerinin birbirlerine etkisi ihmal edildiğinden denetimi bozucu bir etkileşim içinde bulunurlar. Bağımsız eklem servo denetimi (Indenepdent Joint Servocontrol) olarak ad landırılabilecek bu yöntemde eklemdeki sürtünme ve yerçekim kuvvetlerini dengelemek denetimi düzgün leştirir (1). Denetimde, her eklem için, diğer eklemle rin hız ve konumları da göz önüne alınırsa, birleşik servo denetim (Servo with Joint Coupling) ortaya çı kar. Birleşik servo denetimde, her eklem, hız ve ko num geribeslemesi matrisleri aracılığıyla diğer eklem lerle etkileşir.

Mekanik kolların dinamiği doğrusal değildir. Bu yüz den kolun doğrusallaştırılmış gösteriminin parametre leri konum ve hıza bağlı olarak değişir. Genellikle sa bit hız ve durum geribeslemesi, kolun her konumunda kararlılığı sağlayacak biçimde seçilir. Daha iyi bir yol,

parametrelerdeki değişimleri sürekli izleyerek kol ha reket ettikçe, ya da kolun taşıdığı yük değişince de netimi yeni paremetrelere uyarlamaktır. Bu yöntem uyarlamalı denetim (adaptive control) olarak adlandı rılır (4). Bu çalışmada önce mekanik bir kolun kinematiği an latılacaktır. Daha sonra bu kinematik kullanılarak Lagrange bağıntılarının, ve kolun dinamik bağıntıları nın elde edilişi gösterilicektir. Sonraki bölümlerde, oluşturulan benzetim programının, sabit geribeslemeli birleşik servo denetimde uygulanışı sergilenecektir.

2. KOLUN KİNEMATİĞİ

Mekanik kol, birbirine oynak eklemlerle (joints) bağlı olan bir dizi bağlantılardan oluşur. Bağlantıların ko numu ve yönü (orientation) eklem değişkenlerine (açı ya da uzama) kinematik bağıntılarla bağlıdır. Kinema tik bağıntıları homojen koordinat sisteminde (homo genous coordinate system) kullanmak notasyonda ko laylık sağlar. Homojen koordinat sistemlerinde uzay daki (x, y, z) noktası (x, y, z, 1)T vektörü ile gösteri lir. İki koordinat sistemi arasındaki ilişki bir matris ile gösterilebilir, örneğin (x, y, z), koordinat sistemi (x, y, z)0 sistemine göre x ekseni boyunca d kadar ötelenmiş ise, bu iki sistem arasındaki T dönüşüm matrisi

10 0 d

T= 0 0 1 0

(D

olur. (x,y, z), koordinat sistemindeki bir p noktası

nın (x,y, z)0 sistemindeki gösterimi olan r vektörü, r = Tp bağıntısından bulunur.

Bir kolun her bağlantısına, o bağlantıyla birlikte hare

ket eden bir koordinat sistemi eşlenir. Tabana (l_0) bağlı N bağlantıdan (L, . Ln) oluşan bir kolda, Lj ^ ile Lj arasındaki eklemi |j olarak adlandıralım. Bu

adlandırmaya göre, Lj'ye eşlenecek (x, y, z)i sistemi

nin Zj ekseni, Jj + 1 'in dönüş ekseninde, Xj ekseni ise Zj j ile Zj arasındaki dikme yönünde seçilir. Zj ^

ile Zj arasındaki uzaklık aj, Xj ile Xj ^ arasındaki

uzaklık d{, Xj_j'den Xj'ye olan açı Qj, Zj j'den Zj'ye olan açı Wj olarak adlandırılırsa, Aj dönüşüm matri

sinin genel biçimi

(2)

cosQj — sinQjCosWj sinQjSİnWj

sinQj 0

cosQjjCosWj cosÇ)jjSİnWj

sin W:

cosW.

d:

olur. Koldaki i.ninci bağlantının tabana göre dönüşüm

matrisi Tj ise, Aj'ye kadarki dönüşüm matrislerinin

r

ŞE K İ L 1. Dirsek eklemli Micromover robot kolun yapısı ve bağlantılarının koordinat sistemleri.

çarpımıdır.

Tj = A, . . .

(3)

Bu çalışmada benzetimi gerçekleştirilen Micromover robot kolun yapısı ve bağlantılarına ilişkin koordinat sistemlerinin seçilişi Şekil 1 'de görülmektedir Şekil de (x, y , z ) ı , (x, y, z)0'dan z0 boyunca d, kadar kay mış, x0 ekseninde 90° dönmüş ve y0 ekseninde Q, eklem değişkeni açısı kadar dönmüştür Bu işlemlere karşılık olan homojen dönüşüm matrisi A, şöyledir.

10 00 0 10 0 A,= 0 0 1 di

1 0 0 o'

00 10 0 10 0

cosQ, 0 sinQ, 0

0 10

sinQ, 0 cosQ, 0

00 0

O sinÇ), O

sinQı O cosQt O

(4)

O 1 O d,

OOO

Benzer şekilde x, y, z)2> (x, y, z)! 'den zt ekseninde Q2 kadar dönmüş ve Xg yönünde a2 kadar kaymıştır. Böylece

"cosQ2

A,=

sinQ2 O

sinQ2 0 o" cosQ2 O O

0 10 0 00

"1 0 0 a2

0 0 10 000 1

cosQ2 —sinQ2 0 a2cosQ2

sinQ2 cosQ2 0 a2sinQ2

(5)

00 1

dönüşümü elde edilir. Ayni yöntemle A3 dönüşümü

cosQ3 sinQ3 O a3cosQ3

A3=

sinQ3 O

cosQ3 O a3sinQ3

(6)

3. LAGRANGE BAĞINTILARI

Lagrange (L), bir sistemin kinetik enerjisi (K) ile po tansiyel enerjisi (Pj arasındaki fark olarak tanımlanır. Enerjilerin kartezyen koordinat sisteminde yazılma zorunluluğu olmadığından, Lagrange kullanmak dina mik denklikleri basitleştirmektedir (1) Kolun i ninci eklemine uygulanan buru ya da kuvvet (Fj) Lagrange türünden, Oj eklem değişkenini göstermek üzere,

d

Fj=

(

)

(7)

eşitliğiyle verilir.

3.1. Kolun Kinetik Enerjisi Kolun j.inci bağlantısının kinetik enerjisi (K ), bağlan tı hacmında her noktanın kinetik enerjilerinin tümlevi olarak

—/tr(r; tj) drrij

(8)

biçiminde verilir. Burada, T , bağlantının dm: kütlesi ne sahip noktasının tabana göre koordinatlarını, r ise bu noktanın zamana göre türevini göstermektedir.

Denklem (6)'daki r 'ler (x, y, z) koordinat sisteminde Pj olarak adlandırılırsa, r = (d'T Pj/dt) olacağından

K. = / — t r ( T i P i p T )dm: II

= f~ tr (Tj (p. pjdrn) T?") = j t r (Tj J. T7) (10)

elde edilir J matrisi, bağlantının eylemsizlik matrisi dir. Sonuçta

K;= 12

tr( k=1

Z m

n 2_ =1

3T. 3T 1\.*

3Q.'IJI 3Q.

ve

1n

•j

n n oTj 3T

K = — S tr ( 2 2 1. ) Ö O 2 j=1 k=1 m=l3Q '3Q. m

bulunur.

3.2. Kolun Potansiyel Enerjisi

Kolun j ninci bağlantısının yerçekim alanı içindeki potansiyel enerjisi Pj, bağlantının kütlesi mj'ye, yerçe kim ivmesi g'ye ve bağlantının kütle merkezi r = Tj p 'ye bağlıdır Böylece,

ve (12)

3.3. Eklem Kuvvetleri

Eklemlerdeki buru kuvveti; (7), (11) ve (12) eşitlikle rinden

n F; = 2

n 2 k=1

3Tj 3Tj

tr m=l

9T:' rm

3T: 3T.

nn

\

"vi

32T,

/

3TS

•

I

olarak tanımlanmışlardır.

Denklem (14) robotik yazınında Uicker/Kahn biçimli Lagrange denkliği olarak adlandırılır (2). Bu denklem genel olması ve toplu yapısıyla bilgisayar benzetimine çok elverişlidir. Denklemin Runge Kutta yöntemi ile sayısal olarak çözülebilmesi için yeniden biçimlendi rilmesi gerekir.

X dt dt

H (Ç)(F(t) C(9,0)Q G(9)

= f(X,t)

(16)

Çözümde Xo =(Q(t0), Q ( t 0 ) ) başlangıç durumun dan başlanmakta ve At'lık ardışımlarla F (tj),

F ( t j + ^ t y 2 ) , F (ti + |) vektörleri kullanılarak X(ti + 1) elde edilmektedir.

Sunulan bağıntılar, CP/M işletim sisteminde çalışan COMPAS PASCAL derleyicisi ile programlanmıştır. Program 3 ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bö lümde Q kullanılarak Tj, (3TJ/3QJ), ve JJ(9TJ/3QJ)T matrisleri bulunmaktadır. Bu bölüm mekanik kolun yapısına bağlıdır, ikinci bölüm, birincide elde edilen matrisleri kullanarak denklem (16)'daki f(X,t)'i he saplamaktadır. H "' ve C matrisleri ile G vektörü bura da elde edilmektedir. Üçüncü bölüm Runge Kutta yöntemi ile bir ardışım sonraki 9 eklem açılarını, 9 açısal hızlarını hesaplamaktadır.

T 9Tİ 8 "3QT P İC

(13)

olarak elde edilir. Bu bağıntılar topluca

F = (F,... , F / = H Q + C P + G

(14)

matris denklemi gösterilebilir. Burada H, C matrisleri ile G vektörünün öğeleri

SE K İ L 2. Sabit gerlbeslemeli birleşik servo denetimin blok gösterimi

100 m s

100 ms

ŞEKİL

3. Sabit gerlbesleme matrisleriyle elde edilen kapalı döngü basamak tepkeleri. Tepkeler yalnız 3. eklem acısı 15° değiştirilerek ( Q d = ( 0 ° . 9 0 ° , 1 5 ° ) T t e n (0 °. 9 0 ° , 3 0 u) T ' a ) elde edilmiştir.

a. p = 10 000, v = 2 0 0 l c i n ; b. p = 10 000, v = 4 0 0 için;

4. BENZETİMİN SABİT KONUM VE HIZ GERİBESLEMELİ DENETİME UYGULANMASI

Sabit konum ve hız geribeslemesi, kolun eklem değiş kenleri vektörü (O) ile istenen konumu (Q .) arasında ki konum hatasının (Q ) sabit K matrisi üzerinden; gerçek açısal hız ( Q ) ile istenen açısal hız ( Q d ) arasın daki hız hatasının (Qe)'da sabit bir Ky matrisi üzerin den eklem kuvveti olarak geribeslemesiyle oluşturul muştur (Şekil 2.). Bu yöntemde K matrisi konum vektöründeki sapmayı, Ky ise kolun hareketinin sönü münü etkilemektedir. Benzetim uygulamasında K ve K y' n i n seçimi için önce denklem ( 1 5 ) ' t e verilen sis t em, O konumunda sabit hızlı bir yörünge (O = 0 ) üzerinde doğrusallaştırılmıştır. Doğrusallaştırma so nucu

dq

dt 9

= 0,

A21 =

bulunmuştur. Denetleç tasar mının kolay gerçekleş mesi için, A 2 1 = 0 varsayılmıştır. Böylece K = p H ve K = v H seçilerek kapalı döngü sistemin doğrusal laştırılmış denklemi

1 f (18) dt

ve karakteristik denklemi ( d 2 + vd + p ) 3 = 0 elde edil miştir. Sistemde d , , . . . , 6 = 1 0 0 için p = 1 0 0 0 0 , v = 2 0 0 ile uygulanan denetimin sonucunda, Şekil 3.a'daki basamak tepkesi bulunmuştur. Konumdaki salınımın söndürülmesi amacıyla v 40 0 'e arttırılmış ve di , 2 , 3 = —3 7 5 , d 4 ) S ( 6 = —2 6 yapılmıştır. Bu durum da elde edilen basamak tepkesi Şekil 3.b'de görülmek tedir. Bu geribesleme matrisleri için basamak tepke sindeki taşmanın uygun düzeye indiği gözlenerek so nuç yeterli bulunmuştur.

SONUÇLAR

Lagrange bağıntılarını kullanarak birçok bağlantıdan oluşan bir mekanik kolun dinamik benzetimi için bir bilgisayar programı yazılmıştır. Benzetim programı, "Micromover" robot kolun üç bağlantısına uygulan mıştır. PASCAL ile yazılan program CP/M işletimli mikrobilgisayarlarda bir ardışım için 25 saniye gerek tirmektedir.

Benzetim programı, kolun sabit konum ve hız geribes leme matrisli servodenetimine uygulanmış; değişik konum ve hız geribesleme matrisleri için kolun basa mak tepkesi elde edilerek, tepkede taşmaya yol aç mayan uygun sabit geribesleme matrisleri elde edil miştir. Geribesleme matrisleri kolun konumuna bağlı olduğundan, ilerideki aşamalarda bu matrisleri ko num ve yüke uyarlayabilecek uyarlamalı denetim yön temlerinin denenmesi düşünülmektedir.

KAYNAKLAR (1) Paul, Richard P. Robot Manipülatörü, pp 157 195. MİT Press, USA 1982.

(2) I. Brady, Michael. Robot Motion. pp 50 64. MİT Press, USA 1982.

(3) ö. Hüseyin, E. Sezer. Elementary Matrix Algebra and Differential Equations. pp 248 250, Kalite Matbaası, An kara, 1975.

(4) Koivo, Antti J. "Adaptive Linear Controller for Robotic Manipulators". IEEE Tr. Automatic Control, Vol AC 28, No:2.pp 162 171, 1983.