BAĞIMLI KAYNAKLARA GÖRE DEVRE FONKSİYONLARININ DUYARLIKLARININ BULUNMASI

Bağımlı Kaynaklara Göre Devre Fonksiyonlarının Duyarlıklarının Bulunması*

Yurdakul CEYHUN, Mehmet EYlîP ODTÜ

ÖZET

Bu yazıda çok uçlu lineer elemanlardan oluşmuş n kapılı bir N devresinin kapılarında tanımlanacak bir F (s, q) devre fonksiyonunun pay ve paydasının devreyi oluşturan herhangi bir (k + 1)- uçlu elemanın katsayısı q'ya göre en fasla k'inci dereceden bir polinom olarak ifade edilebileceği gösterilmiştir. F (s,q)'nun bu özelliği daha sonra devredeki bağımlı kaynakların katsayısına göre duyarlığının bulunmasına uygulanmıştır.

SUMMARY in this paper it ıs shown that an n-port network N composed of linear k+J— terminal components wıth q being any öne of their parameters has network function F (s, q) defvned on its porte in bi^polynominal form in q. Where the degree of either the denominator ör numerator polynominal is at most of dcgres k. This property of F (s, q) is then applied to the computation of network function sensitivities with respect to q when q is the coefficient of a controüed source.

1. GENEL n-kapılı, Ck+1)- uçlu lineer elemanlardan oluşmuş bir N devresi düşünelim. F (s, q), N'nin l ve 2 diye işaretleyeceğimiz herhangi iki 'kapısı üzerinde tanımlanacak t>eş devre fonksiyonundan biri olsun. Daha açi'k bir deyişle,

'< <*« •

(giriş empedansı)

(la)

F2 (s, q) = V2 (s) V, (s)

I2 (s)

(gerilim transfer fonksiyonu)

de)

I, (s) V2 = O

(akım transfer

fonksiyonu) Elektrik

Mühendisliği 196-197

I2 (s) V, (s)

F4

V2 = O

(gerilım-akım transfer fonksiyonu) (id)

V2 (s) I, (s)

F5

(akım-gerilim transfer fonksiyonu) (le)

Giriş admitansı giriş empedansının bir bölüşüne eşit olduğundan Ft (s, q) için varılacak sonuçlar 'kolaylıkla giriş admitansı için de uygulanabilir. Dolayısı ile bu devre fonksiyonunu aşağıdaki incelemede ihmal 'edeceğiz. Denklem (l)'de, s Laplas transformunun 'kompleks frekansı ve q herhangi bir elemanın katsayısıdır. Şoyleki, uç denklemleri Tablo l'de gösterilen

elemanlar için q; R, sL, --- C, n, 8, m, <x, gm, r 'den herhangi birisi olabilir.

* Odamızın hazırladığı dizi teknik konferanslar serisinden, 19 Aralık 1972 Sah günü Saat 14' re Mimarlar Odası Konferans Salonu'nda verilmiştir.

Direnç

TABLO 1.

\j

I

Kondensatör

w .1 , sc '

Endüktans İdeal transformatör

Jiratö'r

Gerilim kontrollü Gerilim kaynağı

Akım kontrollü Akım kaynağı Gerilim kontrollü Akım kaynağı

Akım kontrollü Gerilim kaynağı

o ------

^ ----------o

V = SLI

Vjî <

*— Î2

' il " c o -r. no

"vı "l

İT] — 12 ) C (v2

V2 = "o

K" -o'

v,1

*^tv2

n—

v,t

CJ»v2

fi~* h-*-

"h"

"vı 1 h

il

0 <X

vı

12 = 0 0

fi» iı —

V2 s

Tfj\ 0

. Münenaisligı 196-197

Şimdi, Şekil l'de gösterildiği gibi empedans parametrelerinin var olduğu 'kabul edilen (M bu varsayıma ilerde değineceğiz) N devresinden 2 uçlu bir eleman çıkararaık N'yi Nt ve N2 gibi iki devrenin bağlantısından oluşmuş kabul edelim. Her ne kadar N ilkin. n-Jtapüı düşünülmüş ise de, eğer sadece giriş emredansı bizi ilgilendiriyorsa (ıvl) kapı öldürülerek (atam kaynağı ile sürülen kapılar açık ve gerilim kaynağı ile sürülen kapılar kısa devre yapılara) N, Şekil la'da gösterildiği gibi tek kapılı olarak düşünülebilir ve N, ile N2'nin uç denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir,

V, V2V, (4)

Değişik F (s, q) lar için denklem (2), (3) ve (4) kullanılarak

r 7 _7 7 \

-ıı '-n — ^12 t-l\>

(5a)

F, (s, q) =

jj Z33 — Zn Z31) + qZ21 (•^23 ^31 - Z21 Zy) -

(5b)

(5c)

(2)

ve (3)

Keza ilgilendiğimiz F (s, q) eğer (Ib—le)'den biri olarak tanımlanmış ise (nr—2) kapı öldürülerek N, Şekil Ib'de gösterildiği gibi 2-kapıh olarak düşünülebilir ve N,'in uç denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

-- IH (a)

(b) Şekil 1.

F2 (3, q) = ^-^

('-22 ^33 — ^23 Zy) — 1^22

F4 (s, q) = D0 + q (Zu Z2-Z12 Z21) ki

burada D0'ın açık ifadesi Z33 + Z12 Zjj Z31 + Z13 Z21 Z32

^12 ^21 ^33

^13 ^22 ^31 —

F5 (s, q) = qZ2l

(Z. Z33 ~ Z, 23l) +

+

^23 ^32

elde edilir. Görüldüğü gibi Denklem (5)

F(..q)= D (s) D0 (s) + qD, (s)

şeklinde yazılabilir.

Diğer taraftan Tablo l 'deki 3-uçlu elemanlardan herhangi biri N'dön N2 olarak çıkarılırsa, geri kalan N, devresi F (s,q)'nun tanımına göre Şekil 2'de açıklandığı gibi empedans parametreleri cinsinden

(7)

Z3, Z3:

veya

(8)

ifade edilir. Şimdi değişik 3uçlu elemanların q'ları için F (s, q)'nun alacağı şekli inceleyelim.

v,-|

"1 |v,"

« 13 l. ^

)

Denklem (10e)'de N, devresinin admitans paraımetrelerinin var olduğu kabul edilerek empedans parametrelerine göre F5 (ş, q)'nun oldukça daha basit bir ifadesi verildi. Denklem (10)'dan görüldüğü üzere F (s, q) yine Denklem (6)'daki haldedir. Bu sonucun diğer üç tür bağımlı kaynak içinde aynı olacağı analiz sonunca gösterilebilir.

3. İDEAL TRANSFORMATÖRLER İÇİN

Eğer q bir ideal transformatörün tur oranı ise N2'nin uç denklemleri

lf -----Vl

v—

»••) HZ «J lH

-—V IV

— 'ı jv,

j [ V\ J

(11)

olur ve denklem (7),

(8) ve (ll)'den F

N (s, q) için g-snel

2 (s)

ifadenin

1 __

II

(b) Şekil 2.

2. BAĞIMLI KAYNAKLAR iÇiN

Eğer q gerilim kontrolü bir gerilim kaynağının katsayısı ise N2'nin uç denklemleri

(9)

O Oq O

halını alır. Denklem (7), (8) ve (9)'dan F(s,q) için aşağıdaki ifadeler bulunur.

D

qD, (s)+q'D2 (s)

(12)

olduğu görülür ki denklem (12) de eğer F (s, q) = F, (s, q) ise,

N0 (s) = Z13 Z31 - Z,, Z33

(13a)

N, (s) = Z,, Z32 + Z13 Z21 — Z,, ZM — Z12 Z3,

N

D0 (s) = — ZB

(13b) (13c) (I3d) (13e)

-Z

(13f)

D, (s) = Z32 - Zy D2 (s) = Zn

(14a) ZM —

veya F (s, q) = F2 (s, q) ise

(14b)

N0 (s) = Z24 Z41 - Z21 Zw

(14c)

N, (s) = Z2I Z43 — Za Z41 +

(14d)

Z24 Z31 (14e) (14f)

F, (s, q) = (Zn Z33-Z,3Z31)-q(Z11Z23-Z13Z21)

Z33 — (10a)

N2 (s) = Z23 Z,, - Z,, Z33 D0 (s) = - Z « D, (s) = ZM + Z<3 D, (s) = - Z33

(Z,, Z»-ZU Z41) +q(Z14Z3,-Z11 ZM) (10b)

21 Z*4— Z24 Z4l)

Z31 ~

F (s a) = 2 >4

F3 t s, q) -

44 — qZ34 (10c)

F fs a) 4

zı *t — z (Z24 Z« - Za Z«) + q (2a Z,, Z24 2n)

(10d)

F5 (s,q; = (xzı y u— y^ y^) + q (yaı y?4— y24 V3i)

F (s, q)'nun diğer tanımlara için de benzer ifadeler bulunabilir. Transformatör için varılan sonucun jiratör için de geçerli olacağı yine analizle doğrulanabilir. Daha genel bir deyişle N2, k+1 uçlu lineer bir eleman ve q da bunun bir katsayısı olsun, bu halde

2 q' N, (s)

i=0

(15)

2 q- D, (s) i=0

olacaktır. Şimdi, F (s, q)'nun q'ya göre duyarlığının ifadesini yazalım. Biliyoruz iki duyarlık fonksiyonu [ l ]

(10e)

TABLO 2.

F

Vl

F'=TT

Gerilim Kontrollü Akım Kontrollü Gerilim Kontrollü Akım Kontrollü Gerilim Kaynağı Akım Kaynağı Akım Kaynağı Gerilim Kaynağı

V2 I , = 0 V3 I2=0

"£ I2I3 I , = 0 V2 = 0

I, =0 I2=0

I2V3 I , = 0 V2 = 0

F - ^ I2=0

2~v,

3 "İL

4~v,

F V* F5T

I2

=0

V3V4 v, = o

V3 I, =0 V4 I , = 0

V3 V1 = 0

V4

V2 = 0 I3=0

V3 I , = 0 V4 I2=0

I3=0

I3 V 1 = 0 I4 I2=0

I3I4 I , = 0 V2 = 0 v3 = o

I3I4 V1 = 0 V2 = 0 V3 = 0

I3I4 I , = 0 I2 =0 V3 = 0

V4I4 v, = o

V4 I4 I, =0 V2 = 0 I3=0

I,=0 V2 = 0

V4I4 I , = 0 I2=0 I3=0

I3 v, = o

V4 I 2 = 0 V3 = 0

I3V4 I , = 0 V2 = 0 V3 = 0

I3V4 v, = o

V2 = 0 V3 = 0

I3V4 I , = 0 I2=0 V3 = 0

F<4 *-* I2=0

* - * V2 = 0

H F

V2 = 0

V2 V3

I2=0

V3V4 V2 = 0 I2=0 I3=0

V3V4 V2 = 0 I2 =0 I3=0

V3V4 V2 = 0 I2=0 I3 =0

•^ I2 V1 = 0 ıs V2 = 0

I2 =0

I3

I4

I2=0 V7 = 0 V3 = 0

V3=0

T3 =0

I3I4 I 2 = 0 V2 = 0 V3 = 0

I2=0 V2 = 0

I2 V3

V1 = 0 V2 = 0

I3 I 2 = 0

V4 V2 = 0 V3 = 0

I3V4 I 2 = 0 V2 = 0 V3=0

I3V4 I 2 = 0 V2 = 0 V3 = 0

F>=? I2 =0

V3 V4 V2 = 0 I2=0 I3=0

V4 V2 = 0

ı.

I2=0 I3 =0

I3 I 2 = 0 V4 V2 = 0

'n F (s, q) 3In q

q=m) Sqa bulunmak istenirse denklem (10b)'

q

3F (s, q)

(16)

F (S, q)

olarak tanımlanmaktadır. Denklem (15) ve (16) dan

«F Sq =

2 i q' FNl (s)

1=l k l + I q1 FNl (s)

% i q. FDl (s) l + E q> Fm (s)

den görüldüğü gibi Zn> Z14, Zj,, Z24, Z31, 2^, Z41 ve ZM olarak sekiz ölçmeye ihtiyaç vardır. Halbuki, bu yazıda önerilen yöntem kullanılır ise Fm (s) diıek bulunamıyacağından, bunun hesaplanabilmesi için Z21, Z^, Z31, Zw Z41 ve ZM ün bulunması lâzımdır ve ilâve olarak Tablo 2'den

FD1 (s) de tek ölçme ile bulunabilir, do-layısı ile s'ekiz yerine yedi ölçme yeterlidir. Görüldüğü üzere her nekadar F (s, q), F, (s, q) dan fanklı olduğu zaman ölçme sayısındaki kazanç çok büyük değil ise de, önerilen yöntem her zaman

daha az sayıda ölçmeye ihtiyaç gösterir.

(17)

Duyarlık hesaplanmasında çok kullanılan Director ve Rohrer metodunda [3], fiziksel devreden N0 (s) (s) = 4~-(« = 1.2 ...............t..a..mk)amen(1i8d)eal elemanlardan oluşmuş bir devre

D, (ş)

D, (s) - D0 (s) U=l. 2. .. . k )

(19)

örneğin; gerilim kontrollü gerilim kaynağının, kontrol katsayısı m 'ye göre duyarlık fonksiyonu aşağıdaki gibidir :

türetilmekte, duyarlık bu devre üzerinde yapılan analizlerle bulunmaktadır. Devre elemanlarının ideal leştirilmesiyle fiziksel devreden uzaklaşılmış ve analizlerde yapılan hata büyümüş oluyor.

Burada önerilen metodda ise duyarlığı hesaplanacak eleman hariç devre içindeki hiç bir elemana dofcunuknamaktadır. örneğin bir dev-

F S=

mFNi

1+mF Nl ,

mFn l+mFn

renin duyarlığı işlem yükseltecinin kazanç katsayısına göre hesaplanacaksa tnı eleman gerilim kontrollü gerilim kaynağı olarak düşünülür ve devrenin 'kapılarında önerüen ölçmeler

Giriş empedansı, devre fonksiyonu olarak alınacak olursa, duyarlık

yapılarak duyarlık bulunur. Dolayısıyla yapılan hata

1. tşlem yüksteltecinin idealleştirilmesinden

m (-*!•:,')

2. Kullanılan ölçü aletlerinin toleransından gelmektedir. Bu yöntemin bir üstün tarafı ise istenilen bir frekansta duyarlık fonksiyonunun

l

+m

--İ|V. =

çabuk yoldan bulunabilmesidir. Açıklanması gereken diğer bir nokta da en baştan beri devrenin Z veya y parametrelerinin

varlığının kabul edilmiş olunmasıdır. Bu varsa

yım herhangi bir kısıtlama olamaz, zira düşü

m H;;:?)

nülen devreler fiziksel devrelerdir ve idealleş tirme sadece katsayısına göre duyarlığı incele necek elemanlarda yapılmaktadır ve onların da

uç denklemlerine böyle bir ön şart konmamak-

H l+m t::)

tadır.

KAYNAKLAR

şeklinde yazılabilir ki burada sadece iki ölçmeye ihtiyaç vardır. Tablo 2 incelenecek olursa devre fonksiyonunun giriş empedansı alınması durumu hariç FN1'in değerini bulmak için bir kapıda hem akım hem de gerilimi sıfır yapmak gerekli. Bu da fiziksel olarak imkânsız görülmektedir. Fakat devrenin kapılarına patalojik elemanlar olarak bilinen nulatör ve noratör [2] bağlıyarak bu problemin çözümlenebileceği düşünülmekte ve bu 'konudaki çalışmalar devam etmektedir.

Diğer bir taraftan, örneğin bir gerilim kontrollü gerilim kaynağının katsayısına göre (yani

1. Bode, H. W.: "Netvvork Analysis and Feedback Amplifier Design", D. Van Nostrand, 1945.

2. Davies, A. C.: "The Significance' of Nullators, Norators and Eullors in ActiveNervvork Theory", The Radio and Electro nic Engineering, Kasım 1967, s. 259-267.

3. Director, S. W. ve Rohber, R. A.: "Automated Network Design: The Trequency Domain Case", IEEE Tnans. on Circuit Theory, Vol. CT-16, 1969, S. 3, s. 330-337.