MATEMANTIK

Değerli Matemantıkçılar,

385. sayımızda yayınladığımız 51 ve 52 numaralı sorularımızla ilgili olarak yalnızca iki mektup ulaştı bizlere. Sayın Mehmet TERECİ (Diyarbakır) 51 ve 52. sorularımıza doğru çözüm göndermiş. Sayın Zeki ÜNVER (İsparta) ise 51. sorumuza doğru yanıt gönder miş. Sn. Z. ÜNVER aynca "Sihirli Kareler başlıklı Malemantık Sohbetimizle ilgili olarak da düşüncelerini iletmiş. Kendilerine teşekkür ediyoruz. Armağan olarak, Ayrıntı Yayın ları'ndan geçtiğimiz günlerde çıkan Davtd DICKSON'un yazdığı "Alternatif Teknoloji" adlı kitap en kısa sürede adreslerine postalanacak.

386. sayıda yayınladığımız 7 değişik matemantık sorusuyla ilgili olarak elimize henüz mektup ulaşmadı. Bu sorularla ilgili olarak yanıtlarınızı ve önerilerinizi bizlere geri bes leme oluşturması açısından özellikle beklediğimizi iletelim.

Bu sayıdaki sohbetimizin konusu PÜF NOKTASI. Sohbetin sorularımızı çözmenize ve sizlerin göndereceği soru önerilerini de çeşitlendirmesine katkıda bulunacağını umuyo ruz.

Yeni sayfalarda, yeni sorular ve sonbetlerde buluşmak üzere hoşçakalın

Hazırlayanlar Necah BÜY ÜKDURA M.Serhat ÖZY AR

karşı tarafa gitmek için bir iki adım attığında, muzun altından geçmekte iken, şempanze ani bir hamle ile profesörün omuzuna sıçradığı gibi muza uzandı, kaptı, yere atlayıp köşesine çekildi. Afi yetle yedi.

PÜF NOKTASI

"Deneysel Psikoloji" alanında çalışan psikologların anlatmaktan hoşlandıkları bir fıkra ile sohbeti mize başlayalım .

Denek olarak seçtiği şempanzenin problem çözme yeteneğini araştı ran profesör, boş bir odanın tava nının ortasından muz sarkıtmış. Odanın bir köşesine şempanzeyi, diğer köşesine de boş bir sandık yerleştirmiş. Şempanzemiz, acaba sandığı ortaya çekip üstüne sıçra yarak muza erişmeyi düşünebile cek miydi?.. Şempanzede hiç bir hareket yoktu. Köşesinde otur muş, tüm dikkati ile profesörün hareketlerini izlemekteydi. Bir ara, profesör bulunduğu yerden

KISSADAN HİSSE : Zor gibi görünen bir problemin umulmadık basit bir çözümü olabilir. Bu olay da, şempanzenin bulduğu çözüm, içgüdüsel sezgisi ile veya daha ön ceki bir olaydan edindiği deneyim le açıklanabilir belki de.. Ama, bu rada vurgulanmak istenen nokta şudur: şempanze ve muz proble mine, kestirme yoldan ve profesö rün hiç ummadığı bir çözüm bu lunmuştur. Yani, bir anlamda işin PÜF NOKTAS/nın sezilmesi ile beklenmedik çözüme ulaşılmış tır. Genel olarak müsbet bilim ala nında ve özellikle matematikte (dolayısıyla MATEMANTIK türü problemler alanında), "PÜF NOK TASr faktörü hatın sayılır ölçüde yararlı işler görmüştür.

Asal sayıların sayısı sonsuz mudur, yoksa en büyük asal sayı var mıdır? Sonsuz sayıda asal sayı olduğu nasıl ispatlanabilir? Olduk ça zor, çetrefilli bir problem. Ama, işin "PÜF NOKTASrm gö

387 E L E K T R İ K f f t C MÜHENDİSLİĞİ I Î 7 O

60 SÖZMETİK 1+243

Aşağıdaki toplama işleminde her harf, belli bir rakamı simgeliyor. DÖRPün simgelediği sayı 4 ile tam olarak bölünebilir. ÜÇ'ün simgelediği sayı 3 ile tam olarak bölünebilir. İ Khin simgelediği sayı 2 ile tam ola rak bölünebilir. Bİ Rİ simgeleyen sa yının da 1 He bölünebildiğini söyler sek işgüzarlık olur.

Bu toplama işJemindeki sayıları bula bilir misiniz?

61 SİHİRLİ ÇEMBERLER

STERN Delgisinden

Aşağıdaki şekilde birbirlerini kesen üç büyük daire ve bu dairelerin çem berleri üzerine yerleştirilmiş dokuz tane kutucuk var. 1'den 9'a kadar ra kamları bu kutucuklara öyle koyunuz ki, her çember üzerindeki beş raka mın toplamı 22 olsun.

(NOT: İpucu olan* 3'ûn ve 6'nın yer brinibtfrttik.

DÖRT

rebilen Euclld, asal sayıların son suz sayıda olma dıklarını varsaya rak yola çıkmış.

EN BÜYÜK asal sayıya N dersek, l'den N'ye kadar sayıların çarpımını veren M sayısı nın l'den N'ye kadar olan tüm sa yılarla bölünebileceği açıktır. De mek ki M+l sayısı, l'den N'ye ka dar olan sayıların hiçbiri ile bölü nemeyecektir. öyle ise m+l sayı sı "asal" bir sayıdır ve N'den bü yüktür. Ama N"nin "EN BÜYÜK ASAL SAYI" olduğu savı ile yola çıkılmıştı. Demek ki en büyük asal sayıdan daha büyük bir asal sayıyı her zaman bulabilme imkanı var dır. Dolayısı ile, sonsuz sayıda asal

sayının olması gerektiği ispat edil miş bulunmaktadır.

BİR BAŞKA PROBLEM: Aşağı da şekil l'de, iki köşesinden birer karenin çıkarılmış olduğu bir DA MA tahtası görülüyor.

Bu tahtada 62 kare var. Şekil 2'de ise, herbiri 2 kareden oluşmuş 31 adet DOMÎNO taşı var. Toplam 62 birim kareyi içeren 31 domino taşını kullanarak 62 birim kareden oluşan (2 köşesi kesik) tahtayı kaplayabilir misiniz?..

Aslında, bu domino taşlan ile bu tahtadaki 62 kareyi kaplamak ola naksızdır. Ama olanaksız olduğu nu nasıl ispatlarsınız? İşte burada da işin "PÜF NOKTASr1™ yakalı yabilirsek, bu problemin çözümsüz olduğunu ispatlamak kolaylaşır:

DAMA tahtasını SATRANÇ tah tasına dönüştürelim, (yani, 2 köşe si eksik olan tahtamızdaki kareleri (satranç tahtasondaki gibi) SİYAH BEYAZ olarak boyamış olduğu muzu düşünelim. Aynı şekilde, 31 tane domino taşının her birindeki 2 karenin birini siyaha, diğerini de beyaza boyamış olduğumuzu dü şünelim. Bu durumda, tahtadaki 62 birim karenin 30 tanesi BE YAZ 32 tanesi de SİYAH olmuş oluyor. Oysa, domino taşlarında 31 BEYAZ ile 31 SİYAH kare var. Tahtayı domino taşlan ile kaplarken, bir taşın tahtada örte ceği 2 kareden birinin beyaz diğe rinin de siyah olmasının zorunlu olduğu aşikardır. Demek ki tahta daki her bir beyaz kare ve buna bitişik siyah kareye, bir domino taşı denk gelmektedir. Tahtadaki

111m en en en cn En en En m m en en en EH en en en

m en en m m en EH En en

en en en en en en En EH

ŞekU 1

Şekil 2

62 ÖĞRETMENİN BURCU

Jame PONİARCHİK Arjantin

Matematik öğretmenimize, hangi burçtan olduğunu sorduk. Şöyle ce vap verdi: "Bugünün tarihi, yani ayın kaçı olduğunu gösteren sayı, şimdiki yaşımla eşit. Bu haftanın sonundan önce öyle bir gün gelecek ki, o gü nün tarihi benim o günkü yaşımın tam beşte birine eşit olacak. Şimdi benim burcumun ne olduğu anladı nız mı?"

öğretmeninin verdiği ipuçlarını irde leyerek burcunu bulabilir misiniz?

63 DÖRTLÜ KUMAR

Morris WALD

Dört arkadaş bir deste iskambil ile kumar oynamaya oturdular. Her oyuncu bir miktar para çıkarıp önüne koydu. Dört tur oynadılar. Oyuncula rın her biri, birer kez oyun kaybetti. Oyunun kurallarına göre, bir turda kaybeden oyuncu, diğer üç oyuncu nun her birine, önlerindeki para tuta rı kadar para ödedi, örneğin birinci oyuncunun kaybettiği turda, 2.ci oyuncunun önündeki para miktarı x lira, 3.cü oyuncunun önündeki para miktarı ise Y lira ve 4.cü oyuncunun önündeki para miktarı da Z lira ise, kaybeden oyuncu 2.ci oyuncuya X lira, 3.cü*ye Y lira ve 4.cü*ye de Z lira ödemek durumundadır.

Dördüncü tur sona erdiğinde (ve bu turda kaybeden oyuncu, diğer oyun culara gereken ödemeleri yaptığın da), görüldü ki oyuncuların önlerin deki para miktarları, birbirlerine eşit olmuş. Oyun başladığında, her oyuncunun önünde (en az) ne kadar para vardı?

30 beyaz kare ile bunların bitişi ğinde olan 30 tane siyah kareyi, 30 domino taşı ile kaplayabiliriz. Tahtada İKİ STYAH KARE artar. Buna karşılık, açıkta bir tek domi no taşı kalmıştır, onda da BİR BE YAZ ve BİR SİYAH KARE vardır. Bunun da, hiç bir şekilde, tahtada karşılığı olamayacaktır, öyle ise problem çözümsüzdür.

Dergimizin 3 7 8 . sayısında, "İKİ TREN VE BİR ARr adı ile sunu lan 40. sorunun çözümü, yine, "PÜF NOKTA"yı bularak kolayca elde ediliyordu. Yoksa "calculus" hesaplan ile çok uzunboylu uğraş mak gerekirdi.

PÜF NOKTAYI yakalamakla çö zümü kolayiaşan başka bir soru da şudur:

Bir deniz motoru, ırmak üzerinde akıntıya karşı yol almakta iken, bir köprünün altından geçtiği anda, motorcunun şapkası suya düşü yor. Ama motor yoluna devam ediyor. Şapkanın suya düşmesin den 20 dakika sonra motor geri dönüp şapkayı, köprüden 1 km uzakta yakalıyor. AKINTININ HI ZI NEDİR?

Yanıtı bulmak için, yol hız zaman formülleri ile uğraşıp denklemler

kurmak, cebirsel işlemler ile bo ğuşmaktansa, işin PÜF NOKTA Sl'nı arayın: hareket görecelidir. Irmağın su yüzeyinin hareketsiz okluğunu, motorun durgun su üzerinde sabit hızla ileri geri yol aldığını, ve ırmağın dışında var olan dünyanın (arazi ve köprüle rin) hareket ettiğini varsayarak probleme bakarsanız, çözümün ne denli basit olduğunu hemen görebilirsiniz.

Şimdi de, MATEMANTIK'çılan mıza iki sorumuz var:

Daire şeklinde bir göletin tam or

tasında, daire IITIAI3TAH şeklinde bir ada

cık var. Göletin

kıyısında

iki,

adanın kıyısında

ise bir iskele var.

Bir kayık, gölet

kıyısındaki bir is keleden yola çı

T

kıp adadaki iskeleye uğradıktan

sonra, gölet kıyısındaki diğer is

keleye ulaştığında, "DÜMDÜZ

BİR ROTA" izleyip, toplam ola

rak, tastamam 1 kilometrelik yol

almış oluyor. Göletteki şu yüzeyi

nin alanını bulunuz (PÜF NOK

TAYI düşünebilmeniz ge

rek).

Diğer sorumuz da PÜF NOKTAYI yakalamanızı gerektirecek. Sorumuz şöy le:

Bir metal küreyi matkapla deliyoruz. Kürenin tam merkezinden geçen deliğin uzunluğu, 6 cm.'dir. Delin miş küredeki metal kitlenin hacmi kaç cm3<tür.

Bir başka "PÜF NOKTA SI" sohbetinde buluşmak üzere, hoşça kalın sayın MATEMANTIKçılar.

64 SORU

DÖRT DAİRE, ÜÇ AY

Yandaki şekilde görüldüğü gibi, iç içe çizilmiş ve ikişer ikişer birbirlerine içten teğet olan Oı, O2, O3, ve O4 da ireleri verilmiştir.

R1. R2, R3, ve R4 yarıçaplarının uzunluklarını veren sayılar, birer TAM SAYI'dır.

Teğet olan dairelerin oluşturduğu AY biçimindeki ÜÇ alanın her biri, bü yüklük sırasıyla, kendinden sonra gelenin iki katıdır.

R1. R2. Rs, ve FU yarıçaplarının uzunlukları nedir?

NOT: Bulunacak çözüm, R* yarıçapı nın alabileceği en küçük değer için olmalıdır.

TERS PİSAGOR ÜÇLÜLERİ OLUŞTURALIM MI?

DÜZELTİ

(d, e, f) bir pisagor üçlüsü olsun.

d2 + e2 = f2 eşitliğini d2 e2 f2 terimiyle bölersek

22 T

ef df

ed

eşitliğini elde ederiz.

En küçük pisagor üçlüsü (3,4,5) ol duğuna göre

a ef 4.5 20 b d f « 3 . 5 15 vec d.e 3.4 12 olur. Böylece

111 202 152 122 sağlanır. Sonuçta a + b + c = 20+ 15 + 12 = 47 bulunur.

(a) Son dört günün birisinde, ÇOMAR'a, (sırasıyla):

5., 2., 4., 1. ve 3. evler yemek verdi.

(b) Dört günün bir diğerinde, ÇOMAR'a, (sırasıyla):

5., 1., 4., 2. ve 3. evler yemek verdi.

(c) Dört günün bir diğerinde, ÇOMAR'a, (sırasıyla):

4., 2., 5..1 . ve 3. evler yemek verdi.

(d) Dört günün bir diğerinde, ÇOMAR'a (sırasıyla):

4., 1., 5., 2., ve 3. evler yemek verdi.

ÇOMAR, her sabah, beş evden verilenleri yemek için yapmış olduğu geliş gidişler sırasında :

1. evin bahçesine 2 kez, 2. evin bahçesine 4 kez, 3. evin bahçesine 5 kez, 4. evin bahçesine 3 kez, ve 5. evin bahçesine 1 kez girmişti.

•4 t\O 387" E L E K T R İ K I yO MÜHENDİSLİĞİ

Geçtiğimiz sayılarda yayınladığımız "Çözüm 50" de bir yanlışlık yapılmıştır. Hatalı bölümü düzeltir, hata için özür dileriz.

(A) 134'ün 6 permütasyonu. (B) 138'in 6 permütasyonu. (C) 174'ün 6 permütasyonu. (D) 178'ln 6 permütasyonu. (E) 194'ün 6 permütasyonu. (F) 198'in 6 permütasyonu. (G) 374'ün 6 permütasyonu. (H) 378'in 6 permütasyonu. (J) 394'ün 6 permütasyonu. (K) 398'in 6 permütasyonu. (L) 794'ün 6 permütasyonu. (M) 798'in 6 permütasyonu.