DAĞITILMIŞ PARAMETRELİ RC DEVRELERİ

UDK: 517.5:621.372.5

Dağılmış Parametreli RC Devrelerinin Ortogonal Fonksiyonlar

Kullanılarak Sentezi

Dr. SÜLEYMAN PENBECI O.D.T.Ü.

ÖZET Bu tebliğde ûniform dağılmış parametren RC ve RCG (kısaca URC ve URCG) devrelerinin ortogonal fonksiyonlar kullanmak suretiyle yaklaşık se?ı tezine ait bir metod takdim edilmektedir. Bu me tod bütün rasyonal veya irrasyonal devre fonksiyonlarının gerçekleştirilmesine uygulanabilir. Yakluşık gerçekleştirme işlemi, URC ve URCG devrelerinin toplu R ve C elemanlarıyla gösterilmesini sağlıyan bir kompleks frekans değişkeni transformasyonundan sonra yapılmaktadır. Böylece bu genel sentez metodu URC vr URCG devrelerinin çok kısıtlı gerçekleştirme şartlarının tamamen ortadan kalkmasını sağlar. Tebliğin sonunda, -metodu aydınlatıcı mahiyette, devre giriş ve transfer fonksiyonlarının gerçekleştirilmesini gösteren örnekler verilmiştir. Bu örneklerin pratik olarak entegre devre lere de tatbiki mümkündür

SUMMARY İn tlııs paper an approiımate synthesıs method of distributed RC and RCG netıuorks -usıng orthogonal functlons ıs presentcd The method ts applied in a transformed complejc domaın in ıvhıclı dıstnbuled RC and RCG netuorks can be represented by lumped R and C 'dements Thıs method can be u?ed far the realısatıon of ratıonal or ırrational netıvork functıons Examples are gıven to ülustrate the method

I. GÎRtŞ Dağılmış parametreli RC devrelerinin analizi bir çok araştırıcılar tarafından yapılmıştır[1-14]. Bu tebliğlerde yayınlanan neticeler daha ziyade iki uçlu ünıform ve üniform olmayan dağılmış parametreli RC devrelerinin devre parametrelerinin bulunması ve bu devrelerin devamlı ve geçici cevaplarının incelenmesi üzerindedir. URC devrelerin sentezi üzerinde de [bir kaç tebliğ yayınlanmıştır. [15-19] Bu tebliğlerde kullanılan genel metod, bir kompleks frekans değişkeni transformasyonu ile, verilen URC devre fonksiyonunu başka bir kompleks düzleme transfer ederek bir fonksiyonun rasyonel bir hale getirilmesidir. Sentez işlemi transfer edilmiş kompleks düzlemde bilinen toplu eleman sentez ınetodları kullanılarak yapılır. Böylece elde edilen devrede toplu elemanlar URC devre elemanları ile değiştirilerek sentez işlemi tamamlanmış olur Burada en önemli nokta, bu metodların ancak kompleks frekans değişkeninin hiperbolik fonksiyonunun rasyonel fonksiyonu olan devre fonksiyonlarına tatbik edilebilmesldir. Bu ise çok kısıtlı bir fonksiyon sınıfıdır. Dolayısıyla bu metodlan kullanarak URC devrelerinin genel devre problemlerine uygulanması çok zordur. Halbuki bu tebliğdeki yaklaşık sentez metodu bütün bu kısıtlamaları orta-

Elektrlk Mühendisliği 169

dan kaldırmaktadır. Böylelikle ortogonal fonksiyonlar kullanarak URC ve URCG devreleriniher türlü rasyonel ve irrasyonel devre fonksiyonlarının gerçekleşmesinde kullanılması sağlanmaktadır.

URCK

ŞEKİL 1.

URCA

II. URC ve URCG DEVRELERİNİN DEVRE ELEMANI OLARAK KULLANILMASI

Birim uzunlukta dağılmış parametreli bir devrenin empedans matrisi aşağıdadır :

Cschy

Z=Z

(D

Csch

Burada ZQ, bu devrenin karekteristik emp'edansı ve y da propogasyon sabitesidir URC devreleri için Zo = V/cs, y = Vrcs ve URCG devreleri için Zo = yr/(cs+g), y,- vr(cs+g) bağıntıları vardır. Burada r, c ve g sırasıyle toirim uzunluktaki devrenin direncini, kapasitesini ve iletkenliğini göstermektedir. URC devresinin çıkış uçları kısa ve açık devre yapıldığında giriş empedansı, (1) numaralı bağıntıdan, sırasıyla:

= Zo

(2a)

Z.fl = Z c

C0th

(2b)

bulunur. Toplu RC (veya RL) devrelerine ait sentez anetodlarının, URC devre sentezine tatbikini sağlamak için aşağıdaki transformasyon işlemleri kullanılmalıdır.

1 — Verilen F(s) devre fonksiyonu, empedans fonksiyonu ise \/s ile, admitans fonksiyonu ise l/Vs ile çarpılır ve eğer gerilim veya akım oranı transfer fonksiyonu ise hiç değiştirilmez. Böylece elde edilen fonksiyona F,(s) diyelim. Eğer F(s) bir URC devre fonksiyonu ise F,(s) de Vs düzleminde bir dağılmış parametreli LC devre fonksiyonudur.

2 — Frekans değişkeni üzerinde aşağıdaki transformasyonu yapalım.

S = tanh b Vs"

(3)

Burada W, URC elemanın resistans ve kapasitesinin çarpımına eşittir. Böylelikle elde edilcı F,(S) fonksiyonu S düzleminde bir toplu LC dev re fonksiyonuna tekabül eder.

3 — Elde edilen F,(S) fonksiyonu aşağıdaki frekans transformasyonları ile toplu RC devre fonksiyonuna çevrilir. Eğer F(s) empedana fonksiyonu ise :

F i (p)

=İP(S) S'

eğer admitans fonksiyonu ise :

F2(p) = S

(4)

ve eğer gerilim veya akım oranı transfer fonksiyonu ise :

F2(p).= F,(S) |S2 = p (2a) ve (2b) numaralı eşitliklerden p-düzleminde R değerindeki bir direnç ve C değerindeki bir kapasite S düzleminde Şekil: 1 de görüldüğü gibi sırasıyle kısa ve açık devreli URC devrelerine (kısaca URCK ve URCA) tekabül eder. Bu rada Vr/c = R ve y c / r = C eşitlikleri vardır. Eğer devre fonksiyonu F(s) İn URC devreleriyle gerçekleştirilmesi mümkünse, yani s'in hiperbolik fonksiyonunun rasyonel fonksiyonu ise bu durumda sentez işlemi F2(p) fonksiyonunun topm

devreleriyle gerçekleştirilmesi ve toplu

R ve C elemanlarının URCK ve URCA elemanlarıyla değiştirilmesinden ibarettir. Fakat genellikle F(s) bir URC devre fonksiyonu değildir ve

dolayısı ile F2(p) fonksiyonunun toplu ,RC devreleriyle tam olarak gerçekleştirilmesi imkânsızdır. Halbuki eğer F2(p) fonksiyonu bir sonraki kısımda gösterilen uygun ortogonal fonksiyonlarla yaklaşık olarak hesaplanırsa elde edilen F2(p) toplu RC elemanlarıyle gerçekleştirilebilir.

URCG devreleri için yapılacak transformasyonlar önce kompleks frekansın —g/c kadar kay. dırılması ile başlar. Geri kalan işlemler URC devreleri için anlatılan şekildedir.

IH. KOMPLEKS DÜZLEMDE BİR FONKSİYONUN ORTOGONAL FONKSİYONLAR KULLANARAK YAKLAŞHİ HESAPLANMASI îlk önce ortogonal fonksiyonların reel düzlemdeki tanımından bağlıyarak kompleks düzlemdeki tanımını elde edelim.

Tanım : Bir reel t değişkeninin fonksiyonlarından meydana gele.ı [f,(t)] grubunu ele alalım. Bu grubun elemanları arasında :

S f (t).fk(t)dt =

-1 eğer j = k

(5ı

-0 eğer J

bağıntısı varsa, bu fonksiyonlara ortogonal fonksiyonlar denir. Eğer f,(t), t,(t) ve f , ( t ) . y t ) fonksiyonlarının Laplace transformları varsa, Parserval teoreminden :

CO

C

+

ICD

Jf,(t).f2(t)dt=-iT

lP|(^).F2(fl) dds

?

c-icT'

<«

bağıntısı elde edilir. Burada Re s > c; için F,(s) = £ [ f , ( t ) ] , R e s > ca için F2(s) ^ £ [ f a ( t ) ] ve Cj =S c =S Cj bağıntıları vardır. Buna dayanarak ortogonal fonksiyonların kompleks düzlemdeki tanımı aşağjdaki şekli alır.

Tanım: Bir kompleks s değişkeninin fonksiyonlarından meydana gelen [F^s)] gurubunu ele alalım. Bu gurubun elemanları arasında :

L fa-cfıoo s).Fk(s) ds =

(7) eğer j = k

c—i»

•0 eğer j £k

bağıntısı varsa bu fonksiyonlara ortogonal fonksiyonlar denir. Biz bu tebliğde, aşağıda tanım-

ladığımız URC devre sentezine uygun bir kısım ortogonal fonksiyonlar* kullanacağız.

Tamın : Uygun Ortogonal Fonksiyonlar :

Eğer bir ortogonal fonksiyonun laplace transformu (1) kompleks frekansm reel katsayılı rasyon'el fonksiyonu ise ve (2) kutupları kompleks frekans düzleminin, yalnız sol yansındaysa bu fonksiyonların meydana getirdiği guruba uygun ortogonal fonksiyonlar gurubu denir. Yalnız negatif reel veya yalnjz imajiner kutupları olan uygun ortogonal fonksiyonlara da sırasıyle uygun RC veya uygun LC ortogonal fonkslyonlan diyeceğiz.

Şimdi uygun RC ortogonal fonksiyonlarını inceleyelim. Bu fonksiyonların kutupları negatif reel eksen üzerinde olduğundan toplu R ve C sentez teknikleri kullanarak gerçekleştirilmeleri mümkündür. Aşağıda bu fonksiyonlara üç örnek vereceğiz.

a) Legendre fonksiyonları :

1 P ( v ) = 2"n!

d" (V—1)"

dvn

(8)

burada v yerine v = e - a x bağıntısı ile x değişkenini kullanarak uygun Legendre fonksiyonlarını tarif edelim :

e (x)=Pfe-ax)

- (9)

b) Jacobi fonksiyonları :

(10)

J n(p,qq(<, Jv-){"l=)

v1-q(l.v)q-P •• • (<}-|-n—1)

av"

, q+n-l

ve uygun Jacobi fonksiyonları:

g-n(x) •= (—l)n V2a(n+1)3 e-«* jn(2, 2, e->

c) Laguerre fonksiyonları :

L (v) =ev. dvn

V n

e-v

(11)

tadil edilerek :

gn(x) = e-»« Ln(ax)

(12)

uygun laguerre fonksiyonları elde edilir. Bu fonksiyonların laplace transformları aşağıdaki şekildedir.

a) Uygun Legendre fonksiyonları : 1

Go(p) =-

G

(p)

=

(p—a) (p—3a) ... p(p+2a) (p+4a)

[p—(2n—l)a] ... (p+2na)

(13)

b) Uygun Jacobi fonksiyonları :

Elektrik Münendlsllğl 169

Gn(p) = (—1)" V2a(n+1)3 .

I Cmn p+(m+l)

m=l,2...n n=0,1, 2, ...

(14)

ve : (m+n+1) !n !

cmn = (-D" m! (n—m)! (m+1)! (n+1)! c) Uygun Laguerre fonksiyonları :

Gn(p) = (p+a)n+ı , n=0,l,2, ...

(15)

Verilen F2(p) fonksiyonunun bu RC uygun ortogonal fonksiyonlar cinsinden ifadesi, yani :

»

(16)

mümkündür. Burada katsayılar aşağıdaki bağıntılardan bulunabilir.

a) Tadıl edilmiş Legendre fonksiyonları için:

= P2(a)

(2n+3) ...

2n(2n—2)

. F2,[(2n+l)a]

(2n—1) (2n+l) . . (4n—3)

(2n—2) (2n + 4) .. 2X4

F,[(2n—

+ (12-n—3) (2n+l) ... (4n+l) (2n—4) ... 2X2x4

. F2[ (2n-3)a]

l x 3 x ... 2X4x . . X2n

(17) n=l,2,...

b) Tadıl edilmiş Jacobi fonksiyonları için :

(18)

Cn = (—l)n V2a(n+1)3 V C m n F 2 [ ( m + l ) a ]

c) Tadil edilmiş Laguerre fonksiyonları için:

C=

(19)

Burada bn, F2(p) fonksiyonunun p=0 noktası etrafında Taylor Serisi açınım katsayılarıdır.

Şimdi f2(x)=X-' [F2(p)] bağıntısından ve (16) numaralj' eşitlikten :

f,(x) = £ Cng

(20)

Bağıntısını yazabiliriz Gn(p) fonksiyonlarının kutupları p-düzlenıinin sol yansında kaldığından gn(x) fonksiyonları kozal fonksiyonlardır. (20) numaralı eşitliğin doğru olabilmesi f2(x) fonksiyonunda kozal ve L2 fonksiyon gurubuna * dahil olması şarttır. Bu şartın yerine gelmesi için f(t) = £ - i [ F ( s ) ] fonksiyonunun kozal ve L2 fonksiyon gurubuna dahil olması' kâfidir Başka bir deyişle verilen F(s) fonksiyonunun gerçekleşebilir devre fonksiyonu olması gerekir. Entegral-kare-hata (EKH) şöyle tanımlanabilir :

E K H = I Lf,(x) - f (x)]2 dx

(21)

Burada f(x) istenen fonksiyon ve fy(x) ise f(x)'e yaklaşık olarak bulunan fonksiyondur. Şimdi f(x) fonksiyonunu ortogonal fonksiyonlarla açınım yapalım. Gösterilebilir ki [20] bu açınımın sınırlı sayıdaki terimleri alınır fy(x) olarak kullanılırsa, optimum EKH elde edilmiş olur. Yani f (x) in ihtiva ettiği terimlerin sayısı arttıkça EKH küçülür. Ayrıca bu durumda kompleks düzlemde de EKH'nin optimum olduğu Lee [24] tarafından gösterilmiştir.

IV. URC ve UBCG Bt.EMANL.ABI KUL-

LANARAK DEVRE SENTEZİ Fg(p) fonksiyonunun tadil edilmiş Legendre ve Jacobi fonksiyonlarıyla açınımından elde edilen yaklaşık fonksiyon aşağıdaki şekilde yazılabilir :

-NH

I F,(p) = —1=0

-N"

P+a,

I P+a,

— j=o

= [ F + ( p ) ] — [ F - ( p ) ] (22)

A~> a, ve a negatif olmıyan reel sabitelerdir. Eğer F2(p) bir giriş tmpedans fonksiyonu ise Şekil 2 (a) da görülen aktif RC devreslyle, eğer admitans fonksiyonu ise Şekil 2(b) deki devre ile gerçekleştirilebilir.

ÖRNEK 1. Giriş Empedans Fonksiyonu Gerçekleştirilmesi :

Şimdi bu metodu, üçüncü dereceden bir Buttenvorth filtresinin giriş empedansı olarak gerçekleştirilmesine tatbik edelim. Empedans fonksiyonu :

L2 fonksiyon gurubu, (0, co ) arasında karelerinin lebesque entegrali bulunan reel kıymetli fonksiyonlardan meydana gelir.

f

•

—»

1— NIC (a)

Fİp) F-(p)

SEKİL 2

Z(S) = 33 + 232+2S + 1

(23)

üzerinde II. kısımdaki transformasyon işlemlerini yaparsak :

F2(p) tanh-ı Vp

(24)

(tanh-

-ı Vp)4+2(tanh-'VP)2+l

elde ederiz. Burada b değeri 1 olarak alınmıştır. (13) numaralı bağıntıda görüldüğü üzere tadil edilmiş Legendre fonksiyonlarının p=o noktasında birer kutupları vardır. Halbuki Z(s) bir alçak geçiren filtre olduğundan bu kutpun kaldırılması lâzımdır. Bunun için (24) numaralı eşitliğin her iki tarafı komplex frekans p ile bölünür. Elde edilen F2(p)/p fonksiyonun tadil edilmiş Legendrte fonksiyonlarıyla açınımının ilk altı terimi aşağıda gösterilmiştir : .

F2(p) _ 0.91

0.44 (p—0.55) P (p+0.11)

0.692 (p—0.55) (p—0.165)

p(p+0.11) (p+0.22)

(25)

0.643 (p—0.55) ... (p—0.385)

p(p-f-O.ll) ... (p+0.33)

0.004 (p—0.055) ... (p—0 495)

p(p+0.11) ... (p+0.44)

1.208 (p—0.55) ... (p—0.605)

p(p+0.11) ... (p+0.55)

1.958 (p—0.55) ... (p—0.715)

p(p+0.11) ... (p+0.66)

Burada a=0.55 ve n=6 olarak alınmıştır. F(p)/p ve F(p)/p fonksiyonlarının değerleri p değişkenin 0.1 den 0.9 a kadar reel kıymetleri için aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

Tablo : 1

Fa(P)

0.1 8.3662

0.2 3 3993

0.3 1.7844

0.4 1.0151

0 5888

8^3342 3 4002 1.7843 10151 0 5888

0.3 0.7 0.8 0.9 •

0.3358 0.1816 0.0879 0 0323

Bu tabloda görüldüğü gibi p düzleminde yaklaşık fonksiyonla orıginal fonksiyon değerleri arasındaki fark çok azdır. Şimdi (25) numaralı denklemde verilen F2(p) fonksiyonunu (22) numaralı bağın tıdaki şekle uygun yazalım :

2.2 F,(p) = 2.298 + p + 0.11

p+0.33

1920 p+0.55

859 1

.p+0.22 p+0 44 p+0 66

(26)

F2(p) fonksiyonunun toplu RC elemanlarıyla gerçekleştirilmesi 3(a) şeklinde gösterilmiştir. Bu s düzleminde gene 3. şekilde gösterilen URC d?vresine tekabül -eder. (22) numaralı eşitlikteki *'^(P) ve F7~ (p) fonksiyonları Foster merdiven tipinde gerçekleştirilmiştir. Bunun avantajı, iki tabakalı dağılmış parametreli devreler kullanıldığında çok az bir saha kaplaması ve dolayısıyla ekonomik oluşudur. Verilen Z(s) fonksiyonu ile yaklaşık o'arak gerçekleştirilen Z(s) fonksiyonlarının genlik ve faz eğrileri 4. Şekilde gösterilmiştir.

ÖRNEK 2. Transfer Admitans Fonksiyonu Gerçekleştirilmesi :

Bir Gausian [26] filtrenin frekans karakteristiği :

H(jw)

• A e—aw2

—jwt0

olup genlik ve faz eğrileri 5. Şekilde verilmiştir.

Bizden bu filtrenin transfer admitans devre fonksiyonu olarak gerçekleştirilmesinin istendiğini ve

a = l , to=30, A o = l verildiğini kabul edelim. Devre fonksiyonu :

— y 1 2 •=

(27)

şeklinde yazılabilir, n. kısımda gösterildiği gibi gerekli transformasyonlar yapıldıktan sonra :

exp [(tanh-ı VP)4]

= Vp tanh-'

Vp exp 30

-=r(tanh-ı

(28)

0.3358 01816 0 0877 0.0320

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun tadil edilmiş. L"gendre fonksiyonları ile açınımı aşağıdadır :

0.736 0.853(p—0.01)

F2(p) =

p(p+0.02)

0.316(p—0.01) (p—0.03) p(p+0.02) (p+0.04)

0.471 (p—0.01) (p—0.03) (p—0.05) p(p+0.02) (p+0.04) (p+0.06)

Burada n = 3 ve « = 0.01 olarak alınmıştır. Bu fonksiyonu (22) numaralı eşitlikteki şekle uygun yazarsak :

r0.897 F.(p) = [ p

2.999

6.80?

p+0.02 p+0.06

r 10.661 "I (29)

p+0.04 J elde ederiz. Bu bir toplu RC admitans transfer fonksiyonudur ve bir negatif empedans konvertörü (NIC) kullanılarak gerçekleştirilmesi Şekil (6 a) da gösterilmiştir, s düzleminde — y,2(3) fonksiyonunun URC 'elemanlarıyle gerçekleştirilmesi ise şekil (6 b) de gösterilmiştir. Bu fonksiyonun ve istenen orijinal — v ı 2 ( s ) fonksiyonların genlik ve faz eğrileri 7. Şekildedir. Ayrıca bu eğriler n = 4 ve n = 5 değerleri için de verilmiştir Görüldüğü üzere n'ın değeri yani gerçekleş tırmede kullanılan eleman sayısı arttıkça eğriler orijinal — y]2(s) eğrisine yaklaşmakta ve hata azalmaktadır.

Yukarda verilen gerçekleştirme metodları tadil edilmiş Jacobi ve Laguerre fonksiyonları ile de uygulanabilir. Laguerre fonksiyonları için verilen fonksiyonun II. kısımda gösterildiği gibi transformasyonundan sonra elde ledillen F2(p) fonksiyonunun p = 0 noktası etrafında Taylor serisi açınımj mümkün olmalıdır. Şimdi buna bir örnek verelim :

ÖRNEK 3. Gerilim Oranı Transfer Fonksiyonu Gerçekleştirilmesi :

Gerçekleştirilmesi istenen fonksiyon :

7.84x10-8

12 S

(tanlv» \/s + 0.16)V2

(30)

2.0 1530 3500

295 1990

0.-455 1.99x10 5 4x10

1.54x10~2 1Ux10'3 1.15x1Ö3

2.298

—AV-,

2.2 501 1920 " c = ı / 2

-vWH

l/\A Aİ_I

VVV^T r=2.298

2.0

»-V\AA-«'L_ AVAv/vN—

1530 3500

878 859

-vws —A/\/k—

» AV^ 295 1990 1320

•>

ŞEKİL 3}

olsun. n. kısımdaki transformasyonları tatbik edersek:

F,(p)<= — 7.84X10-8

(31)

pa + 0.16)1/2

elde ederiz. Bu fonksiyonun Laguerre fonksiyonlarıyla açınımı yapılırsa:

1.704

3.15p

0.205p2

(p +0.4)2 (p + 0.4)3

2.075p3

0.38p4

0.53ps

(p +0.4)4 ' (p +0.4)5 + (p + 0.4)-s

0.754p*

0.474p7

0.193p8

(p,+0.4)7 ' ' (p rf 0.4)6 ~" (p + 0.4)»

O.Otp»

(p + O.4)io

(32)

elde edilir. Burada a = 0.4 ve n = 9 olarak alınmıgtır. Bu fonksiyonun gerçekleştirilmesi 8. Ştekilde gösterilmiştir. Şekilde A, ve B blokları operasyonal amplifikatörlere tekabül eder. Bunlardan B'ler ayırım (fouffer) amplifikatörleri olup kazançlarj. birdir. Kolaylıkla gösterilebilir ki n'lnci ayırım amplifikatörünün girişinde voltaj oranı pV(p + 0.4)n+ı dir. Orlginal fonksiyonun Laguerre fonkslyonuyla açınım katsayılan, A operasyona! amplifikatörlerinin kazançları1 olarak alınmıştır.

V. SONITÇ

Giriş ve transfer devre fonksiyonlarının URC ve URCG devre elemanları kullanarak yaklaşık sentezi İncelendi. Görüldü ki bu yaklaşık metod URC devrelerinin gerçeklenmesindekl kısıt-

Elektrlfc MunendlsUBl 169

1.0

0.5

UJ i -05

Q

-1.0

M

1.0 \ 20 4 0 OL»

/|/yArgZ(j0U) /

SEKİL 4

-OvU

ŞEKİL S

lamaları ortadan kaldırarak bu devrelerin pratik birçok sentez probleminde kullanılmasını sağlamaktadır. Ayrıca bu metod çok genel olup bü-

tün rasyonel ve irrasyonel devre fonksiyonlarına tatbik edilebilir. Tebliğde bu husus çegltli sentez örnekleriyle aydınlatılmıştır.

1.19

—nps U0.0w06\6A0r3nAn j

U-00088-0.U7- -

'000374 0.938 '

L—

rr1.19

1.0 r-f

ŞEKİL. 6 l-y12(jvJU)l

-70

ŞEKİL 7.

Amplifikatörlerin kazan,

cı

g = 4.265 A1 g = 3.154

g =1.0 AB

g =-0.193. Aq gAA1=0- 0 . 0 4

$EKIL 8.

TOPLAM DEVRESİ C=1/2

BİBLİYOGRAFYA

[1] W. Happ and P. Castro, «Dtstrtbuted parameter circuits and microsystems electronics», Proc 1960 Nat'l Electronics Conf. vol. 16, pp. 448 - 460.

[2] M. J. Hellstrom,, «Equivalent dlstrlbuted RC networks or transmtssion llnes», İRE Tran». Circuit Theory, vol. CT)-fy pp. 247-251, September 1962.

[3] K. N. Heizer, Dlstributed RC networks with rational transfer functions», EBE Trans. Circuit Theory, vol. CT - 9, pp. 356-362, December 1962.

L4]

, «Ratlonal parameters with distributed nctvrorks», IEEE Trans. Circuit

Theory (Correspondence), vol. CT -10, pp

531-532, December 1963.

Elek-trik- Mühenaisllğl 169

[5] R. E. Parkin, «Approximations to the equatlons describing distributed RC network», IEEE Trans. Circuit Theory (Correspondence), vol. CT -12, pp. 598-601, Dfecember 1965.

[6] W. M. Kaufman and S. J. Carret, «Tapered distributed filters>, ERE Trans. Circuit Theory, vol. CT - 9, pp. 329 - 336, December 1962.

[7] K. L, Su, «The trigonometrlc RC transmission ldnesj, 1963 IEEE Internat'l Conv. R e c , pt. 2, pp 43 - 55

L8] M. S Chausl and G J. Herskowitz, «The transient responsa of tapered distributed RC networks», IEEE Trans. Circuit Theory (Oorrespondence), vol. CT- 10, pp. 443445, September 1963.

[9] S. C. Dutta Roy, «Some exactly solvable nonunlform RC lines», IEEE Trans. Clrooit Theory (Correspondence), vol. 12, pp. 141 142, March 1965.

[10] K. L. Oehler and W. C. Duesterhoeft, Jr., «A gTaphlcal deslgn for exponentially tapered RC drcuits», IEEE Trans. CÜrcutt Theory (Correspondence), vol. CT-12, pp. 288 - 290 , June 1965.

[11] L. Gruner, «The steady - state characterlstics of nonunlform RC dlstrlbuted networks and lossless lines», IEEE Trans. Cirooit Theory, vol. CT - 12, 241 - 247, June 1965.

[12] J. J. Kely and M. S. Chausl, «Tapfered distributed RC networks with slmllar immittances», IEEE Trans. Circuit Theory. vol. CT -12, pp. 554 - 558, December 1965.

[13] E. N. Protonotarios and O. Wlng, «Theory of nonunlform RC llnes, Parts I and II», IEEE Trans. Curcuit Theory, vol. CT-14, pp. 2 - 20, March 1967.

[14]

, «Computatlon of the step response

of general nonunlform RC dlstrlbuted network», IEEE Trans. Circuit Theory (Correspondence), vol. CT-14, pp. 219-221

June 1967.

[15] R. W. Wyndrum, Jr., «The exact synthesls of dlstrlbuted RC netvrorks», Dept. of Elec. Engrg., NeVr York Unlverslty, New York, Tech. Rept. 400 - 76, May 1963.

[16] R. p. O"Shea, «Synthesls uslng distributed RC net)works», IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-12, pp. 546-554, December 1965.

[17] J. J. Stein, J. H. Mulllgan, Jr., and S. S. Shamis, «Realizattorv of transfer functlons uslng unlform RC dlstrlbuted networks with common groundı connecttons», Dept. of Elec. Engrg., New York Universlty, New York, Tech. Rept. 400-140, June 1966.

[18] J. O. Scanlan and J. D. Rhodes, «Realizability and synthesls of a restrlcted class of dlstrlbuted RC neiworks», IEEE Trans. Circnlt Theory, vol. CT-12. pp. 577 - 585, December 1065.

[19] J. D. Rhodtes, «Transfer functlon realizatolllty of grounded URC netvvorks», IEEE' Trans. Circuit Theory, vol. CT -14, pp. 129-139, June 1967.

[20] R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physlcs, vol. 1. New York : Intersdence, 1953.

[21] V. O. Mowery, «On hypergeometrlc functions İn iterated netvrorks», IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT -11, pp. 232 - 246, June 1964.

[22] A. Papoulis, «A new ımethod of Inverslon of Laplace transform», İJuart. App. Math., vol. 14, pp. 405-416, 1956.

[23] H. L. Armstrong, «On the representatlon of translents ıby serles of orthogonal functlons», BRE Trans. Circuit Theory, voL CT-6, pp. 351-354, December 1959.

[24] Y. (W. Lee, Statistlcal Theory of Cononnnications., New York : Wiley, 1960.

[25] S. Seshu and N. Balabanlan, Linear Network Analysis., New York : WUey, 1959.

[26] A Papoulls, The Fourier Integra] and Its Applications., New York McGraHv Hill, 1962, p. 004.

M^SİMTAŞ

^ ^ F Seri İmalât Sanayii DELİKLİ FİŞ BANAN Per. Sat. Fi 165

P.K. 696 Karalcöy-lst.

^SİMTAŞ

^ ^ r Seri İmalât Sanayii DELİKLİ PABUÇ Per. Sat. Fi. 165 krç

P.K. 696 Karaköy-lst. (E. M. — 437)

Elektrik Mühendisliği 161