LİNEER OLMAYAN ELEKTROTEKNİKTE DEVRE PARAMETRELERİ VE DOĞRU, ALTARNATİF VE KARIŞIK AKIMDA ENDÜKTANS

Lineer Olmayan Elektroteknikte Devre Parametreleri ve Doğru, Alternatif ve Karışık Akımda Endüktanslar

Yazan : llhami ÇETiN Dr. Yük. Müh.

A — Lineer olmayan elektroteknikte devre parametreleri :

1. Çalışmaya genel bakış :

Demir çekirdekli bobinlerin, transformatörlerin ve elektrik makinelerinin analitik incelenmesi evvelâ manyetik karakteristiğin doğrusal kısmında başlamıştır. Ancak çok sonra, elektrik makinalar-ında ve diğer doyma arzeden cihazlarda görülen baş döndürücü gelişme, magnetık karakteristiğin doğrusal olmayan kısmındaki problemleri incelemeye sevketnııştır. Hakikaten elektrik makinalarınm, transformatörlerin ve bobinlenn iktisadi olarak yapılması, magnetık çalışma noktasını magnetık karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında seçmeye gerektirmektedir. Bu sebeple elektromanyetik büyüklükler alternatif ve karışık akımda sinüs biçimli olmayan bir değişmeye tabi olurlar.

Elektrostatikte, magnetık devrelerdeki kıymetli, bol bulunan ve yüksek magnetik geçirgenlıkli demirin yerini tutan bir yalıtkan madde yoktur. Hakikaten kullanılagelmekte olan hava, kâğıt ve yağ gibi yalıtkanlar küçük, fakat elektrik alan şiddetine bağlı olmayan bir dielektrık sabiteye sahiptirler. Yüksek bir dielektrik sabite ancak kutuplu bir yalıtkanın polarizasyoüe meydana gelebilir. Meselâ, hareketli jnolekulllere sahip suda izafi dielektnk sabite 81 olduğu halde, dıpollerin donmuş olduğu buzda bu miktar 2 ilâ 3 e düşer.

Karakteristiği doğrusal olmayan dielektriğin klâsik örneği.

CO,,K — CHOH — CHOH — CO,N,4H,O formüllü Senyet (Seignette) tuzudur, izafi dielektrik sabitesi 10000 e kadar yükselebilen bu madde, demire benzer özellikler göstermektedir. Filhakika hısterızıs çevrimu, remanansı, Curie noktası vardır ve Weiss sahalarından meydana gelir. Feromanyetik maddelerin özelliklen ile olan bu benzerlik dolayısıyle, yüksek dielektrik sabitelı ve lineer olmayan karakteristikti maddele re ferroelektrik sıfatı verilmektedir. Zamanla kalyumfosfat gibi başka ferroelektrik maddeler bulunmuştur. Böyle yalıtkan maddeler artık tek-

nikte büyük ölçüde kullanılmağa bağlanmıştır. Bunlar arasında titan dioksit bağlantıları sayılabilir. Titanat karığımı seramiklerden yapılan ve yüksek frekans tekniğinde çok miktarda kullanılan bu kondansatörler, hafif ağırlığa ve küçük hacme sahip olduklarından uygulamalarda çok kıymetli olmaktadır.

Yüksek dielektrik sabitell yalıtkanlardan yapılan kondansatörler lineer olmayan bir karakteristik arzettiklerinden, manyetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında görülenlere benzer özelliklere sahiptirler. Bu bakımdan çözümlerinin paralel metotlara dayanmasr beklenebilir.

Gerilime bağlı dirençler de doğrusal olmayan karakteristikleri ile problemlerde lineer olmayan durumun güçlüklerini arzederler. Bugünkü teknikte fevkalâde önemli yerler işgal eden bu çeşit dirençler arasında, clvalı ve yarıiletkeni! redressörler, radyo lâmbaları, yarıiletkeni! diyotlar ve triyotlar, parafudrlar ile koruma, ölçme otomasyon ve muhabere tekniğinde kullanılan müh telif dirençler sayılabilir.

Lineer olmayan durumda akım devrelerinin temel devre elemanları endüktans, kapasite ve direnç teker teker veya beraber doğrusal olmayan bir karakteristiğe sahip olabilirler. Fakat lineer olmayan durumdaki problemlerin sistematik incelenmesi, esas devre elemanları için evvelâ teker teker çözüm araştırmayı gerektirir. Eldeki çalışmada bu yol takip edilecektir. Çözümler genellikle kararlı durum için, doğru ve peryodık akımda araştırılacaktır.

Birçok harmonikten meydana gelen elektromanyetik büyüklüklerin incelenmesi sabit devre parametrelerinde (R, L, C) kolaydır, çünkü muhtelif ikaz büyüklüklerine tekabül eden .çıkış büyüklükleri birbirlerine bağlı olmadan teker teker hesaplanabilir. Diğer bir ifade ile burada üstuste binme prensibi geçerlidir. Buna mukabil karakteristiklerin doğrusal olmayan kısmında üstüste binme prensibi uygulanamaz. Çıkış büyüklükleri birbirine tesir etmeden ilâve edilemez. Her ikaz büyüklüğü aynı devre parametrelerine sahip değildir. Diğer taraftan bir ikaz büyüklüğüne ait devre parametreleri yalnız bu ikaz e

büyüklüğüne değil, diğer ikaz büyüklüklerine de bağlı olurlar. Bugün karakteristiklerin doğrusal kısmındaki temel problemler hemen hemen tamamen nihai gekllde çözüldüğü halde, doğrusal olmayan kısma alt problemlerin çoğu bu -neticeden uzaktır.

Teorik -elektrotekniğin temel kavranılan genellikle evvelâ doğru gerilimde ve devre elemanlarının doğrusal karakteristiklerinde tanımlanır. Bundan sonra, güçleştirici şartlar olan değlgken gerilim ve akım ile doğrusal olmayan karakteristiklere geçilir. Çalışma incelemelerde bu plâna uyacaktır. Buna mukabil bir çok kaynaklarda, doğrusal olmayan karakteristikler için bilhassa peryodlk gerilim ve akımda, doğrusal durumdaki temel devre parametrelerinin kullanılmasından vazgeçildiği görülmektedir. Direnç için gerilim " ve akım, endüktans için akı1 ve akün, kapasite için gerilim ve yük kullanılarak uygulanan böyle metodlarm doğru neticeler verdiği muhakkaktır. Fakat bu gibi incelemelerde, doğrusal durumun parametrelerinden gitmekte ve bunları genelleştirmekte temel faydalar vardır. R, L ve C kavramlarının genelleştirllerek kullanılması, metodlarda ve düğünce tarzlarında birlik sağladığı gibi, mukayeseyi ve fiziksel anlamayı da kolaylaştırır. Meselâ direnç değerlerinin her durumda verebilmesi, dirençleri niteleme ve boyutlama bakımından da çok önemlidir.

Çalışma ayrıca ortam parametreleri özgül direnç, manyetik geçirgenlik ve dlelektrlk sabiteyi de devre parametrelerinin metodlan ile inceleyerek gayet sistematik, tutarlı ve fiziksel bir büttüi teşkil etmektedir.

Z. lineer olmayan elektrotekniğe genel bakış *

2.1. Bütün elektriksel olayları kapsayan genel denklemler :

• Klâsik teorik elektrotekniğin konusu olan elektriksel olaylar, bilindiği gibi, 4 Maxwell denklemleri

«t rot H = I + •

• d)

8B

81 rot E = -----

•(2)

dlv B = O

.(3)

divD = 'p ................................................

.(4)

.ile kapsanır. Bu dlferenslyal denklemlerde

bilinmeyen olarak geçen 4 esas elektromagnetik

bü--yüklük ile bilinen olarak geçen 2 büyüklük

şunlardır :

Bilinmeyenler :

1. E : elektrik alan şiddeti 2. D : elektrostatik endüksiyon 3. B: magneük endüksiyon 4. H : magnetik alan şiddeti

Bilinenler : 1. I: akım yoğunluğu p : 2. yük yoğunluğu

Tamamen genel geçerlikte olan yukarıdaki 4 diferenslyal denklemle özetlenen Maxwell teorisi elektriksel olayları makroskopik yönden inceler. Bu görüşte maddesel ortamın molekül, atom ve elemanter parçacıkları ile teker teker meşgul olunmaz. Elektriksel olayları mikroskopik yönden ele alan Lorenz teorisi ise, - atomların içindeki ve aralarındaki fiziksel olarak mevcut elektromanyetik büyüklükleri inceler. Maxwell teorisindeki elektromagnetlk büyüklükler, maddesel bir ortamın herhangi bir noktasında fiziksel ola-; rak mevcut olmayıp, bir çok atom ihtiva eden küçük hacim bölümlerinde tanımlanan ve ölçülebilen ortalama değerli büyüklüklerdir. Bu inceleme tarzına örnek olarak p yük yoğunluğunun Q yükünün V hacmına göre oranı ile yapılan tanımı ele alınacak olursa,

AQ .(5)

AV-»,, AV yerine, e makroskopik hacim bölümü ile

AQ

.(6)

p = lim -------- .............................................

AV_>e AV

yapılmasının daha doğru olacağı anlaşılır.

Maxwell denklemlerinin elektriksel olaylarda aranan bilinmeyenleri veremeyecekleri iki türlü görülebilir :

a. Fiziksel olarak :

Elektriksel olaylar belli bir ortamda geçtikleri halde, Maxwell denklemleri ortamın özelliklerini kapsamamaktadır. Bu sebeple aranan çözümü tam olarak vermeleri imkânsızdır.

b. Matematik olarak :

Maxwell diferenslyal denklemlerini kartezyen koordinat sisteminde yazarak görüleceği gibi, bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazladır. Netice olarak, elektriksel olayları kapsayan Maxwell denklemlerinin çözülebilmesi için ortamın

Bu kısım Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu tarafından desteklenen MAG -69 sayılı araştırma projesinden alınmıştır.

özelliklerini ifade edin üg denklemin daha yazılması gerekir.

1= -E

.(8)

Bu denklemlerdeki ortamın özelliklerini (9) kapsayan E : dtelektrlk sabiti, ^ : magnetik geçirgenlik 3. : özgül iletim büyüklüklerine «ortam parametreleri» denmektedir.

(1) - (4) ve (7) - (9) da verilen 7 denklem vasıtası ile, başlangıç ve sınır şartlan bilinen herhanglbır elektromagnetlzma problemi prensip olarak çözülebilir. Bu yedi denklem elektromagnetık olayları en genel anlamda kapsar.

2.2. Ortamın özelliklerine göre ortam parametrelerinin biçimleri :

Gerek elektriksel olayların geçtiği ortamın fiziksel nitelikleri, gerek çözülecek genel denklemlere uygulanan matematik metotlar, ortam özelliklerini aşağıdaki gibi sınıflandırmaya sevketmiştlr.

a. Izotrop ortamlar :

Ortam parametreleri, ortamın herhangi bir noktasında elektromagnetik büyüklüklerin doğrultularına tabi değildir.

b. îzotrop olmayan ortamlar :

Ortam parametreleri ortamın herhangibir noktasında elektromagnetik büyüklüklerin doğrultularına göre değişir. Ortamın kristal yapısından doğan bu durumda, meselâ, Dnin her bileşkesini üç ayrı e ile E nin her bilegkenine

£« Ex +

£>y Ey + £„ Ez

şeklinde bağlıdır. Dolayısıyle e 9

bileşeni! bir tansör olur.

c. Lineer ortamlar :

Ortam özelliklerini kapsayan denklemlerin herbirmde bir ikaz büyüklüğü değişirse, ilişkin ortam parametresi sabit kalır. Grafikle göstermede (Şekil la) karakteristik başlangıç noktasından geçen bir doğrudur. Böyle karakteristiklere lineer (doğrusal) karakteristikler denir, îzotrop lineer ortamlarda ortam parametreleri, ortamın herhangibir noktasında doğrultuya bağlı olmaksızın sabittir, îzotrop olmayan lineer ortamlarda ise ortam parametreleri doğrultuya göre değişir, fakat belli bir doğrultu için sabit kalır. Her iki durumda da ortam denklemleri lineerdir.

d. Lineer olmayan ortamlar : Ortam denklemlerinde ikaz büyüklükleri değişince, ortam parametreleri de değişir. Değlgen elektromanyetik büyüklüklerin doğru veya küçük frekanslı büyüklükler olduğu farzedüir. Grafikle göstermede (şekil Ib) karakteristik başlangıç noktasında doğrusal olan bir eğridir. Böyle karakteristiklere lineer olmayan karakteristikler denir. Histerizis olduğunda başlangıç noktasından geçmezler. îzotrop ortamlarda magnetik karakteristik elektromanyetik büyüklüklerin doğrultusuna tabi değildir. Hem lineer, hem de izotrop olmayan ortamlarda elektromagnetik büyüklüklerin her doğrultusu için ayrı bir karakteristik mevcuttur.

,£

3.B.D

E,H

Şekil : l — a) Lineer ortamda karakteristikler doğru, ortam parametreleri ikaz büyüklüğüne göre sabittir, b) Lineer

olmayan ortama karakteristikler eğri,

ortam

parametreleri

ikaz

büyüklüğüne göre değişkendir.

2.3. Lineer olmayan elektrotekniğin tanımı ve kapsamı :

Lineer elektroteknik lineer ortamda geçen, lineer olmayan elektroteknik de lineer olmayan ortamda geçen elektriksel olayları inceler.

Görüldüğü gibi iki elektroteknik, esas olarak, ortam denklemlerindeki ortam, büyüklüklerinin ikaz büyüklüğüne göre değişip değişmemesi ile birbirinden ayrılmaktadır. Diğer bir ifade ile lineer elektroteknikte ikaz büyüklüğüne bağlı olmayan

ff = f (E) = sabit E = f(E) = sabit .....

= f (H) = sabit .(11)

bağlantıları, lineer olmayan elektroteknikte ise ortam parametrelerinin değişken ikaz büyüklüğüne göre değişmelerini gösteren

ff = f (E)

ju. =

fonksiyonları geçerlidir.

e = f(E) ....... (12)

Şekil la daki gibi, ikaz değişkenlerinin bütün değerleri için ortam parametrelerinin sabit kaldığı ortamlar, esas olarak lineerdir ve lineer elektrotekniğin kapsamına girerler. Şekil Ib deki gibi, ikaz değişkenlerinin yalnız başlangıç kısmındaki değerleri için ortam parametrelerinin sabit kaldığı ortamlar, karakteristiğin doğrusal kısmında lineerdir ve yalnız bu kısımda lineer elektrotekniğin kapsamına girerler. Karakteristiğin eğri kısmına ilişkin problemler lineer olmayan elektrotekniğin kapsamına girerler.

Gerek lineer olan, gerek lineer olmayan durumda ortam parametreleri ayrıca frekansa ve ısı derecesine göre değişebilir. Fakat ortam parametrelerini değiştiren bütün etkenlerin aynı anda tesir etmesi matematik bakımından çözümleri fazla .güçleştirdığl glbî, pratik bakımdan da fazla bir kıymet ifade etmez. Diğer taraftan evvelce belirtildiği gibi, her iki çeşit teorik elektroteknikte izotrop olan veya olmayan ortamlar bulunabilmektedir. Pratikte en fazla görülen, lineer olmayan izotrop ortamlarıdır. Eldeki çalışma bu gibi ortamlarda görülen bazı ana problemleri incelemektedir.

2.4. Lineer olmayan elektrotekniğin ana problemleri :

Yukarıdaki açıklamalarda belirtildiği gibi,lineer olmayan elektroteknik ortam parametrelerinin ikaz büyüklüğüne göre değişken olması Ue nitelenmektedir. Parametre değişmelerinin tek başına gözüktükleri ve lineer olmayan elektrotekniğin ana problemlerini teşkil eden elemanlar, sistematik bir inceleme için en basit olarak şu şekilde sınıflandırılabUir :

a. Lineer olmayan endüktanslar :

Magnetik geçirgenliğin değişken olduğu demir çekirdekli bobinler ve sargılar elektrotekniğin gelişmesinde en önemli etkenlerdendir. Böyle bobinlerde ve sargılarda magnetik geçirgenlik magnetik alan şiddetinin fonksiyonu olarak değişir. \p — I magnetik karakteristiği lineer değildir. Endüktans sabit kalmaz ve geçen akıma göre değişir.

Magnetik alan için uzayın iletkenin dışı ve içi olmak üzere ikiye bölünmesiyle, endüktanslar de iki sınıfa ayrılır.

a.1. Dış endüktanslar :

iletkenler dışında kalan dış magnetik halkalanma akılarının hasıl ettiği endüktanslardır. Dış, akı devresinde magnetik geçirgenlik sabltse, magnetik karakteristik lineerdir, değişkense magnetik karakteristik lineer değildir. Birinci durumda, dıg endüktans sabit, ikinci durumda değişkendir ve lineer olmayan elektrotekniğin kapsamına girer.

a.2. iç endüktanslar :

Akım geçiren iletkenlerin içinde kalan iç magnetik halkalanma akılarının hasıl ettiği endüktanslardır. Akım devresinde magnetik geçirgenlik sabitse, iç endüktans değigmez ve lineer elektroteknikte incelenir. Akım devresinde magnetik yani demirden iletken bulunuyorsa, iç akı devresinde magnetik geçirgenlik değişkendir; dolayısıyle iç endıiktans sabit değildir ve lineer olmayan elektrotekniğin kapsamına girer.

îç endüktans kuvvetli akım sargılarında, iletkenler demirden değilse, genellikle dış endüktansa nazaran azdır. Buna rağmen iç endüktansta olduğu gibi iletkenlerden geçen magnetik akıların hasıl ettiği endüktanslar, bütün elektrik makinalarında (rotor ve stator iletken boşluklarında) ve transformatörlerde hesaplanır. Fakat pratikte bu endüktanslar, magnetik geçirgenliğin değiştiği doyma durumunda hesaplama metotları bilinmediği için, sa"bit alınır veya 'değişmeleri ampirik bir şekilde nazarı ıtibare alınır. Elektrik hatlarında ve kablolarda da iç endüktanslar daima hesaplanır. Eğer iletkenlerde kısmen veya tamamen demir varsa iç endüktansın önemi artar. Bilhassa yüksek gerilim hatlarının iletkenlerinde bugünkü teknik daima çelik teller de kullandığından, bu gibi hatların iç endüktanslarında magnetik geçirgenlik değişebilir. Zayıf akım devrelerinde ise iç endüktans genellikle çok önemli bir büyüklüktür.

b. Lineer olmayan kapasiteler :

Demirin karakteristiğine benzeyen bir lineer olmayan karakteristiğe sahip baryum titanat ve benzer maddelerin dielektrik olarak kullanıldığı kondansatörlerde, dielektrik sabite elektrik alan şiddetinin fonksiyonu olarak değişir. Böyle kondansatörlerin Q — U karakteristikleri lineer değildir. Kapasiteler sabit kalmaz ve tatbik edilen gerilime göre değişir.

c. Lineer olmayan dirençler :

özgül direncin (veya özgül iletgenliğin) değişken olduğu bu dirençler pratikte fevkalâde önemlidir. Bu sınıfa yarıiletken diotlar, transistorlar, bütün redressörler, parafudur yapmağa

yarayan silisyum karbit dirençler, elektronik lâmbalar v.s. dahildir. Böyle dirençlerde özgül direnç elektrik alan glddetine göre değigir. U — I karakteristiği lineer değildir. Direnç sabit kalmaz ve gerilime göre degigir.

Pratikte bu problemler teker teker veya beraber bulunabilir. Eldeki çalışma, lineer olmayan elektrotekniğin yukarıda sınıflandırılan ana problemlerinin incelenmesine katkıda bulunmaktadır.

B — Doğru, alternatif ve karışık akımda endüktanslar * :

Genel Bakış :

Elektrotekniğin teorisinde ve uygulanmasında doğrusal olmayan magnetik karakteristiklerin kesin önemi kargısında, endüktanslann esaslı bir incelenmesi lüzumlu görülmektedir. Çalışma evvelâ bir üskavram olarak alının esas endüktansların tanımlarını, değigmelerini ve uygulanmalarını incelemektedir. Esas endüktanslar akı endüktansı, dlferenslyal endüktans ve enerji endüktansıdır. Sonra, endüktanslann peryodik akım için kullanılmasında yerlegmlg üç imkândan bahsedilmektedir. Diferensiyal endüktans ile akını ve akı değişkenlerinin nispeten küçük değişmelerini tamamen kapsamak mümkündür. Harmonik endüktanslar ise yalnız aynı mertebeden harmonikler için geçerlidir. Eşdeğer endüktanslarda da akı dağılımı hiç kullanılmayıp, kayıpların sakinimi esas alınmaktadır. Magnetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında endüktansın hangi fiziksel tanımının geçerli olduğu, gimdiye kadar incelenmemig gibi gözüküyor.

1. Doğru akım endttktanslar :

Akım devrelerinin hat biçimli iletkenler farzederek geometrik ideallegtlrilmesi, bilindiği gibi mümkün değildir, zira o zaman iletkenlerden sonsuz küçük mesafede magnetik alan' yoğunluğu, dolayısıyla akı ve magnetik enerji sonsuz büyük olurdu. Bu sebepten iplik biçimli iletkenler farzedilir.

Bobinlerin ve sargıların magnetik devrelerinde çoğunlukla, yüksek geçirgenliğinden istifade edilen demir çekirdekler mevcuttur. Bundan dolayı magnetik karakteristikleri doğrusal olmaz. Bu genel durum için, agağıda öz endüktansın aslında bilinen tanımlan hatırlatılacaktır. Bu arada yeni isimlendirmeler de kullanılacaktır.

1. Akı özendüktansı: Verilen bir akım devresinde y halkalanma akısının, akıya sebep olan I akım şiddetine oranıdır.

ı,-

.(D

'T

2. Dlferenslyal özendüktans : Endüksiyon kanununa göre akım devresinde doğan U elektrik çevrim geriliminin, ilişkin akımın zamanla değişimine eksi oranıdır. Endüksiyon kanununun ifadesi bu tanımda yerine konarak, diferensiyel endüktansın aynı zamanda akının akıma göre türevi olduğu görülür.

,

-Û dVjdt dV

u dl/dt dl/dt di

Her iki tanıin ifadesi özdeştir. Birincisi ölçme için, ikincisi magnetik karakteristik verildiğinde kullanışlıdır, inen kısımlı bir karakteristikte eğim, dolayısıyla diferenslyal endüktans eksi olacaktır. Teknik yayınlarda bu endüktans için «dinamik, diferensiyel endüktans, bindirme ve alternatif akım endüktansı» isimleri de bulunmaktadır. Diferensiyal endüktans ismi tanımın matematik biçimini nazarı itibara almaktadır. Tanımın fiziksel muhteviyatına göre düşünülürse, «gerilim endüktansı» teklif edilebilir.

3. Enerji özendüktansı: Akı sahasında toplanan W magnetik enerjisinin iki mislinin ilişkin I akımının karesine oranıdır.

o \A7 r.E = 2-f,

*•'

l

W=j o

......... (3)

Magnetik karakteristiğin LB sabit endüktansü

doğrusal kısmında elde edilir. Her üç endüktans

Bdt w = 1. LD r-,

[/= - La~.

......... (4)

tanımının özdeşliği için gerekli ve yeterli şart,

akı ve akımın birbirine oranlı olmasıdır.

Yukarda tanımlanan her endüktans önemli bir büyüklüğün ölçüsüdür: LF halkalanma akısı için, LD elektrik çevrim gerilimi için ve LE

magnetik enerji için. Her defasında müstakil değişken akımdır. Teklif edilen isimlendirmelerle

yek diğerinden tefrik edilen yukardakl endüktans «esas endüktanslar» kavramı altında birleştirilecektir. Eğer akman müstakil değişken

olduğu farzedilirse, ters esas endüktanslann kullanılması daha uygundur.

•r -l _ _I __

F~ W

y -l _ di

D ~ dip

j -l

l*

E = »w

......... (5)

Kavram olma bakımından, bu büyüklükler esas endüktanslar] a aynı değerdedir. Pratikte, akının verilmiş olduğu durumlarda kullanılmaları fayda sağlar.

* Yazann bu çalışması almanca olarak «Archiv für Elektrotechnlk» 1965, No, 2, S. 105 - HI de çıkmıştır.

1.1. Esas endüktanslann diğer ifadeleri, mukayesesi ve değişmesi:

Bir bobinin w sarımının hepsinden aynı akım geçerse ve hepsi aynı $ akısı ile halkalanmış ise,

(6)

yazılabilir. Sarım akılarının farklı olmasında sarım ortalama akısı olarak

=E

w

kullanılırsa, ilk basit bağlantı geçerliğini muhafaza eder. Sarım ortalama akısı fiziksel bir mevcudiyete sahip olmayıp, tamamen bir hesap büyüklüğüdür. Elektrik makinelerinin hesaplanmasında} © ampersanmının fonksiyonu olarak elde edilir.

=w bağlantıları tanımlarda yerleştirilmek suretiyle esas enduktanslar için

«<t>.

=

r LD =

'• s&:'

•"ı

£

- 2 w~' ~ 'öf'

f J

U6 '

• 80. .

ifadeleri bulunur. Kısaltma olsun diye semboller-dekl m bundan böyle bırakılacaktır. Verilen bir magnetik karakteristikte, şekil 2 deki semboller ile esas endüktansların ölçüleri için

L j.. = w2 ------- = w2 tan

LK = - O M' M N = w2 tan /3 , ifadeleri çıkar. Şekil 2 den alanlar için ayrıca O'M'M alanı <OM'MN <alam <OM'M alanı bulunur. Bundan enduktanslar için

^ < L < L < Ln = ît'2 tan ev', .......... (U)

eşitsizliği çıkar. Burada LB doğrusal kısımdaki sabit endüktansdır. Netice olarak doğrusal olmayan kısımda esas enduktanslar daima farklı ve değişkendirler. Meselâ şekil 2 deki M noktası için

LF = 0,5 LB, Ln = 0,312 LB, LD = 0,125 LB. ......... (12)

Şekil: 2 — Esas endüktanslann mukayesesi (açık lama metindedir).

hesaplanmıştır. Karakteristik eğiminin monoton bir şekilde küçülmesi, esas enduktanslar arasında niteleyici bir eşitsizlik vermektedir. En büyük endüktans akı endüktansıdır, sonra enerji endüktansı gelmektedir. Dlferenslyal endüktans en küçüktür. Yukarıda verilen ve yek diğerinden çok farkeden endüktans değerleri, kesin bir nıtelemesiz kullanılsın «endüktans» in nekadar aldatıcı olabileceğini göstermektedir. Ayrıca magnetik karakteristiğin doğrusal kısmında elde edilen ve akı, elektrik çevrim gerilimi ve magnetik enerji için bütün esas endüktans tanımlarında geçerli olan basit ifadelerin, doğrusal olmayan kısmında geçerliklerini yalnız belli bir esas endüktans için muhafaza ettiklerine dikkat edilmelidir.

Genel durumda bir i sargısının ortalama akısı muhtelif empersarımlara tabi olsun. Diğer bütün ampersanmlar parametre olarak sabit tutulursa, karakteristikler demetinin bir eğrisi elde edilir.

y — w Om ö = w I

(13)

şartiyle esas enduktanslar için

-«,*» ~w~

*>* = *-£• f &

d*.

yazılabilir. Görüldüğü gibi ifadelerde parsiyel diferensiyasyon gerekmektedir. Buna misâl olarak kolektörlü makinelerde, esas kutup ve endüvl ampersarımlanna tâbi olafn esas kutup akısı verilebilir. Mamafih bileşke akı sık sık yalnız incelenen sargının akımı ile ilişkin kılınmaktadır. Böylece tanımlanan enduktanslar, mümkün olduğu zaman parametre olarak nazan itibara alman diğer ampersanrnlara da tabidir.

Endüktanslann kesin doğrulukta hesabı sabit magnetik geçerlikte Neumann formülü ile mümkündür. Bu formül, sarımların durumunun tam

ElektrlS

bilinmesini • gerektirir ki bu kuvvetli akım tekniğinde mevzu bahis olamaz. Elektrik ınakinalan hesaplamasındakl normal hassasiyet içki, endüktanslann ortalama magnetik karakteristik yardımı ile hesaplanması yeterlidir. Kolaylaştırıcı bu kabul ile histeıizis çevriminin önemli genişlikte olduğu durumlarda, hakiki akı bağıntıları bilhassa başlangıç noktasında dalma memnuniyet verecek şekilde kapsanmaz. Histerizls çevriminin görünürde sürekli değişmesi, bilindiği gibi Weiss sahalarının haraketlerl dolayısıyla, küçük basamaklar dizisinden meydana gelir (Barkhausen atlamaları)'. Bu basamak biçimli değişme ile endüktans da değişikliğe uğrar. Remanans akısı ise sıfır olan ampersanmı ile, şekil 3de görüldüğü gibi, sonsuz bir akı endüktansı verir. Bu belirsizliğin sebebi remanans akışını doğuran elektron akımlarının hesaba katılmamasıdır. Şekil 3 hissedilir bir histerizis çevriminde akı endüktansmın değişmesini göstermektedir. Böylece pratikte endüktansların uygulanmalarının neden güçlükler arzettiğl anlaşılır.

Şekil : 3 — Akı endüfctansının ortalama magnetik karakteristik (eğri 1) ve histerizis çevrimi (eğri 2 a,

Z h) için değinmesi.

1.2. Esas endiiktanslar arasındaki bağıntı. Bu endüktanslann seçimi ve uygulanması :

Magnetik geçirgenliğin değişken olduğu genel durumda esas endüktanslar özdeş değildir. Aralarındaki bağıntı için

_ d'/' _ A(LF1) _ , ,

L» '- '

r "*"

Elektrik Mühendisliği 137

bulunur. Değişken magnetik geçirgenlikte uygun endüktans tarifi, hesaplanan büyüklüğün en kolay kapsanmasın! temin edecek şekilde seçilir ki durumdan duruma kararlaştırılması gerekir. Bilhassa akı endüktansı akı hesaplamaları için, dlferensiyal endüktans elektrik çevrim gerilimi için ve enerji endüktansı meselâ bir sargı devresinin açılmasında serbest kalan magnetik enerjinin tespiti için uygundur. Diferenslyal endüktans uygulanması ile endüksiyon kanununun biçimi magnetik karakteristiğin doğrusal olan ve olmayan kısımlarında aynı kalır. Halbuki akı endüktansı genişletilmiş bir ifadeyi gerektirir. Hakikaten her iki endüktansla endüksiyon kanunu genel olarak

U * di j di ......... (16) şeklinde yazılır. Endüksiyon kanununun sağ taraftaki mahzurlu yazılış şekline tanınmış eserlerde bile rastlanır. Sol taraftaki uygun ifadeyi teminden başka diferensiyal endüktans doğrusal olmayan devrelerde Herde bahsedilecek bir yaklaşık metodun uygulanmasını da mümkün kılar.

Yukardaki izahlarla bütün esas endüktanaların, ayırım, yapılmadan, eşit önemde mütalâa edilmesi gerektiği çıkar. Bundan dolayı bir tek tarifin tercihi imkânsızdır. Bu sebeple bütün esas endüktansların kullanılması, bilhassa standartlar için çok arzu edilir. Halbuki meselâ amerikan standartlarında (American Standard definitions of electrical terms, S. 32) yalnız dlferensiyal endüktans bulunmaktadır.

2. Peryodlk akmada endüktanslar:

Tanımlan isin sabit büyüklükte doğru akün farzedllen esas endüktanslar, herhangi bir akımın ani değeri için de uygulanabilirler. O zaman esas endüktansların

<?_ ı (17) ani değerleri elde edilir.

Magnetik devrelerinde ihmal edilebilecek madeni kısımları bulunan ve sargısı iplik biçimli kabul edilebilen bobinlerde, yukarıdaki bağlantılar kararlı doğru akımdaki zamana bağlı olmayan aynı endüktanslan verir. Bunun için muhtelif kesitlerde kamun pratik olarak değişmezliği farzedilmektldir. Bu farz toplu devre elemanlarında hemen hemen kararlı olarak alınabilen büyüklüklerin incelenmesine iyi netice vermektedir. Takriben dalga boyu uzunluğundaki bobinlerde akım muhtelif kesitlerde aynı olmadığından, endüktansda azalma olur. Bilindiği gibi

bu durumda, devre endüktans ve kapasitesi dağılmış farzedillr ve meselâ uzun hatlarda telgraf denklemi elde edilir. Kuvvetli akım tekniğinde görünen frekanslarda ve sargı uzunluklarında gerilim ve akım, elektromagnetik dalgaların devrede yayılmaları esnasında değişikliğe uğramazlar. Bu sebeple enduktanslar bu olaydan tesir görmezlder. Buna mukabil yüksek frekanslarda kendini belli eden kapasite, endüktansı kompanse edebilir. Bobin o zaman kondansatör olarak çalışır. Her iki tesir de zayıf akım tekniğinde ve kuvvetli akımın geçici olaylarında önemli olabilir. Bilhassa dikkat edilecek bir husus da, endüktanslann belli bir alan dağılımı için hesaplandıklarıdır. Geçici olaylarda alan dağılımı, kararlı olaylardakinden genellikle farklı olduğundan, lligkln enduktanslar da yekdlgerinden değişik olacaktır. Bu durum bilhassa senkron makinalarm kararlı ve geçici olaylarını kapsayan enduktanslar da görülmektedir.

2W

2.1. Doğrusal olmayan magnetik karakteristiklerin yaklaşık incelenmesinde esas endüktanslar:

Bahsedilecek yaklaşık inceleme genellikle bütün doğrusal olmayan karakteristiklerde değişkenlerin nispeten küçük değişmeleri halinde mümkündür. M çalışma noktasının civarında magnetik karakteristik yerine teğeti (Bak. Şekil 1)

(18)

alınır. \j/R teğetin ordinat ekseni ile kesişme noktasının ordinatıdır. Doyması olan bir bobin böylece, LDM sabit dlferenslyal endüktanslı ve >pR remanans akılı bir doğrusal bobine eşdeğerdir. Bu büyüklükler çalışma noktasının yerine tabidirler. M çalışma noktasına ait büyüklükleri M ile niteleyerek esas enduktanslar için

" ' _ J^ (19)

Pratikte kullanılan bobinlerin akım ve akı devrelerindeki madeni kısımlarında Fuko akımları akar. Eğer histerlzis kayıplan ve Fuko akımlarının sebep olduğu akım ve akı sıkışması ihmal edilebilirse, peryodik akım için karakteristiğin doğrusal kısmında doğru akımdaki aynı endüktans bulunur. Doğrusal olmayan kısımda ise esas endüktanslar akı ve magnetik enerji gibi zamanla değişen büyüklüklerdir. Değişmeleri, histerizis kayıpları ile akı ve akım sıkışması dolayıslyle daha karışık bir hal alır. Bu bakımdan, diferensiyal endüktansla yapılan mahdut bir yaklaşık usul hariç, teknik yayınlarda esas endüktanslann kullanılmasından vazgeçilmekte, bunların yerine zamanla değişmeyen harmonik endüktanslar ve eşdeğer endüktanslar kullanılmaktadır. Ancak bu endüktanslarda esas endüktanslann temel niteliği mevcut değildir. Zira esas endüktanslar sebep ve etki arasında genel geçerli bağlantılar olup, akı dağılımından fiziksel bir anlam alırlar. Başka bir çalışmada esas endükstanslann uygulanmasını peryodik akım durumuna genişletmenin mümkün olduğu gösterilecektir. Böylece şimdiye kadar mevcut boşluk kapanacak ve magnetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında peryodik akım için fiziksel bir tarif bulma meselesi aydınlanmış olacaktır. Aşağıda, bahsedilen çözüm haricinde manyetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmı için endüktansları kullanmanın üç imkânından bahsedilecektir.

bulunur. Çalışma noktası civarı doğrusal kılınmış olmasına rağmen, bütün esas endüktanslar birbirinden farklıdır. Akı ve enerji endüktansları ayrıca çalışma noktasımnkinden farklıdır. Aradaki fark çalışma noktası dlferenslyal endüktansı ve IM/I oranı tarafından tayin edilmektedir. Yalnız diferensiyal endüktans akıma tâbi olmamakta ve çalışma noktasınınkine eşit kalmaktadır. Böylece teğetin karakteristiği memnuniyet verici bir şekilde kapsayabildiği kısımda, yani akımın ve akının genellikle ufak değişmeleri için, diferensiyal endüktansı sabit bir büyüklük olarak kullanma imkânı bulunur. Bazı özel durumlarda teğet karakteristikle geniş bir alanda çakışabilir.

ön mıknatıslanma durumunun incelenmesi de ilginçtir. Bindirilen akım ve akı büyüklükleri âl, â\p için esas endüktans tanımlarının uygulanması

AV

-r A — ~Â~Î

û AV <\A l

-I) d

(20)

= -4- Alverir. Bindirilen büyüklüklerin akı endüktansına, diferensiyel endüktans da denir. Esas endüktanslar birbirlerine göre evvelce belirtilen büyüklük durumlarını muhafaza ederler. IM .&yr alanı IM ve Al akım devreleri arasındaki magnetlk enerjiyi göstermektedir. Bununla karşılıklı

endüktanslarm akım devrelerinin kapanıg sırasına bağlı olduğu kolayca gösterilebilir. Bindirilmiş büyüklüklerin diferensiyal büyüklükte olduğu özel durumda, bu büyüklüklere ait bütün eaas endüktanslar çalışma noktasıjndakl diferensiyal endüktansa eğit olurlar. Aynı neticeye, karakteristik yerine, çalışma noktası etrafında teğeti alınarajk varılır. Diferensiyal endüktansm, büyüklükleri peryodun yalnız küçük bir kısmında kapsamak için kullanıldığı evvelki du rumun aksine, küçük dalgalanmada değişken bindirilmiş büyüklüklerin tamamı, bütün peryod boyunca diferensiyal endüktans ile kapsayabilir. Aynı maksat için karakteristik bir kiriş ile doğrusal kılınabllir. Bu doğrunun tayin ettiği endüktansa diferensiyal değil, diferensiyel endüktans denir. Dikkat edilecek bir husus da, muhtelif kaynaklarda [1...4] teğet ile yapılan yaklaşık usulün, diferensiyal endüktansı kullanmadan uygulanmasıdır. Bundan başka mevcut literatürde hangi endüktans fiziksel tanımının bütün peryod için daima ve doğru bir şekilde geçerli olduğu araştırılmamışa benziyor.

Doğrusal olmayan bir karakteristiğin yerine belli bir sahada teğetini koyarak mümkün olan kolay analitik inceleme, bir çok uygulamada kullanıldığından önemlidir. Kesin olarak yalnız diferensiyal değişmeler için geçerlidir, fakat arzu edilen hassasiyete göre uygun bir sahada kullanılabilme imkânına sahiptir. Senkron makinelerin kararlılık araştırmasında küçük gelirim değişmelerinin denklemi meselâ ([3] te magnetik karakteristiğin yerine teğet alınarak yazılıyor. Karışık akım motorlarında görüldüğü gibi bindirilmiş büyüklüklerin hesaplanmasında, magnetik karakteristik yerine teğet veya kiriş alınabilir. Bundan başka doğru akıma küçük genlikli bir alternatif akım bindirerek, bazı şartlar altında diferensiyal endüktansı ölçme imkânı vardır.

2.2. Harmonlk endüktanslan : Demir çekirdekli bobinlerde peryodık akım ve akı, bileşenleri arasında bir faz farkı vardır. Harmonlk endüktauslan aynı m mertebesinden akı ve akım harmonklerinin genliklerinin oranı olarak tanımlanır.

u/

1 H/ , „

(21)

Kompleks harmonik endüktausı ayrıca

ilişkin akı ve akım harmomkleri arasındaki faz

açısını nazarı itibara alır (sembol üzerindeki

nokta kompleks bir büyüklüğü gösterir)

'/' = I

«-" = Â- L,n • L = L e-i* .

......... (22)

m mertebesinden gerilim harmoniği için ilişkin reaktans

: —ü = j m <a -'- = »ıı r» L (sın 71 + j coş g) .

......... (23)

kayıpların bir direnç meydana getirdiğini göstermektedir. Aynca harmonik endüktausun reaktansa tesiri azalmaktadır. Kuvvetli akım tekniğinde aynı mertebeden akı ile akımın tepkin bileşeni harmonik endüktausu tanımı için kullanılır. Bu şekilde endüktaus kompleks olamaz.

Harmonik endüktauslar sinüsbiçimli titreşimler teorisini uygulamayı mümkünn kılarlar. Fakat genellikle akının ve akımın tamamını kapsamazlar. Meselâ doğrusal olmayan bir karakteristikte sinüs biçimli bir akı, esas akım harmoniğinin yanında üst harmonikler de mevcut olmasına rağmen, yalnız esas akım harmoniği ile ilişkin kılınmaktadır. Halbuki akı, akım harmoniklerlnin tamamı tarafından meydana getirilmektedir. Sonra bu misâlde olduğu gibi, aynı mertebeden akı ve akım üst harmoniklerlnden yalnız biri mevcut ise, ilişkin harmonik endüktansı tarif edilemez.

Akı sıkışmasının harmonik endüktans üzerindeki etkisi bazı basitleştirmelerle incelenmiş bulunuyor [5,6]. Sabit bir magnetik geçirgenlik ve pratik olarak sonsuz uzun bir demir çekirdek farzederek kompleks endüktens için genel şekilde bulunur. Burada d saç kalınlığı, »ve jjbith—]fp/ı>c

•LB.

(24)

linen madde sabiteleridir. Kompleks endüktans p, kompleks frekansın fonksiyonudur. Kompleks sahada bulunan bu endüktans ifadesini genel şekilde reel sahaya aktarmak mümkün değidir. Esas harmonik endüktan için p = j <o alınarak

• B> L

ı — -. -

ı s h x + sın x , - x = d y n f u te . < ı r

-;\chx-\-

-coş

L X

B

......... (25)

hesaplanır. LB nin

katsayısı l den dalma küçüktür, çünkü saçlar

içindeki akı sıkışması akının azalmasına sebep

olur. Seri şeklinde açarak esas harmonik

endüktansı için

720 o < x < 1,5

(26)

yaklaşık formülü elde edilir. Paydası yuvarlak sayı haline konan üçüncü terim x g l için ihmal edilebilir. Yaklaşık fonksiyonun hatası

x => 1,5 için % l den daha azdır. Aynı fOfmül, çalığına sahasında diferansiyel manyetik geçirgenlik sabit alınabildiği takdirde, kangık akımda diferansiyel endüktans için de geçerlidir.

2.8. Eşdeğer Endütanslar:

P kayıplarına sahip ideal olmayan bif bobinin yerine konabilen, aynı kayıplı eşdeğer bibinin ölçü yolu ile kolayca elde edilebileÖ empedans bileşenleri için

P~' ı,fz,

Uc

77'

COŞ L\ = î/77,'

...... ,;, (27)

bulunur. Sembollerdeki «e» işareti efeklif manasınadır, zira gerilim ve atam efektif dögerlerle ölçülmektedir. Yukardakl endüktans gfihellikle, efektif akının efektif akıma oranı olarak tanımlanılabileeek endüktanstan farkhdifı Eşdeğer endüktanslar esasında vektör diyagramı ile incelemede kullanılamazlar, zira tanımiârındaki büyüklükler sinüs biçimli değildir. Bunö rağmen eşdeğer devrelerde vektör olarak kullaftllmalan, kayıpların ve efektif değerlerin sakınlmlannda, sinüs biçimli olmayan büyüklükleri yaklaşık olarak sinüs biçimli olmayan büyüklükleri yaklaşık olarak sinüs biçimli farzetmeyi gerektirmektedir. Bu, peryodlk akımda endiiktanslann kullanılması için üçüncü imkândır.

Harmonlk endüktanslan ve eşdeğer endüktanslar zamanla değişmeyi önlerler, fakat akı veya atamın değişim şekline tabidirler. Verilen bir akı değişiminde akım genliğinin veya efektif değerinin fonksiyonu olurlar. Akı dağılımına dayanmadıklarından akım devresi için fiziksel parametre olarak görülmezler. Endüktanslarm temeli olan esas endüktanslarla bağlantı kurmadıklarına bilhassa dikkat etmelidir. Mağnetlk karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında peryodik akım için bu bağlantıyı kuran hangi fiziksel endüktans tarifinin geçerli olduğu ayrı bir çalışmada Incelencektir.

ÖZET:

Bu çalışma evvelâ doğru akımdaki esas endüktanslan incelemektedir. Bu büyüklüklerin

aralarındaki fark, değişmeleri, uygulanmaları ve birbirleri ile olan ilgileri görülmektedir. Tercih yapmadan esas endüktanslarm hepsine yer verilmesi tavsiye edilmektedir.

Magnetik karakteristiğin doğrusal olmayan kısmında endüktanslarm kullanılması üç şekilde olmaktadır. Karakteristik yerine çalışma noktası civarında teğetini alarak yapılan yaklaşık usulde, dlferenslyal endüktans denklemlerde sabit bir büyüklük olarak kullanılır. Sinüsblçimli büyüklüklerin incelenmesinde kullanılan klâsik usuldeki harmonlk endüktanslar fiziksel nitelikte olmayan büyüklüklerdir, çünkü keyfi olarak aynı mertebeden atam ve ata harmoniklerini ilişkin kılarlar. Doyma gösteren atam devrelerinde ayrı ayrı incelenen harmonikler, bindirilmiş durumda birbirlerinden farklı harmonik endüktans-lara sahiptirler. Ayrıca bu endüktanslar mevcut bütün harmoniklere tabidirler. Eşdeğer endüktanslar ise kayıpların ve efektif değerlerin sata-nımına dayanmaktadır. Netice olarak harmonik endüktanslarının ve eşdeğer endüktanslarm fiziksel nitelikte olmadıkları ve esas endüktanslara dayanmadıkları görülmektedir. Esas endüktansların uygulanmasını doğrusal olmayan bir karakteristikte peryodik akım için mümkün talan çözüm ayrı bir çalışmada açıklanacaktır..

Literatür

[1] RICHTER, R. : ' Elektrische Maschinen, Bd V. Berlin : Springer 1950.

[2] LEONHARD, A. : Allgemeines Verfahren für die Klârung der Selbsterregungsbedingungen bei elektrischen Maschinen Arch. f. Elektrotechnik 36 (1942) S. 201-220.

[3] LEONHARD, A. : Spannungstabilitat beım Zusammenarbeiten einer Asynchronmaschine mit ungefa"hr gleichgrober Synchromaschine. Arch. f. Elektrotechnik 31 (1937) S. 27.

[4] LAIBLE, TH. : Die Theorie der Sychronmaşchine im nishtstationSren Betrieb. Berlin : Springer 1952.

[5] KOVACS, K. P., u. I. RACZ : Transiente Vorgange in Weschselstrommaschlnen. Budapest 1959.

[6] KÜPEMÜLLER, K. : Einführung in die theoretlsche Elektrotecnlk. Berlin : Springer 1955.

Elektrik