DEVRE GEÇİCİ REJİMLERİNİN SİMETRİLİ BİLEŞENLER TEKNİĞİ İLE İNCELENMESİ

TJDK: 621.3.014

Devre Geçici Rejimlerinin Simetrili Bileşenler Tekniği İle İncelenmes•iT)

Çeviren : Ömer GÖNCÜ Elek. Y. Müh.

Etibank

Yazan : W. P. LEWIS

ÖZET :

<

Bu makale, simetrili bileşenler tekniğinin enerji sistemleri kısa devrelerinin sıtatik dev relerle incelenmesi içtn genelliğinden htç bir §ev kaybetmeksizin kullanılabileceğini göster mektedir. Genel teori geliştirilmiş, basit ve karışık kısa devreler ve ]az akımları geçici rejimlerinin hesaplanması için gerekli for müller verilmiştir. Faz faz ktsa devresinin 3 }az kısa devre haline dönüşümü halinde, akım değerinin kararlı halinin bir kaç katına yük seldiği gösterilmiştir

SUMMABY:

The paper shoıvs how, uHthout any loss in generalitv, symmetrical component techniqv.es can be used to analyse poıoer system fault transients in static nettcorks. The general theory is developed and. formulas are given for evaluating the phase current transients in sımple and sequential shunt faults. in the case of the phase to phase fault developıng ınto a 3 phase fault, it is shanen \that more than current doubling is possible.

GENEL TEORİ:

Şekil l'de görülen, SI anahtarının kapanma sıyla kapalı devre haline gelen ve sinüsoidal bir gerilimde beslenen devreyi ele alalım. Devre, doğ ru bileşen devresinin: 3 faz kısa devrelerinin in celenmesi için tek empedans haline getirilmesi nin tipik örneğidir, «e» üslü bir fonksiyonu ifade ederse, imajıner kısmı şekil l'deki devreyi besle yen gerilim ve i de S, anahtarının kapanmasıyla devrede bulunan kompleks akımdır. Laplas ope ratörü p yi kullanarak devre voltajlarını eşitleyen difranslyel denklem :

SEKİL: 1 SERİ R L DEVRESİ

R, ı+L,

(pi

+

ı(0))=e

(1)

şeklinde ifade edilebilir. S, kapanmadan önce dev

rede akım yoktur. Aslında devreyi besleyen vol taj E Sin ((flt+u) dur.

öyle ise •

1(0) =0 e=E exp (ju)/(p j(,,) dır.

Elektrik Münendisllğl 145

1(0) ve e (denklem (1) de yerine koyarak ve i ye eşitleyecek olursak,

i = E exp ( j u ) / ^ (p jö) ( p + a ) bulunur.

Burada a = R ı / L ı dir. i için çözecek olursak, i = E e x p (ju) (exp (jü)t) exp ( «t))/^

U+Ja)) bulunur.

Zı=Rı | j<J,Lı ve < ^ ı = t a n ' ^/R^ dir. öyle ise :

(a+Jü>)=Zı exp d=E/Zı exp elde edilir.

, yazılabilir ve :

(exp (2),

Devreyi besleyen sinüsoidal bir gerilim oldu ğuna göre, buna karşıt akım imajiner kısmına eşitlenerek bulunur.

i=Imı(i)

=E/Zj (Sin^t+u ^ eKp ( «t) Sln(u ^,) (3)

S=(u <£) §ekunde yazarak ve denklem (3) ge nişletilerek,

ı=E/Z, ((CosJ>exp ( «t) Sins + Sin^tCoss)

I ^ E / Z I (Cos<ut exp( at))

ve ıs=E/Zx Sin^t

I = I C Slng+i^ CosS

(4)

Sıng ve Cos)S devrenin t = 0 amndaki haline

ve güç açısına bağlı sabitler olduğuna göre :

Proceedings 1EE Vol. 113 No : 12 Decem. 1966 sa yısından çevrilmiştir.

g=w/2 olduğu zaman 1=1

8=0 olduğu zaman 4=isdir.

ic terimi kostnüs fonksiyonu yanısıra üslü bir fonksiyonda İhtiva ettiğinden, maksimum kaymış alam değeri olarak adlandırılır. 1^ ise sadece bir sinusoddal fonksiyon ihtiva ettiğinden kararlı akım değeri olarak adlandırılır.

Kayma dereceside g açısına bağlıdır. Komp lex akım fonksiyonu G(t) yi kullanarak :

G(t)=ic+ji5

=E/Z1 ( ( C o s ^ j S i n ^ ) exp ( at))

ve G(t),=E/Zı (exp(Jü)t) exp( «t))

(5)

G(t) akım fonksiyonu i deki gerekil değiş

meyi s açısını ihtiva etmeden ifade eder. i cin

sinden bir çözüm bulmak için G(t) fonksiyonunun

reel kısmını Sing ve imajiner kısmını da Co&§ Ue

çarpmak gerekir. Denklem (2) ve (5) karşılaş

tırılacak olursa, denklem (2) G(t) fonksiyonu

nu kullanarak :

i=G(t) exp(js)

(6) olarak yazılabilir.

Denklem (6) dan G(t) fonksiyonunun serbest değişken, üslü fonksiyonunda kayma açısına bağ lı bir değişken olduğu görülür ki buda verilen sistem şartlarına göre sabittir.

Denklem (6) nın imajiner kısmı devreye ad nusoldal bir germim tatbik edildiğinden devredeki hakiki akımı; G(t) de alamı gösteren kompleoc bdr fonksiyon olduğuna göre, bu fonksiyonda esas akım gibi devre kaidelerine tabidir.

Eğer,

III

Io

I a2 a

xı

I a a2

olarak ifade olunursa, aynı şekilde

1 a a2

i*

seklinde ifade olunabilir.

Yukarıda belirtilen matrlsel denklemlerin ön ceki belirtilen düğünce tarzına dayanılarak, ay nı olduğu ve 3 faz kjsa devre geçici rejimleri ha linde simetrik bileşenlerin kullanılmasının müm kün olduğu bellidir. Denklem (7) nln kompleks çözümü bir kere bulunduğunda, hakiki geçici re jim akımları denklemin imajiner kısımlarına eşit lenerek bulunur.

ŞÖNT KISA DEVRELER :

Tablo l'de 4 tip kısa devreyi içine alan 10 ha ta kombinasyonu verilmiştir. Tek noktada faz nötr, fazlar nötr ve faz faz arası kısa devre mey dana geldiği için şönt hatalar olarak adlandırıl mışlardır. Bileşen devre akımları iv t,, ve i0 i ye bağlı tek basit fonksiyon haline sokulabilir. 3 faz simetrik kısa devre durumunda

TABLO : 1. Değişik şönt kısa devreler için hata sabitleri

Hata Sabitleri

Kısa Devreleri' Faz Toprak

RE

YE

BE

I/(2+K) I/(2+K) I/(2+K)

Faz Faz Kısa Devreler)

RY

YB

BR

K2 I/(2+K) a/(2+K) a2/(2+K) I/2a2

I/2a

Ko

a*

(2+K) (2+K) (2+K)

Faz Faz Toprak Kısa Devreleri

3 Faz Kısa Dev releri

RY E YB E BR E RYB (I+2K) (I+K) (I+K) I

a2K

K

aK

(I+2K) (I+2K) (I+K)

a?

S — FAZ GEÇİCİ REJİMLERİ :

Kararlı rejim devre teorisinde, bir devrede ki alternatif akım bir vektör ile gösterilebilir,

I=|I|exp(j0)

Denklem (6) daki ifade ile akım vektör İfa desini karşılaştıracak olursak aynı oldukları gö rülür. I vektöründe i gibi devre kaidelerine bağlı olduğu ve kararlı rejimler için kullanılan vektöryel çözümlerin geçici rejimler İçinde kul lanılmasına bir mani olmadığı görülür.

İC

(8)

olarak yazılır. Kv K2 ve K3 Tablo l'de gösterilen kısa devre sabitleridir. Denklem 6, 7 ve 8 kulla nılarak, denklem (7) tekrar

iR

«o

iY

iB

1a

K,

şeklinde yazılabilir.

Denklem (9) a kısa devre türüne göre Tablo l'den karşıt kısa devre sabitleri konularak, faz akımlarr geçici rejim halleri bulunabilir.

Mesela, Y B fazları arasında bir kısa devre halini kabul edelim; Tablo l'den

K:,=Kı= I/2, ve K0=Odur.

Denklem (9) da Kv K2 ve Ko yerlerine konulursa iR=0

iY = V3/2 G(t) exp(j(5 T/2))

(10)

lB=V3/2 G(t) exp(j('8 T/2)) bulunur. Denklem (10) daki ifadeleri, denklem

(4) deki form kullanılarak hakiki akımlara dö

nüştürecek olursak

iR=0

iY=3/2 (Sın(fi—,r/2)ic+Cos(S

(11)

iB =3/2 (S

elde edUir.

Yukarıda belirtilen özel hata hali için g=T/2 olursa

*Y = " İ B =3/21^= hata akımının kararlı halı.

8=0 için İY = iB = V3ic/2 = tamamen kay mış hata akımı hali elde edilir.

DOĞRU TERS VE SIFIR BİLEŞEN KI

SA DEVRELERİ:

Bir çok hatalar gereği şekilde temizlenmezse, daha kötü şartlara dönüşürler. Tek faz nötr kısa devresi, bir fazı daha ve bir zaman sonrada üç fazıdada içine alarak üç faz kısa devre haline gelebilir. Birinci kısa devre ile gelişmesi ara sındaki zaman bir kaç mili saniye olacağından, birinci kısa devreye ait geçici rejim hali sıfıra erişmemiş durumdadır. Bunun yanısıra, hata akımlarının çeşitli devrelerindeki degeleri' tepe değerlerine orantılı olacağından, geçici rejim analizinde ilk değerler dikkate alınmsalıdjT.

İKİ FAZ ÜÇ FAZ KISA DEVRELERİ (YB RYB):

Bu tip hatalar doğru ve ters bileşenler ih tiva ederler ve buna karşıt kısa devre hali şekil 2 de gösterilmiştir Faz faz kısa devreleri için S,

, (ŞEKIL:2) (Y B RY B).KISA DEVRESİ.İCIN EŞDEĞER DEVRE HALİ

Elektrik: Mühendisliği 145

anahtarı kapalı Sx anahtarı açık; ve kısa devre her üç fazada İntikal ettiğinde Sj anahtanda ka paU durumdadır. Kapalı devre akımları 1^ ve i2 aym zamanda doğru ve ters bileşen atanlarıdır. Simetrik bilegenler teorisinden çift faz hatalart için i ı = — i 2 d i r .

Devre empedanslarmı eşit almak gerekir, çün kü enerji nakil hatları için Zj=Z2 ve senkron maMnalar içinde geçici rejim empedansı Zı he men hemen Z, empedansına eşittir.

S2 anahtarının t = 0 anında ve Sj anahtarının da t = T gibi bir zaman geçtikten sonra kapandı ğını kabul edelim. t = T anında kapalı devredeki akımları i^ (T), i, (T) ve gerilim dalgası üzerin deki noktada ^dır. öyle ise devreyi ifade eden difransiyel denklemler şöyle yazılabilir.

1,+L.! (pi,—i^

c

(12)

d.+L^pL,—L,(T)),=0

e=E exp(JS)/2

G(T), G(t) fonksiyonunun t = T anındaki de ğeni ve 8 gerilim dalgası üzerindeki t = 0 anında ki noktadır. ^(T), t, (T) ve e fonksiyonları denk lem (10) daki yerine koyarak ve iv a2 için eşitle yerek,

İ,=E exp(j^)/Lı(p jü))(p+«)+G(T) exp(J8) /2(p+a)

İ2=—G(T) exp(j8)/2(p+a) bulunur.

Burada ix deki ilk terim devrenin ilk halinin nazarı dikkate alınmadığı ve ikinci terim ise ilk halin dikkate alındığım göstermektedir. i2 için verilen ifade ise i[ ifadesinin ikinci terimine ben zemektedir ve aynı zamanda devrede meydana gelen değişiklikten dolayı ilk devre halinin değiş mesini göstermektedir.

Denklem (6) daki gibi ıa ve i2 için çözüm ya pılırsa,

i,=G(t') exp exp( at)

G(t) exp(J8)

ı2=—1/2 G(T) exp(js) exp( at') bulunur.

Burada :

t'=(t T) ve = ( ^ ) d ı r .

Kompleks faz akımları i R , iY ve 1B matrlsel , denklemlerden elde edilebilir.

İl

i.

Buradan d a :

İR =G(t')

1Y =G(t') exp(J8'—2r/3))ı+V3/2 G(T)

(j(/2

(14)

İB =G(f)

G(T)

exp(j(s+ır/2)) exp( at'))

geklinde yazılabilir.

Denklem (14) deki 1R , 1Y ve 1B faz akımları t = T anından, yani 3 faz kısa devrenin oluşundan itibaren uygulanırlar. 3 faz kısa devreden önceki İki faz kısa devre halindeki akımlar denklem (10) da belirtilmiştir. 1 R , IY veiB deki ilk terim ler 3 faz kısa devresinden dolayıdır ve denklem (9) a Tablo İden kargıt değerler konularak elde edilebilirler. iY ve iB deki 2. terimler İlk faz faz arası kısa devreden dolayıdır ve devre zaman sabitine bağlı olarak sıfıra erişirler.

Enerji nakil voltajlarında çalışan sistemler için, İki kısa devre arasındaki değer düşünmesini değer düşmesini kati olarak hesaplamağa lüzum yoktur, çünkü reaktans/resistans oranı umumi yetle 10 dan yüksektir (zaman sabiti 30 milisa niyeden uzundur) ve değer düşmesi gayet az ola caktır. Böylece hiç düğmesi kabul edilmezse, lc deki üslü terim bir değerinde, ve ilk devre halin den dolayı meydana gelen geçici rejim hali ka rarli D. C. değerinde kalır. Denklem (14) ün ima Jlner kısımları alınarak

İR =E/Z, iY=E/Zı((Sln(ü)t'+S'—2* /S)— Sln(S' —2B /3) + V3>2 (Sin(8'—:r/2)—Sin (g—*

İB =E/Zı((Sin(û)t'+8'—2*/3)— Sln(8'+ 2,r/3))—V3/2Sln(8'—ır/2)—Sin (8—rr/2))) olarak bulunur.

Belirtilmesi gereken enteresan nokta ise denk lem (15) deki ikinci terimler iki kısa devre anın daki kayma açılarına bağlıdırlar. Çünkü iki kısa devre arasındaki T zamanı §u ifade ile belirtil mektedir.

Akımların tepe değerleri' g=0 ve 5=—r/2 anında olmakta ve tepe değerleri olarak elde edi len 2.366E/Z, akım değerinin iki mislinden da ha büyük olduğu görülür.

. TEK FAZ KISA DEVBE HALÎ (RE RBE RYBE) :

Bu tip hata, faz toprak kısa devresinin lyon laşmış gazla dolablldlği bir sahada olmasının nor mal gelişmesidir. Daha önce kullanılan eşdeğer devre benzeri bir devre bulmak güç olduğundan, süperpoaisyon teoremini kullanarak toplam ha

ta akımının çözümü yapılacaktır. Hatanın üç dev rede meydana geldiği kabul edilmiştir.

(a) Faz toprak (RE)

(b) tki faz toprak (RBE)

(c) Üç faz toprak (RYBE)

tik devre t^=0 anında meydana gelmektedir, ikinci devre t = T anında ve üçüncü devrede t = T ' anında meydana gelmektedir. Bu tip kısa devre toprağı da ihtiva ettiğinden, doğru ve ters bile şen empedansları yanısıra sıfır bileşen empedan sıda dahil edllmdş ve K=ZO/Z1 olarak kullanıl mıştır. Analizi basitleştirmek için geçici rejim hali için doğru olan ZX=Z2 ve bileşen devre za man sabitleri e§it olarak kabul edilmiştir. Hata nın 1. devresi ile 2. devresi arasındaki zaman T dir ve buna bağlı olarak t = T anjna kadarki faz akımları denklem (9) ve Tablo l'den:

İR =3 G(t) expU8)/(2+K)

iY=0

(16)

iB=0 dır, ve t = T anında da son değerlerine erişirler,

tkinci devre t = T anında başlar ve kayma açısı

S'dür. Eğer t'=0 (t'=t—T) ise denklem (9) ve

Tablo l'den 2 faz toprak kısa devresi faz akım

larının ilk devre hali katılmayarak:

İR=V3/(1+K) G(t) exp(J8')(exp(jff/6)+K exp jır/6))

İY=0 İB =V3/(1+2K) G(t') exp(J8')(exp(W2+K exp( j,r/6)) bulunur. Burada t = T anında son değerine erişir. Üçüncü ve son devrede t = T / anında başlar ve kayma açısı 8" dür. Eğer t " = 0 (t"=t—T) ise Tablo 1 ve denklem (9) dan, üç faz kısa devre kabul edilerek:

iR =Gt") expüs")

l Y = G ( t " ) exp(j(8"—2ır/3)

(18)

lB =G(t") eXp(j(8"+2jr/3))

bulunur. Üç devreyi birleştirerek ve ilk durum

larının t = T ve t = T ' anından başlayarak tersi a olan zaman sabiti ile azaldığı hatırlanırsa :

i R = G ( t " ) exp(JS") + V3/(l+2K) G(T') exp (JS')(exp(exp(j,r/6)+K exp( J7r/6)) exp( « (t T))+3/(2+K) G(T) exp(J8)exp( a(t T))

1Y =G(t")exp(j(8" 2,r/3))

İB =G(t") exp(j(8"+2n /3)) + V3/(l+2K) G(T') exp(JS')(exp(j» /2) Kexp(j1r/6)) exp( a (t T'))

bulunur.

Kısa devreler arasındaki zamanda değer düş mesi bir kenara bırakılırsa, denklem (19) daki ifadeler daha da basit hale getirilebilir. Bu du rumda hakiki faz akımları:

Elektrik Mühendisliği 145

İR =E/ZX ((SuK^f'+S")— Slng") + V3/U+ 2K)(Sın(S"+,r/6—Sin(8'+1r/6)+K(SinS" ,r/6) —Sin(5'—,r/6)))+3/(2+K) (Slng'—Slng))

1Y = E/Zj (Sin ((«t" + S"—2,r/3) —Sin(S"—2,r/3) (20)

İB =E/Zı((ü)t" + 5"+2,r/3)— Sin(S"+2,r/3)) + V3/(I+2K) (Sln(IS"+,r/2)—Sln(8'+^/2)—K(Sın (Sin(g"—,r/6)— Sin(8'—*/6) olarak İfade edilir.

Sistem resistans üzerinden topraklanmış ise, K nin büyük olduğu, ve ilk anlarda devre zaman sabitinin, ufak olduğu hatırlanmalıdır. Bundan çı kan netice, bütün pratik uygulamalar için, 2 faz kısa devresi hali 3 faz kısa devre haline dönüş mektedir.

NETİCELER

Güç sistemleri devrelerinin kararlı rejim hal leri için simetrik bileşenler tatbik olunmaktadır. Bu makalede ana hatlarının belirtildiği üzre, ar tık simetrik bileşenler tekniği genelliğinden hiç bir şey kaybetmeksizin geçici rejim hallerinin çözümü içinde kullanılabilmektedr. Metod i akı mını bir kompleks fonksiyon olarak ifade etmeğe ve sonradan hakiki akımları bu fonksiyonların lmajiner kısmına eşitleyerek elde etmeğe dayan maktadır. Esas akım sinusoldal kabul edildiğin den, imajiner kısımlar kullanılarak akım değer lerinin bulunması daha kolay olmaktadır. Eğer esas devre akımı bir kosinüs fonksiyonu İse, gerçek akımlar elde edilen ifadelerin real kısmı na eşitlenerek bulunulabllmeKtedir.

Kullanıhn sembollerin listesi :

I, |l| = Vektöryel ve sikalar akım değer leri i = Zamana bağlı akım değeri

—»

i = Kompleks akım

G(t) = Kompleks akım fonksiyonu

e = Üslü gerilim fonksiyonu

E = Simetrik sinusoldal gerilimin tepe

" •">• »!• değeri

t = Zaman

•t >t = 0 anında gerilim dalgası üzerinde

ki nokta

^ »t = T anında gerilim dalgası üzerin

deki nokta

:

<£, 0 = Güç açıları

8 8'. 8"= Kayma açılan

Z = Empedans

R = Rezistans

L = Şelf endüksiyon kat sayısı

p = Laplas operatörü

m = Açısal hız

Kr IC, K3 = Kompleks hata katsayıları 1, 2, 3 = Bileşen İndisleri

R, Y, B = Faz işaretleri

t' = t T tf'=t T

K Zo/Z, <J.=R,/L.ı ic = E/Zx (Coswt exp( a:t)), ig=E/Z, Sin ^t a = exp(j2a /3),

a*=exp( J2,r/3)

ELEKTRİK İŞLERt ETÜT İDARESİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ MÜHENDİS ARIYOR

4/10195 sayılı kararnameye ilişkin «Muayyen ve Muvakkat müddet li hizmetlerde çalıştırılacak Yevmiyeli Personel Yönetmeliğine» göre, is tihdam edilmek üzere inşaat, makina, elektrik mühendisi ve yüksek mü hendisleri aranmaktadır.

Müracaatlar Ankara'da Gazi Mustafa Kemal Bulvarı 25 numarada, bulunan Genel Direktörlüğe yapılacaktır.

İlgililere duyrulur.

BASIN : A 21946/1