L FİLTRELERİ

Özet : Bu

UDK: «21.377.54

"L,, Fillreleri yazımızda

Buttervvorth

ve

Chebys

hev

H. M. KIZILYALLI Y. Müh. Î.T.Ü.

filtrelerinin istenilen

t-... + akPk(x) =

özelliklerini birleştiren yeni bir çeşit filtreden

V (x) = a» P0 (x)

bahsedilmektedir. Bu yeni çeşit filtrelerin geçirme + a, P, (x

bandında amphtüd ka-rekteristiğinin dalgalanması

(ripple) yok ve durdurma bandında da

k

zayıflaması daha yüksektir.

Z a, P, (x) ve n=2kf-l, i

Alçak geçiren filtre hesaplanmasında transfer

=o

fonksiyonunun sıfırları sonsuzda amplitüd karekteristiği genel

kabul

edilerek,

Pİ

:

(x)

de birinci mertebeden

olarak

Ko

G (w)

+f(

P0(x)=l, P,(x) = x,

Legendre polinomudur P,(x)=-l- (3x*-I)

şeklinde yazılabilir Burada K0 .doğru akım ka P3 (X) =-^— (5x3 —3x) ve aj sabitleri de zanç sabiti ve f (w2) de ıo2 in pozitif rasyonel •

fonksiyonudur. Literatürde iki çeşit filtreden

al

a~2

ak

bahsedilmektedir. Buttervrorth sınıfında

a0 = 2 k + l

ve Chebyshev sınıfında _ t s 2 r* '

ile verilir.

g reel ve l den çok küçük ve Cn (tp)de Chebyshev kosinüs polinomudur. Eğer \G(wt\ nm geçirme

— n'çift iken n =

bandında belirli bir değişimi için mümkün olan

O'3 1

en büyük zayıflama isteniyorsa Chebyshev filtresi en iyisidir. Fakat geçici hal karekteristiği

1=0 i

düşünülürse geçirme bandında fazla dalgalanma-

'Fi (X).

ya müsaade edilmez. Bu durumda kesim' fre- formülü" kullanılır.

kansmdaki amplitüd karekteristiği Chebyshev'e nazaran iyi olmayan Buttemorth filtresi kullanma yoluna gidilebilir. Mezkûr sebebler dolayısıy-

Bu halde a, sabitlerinin bulunması k nın tek veya çift olmasına göre iki kısma ayrılır.

le Butterworh filtresinin istenilen özelliklerine

Hal l : k çift

sahip ve ayni zamanda kesim frekansında daha

dik eğilimli bir filtre aranması tabiiydi

Bu makalede amplitüd karekteristiği w ile devamlı olarak azalan ve eğimi kesimde mümkün olan en büyük değerde L çeşidi filtrelerden bahsedeceğiz.

L filtresini meydana getiren polinomu Ln (w 2) ile gösterirsek, mezkûr polinom aşağıdaki vasıflara sahiptir:

2k+l — = ak.ı =0

Hal 11 : k tek

3 ~ 7~

(a) Ln (0) =0 (b) LD (1) =1 (c) dLn (w2)

a0 = a, = ------ = ak_, = O, ile bulunurlar. Misal olarak L2 U2) ve L3 (o>-) polinomlarını hesaplayalım.

>o

a.L-2 . k = On = 2k + 2 = 2 çift numaralı

(d) w = l de eğimi, dLn_, makûmum

polinom

d tu Ln (w2) Polinomu:

I - n tek iken

(to2) =

r V2

2 «J2—1L (x) dx

n

J-1

________ \_______________l __

3n —

—*

V(k+l) (k+2)

a0 ve P0 (x) yerine koyup

"k = o

S a, P,- (x) dx=

formülü ile verilir Burada

_1=0

vır d x = .y,4 elde ederiz.

w — l de eğim de

= 4ws dw = 4 dür.

î. L3 . k = l, n = 2k + l = • l nn ==

V 2 (k+1) ı

V 2 (k+1)

olur.

numaralı böylece

.2 w* — l k= a. P, (x) dx

_ı=o

2w*— l dx

= G (S) G (— S) teşkil edilir. S yerine jw koyarak g (—ur') = G (jıp) G (JM?) = G2 (M;) elde edilir.

Burada da sistemi fonksiyonunu bulmak için g (S2) çarpanlara ayrılır ve yalnız sol yan düzlemdeki kutuplar muhafaza edilir. Meselâ, n = 3 için karesi alınmış amplıtüd karakteristiği

L3 (tü~) değerini yerme koyarak : l Bu ifade de — w- = SJ koyarak

elde edilir.

g(S-) = G(S) G (— SI = ------------------l - S? - 3 S4 - 3 S6 çarpanlara ayrılıp sağ yarı düzlem kutuplarını ihmal ederek

G (S) = -----S3 + 1. 31S- + 1.359S + O 577 bulunur

Doğru akım kazancını birim yapmak için pay 0.577 olarak seçildi. G (S) in kutupları:

2w2-l

—2

dx= 3 ıo° — 3 it?4 + tu2 bulunu .

+

—l 2 V'~2~ Bu halde w = l deki eğim :

dL d

w

=

18 tu5 - 12

2w — 8 ojur.

Böylece devam edersek

w =1 b0 = -0.62) S1)2 = -0.34.3 + j 0.901 dır ve şekil l de gösterilmiştir. n = 5

Tablo l deki Ln (w *) polinomlarını buluruz. Bu halinde

polinomların w ya nazaran türevleri w = l de hesaplanırsa görülürki kesim frekansında eğim n ile

1+L5 l (-S2) bu defa da L, (—

beraber artmaktadır.

S-) değeri yerine koyarak

Sistem fonksiyonu G (S)'i bulmak için g (S-')

Tablo : I Ln

2 3u>6-

36w8 — 8w8 + 3tü4 20tı?-10_ -^ -40 WB + 28we — B 50wıa — 120ıo10 -f 105w8 —

— 525

E.M.M 80

— 355 ws + I0'w ° —

dLn (I)

dw 4 8 12 18 24 32

l —S2 — 8S< — 28S8 — 40S8 — 20S:o böylece

S0 = — 0.468, S,,2= 0.388 :f j 0.589, Sa,4= —0.154 rp j 0.968 dır ve bunlar şekil (2) de gösterilmiştir.

Şekil 3den=3ven=5 için L ve Butterworth filtreleri mukayese edilmiştir. L filtresinin

G (S) '= ------------------------------------------------------------------------Ss + 1.551 S4 + 2.203 S3 + 1-693 S2 ^- 0.898 S + 0.224 olur ve kutupları da

JtJ

kesim karekteristıği Buttenvorlh filtresininkine

nazaran daha dik eğilimlidir. Ayrıca L filtresinin

(L. F.) basamak karakteristiği (Step response)

tetkik edildiğinde görülür ki kararlı hale geçiş za-

manı Chebyshev filtresinden (C.F.) daha kısa ve

0,8

asması da Buttenvorth filtresiyle (B.F.) mukayese edilebilir. Şekil 4 ve 5'e bakınız.

0.6

oı

ı—-1 -

0.4 0,2

-L filtresi

----Butterworth filtresi

.2- n«5 .08 .02

s£

Şekil: (1)

-1

İtU

1 0,8

.01

Tarifler :

Şekil (3)

1 — Aşma (overshoot) • Basamak karekteristiğinin aşması, tepe değeri ile bu karekteristiğin

son değeri arasındaki farktır ve son değerin yüzde

si olarak ifade edilir.

2 — Kararlı hale geçiş zamanı (settling time) :

Kararlı hale geçiş zamanı t^ ,ilk tepe ile karek

.1

teristiğin son değerinden %

den

fazla değişme

diği

ana kadar geçen müddettir.

Referans':

0.4 -1

«5*

S2

1 — A. Papoulis, «Optimum filters with Monotonic Response» Proceedings the İRE, 46 No. Mart 1958

2 — E. Jahnke ve F. Emde, Tables of FunctiDover Publications, New York

3 — A. Papoulis, «On Monotonic Response Filters» Proceedings of the 47, Şubat 1959

4 — F. F. Kuo, Nehvork Analysis and Synthesis, Wiley, Sons, 1962

of 3.

ons, 1945

İRE,

Jonh

Şekil : (Z) 14

1.1 0.9 S 0.7 "S.

E 0.6 0.3 0.1 O

E.M.M. 60

10 12 14 16 18 20

zaman, saniye (Sekil : (4)

6 8 10 12 14 16 18 20 zaman ,* saniyt

Şekil • (S) 15