İŞARET AKIŞI DİYAGRAMLARI İLE DEVRELERİN ANALİZİ

UDK: 621.3.012

Jşaret Akışı Diyagramları ile Devrelerin Analizi

Necdet ŞEN Y. Müh. Mu. Ok.

ÖZET : Bu yazıda işaret akısı diyagramlarının çizilmesi, basitleştirilmesi, elektrik devrelerine uygulanışı, Mason metotlu ile diyagramın iki düğümü arasındaki transmıttansın bulun ması, devre fonksiyonlarının hesaplanması anlatılmıştır Çeşitli örnekler verilmiştir.

1. Giriş

Elimizde lineer simültane cebrik denklemler den müteşekkil bir denklem takımının bulundu ğunu düşünelim. Bu denklemlerin çözümlerinin, bazı şartların sağlanması kaydıyla çeşitli metod larla (matris, determinant, adı v.s ) mümkün ol duğunu bilmekteyiz. Ancak bazan uzun işlemler sonunda hem zaman kaybı ve hem de yanlışlık lar yapılabilir. Halbuki adı geçen denklemlerin çözümleri, bunları bir takırn operasyonel diyag ramlar kullanılarak geometrik şekle sokmakla, daha kolay ve kısa olarak elde edilebilir. Bu di yagramlar literatürde lineer denklemlerin, çeşit li fiziksel sistemlerin giriş büyüklüklerıyle, sis temin diğer noktalarındaki büyükler arasındaki bağıntıların hesaplanmasında kullanılırlar. Bu sistemlerin girişine tatbik edilen uyarma işareti nin, çıkış uçlarında meydana getirdiği tesir ba kımından işaret akışı diyagramları (= İAD) ve ya grafları diye isimlendirilirler. İAD ları genel olarak denklemlerdeki değişkenlerle, değişken katsayılarının bağlılıklarını gösterip, bütün line er sistemlerde (elektirk, elektronik, otomatik kontrol, mekanik, idrolik, v.s.) çeşitli parametre ve devre fonksyonlarınin hesaplanmasında ko laylık sağlamış olurlar.

2 — İşaret Akışı Diyagramlarının Çizimi :

En basit olarak x2 = ax, gibi bağıntının İAD ile gösterilişi Şek. 1. a daki gibi olup xx değiş kenini (düğümünü) x2 değişkenine (düğümüne) doğru yönlendirilmiş çizgi parçası şeklinde a katsayısı ile bağlamaktan ibarettir. Benzer tarz da x3 = Axj + Bx2 şeklinde bir denklemin İAD ise Şek 1. b de görülmektedir.

varmış gibi düşünülebilir, veya başka bir deyiş le düğümler arasında bir işaret transmisyonu ol maktadır. Bu sebeple düğümler arasındaki akış özelliğini haiz olan yönlü a, A, B katsayılarına transmisyon katsayısı veya transmıtans adı ve rilmektedir Şek 1 a da akışın x, den x,2 ye ve Şek. 1. b de Xj ve x2 den x,'e olduğu göz önüne alınarak a, A, B katsayılarına (veya en genel olarak katsayı fonksiyonlarına) transmitans keli mesine izafeten, akış yönünü de belirtmek üzere t12, t13, t23 notasyonlarını kullanmak daha açıkla yıcı olur. Buraya kadar söylediklerimize dayana rak verilen bir lineer simültane cebrik denklem takımının İAD nı çizmek mümkündür Bir misal olmak üzere

(b)

(c)

X, =

+ tMxs

denklemlerini alalım. Bu denklemlerin İAD lan her bir denklem için teker teker şekil 2 de gö rüldüğü gibi çizilir. Bunun için önce xlt X2, x,, x, değişkenlerini gösteren düğümler şekil 2. a dakı gibi işaretlenir. Sonra (a) denkleminin akış di yagramı şekil 2. b deki gibi çizilir; daha sonra (b) denkleminin akış diyagramı buna eklenir şe kil 2. c; sonra (c) denklemininki de buna ekle nerek denklemlerin göstermiş olduğu toplam İAD çizilmiş olur Şekil 2. d.

"*•

Şekil : t Şek 1. a ya bakılırsa xt den x, ye ve Şek. 1. b de ise x, ve xu den x3'e doğru yönlü bir akış Elektrik Mühendisliği 92

t,,*,

Şekil: 2 13

Şek. 2 de bazı düğümlerde sadece giden kol lar, bazılarında gelen, bazılarında" da gelen ve giden kollar bulunmaktadır. Dikkat edilirse xt den yalnız t12 gitmektedir. Böyle yalnız giden kolları ihtiva eden düğümlere Kaynak Düğüm veya Giriş Düğümü, yalnızca gelen kolları ihtiva eden düğümlere de Yük Düğüm veya Çıkış Dü ğümü adı verilir. Bu diyagramdan da görüleceği gibi bir IAD da akış yönü, p nci bir düğümden q ncü bir düğüme doğru ise, akışın yönü aksedi lemez. Mesela şek. 2. d de t23 transmitansının akış yönü tersine çevrilip de t32 şeklinde göste rilemez. Aksi halde denklemlerin de durumu bo zulmuş olur.

3 — İşaret Akışı Diyagramlarının Cebri..

İAD dan gaye, verilen denklemlerin, değiş kenleri arasında çeşitli bağıntılar elde etmek ol duğuna göre çizilen diyagramların istenilen he saplar yapmak üzere basitleştirilmiş olması ge rekir. Böylece bütün diyagram iyice basitleştiri lip sonunda şek. 1. a daki gibi duruma indirile bilir. Bunun için bir takım elemanter işlemler yapmak gerekir.

I. Toplama Kaidesi: tki düğüm arasında aynı akış yönünü haiz olan transmitanslar topla nabilir n — Çarpma Kaidesi : Akış yönleri aynı olan peşpeşe transmitanslar çarpılıp tek bir transmı tans haline getirilebilir.

*.o

"•*.

İÜ — Düğüm Parçalama Kaidesi : Akış yön leri aynı olan 2 veya daha fazla transmitans, bu düğüme bağlı ve düğümden sonra da aynı akış yönlü bir transmitans şeklinde devam ediyors; bu düğüm, gelen akışların her biri için parça lanıp çarpma işlemi uygulanabilir. Şeş. 4

Şekil : 4 IV — Şelf Transmitans (veya geri besleme çevresi) Kaidesi: Bir düğüme başka bir düğüm den ve kendisinden tekrar kendisine bir akış geliyorsa şekil. 5 deki gibi basitleştirilebilir.

...

Şekil : S

Çizilen bir diyagramın basitleştirilmesi bu ele manter işlemlerin kullanılmasiyle mümkün olur. Bu düşüncelerle bir IAD nın herhangi iki düğü mü arasındaki transmisyon fonksiyonuna eş de ğer olan transmitansı bulmaya "Redüksiyon Me todu" denir.

4. İşaret Akışı Diyagramlarının Elektrik Devrelerine Uygulanışı.

Bir devre verildiği zaman bu devrede İAD ile hesap yapmak için, önce bu devre için devre denklemleri yazılır. Bu denklemler, genel olarak bir lineer integro diferansiyel denklem sistemi halindedirler. Bu denklemlere Laplace veya Fourier Transformasiyonu tatbik edilirse, denk lemler s veya w değişkenleri cinsinden ceb rik denklemlere dönüşürler. Böylece elde edilen cebrik denklemlere göre İAD nı çizmek müm kündür. Ancak bu çizim şeklini sistematik bir şekle sokmakla sonuca daha kolay varılmış olu nur.

Devre topolojisinden hatırlanacağı üzere, ve rilen bir devreden çizilecek topolojik diyagram dan, seçilen her hangi bir ağaçta, ağaç dışı^ ele manların akımları bağımsız olup, sayıları da (e d + 1) tanedir. (1) Böylece bunlar cinsinden (d 1) tane bağımsız Kirçhoff'un akım denklemi yazılır. Bunun gibi ağaç içi gerilimler bağımsız olup sayıları (d 1) tanedir. Bu bağımsız ağaç ıçı gerilimler cinsinden de (e d + 1) tane bağımsız Kirchoffun gerilim denklemi yazılabilir.

IAD nı çizmek için, devredeki bağımsız geri lim ve akımlar, seçilen ağaçtan bulunur. Burada bu işi yaparken diyagramdan, gerilim kaynakla rını ağaç içi eleman, akım kaynaklarını da ağaç dışı eleman olarak bırakırsak yazılan denklem lerde bulunacak olan bilinmeyen bağımsız akım ve gerilimlerin sayıları azalmış olur.

IAD nın yukarıdaki gibi devre topolojisinden faydalanarak çiziminden sonra bu diyagramlar (1) Burada e : Topolojik diyagramdaki eleman sayısı,

• d: Topolojik diyagramdaki düğüm sayısı.

ElektHk ıMübenaisligi 02

dan çeşitli çözümler ve devre fonksiyonları bulu nabilir. Bu zümreden olmak üzere Kazanç, İmi tans (empedans ve admitans) fonksiyonları ko laylıkla hesaplanabilir. Bu düşünce tarzına göre, eğer gerilim kazancı fonksiyonu bulunacaksa, her ikisi de gerilim olmak üzere, kaynak düğümü ile çıkış düğümü arasındaki eşdeğer transmitans bu lunacak ve eğer giriş empedansı hesaplanacaksa kaynak düğümü (giriş akımı) ile çıkış düğümü bulunacaktır. Benzer düşünce ile diğer devre (giriş gerilimi) arasındaki eşdeğer transmitans fonksiyonlarını da, tariflerine dayanarak gereken düğümler arasındaki eşdeğer transmitansları elde etmek suretiyle hesaplamak kabildir.

Örnek: Şek. 6 deki tranzistorlu amplifikatör katının kazancının hesabı.

E.

Şekil: 6 Bu amlifikatörün IAB ile kazancını hesapla mak için önce devrenin Şek. 6. b deki eşdeğirini çizdikten (burada hybrid parametreleri cinsinden eşdeğer devre çizilmiş olup; h a ı : tranzistorun giriş empedansı; h 2 2 : transistorun çıkış admi tansı, h 1 2 : transistorun giriş uçları açık devre iken gerilim transfer oranı; h 2 l : Transistorun çıkış uçları kısa devre iken akım transfer oranı Elektrik Mühendisliği 92

olduğu malûmdur.) sonra bu devrede her bir ele mana bir toplojik eleman tekabül ettirerek dev renin Şek. 7. c deki topolojik grafı çizilebilir. Diyagramda seçilen uygun ağaç kalın çizgilerle, ağaç dışı elemanlar da kesikli çizgilerle gösteril miştir. Gerilim kaynakları ağaç içi eleman ve akım kaynakları ağaç dışı eleman olarak bırakı larak d 1 = 4 1 = 3 bağımsız düğüm için Kirc hoff'un akımlar kanunu ve e d + 1 = 7 4 + 1 = 4 bağımsız çevre için kirchoff'un gerilimler kanunu yazılabilir. Bununla beraber devrede iki özel du rumu göz önüne alırsak meselenin daha basitle şeceği anlaşılır. Bunlar da devredeki,

1 — Akım kaynaklarının bilinmekte olan a kımları ile uçlarındaki gerilimleri arasında bir bağıntı olmadığı zaman, bu gerilimler bilinme yen olarak kalır. Böylece akım kaynaklarının bu lunduğu çevrelere Kirchoff'un gerilimler kanu nunun uygulanmasına lüzum kalmaz., Şek. 6 c deki I ve n çevreleri için gerilim denklemlerini yazmak yetişir.

o

2 — Benzer olarak, gerilim kaynaklarının bi linmekte olan gerilimleri ile akımları arasında bir bağıntı olmadığı için bu akımlar bilinmeyen olarak kalırlar. Böylece gerilim kaynaklarının bağlı bu lundukları düğümlere de Kirchoff'un akımlar ka nunun uygulanmasına lüzum kalmaz. Devrede bu özellik gözetilerek yalnızca 1 ve 2 düğümleri için akım denklemleri yazılmıştır.

O halde 1 ve 2 düğümleri için Kirchoff'un akım denklemleri,

1 düğümü: —Vg Yg + V ^ , + Iı O (a)

2 düğümü: hu It + h M V , + I4 = O (b)

ive II çevreleri için Kirchoff'un gerilim denk lemleri,

I çevresi: h u T x + hıaV, — Vı = O (O

H çevresi:

—V, + R4T4 = O (d)

olup bu denklemlerin IAD nın çiziminde bağımsız gerilim ve akımlar lâzım olduğuna göre yukarki iki özelliğe uygun olarak, kaynaklar hariç tutul mak üzere V^ V2 ve I,, I4 değişkenlerini yazdı ğımız denklenmlerden hesaplayabiliriz, (a) denk leminden Vj, (d) denkleminde V2, (c) denkle minde I1( (b) denkleminde 14 aşağıdaki gibi bulu nur.

1 v,— Mİ

(2)

"ıı

ıııı

I. = htıTı_hMVi V, = R.I4

(3) (4)

Bu denklemlere göre IAD parça parça çizilirse çizim tekniği kolayca anlaşılmış olur. Şek. 7

YJ V.RI/1

hıa.''t

ş'ekil. 7

Şek. 7 deki toplam. IAD na redüksiyon meto

dunu uygularsak

kazancını cebirsel kaide

lerden faydalanarak bulabiliriz. Önce I, düğümü sonra 1, düğümü "parçalanırsa meydana gelen şelf transmitahslarıb'asitleştirilebilirler. Şek. 8

Böylece bu amplifikatörün İl kazanç

fonksiyonu redüksiyon metoduyla bulunmuş olur.

J^j,

—haıRL

Vg ~ ( h n + hg ) (İ + h f l R L ) — h h R ıSi 21 L

5 — Direkt Metod :

Mason tarafından bulunmıiş olan fonksiyonel bir bağıntı ile lineer bir devre için çizilen IAD dâh, diyagramın iki Güğümü arasındaki transmi tans (transmisyon) • fonksiyonunu hesaplanması

;8 kabilidir. Bu bağıntı aslında redüksı'yon metodu nun sistematik bir şekle sokulmasından ibarettir.

Elektrik Mühendisliği »2

Burada m: Kaynak düğümü ile çıkış düğü mü arasında mümkün olan peş peşe zincir şek linde ayni akış yönünü haiz olan talî grafların sayısıdır.

/^ : IAD nın determinantı olup değeri

A= 1

nX

n3

u + 2 Pa — 2 P.s +

Burada Pj, : i nci, kendi üzerine kapanan gen besleme akışlarının transmitansları çarpım ları toplamı,

Pik : Peş peşe kapalı bir göz meydana ge tiren birbirinden bağımsız aynı yönlü akışların transmitanslan çarpımlarının toplamı,

M* : k ncı düğüme kadar zincir grafların transmitansların çarpımı

/\k : /\ determinantının yalnızca Mt zincir alt graflarından bağımsız olan akış çevrelerini ihtiva eden kısmı (diğer bir deyişle kof aktör determinantları). Şimdi Mason formülü ile Şek. 8 deki toplam IADmdan V2/Vg kazancını hesap layalım. Şek. 9. a da Mj zincir grafı, Şek. 10. b de bütün feedback çevre akışları gösterilmiş

N olup bunlara bakılarak 2 Pıi yazılabilir.

Şek. 7 deki toplam IAD na bakarsak Mx zincir grafından bağımsız çevre graf olmadığı görülür. O halde £± k = Aı ~ ° d i r Y i n e g ° r u l ü r ki h nh (—1)

il

2 ; PI« = i=ı

O dırlar.

Böylece

TgS =

—RB

— h uu hhM )

t

Rg

'ıı

— h n RL

R,

h2JRL)

hı8

olarak bulunur ki bu sonnç redüksiyon metodu ile bulunan sonucun aynıdır.

i»< H

3 h,,

k,

IJ

Ul

Şekil : 9 Elektrik Mühendisliği 92

6. İşaret Akışı Diyagramları ile Devre Fonk siyonlarının hesabı

Bir lineer devrenin giriş ve çıkış uçları ara sındaki akım gerilim büyüklüleri arasındaki ba ğıntılara Devre Fonksiyonları denildiğini bili yoruz. Bu tipten fonksiyonların hesabında, devre deki şelf ve kapasitelerden dolayı devre denklem lerine giren başlangıç şartları sıfır olarak alınır ve bütün bağımsız kaynaklar devre dışı (akım kaynaklarının uçları açık devre ve gerilim kay naklarının uçları da kısa devre edilmek suretiyle) bırakılır.

Böylece hesaplanacak devre fonksiyonları, Giriş Fonksiyonu ve Transfer Fonksiyonu şeklinde iki çeşit olup, bunların hesabında Laplace veya Fo urier Transformasyonları kullanılarak s veya w domeninde rasyonel bağıntılar elde edilir.

Bir devre fonksiyonunun tarifi,

Çözüm (Respons) Fonksiyonu Devre Fonksiyonu =

Kaynak Fonksîyonu

şeklinde olup, bunların çeşitlerine göre hesapla nış tarzı İAD bakımından Şek. 10 da görülmekte dir Meselâ giriş fonksiyonu hesaplanacaksa nihaî İAD nda kaynak düğümü giriş akımını, çıkış dü ğümü giriş uçlarındaki gerilimi göstermelidir; yine eğer giriş admitansı hesaplanacaksa kaynak dü ğümü giriş gerilimini, çıkış düğümü giriş akımını göstermelidir. Benzer şekilde transfer enıpedansı hesaplanacaksa kaynak düğümü girişi akımını, çıkış düğümü de çıkış uçlarındaki gerilimi göster melidir; transfer admitansı hesaplanacaksa kay nak düğümü devrenin giriş uçlarındaki gerilimi ve çıkış düğümü de çıkış akımını göstermelidir. Bu özellik göz önüne alınarak Şek. 10 da devre fonksiyonlarının hesaplanmasında, giriş uçlarına gereken kaynak bağlantıları yapılmıştır.

Misal: Şek. 11 deki devrenin giriş empedan sının hesabı

Şekil 10 18

Şekil : 11 Giriş fonksiyonunun tarifi icabı 1 1 ' uçlarına Ik akım kaynağını bağlıyalım böylece Şek. 11 b deki gibi devrenin eşdeğeri çizilmiş olacaktır. Eş değer devreye bakarak Şek. 11. c deki topolojik diyagramı çizmek mümkündür. Bu diyagramda akün kaynakları ağaç dışı eleman olarak alınmış tır. Ix akımı yine ağaç dışı ve Vı, V2 gerilimleri de ağaç içi eleman olarak alındığına göre yaza cağımız şu denklemlerde bunları bulmak kabil dir. rp , C3, RLyi birlikte düşünerek 1,2 düğüm leri için Kirchoff'un akımlar kanunu ve gösteri len çevre için gerilimler kanunu uygulanırsa şu denklemler elde edilir.

— I, + s C ^ + Ix = O — Iı + g» Vx + (gP + sC3 4 YL)V2 = O

Wı+ ~İc~ + v8 = o

yazılan bu denklemlerden bağımsız değişkenler

çekilirse elde edilen (birincisinden Ia; ikincisin den V2; üçüncüsünden Vj)

Iı + V2

V , = Z ^ —gmZ3Vı

Iı = Ig — (Burada gP + .C, + YL = Y3 = l/Z, dır)

denklemlerinden I kaynak ve Vx çıkış düğümü olmak üzere IAD, Şek. 12 teki elde edilir.

r X

1 s.

X . G,

r G,

Bu IAD na Mason formülü uygulanırsa „. 1

Örnek 1.

Şek. 12 teki IADnın blok diyagramı, tablo yardımıyle kolayca çizilebilir. Bunun için önce IAD nı bir miktar basitleştirip Şek. 13 teki tab loda gösterilen dönüşümler uygulanır.

Şek. 12 te önve V2 düğümünü ifna eder ve 1/sCj ile sC2 transmitanslarını birlikte düşünerek IAD Şek. 14 a daki duruma getirilir.

ve buradan da

CıZ3(g»+sCı)

7. işaret Akışı Diyagramlarıyle Blok Diyag ramlar arasındaki Bağıntılar.

Bir devrenin veya bir kontrol sistemi devre sinin blok diyagramı, bu devreler için çizilecek olan IAD dan bulunabileceği gibi tersine olarak blok diyagramı bilinen bir sistemin istenen trans fer fonksiyonu bu blok diyagramdan çizilecek olan IAD dan da bulunabilir.

Blok diyagramlarıyle IAD lar arasındaki ba ğıntılar aşağıdaki tablodaki gibidir.

Elektrik Mühendisliği 02

Şekil : 14

Örnek 2:

Şek. 15. a daki armatür kontrollü D.C. motoru

ihtiva eden servo sisteminin transfer fonksiyo

nunun IAD ile "bulunuşu.

.v

7..J.U

Ve dişli oranını göz önüne alarak zıt emk

Em (s) = sK'm ü! 6o (s) sKm e „ (s) ı

denklemlerinden I, (s) akımı

AC 50%

I. (s)

E, (s) Z(s)

sK. Z(s)

O. o

3ır.Vre M oha O t l t k l « U

/S

Sisteme ait denklemler yazılarak IAD çizile bilir.

Amplifikatör devresi için:

eK. K = K K . (9I— 0o) =

(s)

denklemi yazılır, (burada K, sinkro hata detek törünün duyarlığı, K ampilifikatörün kazancı, $o çıkış, O i giriş durumlarıdır) bu denklemden

Lt (s)

—O

Diğer taraftan servo motorun muindeki mo ment, K'T moment katsayısını, <£ = Kj, Im mo torun ikaz sargılarının hasıl ettiği mağnetık akıyı göstermek üzere

Tra= K'T 01.

I. » K T I .

yazılarak bu moment, motorun miline akuple edilmiş yükün eğlemsizlik momentini ve sürtün me katsayısını da göz önüne alarak

Tm=(JsM fs)öo[s)

şeklinde yazılıp Q „ (s) çıkışı

olarak elde edilir.

js,

Generatörün uçlarındaki gerilim, K genera tör sabiti olmak üzere

E g = K , I f (s)

Yazdığımız bu denklemlerden hareketle arti'c IAD çizilebilir.

O ,• (s), If (s), Eg (s),I. (s), Tm(s), eo (s) düğüm

Motor generatör devresi için E m motorun zıt emk olmak üzere yazılacak olan

lerinin alınmasıyle toplam IAD Şek. 16 b de gö rülmektedir.

Eg(s)—Em(s) = | R g + R. + s ( L K + R.) I:

I. (s) = Z (s) I. (s) 20

Şekil. 15.b deki IAD na bakarak do 19i trans fer fonksiyonu Mason formülüyle derhal hesap lanabilir.

Elektrik Mühendisliği. 92

Y KT

KjKg KT

Z Zfs(Js + f)

s(J»+f)

j Kg

K m K T Rf s(l+Tf s)f(Ra + R g )(l+Ts)(l+Tms KA

~ KBs(l+Tr s)Kc (1+Ts)(l+Tms) + 1 + KA

Co K T

Burada T lar zaman sabitleri K , K S K T = KM K 2 m K 2 T R f = K B ; f(R. + R g J/KnJCr = K c

şeklinde kısaltılan sabitlerdir Sistemin Şek. 15.b deki IAD dan hareketle blok diyagramı da çi zilebilir. Tablo yardımıyla Şekil. 16 elde edilmiş tir.

Bunlardan başka olarak zincir graflardan ba ğımsız hiçbir feedback çevre graf olmadığından zincir grafların kofaktör determinantların değeri 1 dir. Bunlara göre Mason formülü yazılırsa,

Şekil 16

Tersine olarak, bir blok diyagramdan İAD bulunabilir.

Misal: Verilen blok diyagram Şek. 17.a daki gibi olsun. Şek. 13 de görülen dönüşümler yardımiyle, bu blok diyagramı İAD şeklinde göstermek müm kündür. Böylece elde edilen İAD na bakarak, Ma son formülüyle doğrudan doğruya X,/X, transfer fonksiyonu derhal bulunur.

it)

Şekil : 17

Xj den X5 kadar olan peşpeşe zincir graflar: (G,) (1) (G2) (1), (GJ (G3) (1) Feedback Çevre graflar.

(H,), Ha), ( 1) (Ga) (1), ( 1) (1)(G2) (1) ve ikişer ikişer birbirinden bağımsız feedback

çevre grafların taransmıtanslar çarpımı

( H!) ( H3), ( Hj) ( H,)

dır.

1 (.HI H, G1 G, HIGI)+H1H,+H1H,

=

1+

'

Referanslar:

1 Prof. Dr. Tarık Özker, Devre Analizi Ders Not lan, İTÜ. Elektrik Fak. 1960.

2. Seshu Balabantan, Llnear Network Analysis, John "VVİley, 1959.

3 Balabanları, Fundamentals of Circuit Theory, Allyn Bacon, 1961.

4. Mason Zimmerman, Electronic Clrcuits, Slgnals and Systems, John Wlley, 1960.

5 Mason, Peedback Theory Purther Propertles of Signal Plow Graphs, Proc İRE vol. 44 july, 1956 sayfa 920 26

6. Chen, The Analysis of Linear Systems, McGra'rc Hill, 1963

7 Chow Casslgnol, Linear Signal Flow Graphs and Apllcatlons, John Wlley, 1962

8. Horowltz, Synthesls of Feedback Systems, Aca demlc Press, 1963.

9 Llnvill Glbbson, Transistors and Active Clrcu its, McGraw Hill, 1961.

10 Kuo, Automatic Control Systems, Prentice Hall, 1962.

11. Thaler Brown, Analysis and Deslgn of Feedback Control Systems, 2nd edltion, McGraiB Hllİ! 1960.

12. Truxal, Automatic Feedback Control Systems Synthesis, McGraw Hlll, 1956.