ÜÇLÜ MATRİSEL ÇARPIMIN ELEKTRİKSEL MODELİ VE UYGULAMA ALANI

ÜDK: 512.8:621.3.01 üçlü Mâtrisel Çarpımın Elektriksel Modeli ve Uygulama Alanı

Yazan :

Eren H. BAŞARAN Elek. Y. Müh. Lefkoşe

Üçlü matrlsel çarpım şu şekilde verilmiş ol sun:

[AJ . [A] . [A2] = [Y]

(D

Biz [Y] matrisinin m'yincl satın ile n'yinci sütununa tekabül eden Ymn elemanını, [Aj], [AL ve [A2] matrisinin elemanları cinsinden bulmak istiyelim: Ymn elemanı mâtrisel çarpım yoluyla bulunurken, çarpım; İşlemine, [A,] matrisinin yalnız m'yinci satınndakl elemanlar, [A ,] mat risinin İse yalnız n'yincl sütunundaki bütün ele manlar girmektedir. Ayrıca, [A] matrisinin ise bütün elemanları çarpım işlemine katılmaktadır!

İşlemleri basitleştirmek için, [Aj] matrisini dört sütunlu, ve [A2] matrisini ise dört satirli bir matris olarak ele alalım. Böylece, [A] mat risi dört satır ve dört sütunlu bir kare matris olmak zorunda kalır. Şimdi, [AJ . [A] . [A2] üçlü çarpım matrisini elemanları cinsinden açık ça yazalım. (Matris elemanlarmdaki birinci in disler; elemanın bulunduğa satın, ve ikinci in disler; elemanın bulunduğu sütunu göstermiş ol sun.)

\oc <y , & , os ı n,(. «i,* /»,( /ı.

A A A A /S

ti

A,

ll

SI

4* A A A kk lk

i 4/ A

Akl

A Af A A

ıs

/s ss

Matrlsel çarpım kurallarınca, bu üçlü mat risin çarpımı yapılabilir, ve Ymn elemanının eşit liği elde edilir. Fakat, şekil (l"a)'dakl gibi [A,] matrisinin m'yincl satın için bir model, ve [A_,] matrisinin n'yinci sütunu için Şekil (lb)'dekl gibi bir model kurabiliriz. Model üzerindeki

*«m'l ' ÛWkp «m'l ' «m's Ve 0,'n ' PVnPzn & h* katsayılanna, işleri basitleştirmek için, Turan katsayıları diyelim. Aynca, şekil (la)'da (i, k, 1, s) ise m düğümüne bağlı Indüktanslann nu maralannı göstermiş olsun. Yine, şekil (lb)'de (i, k, 1, s) ise n düğümüne bağlı Indüktanslann numaralarını göstermiş olsun. Böylece devreden bakarak Y ifâdesini ıbu'.mak için, matrise! çar

pim sonucuna ve modele bakarak, anlamlandınl masından elde edilen kural şu oluyor: Y elema nının eşitliğini bulmak için, n düğümüne bağh indüktansların Turan katsayjlan ile, m düğü müne bağlı Indüktanslann Turan katsayıları çar pılır ve bu terimler yazılır. Bu terimleri, [A] matrisinin elemanlanyla da çarpmak gerekecek tir. Gerek üçlü mâtrisel çarpımın sonucuna ve gerekse şekil (l)'deki modellere bakılırsa, Tu ran katsayılan çarpımına, çarpım şeklinde ge lecek olan [A] matrisinin elemanlannın bir sı ra izlediği görülecektir.

Görülen ve izlenen sıra şu oluyor : örneğin : 1. n düğümüne bağlı i indüktans elemanının p^ Turan katsayısını <m düğümüne bağlı i indüktans elemanının ,am i Turan katsa yısı ile çarpımına, çarpım şeklinde gelecek olan [A] matrisinin elemanı

AM oluyor.

2. Yine n düğümüne bağlı i indüktans elema nının p,,n Turan katsayısını, m düğümüne bağ lı k indüktans elemanının Turan katsayısı ile çarpımına, çarpan şeklinde gelecek olan [A] matrisinin elemanı Alk oluyor. Böylece, yalnızca msdellere bakarak üçlü mâtrisel çarpım yazıla bilmiş oluyor. Şimdi bu kuralları hatırda tuta rak, ve modellere .bakarak Ymn ifâdesini şu şe kilde yazabiliriz :

SONUÇ:

Üçlü matiisel çarpımın modeli çizilebilir ve modele bakarak üçlü matrlsel çarpım sonucu yazılabilir. Elektrik devrelerinde; burada tanım lanan Turan katsayıları, ( + 1 , — 1 , 0) değer lerini almaktadır. Turan katsayısının + 1 olma sı akım işaret yönünün düğüme doğru, ve —1 olması akım yönünün düğümden öteye olduğunu ve sıfır olması da düğüme bağlı elemanın olma dığını gösteriyor (*). (Bunun kabul edilen bir re ferans olduğu unutulmamalıdır.) Şekil (l)'dekl modeller, m ve n düğümüne bağlı kuplajU in düktans elemanlarından oluşmuş olarak göste riliyor. Fakat, m ve n düğüm yerine, çevre ola rak da alınabilir. Aynca, m ve n düğümündekl mügterek elemanlar birleştirilerek de bir model kurulabilir. Eğer, MI ve n modelde çevre olarak ele alınırsa, m'yinci çevrenin Turan katsayıla rı; (Elektrikte eleman akım yönleri), çevre akı mı İle aynı yönde İse ( + 1 ) , zıt yönde iste (—1) değerini alacaktır.

Bu yazıda, [A] matrisinin elemanlarını, [L] ı indüktans ters matrisinin elemanlarının sıralanış tarzına benziyecek şekilde düzenlendi ği önemle hatırlatılır!...

Şimdiye kadar açıklananlarla, kuplajh halde

Düğüm Admitans Matrisi, (*) ve Kesitleme Admitans Matrisi, (») [L.] 1 indüktans ters mat risinin kofaktörleri cinsinden devreden bakıla

rak kolayca yazılabilir. Bir elektrik devresinde iki, üç, dört ve ilâh. kuplajlı indüktanslann bu lunması halinde; ikili, üçlü, dörtlü ve İlah. in düktans ters matrisine tekabül eden [A] matri sinin elemanlarının tabloları hazırlanabilir. Böy lece, kuplajlı halde Admitans Matrisi hesaplan ması için harcanacak zaman minimuma indi rilmiş oluyor.

Ayrıca, Kuadratik Formların anlamlandırıl masında, geometrik eğik eksen yoluna (*) baş vurulacağına, yukarıda açıklanan elektriksel mo del metoduna da başvurulabilir.

Duyuru :

Elek. Y. Müh. Hâmit ÇAÇUR'un yardım ve teşvikleri olmadan bu çalışma en son Igekllne ulaşamazdı.

Referans :

1. Prof. (Dr. Tarık özker «Devre Analizi Ders notları», l.T.U.

2. Eren H. Başaran, Hâmlt Çaçur «KuplajU halde Düğüm • Admitans Matrisinin devreden bakılarak kofaktörler cinsinden yazılması için önçabşma» 1963, yayınlanmamıştır.

3. Eren H. Başaran «Kuplajlı halde Kesitleme Admitans Matrisinin devreden bakılarak ko faktörler cinsinden yazılması» 1966, yayın lanmamıştır.

4. E. A. Guillemin «The Mathematics of Circuit Analysis,» 1959, John Wlley and Sons.