ÜÇ FAZLI SİSTEMLERDE SİMETRİLİ BİLEŞENLERİN MATRİSEL İNCELENMESİ

Üç Fazlı Sistemlerde Simetrili Bileşenlerin Matrisel incelenmesi

Genel olarak simetrili bileşenler metodu her dengesiz sistemde kullanılan ve çok karışık problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir metoddur.

Simetrili bileşenlerde, matris hesabının uygulanması ile problemin çözümünde ilerleme daha sistematik olmakta ve neticeye daha çabuk ulaşılmaktadır.

Bu metodu uygulamadan evvel üç fazlı sisteme kısaca göz atalım.

Üç fazlı sistem:

1. Üç fazlı dengeli sistem. a) Üç fazlı dengeli doğru sistem. b) Üç fazlı dengeli ters sistem.

2. Üç fazlı dengesiz sistem. a) Üç fazlı dengesiz doğru sistem. b) Üç fazlı dengesiz ters sistem.

olarak sınıflandırılabilir.

'

la. Üç fazlı dengeli doğru sistem vektörel olarak şekil 1 deki gibidir.

Yazan: Şerafettin MEMtŞ

Elk. Y. Müh. Vektörlerin birbirini takip sırası saat ibrelerinin dönüş yönündedir.

lb. Üç fazlı dengeli ters sistem de şekil 2 deki gibidir.

Er = Eı, E2 = a Eı, Ea = a? E l f Şeklinde ifade edilirler. Gene burada da Ej, E3, Es vektörlerinin genlikleri eşit ve aralarında 120° lik açı teşkil ederler. Bu defa vektörler birbirlerine saat ibreleri dönüş yönünün aksi istikametinde takip ederler. 2. Üç fazlı dengesiz sistem de şekil 3 deki gibidir.

Şekil: 1 a = eJ °12 operatörünü kullanarak Eı = Eı, E2 = sfi Eı, E3 = a Eı, olarak ifade edilirler. Burada Eı, E- ve E3 vektörleri üç fazlı sistemde faz-nötr gerilimlerini gösterir. Vektör olarak genlikleri eşit ve aralarında 120° lik açı teşkil ederler. (Elektriki)

Sakil: 3

Burada vektörler herhangi bir genlik ve faz farklarını haizdirler. Burada a operatörü kullanılarak diğerleri ,biri cinsinden ifade edilemezler.

Bu sistem aşağıdaki gibi üç bileşen sistemi ile yazılabilir.

E ı — Eıo ~f Eid + E n

+ E = a

E20

•f E;d

E«]

E 3 = E30 -f E3d + E3,

Burada o indisi sıfır bileşeni, d indisi doğru bileşeni, i indisi de ters bileşeni ifade eder.

E2 ve E3 ün simetrik bileşenleri, Eı in simetrik bileşenleri cinsinden yazılabilir.

Eıo=Eo, Eid=Ed ve Eıı=E, diyelim ndaki bağıntı aşağıdaki şekli alır.

Eı = Eo + Ed + Eı

E2 E3

= =

Eo Eo

+ +

a2 Ed + a a Ed + a2

E, E,

Bu ifade matrisel olarak yazılırsa:

yuka-

Bu ifadede

(1-

E, olur

1 • 1 1

E0

= E 1 a2 a 2 = Cs E d —

1a a

E1

olarak sembolize edilirse, aşağıdaki bağıntı elde edilir.

E = Cs . Es

Ters bağıntı ise:

—1 Es ~ Cs • E

(la) olur.

—1 1

Cs = — 3

dir.

Ters bağıntıda matrisel olarak değerleri yerlerine koyarak (2a) ifadesi bulunur:

(2 a)

Cs matrisine simetrik bileşenler transformasyon matrisi denir ve:

c s -1. c s = 1

giştirCms emsiaytlerismineiyndasnaatı

r ve sütunlarının ye gelen CS transpoze

r dematris orijinal matrise eşit olur.

CS = CB dir. Diğer taraftan Cs matrisinin her elemanı-

nının kompleks konjugesiyle meydana getirilen CK matrisi:

Cs = 3 O,'1 olur.

değiştirilerek

lı ,1=, h hat akımlarını göstersin. Akımlar İçin de benzer olarak aşağıdaki bağıntılar yazılabilir.

1=

a- a

(3)

Bu ifadede :

Is

id = Is diyelim.

Matrisel

I = Cs . Is olur. (3a) Ters ifade ise;

Is = C8-'. I olur. (4) Bu ifadede matrisel olarak değerleri yerlerine koyarak (4a) bağıntısı elde edilir.

la (4 a) I3

M

Sistem dengeli ise gerilim vektörlerinin matrisel ifadesi aşağıdaki gibidir. (Doğru sistem):

Eı E, — E3

a^ a Eı

Bu ifadeyi (2 a) yalım.

bağıntısında yerine ko

E»

10 0

0 a2 0

00 a

Eı Eı Eı

Gerekli işlem yapılarak:

E.

l + a"+a

l+a3+as

bulunur.

1+a^+a3

a.i = a 1 + a + a3 = 0 bağıntıları gözönünde tutularak.

E, =

Buradan :

Eo = 0 E d = E»

E, = 0 değerleri bulunur.

Dengeli sistemde akımlar içinde benzer olarak: '

I» =

a'Iı — 0

a^ 0

la

alı

it

Bu ifade (4 â) bağıntısında yerine konularak :

I.

l+aa+a

l + a'+a3 = — x 3

l+a'+a5

Buradan Io = 0, I» = Iı, Iı = O bulunur.

Faz arası gerilimleri ile faz nötr gerilimleri arasındaki münasebet Uı=. Un, U,ı faz gerilimleri olsun:

Ştkİl:«

Faz arası gerilimleri ile faz nötr gerilimleri arasındaki münasebeti yazacak olursak.

• U.j = E, — Ej Us3 = Eî E3 U31 = E3 •— E ı

Matrisel olarak bu ifade aşağıdaki gibi yazılır:

Uı,

(5)

U,,

Bu if adedede:

Uıs

U-3 = u o

—10

Eı = P E,

=E olarak sembolize edilirse ifade :

U = P.E (5.a)

Faz arası gerilimlerin toplamı şekil 4'den

görüldüğü gibi sıfırdır.

.

•' \

U 1 S = U-3 = Ü31 = 0

Faz arası gerilimlerin simetrik matrisel olarak:

bileşeni

Uı-

'U

a-' a

Ü

(6)

u

Şeklinde yazılır. (Faz-nötr gerilimlerine benzer olarak)

Bu ifadeyi kısaca yazacak olursak:

Uo '

=U

= Us diyelim.

Ü.1

tfade kısa olarak: U = Cs . Us olur. (6 a) Ters bağıntı ise :

U, = Cs . U

(7)

Ters bağıntıyı açık olarak yazalım .

Ud = —

u.

1 1 Uu

(7 a)

Faz arası gerilimlerinin simetrik bileşenleri ile faz arası gerilimleri arasındaki münasebet (7) bağıntısına göre:

—1 Ue = Cs.U İdi.

(5 a) bağıntısından U = PJ3. idi.

Elektrik Mühendisliği 12»

Yukarıda yerine konursa :

—1 Us = C8.P.E

Bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıdaki E yerine ( l a ) daki değeri yerine konularak:

U3 = Cs . P Cs.E olur.

(8)

Burada :

Cs.P.Cs = — 3

11 a aa2 a

-1 O O 1 —1 —1 O 1

a aîşlemler yapılarak :

ı! O O O

C» P.C., = - I O 1—a^ O

O —a

Bu neticeyi (8) bağıntısında yerine koyarak:

0 0 0 E»

Ud

0 1—a2 0

0 0 1—a E,

İfadesi bulunur.

Buradan aşağıdaki neticeler elde edilir. Uo = O

Uı = (1 — aa) Ea = Uı = (1 — a) (E1 =

[—30°

(8) bağıntısında P matrisi singüler bir matris olduğundan eşitlik tersine çevrilemez. Yani Es, Us cinsinden ifade edilemez.

Üç Fazlı Devrelerin Simetrili Bileşenlerle Matrise! Etüdü:

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi dengesiz bir potansiyel sisteminin, pasif empedanslı dengesiz ve yıldız bağlı bir yüke tatbik edildiğini düşünelim:

Bu devre için kirşof gerilim kanunu yazalım:

E, = Z,.I,

Es — Z2.I2

Ea = Z3.I3

Matris olarak ifade edersek:

Zı

0 o

Ix I,

o0

Zt 0 0

=Z

Olarak gösterilerek, ifade kısaca: E = Z . I olur (9) Yukarıdaki bağlantıda E yerine (la) daki ifadesini, I yerinede (3a) daki ifadesini koyarsak : Cs . Es = ZCsIs Es yalnız bırakılırsa Es = Cs-'ZCs . Is olur. (10) Cs"1 Z . Cs ifadesini bulalım. Matrlsel değerleri yerlerine konarak:

Cs.Z.C, = — 1

11 a aa? a

Z, o o

o O z.

11 a a a?

2.

Cs.Z.Cs —

elde edilir.

rili bBiulerşaednaleZriod, irZ. a, Zı empedanslannın simet-

-VWVVVW-

N

Şekil: 5

Elektrik Mühendisliği 123

— 3

(Z,+Z2+Z.)

Zd = —

a'Z3)

Z, = — (Zı+a 3

Bağıntılarından hesap edilirler.

(10) ifadesini açık olarak yazalım.

Zd I ı

I-l

(10 a)

Zo I,

Şimdide akımların simetrik bileşenlerini gerilimlerin simetrik bileşenleri cinsinden bulalım. Şekil (5) den:

1 Iı = — Eı = Yi .Eı

I, = — E2 = Y=JE2 Z,

' - Is = — Ea = Y3.E3

Matrisel olarak yazılırsa:

Yı

Y»

E, olur. E»

Burada,

OO

Ya

=Y

olarak gösterilerek, ifade kısaca:

I = Y.E olur. (11)

(11) bağıntısında I yerine (3 a) daki ifadesini, E yerine ( l a ) daki ifadesini koyarsak:

Cs.Is = Y . Cs . Es olur. Is'i yalnız bırakarak: Is = Ca . Y.Cs.Es (12) Bağıntısı elde edilir.

—1 C9.Y . Ca ifadesini bulalım. Matrisel değerleri yerlerine konarak:

Cs.Y.Cs = — 1

Y 00

Değeri bulunur. Burada YI, Y,, Yd admi tansların simetrili bileşenleridir. Ve:

1 Yo = — (Yi+Y,+Ys)

3 1 Yi = — (Yı+aYs+a'Y,) 3 1 Y. = — (Yı+a'Ys+aY,) 3

Bağıntılardan hesap edilirler.

(12) ifadesi açık olarak:

Y Eo

Y

(12 a)

Y E.

Üç fazlı bir sistemde nötr teli yoksa hat akımlarının toplamı sıfırdır.

Io = — (Iı + I3 + 3

)= 0

Üçgen Bağlı Dengesiz bir yük üzerine dengesiz bir gerilim uygulanması hali:

2 3

Kirchhoff gerilimler Kanunu her faz için yazalım:

TJ13 = Zı.Jıa

İfadeyi matrisel olarak yazalım:

Zı 0

Z2

3»

0 . Zn Jaı

Matrisel ifade kısaca:

U = Z. J (13)

Faz akımlarını simetrili bileşenler cinsinden Cs transformasyon matrisi kullanarak kısaca yazacak olursak :

J=

olur. (14)

(13) ifadesindeki U yerine (6 a) daki değerini ve J yerine de yukarıdaki değeri konursa:

Cs.Us = Z.Cs.Jg olur.

U» yalnız bırakılarak :

—1 Us = CsZ. Cs.Js bulunur. (15)

Cs.Z.G, =

z.

Zl Zo Zd

olarak daha önce hesaplanmıştı. (15) ifadesi açık olarak aşağıdaki gibi yazılır:

Zd Jo z, J l

Ul

Zo J l

(15 a)

Faz arası gerilimlerin toplamı sıfır ettiğinden yukarıdaki ifadede :

Uo = 0 dır.

Faz akımlarının simetrili bileşelerinin faz arası gerilimlerin simetrili bileşenleri cinsinden bulunması daha önce yıldız sistemindekine benzer olarak hesaplanabilir. Burada hesaplanması lüzumsuz addedilmiştir.

Hat Akımlarının Simetrili Bileşenlerinin, faz akımları simetrili bileşenleri cinsinden tâyini :

Hat akımlarının faz akımları cinsinden ifadesi şekil 6 dan:

It = j 1 2 _ j 3 1 la == J12 —J23

İ.3 = *J23

Matrisel olarak:

10—1

J12

I, = — 1 1 0

(16)

I»

0—11

İfade edilir. Burada:

0—1

-110 0 —1 1

= P1

Ü\ )5a) ifadesindeki P matrisinin transpozesidir.

(16) ifadesi kısaca:

I = P.'J (16 a)

Şeklinde yazılır. Bu ifadede I yerine (3 a) daki değerini J yerinede (14) ifadesindeki değerini yerlerine koyarak:

Cs.Is = P. .Cs . Js

—1 la = Cs.P'. Cs.Js (17)

Bağıntısı elde edilir. Bu —1 Cs x P' x Cs'i hesap edelim:

bağıntıdaki

C -1 p ' C s s

=— 3

0 —]

0 —1

]L

a-'

Gerekli işlemler yapılarak :

0 1—a

0 1—a2

Olarak bulunur. Bu değeri (17) ifadesinde yerine koyarak bağıntı açık olarak :

id — 0 1—a

0 1—a-

Jo Jd olur. Jl

(17a)

Buradan d a :

Io = 0 id = 3 I1 = 3

\ITa"

"

— 30' 130°

Değerleri bulunur.

Dengesiz Sistemlerde Gücün Matrisel ifadesi :

Eı, E2, E3 faz-nötr gerilimlerini I l f I3 ve I, de faz akımlarını göstersin. Matrisel olarak guç ifadesi (Zahiri güç) :

N = [EI E. E3 ] I. I,

E, Kısa ifade ile : N = E1. P olur.

(18) (18 a)

Burada E1 = [E, E, E3] I» = I ı

olur. E1, E nin Transpozesi Ixde I nin kompleks konjugesidir.

Gücün simetrili bileşenler cinsinden değeri:

(18 a) denkleminde E yerine simetrili birleşenler cinsinden değerini, I yerinede gene simetrili bileşenler cinsinden değerini koyarak:

N = (Cs Es)'. (C8 Is)1 olur. Matris teorisinde genel olarak:

(Cs Es)' = E's C's (Csls)* = C* Is Is1 olduğu bilinmektedir. Bu neticeler güç ifadesinde yerlerine konarak :

N = E's.C's . CVPs olur. (19)

Diğer taraftan: C's = Cs

olduğu daha önceden bilinmektedir.

Ca.Cs* nin değerini hesap edelim.

1 11

Cs.C's = 1

a1

a' a?

Gerekli işlemler yapılarak: 1 + 1 + 1 l+a2+a' l+a'+a^ 1 + a+a2 1 + 1 + 1 1 + a+a1 1 + a+a2 l + a' + a 1 + 1 + 1

=3 0

Cs.Cs1 = 3.1 = 3 bulunur.

Bu netice a-'= a, a-*= a ve 1+a+a2 = 0

olduğu göz önünde tutularak bulunmuştur.

Bulunan

Cs

Cx s

değeri

(19)

denkleminde yerine konarak:

N = E's.3 . Is1 = 3.E's.I's (19 a)

Bağıntısı bulunur. İfadeyi açık olarak ya: acak olursak:

N = 3 [ E» Ea E. ]

(19 b)

Yazılır. İşlemler yapılırsa:

N = (E» I"o + E. I'a + Eı İM olarak elde edilir.

Burada aktif güç:

P = 3 Re ( E 0 I \ + Ed Pd + E, I', Reaktif güç: Q = 3 İmaj. (E«, I*o + Ed ¥<, + E, I1,) U12, U2a ve Usı faz arası gerilimleri ve Jı=, Jıa ve J31 de faz akımlannı göstersin. Bu halde matrisel olarak güç ifadesi (zahiri güç):

N =[U,= U=3

(20) Jaı

olarak yazılır. İfade kısa olarak: N = U'.J1 dir. _ (20 a) Burada: uı = [ uı= u,, u»ı ]

Jı,

J* =

Gösterirler (20a) denkleminde U ve J nin yerlerine simetrili bileşenler cinsinden değerleri konarak:

N = (Cs.U8)> (Cs-Js)1 Burada matrisel kaideye göre :

(Cs.Us)1 = U's.Cs1

(CsJs)1 = C's-Js'

olduğu gözönünde tutularak ve C's = Cs olduğu hatırlatılarak;

N = U's.Cs. Cs.x.Js'

(21)

olarak yazılır. Cs.C's = 3 olarak

hesaplanmıştı. Buna göre:

daha önce

N = S.U'sJs1 (22)

bulunur. İfade açık olarak yazılırsa :

N = 3 [ Uo Ud

J*d

J1,

Burada Uo + Uı2 + Ua3 + Usı = 0 olduğu biliniyordu.

N = 3 [0

U. ] J1,

(22 a)

İşlemler yapılırsa: N = 3 (Ud -T* + U, J*.) oulr. Aktif güç ifadesi: P = 3 Re (Ud J'd + U, J*,) Reaktif güç ifadesi: Q = 3 İmaj (Ua J"d + Uı J*ı) olarak ifade edilir. Faydalanılan Eserler:

1 — Symmetrical Components (C. F. Wagner and R. O. Evans)

2 — General Networks Analysis (Vilbur R. lepage, Ph. D- Samuel Seely, PhD)

Elektrik Mühendisli&ı 129