HESAP CETVELLERİNİN DİĞER FAYDALI HUSUSİYETLERİ

UDK : 510.18 ;511.2

Hesap Cetvellerinin Diğer Faydalı Hususiyetleri'*1

Yazan : Turgut ÜÇER Elek. Y. Müh. Petklm Petroklmya A.Ş.

ÖZET Ocak 1968 sayısında çıkan yazıda hesap cctvelleriyle yapılan diğer işlemlere ilâve ola rak, toplama ve çıkarmantn da nasıl yapıla cağı, her işlem için iki ayrı metot verilerek, gösterilmişti. Bu yazıda ise, yalnız hesap cet veli kullanarak, seri paralel devıelerln nasıl çözülebileceği, ikinci dereceden tir denkle min köklerinin nasıl bulunabileceği ve diğer faydalı hususlar belirtilecektir. Birinci yazı da olduğu gibi burçla pösterllen metotlar da yazarın kendi buluşları olup literatürde ilk de/a çıkmaktadır. Geçen yazıya sık sile atıf ta bulunulduğu için bu yazı okunurken o nüshanın da el altında bulunduıulmast fay dalı olacaktır

SUMMARY

Other useful propertles of the. slide tule in the Januarv 1968 issue it was shoum lunv addıtıon and subtraction could be per formed on the slide rule in addition to other operations, and, two methods were developed for each of these tıvo operations. Here it will be shoum how serles parallel cırcuits can be solvecl, ftoıo the roots o/ quadratic eguattons can be obtalned only by use of the slide rule And some other useful properties roıll be men tioned. As in the previous artlele, the me thods here developed are orıgınal and appear in prınt for the first time. it ıs advisable to lıave the prevlous article at hand as the me thods appeared in that article will be menti oned frequently

Paralel dirençlerin yalnız hesap cetveli Icul laiularak birleştirilmesi :

Bundan önceki yazıda geliştirilen Tk meto duyla toplama yaparken 5. kademede kıl çizgiyi (K. Ç.) hareket ettiriyorduk. Bu yazımıza ise K. Ç. 2. kademede sürüldüğü yerde bırakılır da sürgü hareket ettirilirse neticenin ne olacağını araştırarak başlayalım. Misal olarak yine 2 ve 3 sayılarını alalım.

1. Sürgünün U t. nl, sol İndis, D akalasında 2'ye koy.

2. K. Ç. yi sürerek yine D skalasında 3'e ge tir.

3. K. Ç. altında ve C skalasında bir değer oku (1.5).

4. Üçüncü kademede elde edilen bu değere (1.5), akıldan bir (1.0) ekleyerek yeni bir değer elde et (1.5 + 1.0.= 2.5).

Buraya kadar yapılan bütün kademeler ay nen Tk metodunda olduğu gibidir. Şimdi 'bu me tottan tek farklı kademe olan 5. kademeye geçe ceğiz.

5 K. Ç nin durumunu bozmadan, bu sefer sürgüyü 4 kademede elde edilen 2.5 değeri C akalasında K. Ç. altına gelene kadar sür.

6. C skalası sol indisi altında ve D skala sında bir değer oku (1.2).

Hesap cetveliyle yapılan hareketlerin mânâ sını araştırırsak şu işlemleri yapmış olduğumu zu görürüz :

«b» «c» den küçük kabul edilsin (2) (3)

ElektrlK Mühendisliği İSI

log c — log (c/b + 1.0) = log a log c — log L (c + b) /b] = log a

her iki tarafın antilogaiitmasını alınca (bu hu sus hesap cetvelinde hakiki değerler okunurken otomatikman yapılmaktadır)

c =a (c + b)

ve bundan da

b

cb =a c+b

elde edilir.

Bu ifadeyi daha kolaylıkla tanıyabileceğimiz bir şekilde yazarak :

bc

b+c denklemini elde ederiz ki bu da paralel bağlan mış iki direncin (veya iki seri bağlanmış kon dansatörün) eşdeğer kıymetidir.

Pk metodu ile birleştirme yanmak :

Şimdi elimizde eşdeğer direncinin bulunma sı arzu edilen paralel iki direnç olduğunu ve bunların değerlerinin 2 ile 3 ohm olduklarını farzedeüm. Bu paralel devrenin eşdeğer kıyme tini şöyle bulabiliriz :

]. C skalasınm uygun indisini ( U l ) , sol in dis, D skalasında birleştirilecek olan di rençlerden küçük olanına (2'yc) getir (*) Yazarın müsaadesi olmadan iktibas edilemez May not be repreduced uithout the permisstoıı ol the author.

2. Kili çizgiyi (K.Ç.) sürerek D akalasında, birleştirilecek olan diğer direncin değeri ne (3'e) getir .

3. K.Ç. altında ve C akalasında bir değer oku (1.5).

4. 3. kademede elde edilen değere (1.5) akıl dan bir (1.0). ekleyerek yeni bir değer etde et (1.5 + 1.0 = 2.5).

5. K.Ç. yi yerinden oynatmadan, sürgüyü dördüncü kademede elde edilen değer C »kalasında kıl çizgi altına gelene kadar sür.

6. Sürgünün sol indisi altında ve D skala sında neticeyi oku (1.2).

Nasıl ki bundan önceki yazıda gerek topla ma gerekse çıkarma için iki metot geliştirilmiş Be .paralel dirençlerin birleştirilmesinde de Pk ve Pb diye adlandırabileceğimiz iki ayn metot vardır. Burada P harfi paralel birleştirme işle mini «k» ve «b> harfleri ise işleme değerce kü çük olan dirençle mi yoksa büyük olanlamı baş landığını, gösterir.

Yukarıda misal olarak verdiğimiz Pk meto du dçin şu notları kaydedelim :

1. Hernekadar yazılı tarifte altı kademe görülüyorsa da aslında yapılan fiili hare ketler sayısı üç olup diğer kademeler akıldan veya gözle yapılmaktadır.

2. Üçüncü kademede okunan sayının değe rini tayin için şu metot kullanılır :

a) Birleştirilecek olan sayılar arasındaki nls bet bir ile on arağında İse üçüncü kade mede elde edilen değer de bir on arasında.

b) Sayılar arasındaki nisbet on ile yüz arasın da ise üçüncü kademedeki sayıda on İle yüz arasında.

c) Sayılar arasındaki nisbet yüz ile bin ara sında ise üçüncü kademedeki değerde ay nen yüz ile bin arasında olup bu nisbet ve değerler böylece devam edip giderler.

Bu kaideleri verdiğimiz misale tatbik edersek :

Birleştirilecek sayılar

2 ve 3 '2 ve 30 2 ve 300

Nisbetlerin Üçüncü kademede hudutları okunan değer

1 10 10 100 100 1000

1.5 15.0 150.0

3. Üçüncü kademede okunan, değerleer ne olursa olsun buna dördüncü kademede akıldan ilâve edilen sayı daima bir ola caktır.

Pb metodu ile birleştirme yapmak :

Bu metodla birleştirme İşlemine, değerce bü yük olan «ayı ile başlanır. Yine bir önceki mi sali alarak 2 ve 3 ohmluk iki paralel direncin eşdeğer ktymetini bulalım.

1. C skalası U.l.'ntn sağ indis, D skalasın da büyük olan değere (3'e) kay.

2. K.Ç.'yi sürerek D skalasında küçük olan değere (2'ye) getir.

3. K. Ç. altında ve sürgüdeki C skalasında bir değer oku (1.5),

4. Üçüncü kademede okunan değere (1.5) akıldan bir (1.0) ekleyerek yeni bir değer elde et (1.5,+ 1.0 = 2.5).

5. K.Ç.'yi sürerek, CI skalasında, 4. kade mede elde edilen değere (.5) getir.

6. K.Ç. altında ve D skalasında neticeyi oku (1.2).

1. Pk metodunun üç notu da bu metot için aynen câridir.

2. Paralel dirençleri birleştirmek Jçin Pk metodunu kullanmak umumiyetle daha lelveriş lldir. Çünkü 6. kademede' tamamlanan hareket neticesi cetvelin konumu son çıkan netice ile yeni bir direnç kıymetinin ehven bir şekilde birleştirilebilmeslni mümkün kılar. Dolayısıyla bu metotla istenilen sayıda paralel direnç de vamlı bir şekilde birleştirilebilir.

Yalnız, dikkat edilmesi gereken husus birleş tirilecek olan dirençlerin en küçüğünden başla narak gittikçe büyüyen değerlere göre dizilmesl dir. Diğer bir nokta da paralel iki direncin eşde ğer kıymetinin daima küçük direnç kıymetinden daha az olduğudur. Meselâ paralel bağlanmış dirençler 2, 3 ve 4 ohm olsun. Pk metodunu kul lanarak 2 ve 3 lük değerleri birleştirdikten son ra cetvelin konumunu bozmadan netice olarak bulunan 1.2 İle bir sonraki değer olan 4 ü kolay lıkla birleştirebiliriz.

Bu metotlarla istenilen sayıda değer aşağı daki formüle göre devamlı bir şekilde birleştiri lebilir :, l/A = l/B + l/C + l/D + Hatılanacağı gibi aynı formül optikte, ısı trans ferinde, mekanikte, ve daha pekçok yerlerde kul lanılmaktadır.

Seri paralel devrelerin yalnız hesap cetveli kullanılarak çözülmesi.

Paralel devrelerin çözümü için verilen me todlarla bundan önceki yazıda geliştirilmiş,' olan Tk ve ,Tb metotlarını birleştirerek seri paralel devreleri gayet kolay bir şekilde çözebiliriz. Bu nu daha iyi bir şekilde anlatmk için Şekil 1 deki devreyi çözelim.

Elektrik. Mühendisliği 151

4H.

7./L

1. 2 ve 3 ohmlük dirençlerin toplamını Tk metoduyla bul.

2. Elde edilen değeri (5), 4 ohnıluk direnç le P..k. metodu ile birleştir, ve 2.22 değe rini elde et.

3. Bu değeri 6 ohmluk dirençle Tk metodu ile birleştirerek 8.22 elde et.

4. Nihayet 8.22 değerini de son 7 ohmluk de ğerler Pk metodu ile birleştirerek neti ce olan 378 i elde et.

Böylece seri paralel dirençlerin birleştirilmesi için lâzım olan bütün metotlarları görmüş olu yoruz.

Pk ve Pb metotlarının 4. kademesinde yapılan akıldan bir (1..O) eklemek yerine bir (1.0) çı karmanın neticesi :

4. kademede toplama yerine çıkarma yapıla cak olursa verilen bir direnç değeri, istenilen iki ayrı paralel direnç değerine hesap cetveli vasıta sıyla kolayca ayrılabilir.

Misal: Değeri 1.4 ohm olan bir direnç, bir bacağı 7 ohm. olan paralel iki direnç haline sokulmak, is teniyor.

Pk metodunu kullanarak : 1. C skalasi uygun indisini, U.Î., sol indis,

D skalasmda 1.4'e koy. 2. K. Ç. ile D skalasında 7 ye git.

3. K.Ç. altında ve ,C skalasmda bir değer oku (5).

4. Üçüncü kademede elde edilen değerden zihnen bir (1.0) çıkararak (5 1 = 4) el de et.

5. K.Ç. yi yerinden oynatmadan sürgüyü sür ve 4. kademede elde edilen değer K.Ç. altında ve C saklası üzerinde belirince dur.

6. Neticeyi C skalası sol indisi altında D ska lasmda 1.75 olarak oku.

Pb metodu da aynı şekilde kullanabilir.

İkinci dereceden bir denklemin yalnız hesap cetveli kullanarak çözülmesi.

Geçen yazımızda verdiğimiz misali alarak X2 16.3X 8.35 = 0 (a.= 1, b = 16,3, c = 8,.35)

denkleminin köklerini bulalım. Aşağıda anlatılanlar, hesap cetvelinin

— b ± Vb2 — 4ac

2a formülünün adım adım çözümünde kullanılma sından başka birşey değildir.

1. Şekil 2 de gösterilen B akalasının U.î.' ni (orta indis) A skalasının sol kısmın da 4'e kay.

2. K.Ç. yi sürerek B skalasının sol kısmında 8.35'e getir.

3. K.Ç nin durumunu bozmadan sürgüyü sürerek B skalasının orta indisini K.Ç. al tına getir.

4. K.Ç. yi sürerek D skalasmda 16.3'e getir. 5. B skalasmda, K.Ç. altında, bir değer oku (7.95). 6. 5. kademede okunan değere akıldan bir (1.0) ekle ve yeni bir değer elde et 7.95 + 10 = 8.95).

sünoU I A I ı ı ı ı ı ı ı I I I

Yi

B j '" . V e . //

cıl ı ı . ı > ' ı ı I

, CD^ 1 t S 4 » 6 7 B » 2

«j\

J l ı ! ı I '• ! I 1 , 1 I I

1\ 1 2 3 4 6 6 7

JL

GÖVDE

»ABALAR Elektrik Mühendisliği 151

7. K.Ç. yi sürerek B akalasının sol tarafın dan 6. kademede elde edilen bu değere ge tir (8.95).

8. Bu sefer K.Ç. yi yerinden oynatmadan sürgüyü sürüp C skalasının sol İndisini D skalasmda 16.3'e getir.

9. K.Ç. altında ve C skalasında bir değer oku .(1.06).

10. 9. kademede elde edilen bu değere akıl dan bir (1.0) ekleyerek yeni bir değer elde et (1.06 +1.0 = 2.06).

11. K.Ç. yi sürecek C akalasında 10. kademede elde edilen değere getir (2.06).

12. K.Ç. nin durumunu bozmadan sürgüyü sürerek C skalasındaki 2 yi K.Ç. altına ge tir.

13. C skalası sol indisi altına ve D skalasında köklerden bin olan + 16 797 yi oku.

14. K.Ç. yi sürerek D skalasında 8.35'e getir.

15. K.Ç. altında ve C skalasında ikinci kök o'an 0.497 yi oku.

1. Hernekadar metodun tarifinde 15 kademe göıillüyorsa da aslında fiilen yapılan hare ketler sayısı 9 olup diğer 6 kademe ya gözle yahut da akıldan yapılmaktadır. Bi raz alıştıktan sonra bu hareketleri yapmak ise bir dakikadan daha az bir zaman alır.

2. Bu misalde olduğu gibi diğer misallerde de kökleri daha sıhhatli olarak tayin et mek için şu hareket tarzını takip edebili riz. 13 kademede elde edilen birinci kökün kıymetini üç haneye kadar okumakla iktifa ederek 14 ve 15. , kademeleri de bitirir, sonra ikinci kök kıymetini buluruz. Umu miyetle birbirine yakın .değerde olmayan köklerden küçük olanı daha sıhhatli ola rak tayin edilebilir. Böylece daha fazla sıhhatle tayin edilebilen kökün değerini 15. kademede bulduktan sonra bu değe ri ilk verilen denklemdeki «b» katsayısın dan çıkararak, veya ona ekleyerek, 13 kademede elde edilen kök değerinin sıh hatini de bir derece daha arttırabiliriz.

3. Burda anlatılan metotla yalnız hakiki olan kökler bulunabilir. Köklerin hakiki veya sanal olduğunu tesbit için kare kök altındaki değerin sıfırdan küçük olup olmadığı basit bir zihni hesapla tâyin edilebilir. Eğer kökler sanal ise tarif edilen kademelerden ilk yedisi bitirildik ten sonra kökün sanal olan kısmının İki katı D skalasında okunur. Ancak sanal kökleri bulurken 5. kademede Çb me todunu kullanmak gerekir. Bundan sonra asıl denklemden «b» kaysayısı ile birlik

te her iki kökün iki katı ve dolayısıyla kendileri bulunabilir.

4. Köklerin işaretleri asıl denklemdeki «b» ve «c» nin işaretlerine bağlı olup aşağıda anlatılan hususa riayet edilirse kolaylıkla bulunabilir. Köklerin rt ve r2 olduğunu ka bul ederek orijinal denklemi açılmıg şek liyle yazalım

Orijinal Denklem Açılmış şekli

X2±bX±c = 0 (X±rt) (X±r2)=0

Açık şekilde yazılmış köklerin cebirsel top lamı, işaretiyle birlikte, orijinal deklem deki «b» değerine ve işaretine, yine kök lerin cebirsel çarpımı da, işaretiyle bera ber, «c» değerine eşittir. Böylece bulunan işaretlerin aksi alınarak köklerin hakiki işareti tayin edilmiş olur.

5. Bundan önce verilen 15 kademelik çözü mün 6. kademesinde «akıldan bir ekle» direktifi, eğer «c» nin işareti artı ( + ) ise «akıldan bir çıkar» şeklinde tâdil edil melidir.

Şimdi evvelce verilen 15 kademede ne ler yapmış olduğumuzu adım adım anla talım.

1. ve 2 kademelerde yaptığımız işlem lerle formülün kare kök kısmı altındaki ae değerini elde ettik, (a = 1.0 olduğu için yalnız 4c değeri bulunmuştur).

3. ve 4. kademedeki hareketlerle cetve li b ı 4 c işlemini yapacak şekilde hazırla mış olduk. (Bu misalde «c» nin işareti ek si (—) olduğu için yapılan işlem b1 + 4c şeklinde tezahür etmiştir.

5., 6., ve 7. kademelerde yapılan İşlem lerle Tk metoduyla b1 + 4c neticesini A akalası üzerinde elde ettik. Aynı zamanda bunun kare kökü olan sayı da K.Ç. yerin den oynatıldığı için, otomatikman .D aka lasına nakledilmiş oldu.

8., 9., 10., ve 11 kademelerde yapılan iş lemlerle de yine Tk metodu ile b Vb1 + 4c toplamını elde ettik.

12. ve 13. kademelerdeki işlemlerle de bir evvelki neticeyi son operasyon olan 2 ye bölerek büyük olan kökü bulduk.

14. ve 15 İşlemlerle İse İkinci kökün de ğerini bularak denklemin çözömünü elde ettik.

Diğer faydalı hususlar : Gerek toplama çıkarma yaparken, gerekse paralel dirençleri birleştirirken, üçüncü kademe de K.Ç. altında okunan değere dördüncü kade mede akıldan dalma bir eklemek gerektiğine dikkatle işaret etmiştik. Şimdi İse bu kademede ilâve edilen sayının birden faklı olması halinde

Elektrik Mühenflislifti 151

ne gibi neticeler çıkacağını araştıracağız, önce Tk ve Tb metotlarını alalım ve toplanacak sa yıların da 2 ve 3 olduklarını kabul edelim.

Tk metoduyla 2 ve 3'ü toplarken 4. kademe de bir (1.0) yerine 2, 3, 4, vesaire eklersek ne ticelerin 5 yerine 7, 9, ve 11 olduğunu görece ğiz. Bu neticeleri analiz edersek görürüz ki 4. kademede ilave edilen sayı, toplanacak olan sa yılardan küçük olanına bir çarpan vazifesi gör mekte ve toplama şu kaideye göre yapılmakta dır :

Dördüncü kademede akıldan eklenen sayılar

2 (2) + 3 = 7 3 (2) + 3 = 9 4 (2) + 3 ='11

Birbirleriyle toplanan sayılar

Tb metodunda da durum benzer olup 4. kade mede akıldan ilâve edilen sayılar bu sefer de büyük olan sayıya bir çarpan vazifesi görmek te ve toplama, misal yine 2 ve 3 olursa, şu şe kilde yapılmaktadır :

Dördüncü kademede akıldan ilâve edilen sayılar

2 (3) + 2 1 = 8 3 (3) + 2 = 11 4 (3) + 2,= 14

Birbiriyle toplanan sayılar

Her iki metotta da 4. kademede akıldan ilâ ve edilen sayının bir tam sayı olması şart değil dir. Jlâve edilen sayı bir kesir de olabilir. Me selâ yine Tk metodunu ve toplanacak olan sayı ları da 2 ve 3 olarak alalım. Eğer 4. kademede ilâve edilen sayı

1. 7 blursa netice 1. 7 X2 + 3 <= 6. 4

2.14 » » 2.14x2 + 3 = 7.28

3 . 0 6 x 2 + 3 = 9.12'vs. olur.

Bu prensibin kullanılabileceği pratik bir misal olarak malûm sıcaklık tahvil formülünü ele ala lım.

F° = 1.8 C° + 32 ve 1° C aralıklarla 20°C ile 30°C arasında F°'e tekabül eden değerleri bulalım.

Yukarıdaki formülde değişen kısım C değer leridir, dolayısıyla biraz önce bahsi geçen, birisi değişken katsayılı iki sayının toplanması meto duyla çözülmesi mümkündür, ilk olarak 20°C'a tekabül eden F°'i bulduktan sonra arzu edildi ği gibi birer derece aralıklarla diğer değerler de şu şekilde bulunabilir:

1. C skalası U.t. ni D akalasında 1.8'e koy. 2. K.Ç. yi D skalasında 32 ye getir. 3. K.Ç. altında C skalasında bir değer oku (1.775).

4. 3. kademede okunan değere (1.775) akıl dan 2 ilâve ederek yeni bir sayı elde et (1.775 + 2.0 = 3.775).

5. K.Ç. yi C skalasında 4. kademede elde edi len değere sür.

6. K.Ç. altında ve D skalasında cevabı oku (68).

Burda 4. kademede yapılan hareketin mânâ sını anlatalım.

Misaldeki çarpım 1.8x20 = 18x2 olduğu İçin bunu daha önce anlatıldığı veçhile

2 x 18 + 32 = ? şeklinde yazabiliriz. Netice olan 68'i bulduktan sonra birer dere ce aralıkla aynlan diğer değerleri bulmak için sürgünün vaziyetini bozmadan C skalasında K.Ç. altında okunan son değere (3.775) 3 ve 4 arasın daki aslî bölüm çizgilerini kullanarak (Yâni 3.1, 3.2, 3.3. vs.) 0.1 kıymetlerini akıldan ilâve et. Böylece 20° C dan sonraki değere, yâni 21° C'a erişebilmek için K.Ç. yi C skalasında (3.775 + 0.1 = 3.875)'e sür. Bu sefer K.Ç. altında ve D ska lasında 21° C'a tekabül eden °F'İ 69,8 olarak oku. K.Ç. yi C skalasında 0.1 aslî bölüm aralıklarıyla hareket ettirmek suretiyle D skalasında birer derece farklı diğer "F'leri okumak mümkündür.

Kat saydı toplama metodunun genel kaideleri

Tk metodu için misal olarak

Toplanacak sayılar

Üçüncü dene mede okunan değere, 2, 4.

kademede akıldan ekle necek sayılar

0.12 x 2 + 4 ı= 4.24 1.2X2,+ 4'= 6.4 12 x 2 + 4 = 28 120 x 2 + 4 = 244

Tb metodu için 2 + 0.12 x 4 = 2.48 misal olarak 2 + 1.2 x 4 = 6.8

2 + 12 x 4 = 50 2 + 120x4 = 482

Yukardaki misallere bakarak umumi kaideyi şöylece yazabiliriz:

Bir tanesinin sabit, veya değişken, bir katsa yısı olan iki sayının toplanmasında eğer katsa yı toplanan sayılardan küçüğününkü ise Tk me todu, kayşayı büyük olan sayınınkl ise Tfe meto du kullanılır. Her iki metotta da son neticeyi elde etmek için toplama işleminin 3. kademesin de K.Ç. altında, C skalasında okunan değere hangi katsayı kullanılacaksa o akıldan ilâve edi lir ve malum metotlara göre işlem bitirilir.

Elektrik Mühendisliği 161