BASAMAKLI EDİLGİN RLC DEVRELERİNİN ÇÖZÜMLENMESİNDE YENİ OLANAKLAR

basamaklı edilgin RLC devrelerinin çözümlenmesinde yeni olanaklar

Enis TÜYENÎ Yurdakul CEYHUN

UDK: 621. 3. 01

ÖZET

RLC elemanlarından oluşan basamaklı devrelerin belirtenlerinin (determinant) özelliklerine dayanan çözümleme yöntemleri incelenerek, elde edilen sonuçlar la yeni bir program geliştirilmiştir. Bu program, elektrik süzgeçlerinin (filtre) hesaplanmasında kolaylıklar sağlamaktadır. Ayrıca, aynı yöntemin duyarlık hesaplamasında da kolaylıkla kullanılabileceği gösterilmiştir.

SUMMARY

Methods of analysis which rely on the properties of the determinants of lad der networks comprising RLC elements are investigated, and a new computer program is developed which makes use of the results of the above investiga tion. This program simplifies the design of filters, and it is shovm that the method can also be used in sensitivity calculations.

1. GİRİŞ Elektrik süzgeçlerinin (filtre) büyük bir kısmı basamaklı devreler b i çimindedir. Öte yandan, basamaklı devrelerin dokusal (topolojik) özelliklerin den dolayı» bu tür devrelerin belirtenlerinin (determinant) bazı dikkate değer özellikleri vardır. Gerektiği biçimde kullanıldığında, bu özellikler b e l i r l i kolaylıklar sağlayacak özel yöntemlerin kullanılmasına olanak sağlar. Bu yazıda, bu tür devreler için geçerli olan böyle bir çözümleme yöntemi üzerinde durulmuş tur. Ayrıca, bu yöntemin aynı kolaylıkla duyarlık çözümlemesinde de kullanıla bileceği gösterilmiştir. Öncelikle LC süzgeçlerinin hesaplanmasında kullanıl mak amacı ile geliştirilen bir program anlatılmıştır.

Enis Tüyeni, Marmara Araştırma Enstitüsü, Gebze, Kocaeli. Yurdakul Ceyhun, Y.Prof .Dr., ODTÜ, Ankara.

2. BASAMAKLI DEVRENİN ÇÖZÜMLENMESİ Şekil 1 deki N i l e adlandıracağımız basamaklı b i r devreyi gözönüne alalım. Burada, Z± ya da Yi b a s i t R, L, C elemanlarından oluşmuş i k i uçlu a l t d e v r e l e r d i r . Burada çevre ve kesitleme denklemlerini [ TO lT ,

(D

"2n l

0• . . 1

o. . . o

olarak yazabiliriz. Devreyi oluşturan elemanların uç denklemleri ise,

!l

vl

i2

* 3 = v3

*2n

olarak yazılmış olsun. Denklem (1) ve (2) den

Y2

ö

z..

1 .. .0

0. . .1

Z2n 1 1

2n l

Y

.2n

2n

(2)

(3) 453

bulunur. Denklem (3)'ün sağ yanındaki katsayı matrisinin tersi alındığında devredeki bilinmeyenler belirlenmiş olacaktır. Bu işlem ise, b e l i r l i bazı alt belirtenlerin (altdeterminant) bulunmasını gerektirmektedir. Gerçekten,

All

1 A13

(4)

••

İ2n 1 v2n

Al,2n 1 Al,2n

dir. Burada

, Z3,

(5)

ile tanımlanan bu tür özel belirtene yalın sürdüren (simple continuant), ya da kısaca sürdüren (continuant) denilmektedir [MU]. Sürdürenler yazında (literatür) ayrıntılı olarak incelenmiştir. Daha soyut olarak,

a2

a3

A=

(6)

*

0 . • • a2n l 1

0. .. 1

aı2n

olarak yazalım. Kolaylıkla (7)

[a a ] = a a + 1

l5 2

x2

(8)

olduğu gösterilebilir. Denklem (7) ve (8) deki ilk koşullara dayanarak,

...

= [al 32!!.!] a2n + [ a ı a2n_2]

(9)

bağıntısı elde edilir. İlerde kullanacağımız, sürdürenlerle i l g i l i bazı özel likler aşağıda verilmiştir.

m a ] =

[ a r + l ~ m a ]

a r l ] [ a r + 2 ~ m a ]

(10)

aj =

ar_ı] ar_2]

+ ( 1)r~h [a x

aj aj ar] aml=°

aj (11)

(12)

Burada [aj — a/] = a^ ve [a^ — a^_^} = 1 alınmalıdır. Yukarıda verilen bu

özelliklere dayanarak N üzerinde tanımlanabilecek devre fonksiyonlarından

bazılarının değişik dereceden sürdürenler cinsinden yazılımı aşağıda veril

miştir :

a2nl

Z = — =• [a2 a2n]

(13)

'2İ T 2 i ="

ta2i+l a, ]

_ a2n]

1<i<n

(14)

W2i+1

2İ+1

1<i<n 1

(15)

Denklem (15) deki I, E'ye i l i ş k i n akımı göstermektedir.

Şekil 1.

3. BASAMAKLI DEVRENİN DUYARLIĞININ İNCELENMESİ [CE l] Bir F(x) fonksiyonunun x'e göre duyarlığını,

F A 3 F(x)

S=

8x

(16)

olarak tanımlarsak, yukarda sözünü ettiğimiz devre fonksiyonunun duyarlık larının da sürdürenler kullanarak aşağıdaki gibi yazılacağı görülebilir.

z sz =

:

[2

[a2ı+1

a2n] [aı

a,,,] [ a ^ a2n]

a2n]

(l) ST2i =

[aı [ax

a2ı_!] [ V ı a2]2

(17) r > 2i + 1 (19)

W2İ+1

S

ta2i+2 ~

[[

a2 2

aa22

n n

]]]22

r < 2İ + 2 (20)

W?<+1 S = 2 1 + 1

Lt

^a2 a 2 i l

rı

r > 2i + 2 (21)

Buradan açıkça anlaşılacağı üzere sürdürenlerin bulunması için yazılacak b i r program, hem devre çözümlemesini hem de duyarlıkların incelenmesini mümkün kılar.

4. SÜZGEÇ HESABI İÇİN GELİŞTİRİLEN PROGRAMIN TEMELLERİ Şimdi, yukarda sözü edilen N devresi b i r süzgeç olarak geliştirilmek

istendiğinde, gerekecek bazı devre fonksiyonlarının sürdürenler cinsinden t a

nımlarını vererek, bunların bilgisayarla nasıl bulunacakları sorunu

ele alınacaktır.

4.1 Araya Girme Kaybı şekil 1 deki basamaklı devrenin çözümlemesinden elde edileceği üzere ç ı kış gerilimi [TO 2],

2 n V

(s)

E(s)

(22)

biçimindedir. Bu denklem kısaca 1

A(s)

(23)

olarak yazılabilir. Burada A(s) sürdüreni (6) biçimindedir. (22) denkleminden, devrenin gerilim oranı transfer fonksiyonu,

E(s) (24)

olarak tanımlanabilir.

Şekil 2.

Şimdi Şekil 2'de gösterilen devreyi gözönüne alalım. Bu devre şekil 1

deki basamaklı devrenin bir özel durumudur ve bu devre için V2n(s)/E(s) oranı yine (24) ifadesi ile belirlenmiştir. Bu devreden 2 kapılı LC devresini çı

kartarak Şekil 3'deki devre elde e d i l i r . Bu son devre için çıkıştaki gerilim

R2 2o

(25)

olur. V2o'in V2n'e olan oranına "araya girme gerilim oranı" [TO 2] denilmek tedir: Elektrik Mühendisliği 212

R l + R2

Şekil 3.

(26)

Bu oranın, doğal logaritması (neperien) a l ı n ı r s a "araya girme fonksiyonu" elde e d i l i r [TO 2] :

(Np)

RX + R2

(27)

(26) daki ifadenin modülü desibel olarak tanımlanırsa, "araya girme kaybı" elde edilir:

AdB = 20 log;10

..

(28)

Bilgisayara Uygulama : Bilgisayar, yazılan program yardımıyla A kontinüantını değerlendirerek gerçel ve sanal kısımlarını hesaplar

A = Re(A) + jlm(A)

Daha sonra, bu ifadeyi kutupsal koordinatlara çevirir:

(PA» *A>

Burada, P A = J A ) v e <$>A

Im(A)

arctg

dir.

Re (A)

(29)

(30) Elektrik Mühendisliği 212

Bilgisayar, bu işlemi de gerçekleştirdikten sonra, araya girme kaybını (28) denklemindeki gibi hesaplar ve faz açısı i l e b i r l i k t e verir.

Not 1: A = [Zı — Y2n] ifadesinde Z\ daima gerilim kaynağının iç direncini (Rı); Y ise, basamaklı devrenin türü Şekil 4a ve 4b'de gösterilen biçimde olduğuna göre, s ı r a s l l e ya CY2n + G2) veya yalnızca G2'yi gösterir (R, = 1/G2 basamaklı devreyi sonlandıran yük direncidir).

Not 2: RL = R2 halinde, (26) denklemi V2o/V2n=A/2 olacağından, (28) i l e veri

len araya girme kaybı

M

AdB = 2 0 1 O 8 l 0 T "

(31>

biçimini a l ı r . Bu durumda, araya girme kaybı, "işletme kaybı"na [CA] e ş i t t i r .

Not 3: Bilgisayar, kollardaki empedans veya admitansların faz açılarını 180° , +180° s ı n ı r l a r ı arasında verir.

4.2 Basamaklı Devrenin Giriş Empedansı Şekil 4a ve 4b'den görüleceği üzere basamaklı devrenin türüne göre sür düren değişecektir. Y2 'nin ya da rasgele b i r immitansın devrede bulunmamasın da bu immitansa ilişkin kola "0" admitanslı (veya empedanslı) b i r 2 uçlunun konulması gerekir. Bu işlem sürdüren değerini değiştirmeyeceğinden yazılan denklemlerin genelliği bozulmayacaktır.

Devre türüne göre giriş empedanslarının ifadeleri [HW l] şöyledir:

[Z3

A t i p i (Şekil 4a) : Z, = [Y2

( G 2 + Y2n)] (G2 + Y2n) ]

(32)

[Z3 B t i p i (Şekil 4b) : Z±n =

Bilgisayara Uygulama :

G2]

(33)

Bilgisayar, önce pay ve paydadaki sürdürenleri kutupsal koordinatlarda

hesaplar: Elektrik Mühendisliği 212

Z2n_l

Şekil 4a.

Z2n.l

.,) S «2

»

pay

' in payda ^ppayda' 8payda^

Daha sonra bu denklem yardımı ile giriş empedansının modülünü,

_ ı ı _ ppgy payda

ve faz açısını

i n pay = a r c ( Z

) = (0

(34) (35)

(36)

olarak bulur. 4.3 Basamaklı Devrenin Giriş Kapısına Göre Yansıma Kaybı

"Yansıma fonksiyonu" [TO 3], [HU]

Zin "Rl

Zin+ Rl 460

(37)

B türü

Yük direnci R yi 2 çağır, G (Y )i 2 2N

A türü

ALTYORDAM n

2N inci dalın admit

J

tansını (Y2|,j)hesapla

Yük direnci R2yi çağır ve G2yi hesapla

Y2N' e G2 yi ekle ve sakla

iZi

Y ] sür 2N

dürenini hesapla

Araya girme kaybını ve fazını hesapla

| F yi çağı r |

A(dB), 0 A , F yi YAZ

| ALTYORDAM ffl

sürdürenini hesapla ve sakla

V 2 N ] = C2 sürdürenini hesapla ve sakla

C ve C yi çağır ve

Z i = Cı / C yi hesapla

n

Şekil 6b.

Dallardaki öğe değerlerini sakla

Basamaklı devre türüne ilişkin komutu ver

Veri ç,irişi:

N, AF, F , F

min

W = 2TTF I

w = 2nF i hesap la ve sakla

Dal sayacını 1 yap

N inci dal in öğe

Bobinin direncini hesapla

(eğer varsa) daldaki bobin kayıplı mı?

N inci dalın immitans'ını hesapla ve sakla

Şekil 6a.

R2 yi çağır hesapla Yansıma kaybı ve yansıma faz acısını, hesapla

6d.

Ls.Rs Ks

Cs SERİ KOL ( Z )

7.

PARALEL KOL ( Y )

rP

Kp

©

P^Z

. ın

* 7ıW

ı

YAZ

ı çağır

hesapla

Yansıma kaybım veyansıma faz açısını hesapla

ar(dB) ve br yi YAZ

Ca.Rj i çağır, (Gj+ Y2)yı 2) an. hesapla ve sakla

vGı + Y2)yı çağır ve

[(Sı+ Y2)

Z2N.I]=CS

sürdüreni'ni hesapla ve

sakla

'

[(G) + Y»)

Y9M( /a da Y2N_2)*]=C6

sürdürenini hes apla ve sakla

1 ALTYORDAM IE

T

1 B türü için

Şekil 6c.

olarak tanımlanmıştır.

"Yansıma kaybı" ve "Yansıma faz açısı" {HW 2] ise, sıra i l e

ar(dB)

İ7 + R ! 20 l o g ı o — = 20 log.1 0 l z i n R l l

! Z in

(38)

^in + R l br = arc"—= arc

Zi.n R1, denklemleri i l e verilebilir.

(39)

Bilgisayar, Z ^ ' i hesapladıktan sonra yukarıdaki denklemlere göre yansıma kaybını ve faz açısını bulur.

4.4 Basamaklı Devrenin Çıkış Empedansı Bilgisayar, devrenin türüne göre (Şekil 5a ve 5b), basamaklı devrenin çıkış empedansını aşağıdaki denklemlere göre hesaplar [HW 3] :

Rı Z Uı)

Şekil 5a.

Şekil 5b.

co oo

(Y2n)

+ Y2) A t i p i (Şekil 5a) : Zo =

[(G1+Y2)

C(Gı + Y2) B t i p i (Şekil 5b) : Zo =

Z2n_ı] Y2n ] Z2n il

(40) (41)

4.5 Basamaklı Devrenin Çıkış Kapısına Göre Yansıma Kaybı Çıkış kapısına göre "yansıma fonksiyonu" z o " R2 E' Zo + R2

(42)

denklemiyle tanımlanır [TO 3], [HU]. Aynı kapıya i l i ş k i n "yansıma kaybı" ve "yansıma faz açısı" [HW 2] ise, sıra ile

^r«(udnB

)

l o g ı olTs~'17 =

o R 22 !

(43,

Z o + R,

b ' = arc — = arc

E'

Zo R2

denklemleriyle verilebilir.

Bilgisayar, Z 'yu hesapladıktan sonra, yukarıdaki denklemlerden, yansı ma kaybını ve faz açısını bulur.

5. GELİŞTİRİLEN PROGRAMLA İNCELENEBİLECEK DEVRE TÜRLERİ 1 Basamaklı devrenin s e r i ve paralel kollarında bulunan ve bu programla incelenebilecek en genel devre biçimleri Şekil 7'de gösterilmiştir. İncelen mesi i s t e n i l e n basamaklı devrede, Şekil 7'de b e l i r t i l e n standart devreler dışın da başka devreler bulunuyorsa, bu devrelere, bazı durumlarda alışılmış devrele re uygun düşen eşdeğer d e v r e l e r k u r u l a b i l i r ve böylece e l d e k i program bu t ü r

Elektrik Mühendisliği 212 464

devreler için de geçerli olur.

2 İdeal transformatör ile sonlandırılan basamaklı devreler de birtakım değişikliklerden sonra bilgisayara uygulanabilir.

6. SONUÇ Şekil 6'da b a s i t l e ş t i r i l m i ş akış çizelgesi verilmiş olan bu program, her ne kadar basamaklı e d i l g i n RLC d e v r e l e r i n i n çözümlemesini yapmak i ç i n h a z ı r lanmışsada, bu d e v r e l e r i n duyarlık çözümlemesi, programda yapılacak küçük b i r değişiklikle gerçekleştirilebilir.

Genel sürdüren tanımını kullanarak, basamaklı devreler dışında bazı tür devrelerin de hem çözümlemesinin, hem da duyarlığının hesaplanabileceği göste rilmiştir [McN], [CE 2]. Böylece eldeki programda yapılacak yeni b i r değişik likle daha karışık devrelerin de çözümlemesini yapmak olanağı vardır.

Yazılmış olan program, HEWLETTPACKARD 9100B 9101A 9125A hesaplayıcı diz gesine başarıyla uygulanmış ve bütün eğriler "9125A ç i z i c i " yardımı i l e çiz d i r i l m i ş t i r . Bu arada, grup gecikme (group delay) karakteristiğinin de progra ma yapılan küçük bir katkıyla çizdirilmesi sağlanmıştır.

Kullanılan hesaplayıcı dizgesi ile incelenebilecek basamaklı devrenin kol sayısı en çok 32 olabilmektedir.

KAYNAKLAR: fCAİ : W. Cauer, Synthesis of Linear Communication Network, s.8, McGrav Hill

Book Co., Inc., 1958. [CE l'I : Y. Ceyhun, "Sensitivity Calculations of Ladder Networks by using Con

" tinuants", Electronics Letters, Cilt 7, No.7, s.157 158, Nisan 1971. rCE 2*| • Y Ceyhun, "On the Properties of Continuants and Sensitivity Computa tions", IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 20, s.169 171, Mart 1973. [HU] : D.S. Humpherys, The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical

Filters, s. 113 115, Prentice Hall, Inc., 1970. Elektrik Mühendisliği 212

|_HW lJ : J . L . Herrero G. Willoner, Synthesis of F i l t e r s , s . 4 4 , Tablo 2 . 2 . , Prentice Hall, I n c . , 1966.

[HW 2] : Kaynak HW 1 , s. 49.

[HW 3] : Kaynak HW 1 , s . 4 5 , Tablo 2 . 3 .

[McN_| : R.L. McNally, "RC F i l t e r S y n t h e s i s " , Ph.D. d i s s e r t a t i o n , Dep. E l e c . Eng. and S y s t . S c i . , Michigan S t a t e Univ., East Lansing, Mich., 1969.

[MU] : T. Muir, A T r e a t i s e on the Theory of Deteriainants, s. 516 565, Dover Publications, I n c . , 1960.

[ T O I ] : Y. Tokad, "Foundations of Passive E l e c t r i c a l Network S y n t h e s i s " , Cilt 1, s.264 265, M.E.T.U., Faculty of Engineering, Publication Na 41, 1972.

pIC~2]: Y. Tokad, "Foundations of Passive E l e c t r i c a l Network S y n t h e s i s " , Cilt 2, s.199, M.E.T.U., Faculty of Engineering, Publication No.41, 1972.

[TO 3]: Kaynak TO 2 , s . 2 1 8 .

FAYDALANILABİLECEK DİĞER EK YAZILAR:

[CE 3]: Y. Ceyhun, "Çizge Kuramının Temelleri I " , E l e k t r i k Mühendisliği, C i l t 18, No.205 206, Ocak Şubat 1974.

[CE 4]: Y. Ceyhun, "Çizge Kuramının Temelleri II ", E l e k t r i k Mühendisliği, C i l t 18, No.207, Mart 1974.