ÇOK DÖNGÜLÜ DOĞRUSAL DİZGELERİN TASARIMI

ÇOK DÖNGÜLÜ DOĞRUSAL DİZGELERİN

TASARİMİ

ÖZAY HÜSEYİN EROL SEZER

UDK: 621.3 501

ÖZET Bu tanıtma yazısında çak döngülü doğrusal denetim dizgeleri ve bunlara ilişkin sorunlar ele alınmış, bu tür dizgelerin tasarımında kullanılmak üzere geliştirilen "evrik Nyquist sıra" ve "ırasal yer eğrileri" yöntemleri ayrıntılarıyla incelenmiştir.

SUMMflRY in this article, aesign problems of linear multi variable control systems are studied, and "inverse Nyçuist array" and "characteristic loci" technigues used in the design of such systems are explained in detail.

1. GÎRÎŞ

Son yıllarda teknolojideki hızlı gelişmeler sonu cu ortaya çıkan büyük ve karmaşık dizgeler (sis temler) önemli denetim sorunlarını da beraberle rinde getirdiler. Bu sorunların çözümüne doğru a tılan ilk adımlardan bu yana bu konuda çeşitli kuramlar geliştirildi ve belirli dizgelere uygu landı . Bu yöndeki çalışmaların başlangıcı olarak kabul edilen ve Nyquist [l] ve Bode [2] tarafından ©r özay Hüseyin, Asos.Prof.Dr., ODTÜ Erol Sezer, Asistan, ODTÜ

taya atılan tasarım (design) yöntemleri, yalın dizgelere başarıyla uygulanabilmelerine karşın, dizgelerin gelişmesi ve karmaşıklasmasıyla ortaya çıkan yeni sorunların çözümünde yetersiz kaldılar. Çok değişkenli (ya da çok.döngülü) dizgeler ola rak tanımlayabileceğimiz bu karmaşık dizgelerin gerek çözümlenmesinde (analizinde) gerekse tasa rımında kullanılacak kuramları geliştirmek üzere 1950'lerde başlatılan araştırmalar günümüzde de sürmektedir, özellikle son yıllarda, bilgisayar ların dizge tasarımında kullanılmalarından sonra bu araştırmalar önemli boyutlara ulaşmıştır.

z(s): k bileşenli dizge çıkış vektörü y(s): m bileşenli kapalı döngü dizge çıkış vek törü K(s): 1 x m denetleç geçiş matrisi G(s): k x l dizge geçiş matrisi L : m x k çıkış birleştirme matrisi H(s): m x m geri besleme öğeleri geçiş matrisi

Dizgenin açık döngü geçiş matrisi

Q(s) = LG(s)K(s) ,

(D

Çok döngülü (multiloop) dizgelerin denetimi konu sunda yapılan araştırmalar ve geliştirilen yön temler iki ayrı sınıfta toplanırlar: Zaman bölgesi (domeni) yöntemleri ve frekans bölgesi yöntemleri. Bu konuda yapılan ilk çalışmaların yöneldiği zaman bölgesi yöntemleri, optimal denetim[3,4], kutup kaydırma ve kipsel (modal) denetim [5,6 ] gibi ta nınmış durum uzayı (state space) yöntemlerini kapsar. Etkileşmez (noninteracting) denetim [8] tekniğiyle başlayan ve dizge çözümleme ve tasarı mında cebirsel yöntemlerin giderek daha çok kul lanılmaları sonucu gelişen frekans bölgesi yön temleri ise, değişmeli (komütatif) denetleç tasa rımı [9]t evrik Nyquist sıra (inverse Nyquist ar ray)[lO] ve ırasal yereğrileri (characteristic loci) [11,12] tasarım tekniklerini kapsar.

ve kapalı döngü geçiş matrisi

R(s) = [

(2)

olarak tanımlanır. (2) eşitliğinde Im, mxm birim matrisi göstermektedir. Aynı eşitlikte

T(s) = Q(s)H(s)

(3)

F(s) = Im + Q(s)H(s) =

T(s)

(4)

matrisleri sırasıyla, dönüş oran matrisi ve dönüş fark matrisi olarak bilinirler [l5J. Bu matrisler Bode tarafından tek döngülü dizgeler için tanım lanan tek boyutlu işlevlerin genelleştirilmeleri dir.

Yazında, gerek zaman bölgesi, gerekse frekans bölgesi yöntemlerine ilişkin ayrıntılı bilgi ve eleştiriler bulunmaktadır [13,14] . Burada belir tilmesi gereken önemli bir nokta evrik Nyquist sı ra ve ırasal yereğrileri yöntemleri dışındaki tüm yöntemlerin az ya da çok bireşime (senteze) yönelik olmalarıdır. Başka bir deyişle, bu yöntemlerde, dizgenin sağlaması gereken koşullar ve bu koşul ları sağlayan dizgenin tasarımında izlenecek yol kesin bir şekilde belirlenmiştir. Bu durumda, her yöntem,, yalnızca belirli koşulların tam olarak sağlandığı tek bir çözüm vermekte; tasarımcıya, daha iyi sonuçlara ulaşmak için bu koşulları de ğiştirmede özgürlük tanımamaktadır, öte yandan, bu yazıda incelenecek olan evrik Nyquist sıra ve ırasal yereğrileri yöntemlerinde, tasarımcı, diz genin sağlaması gereken koşulları önceliklerine göre sıralamakta ve bu koşullar arasında bir uz laşmaya varmada kendi yeteneğini kullanabilmek tedir.

Yukarda tanımlanan matrisler, Şekil l'deki dizge nin tasarımında gerekli olan bütün bilgiyi içe rirler. Bu matrislerin tasarımda nasıl kullanıl dıkları, bundan sonraki bölümlerde açıklanacak tır. Şimdi, tasarımda üzerinde durulan ana sorunla rı inceleyelim.

Tasarımın amacı, uygun denetleç, geri besleme ve çıkış birleştirme matrisleri seçerek, giriş çıkış bağıntısı G(s) geçiş matrisiyle belirlenmiş olan dizgeyi istenilen şekilde denetleyebilmek; başka bir deyişle, çıkış değişkenlerinin giriş değiş kenlerini yakından izlemesini sağlamaktır. Bu se çimi yaparken gözönünde bulundurulması gereken dört ana sorun vardır:

1. Kararlılık (stability), 2. Tümleşiklik (integrity), 3. Etkileşme (interaction), 4. Performans.

2. ÇOK DÖNGÜLÜ DENETİM DİZGELERİ ve İLİŞKİN SORUNLAR

Çok döngülü doğrusal bir denetim dizgesinin en genel gösterilişi Şekil l'de verilmiştir. Şekilde kullanılan simgeler şöyledir:

r(s): m bileşenli kapalı döngü dizge giriş vek törü e(s): m bileşenli yanlışlık vektörü u(s): 1 bileşenli dizge giriş vektörü

¥(S) g

*{ z(s)

s)

0(s» |

L(S)

1H(s)

Şekil 1. Çok döngülü doğrusal denetim dizgesi

Kararlılık, kısaca, giriş değişkenlerindeki sı nırlı değişmelerin, dizgenin hiçbir değişkeninde sınırsız değişmelere yol açmaması koşulu olarak tanımlanır. Bu tanımdan anlaşılacağı gibi, karar lılık, tasarımda üzerinde durulması gereken en önemli sorundur.

Genel olarak tümleşiklik, dizgenin bazı öğeleri nin olağan çalışma koşulları dışına çıkmasının kararlılık üzerindeki etkilerinin incelenmesi so runudur. Bu genel anlamıyla tümleşiklik, tasarım dan ayrı olarak düşünülmesi gereken başlıbaşına bir sorundur. İnceleyeceğimiz tasarım yöntemle rinde ise, tümleşiklik daha dar bir anlamda, öğe lerin kazanç (gain) değerlerinin tasarımlanan de ğerlerden sıfıra düşmesinin kararlılığa etkisi o larak ele alınmıştır.

Burada belirtilmesi gereken önemli bir nokta, tümleşiklik sorununun yalnız çok döngülü dizgelere özgü olduğudur.

3.1. Temel Bağıntı Ters Nyquist sıra yönteminin başlangıç noktası (2) bağıntısıdır. Açık döngü geçiş matrisi Q(s)nin belirteninin (determinantının) sıfırdan farklı olduğu varsayılırsa, bu bağıntı

R(s) = Q(s) + H(s)

(5)

şeklinde yazılabilir. Son eşitlikte

R(s)

Q(s) =

= [q (s)] i;j

gösterilişleri, R"ı(s) ve ( T M s ) matrislerinin ö gelerinin kolaylıkla belirlenebilmeleri için kulla nılmışlardır. (2) ve (5) eşitliklerinden yararla narak, dönüş fark matrisi

Döngüler arası etkileşme, çok döngülü dizgelerin tasarımında karşılaşılan güçlüklerin tek nedeni dir. Dizgenin kararlılığını ve tümleşikliğini o lumsuz yönde etkilediği gibi, döngülerin birbi rinden bağımsız olarak denetlenmesini de önler. Bu nedenle, döngüler arası etkileşmenin en az dü zeye indirilmesi, tasarımın ana amaçlarından bi ridir.

Tasarımda, dizgenin sağlaması gereken ö«elliklere ne düzeyde uyulduğu, performans sorununu oluşturur. Çeşitli dizgelerde farklılıklar gösteren bu özel likler arasında tepke hızı, kalıcı durum yanlış lığı, en fazla aşma vb. sayılabilir.

F(s) = Q(s) R(s)

(6)

biçiminde yazılabilir.

4.2. Kararlılık

Şekil l'deki kapalı döngü dizgenin kararlılığı i çin gerek ve yeter koşulun, kapalı döngü özçok terimlisinin (characteristic polynomial) karmaşık düzlemin (s düzlemi) sağ yarısında sıfırının bu lunmaması olduğu bilinmektedir[l6]. Hsu ve Chen [17], kapalı döngü özçokterimlisi (KDÖ) ve açık döngü özçokterimlisi (ADÖ) arasında

Yukardaki açıklamalardan anlaşılacağı gibi, bu sorunlar ayrı ayrı ineelenebilirlerse de, birbir leriyle yakından ilişkilidirler. Başka bir deyiş le, sorunlardan birinin çözümüne doğru atılacak bir adım, ötekilerinin de yeni boyutlar kazanma sına neden olur. Bu nedenle, çok döngülü bir dizge nin tasarımında, bütün bu sorunların bir arada düşünülmesi ve aralarında bir uzlaşmaya varılması gerekir. Evrik Nyquist sıra ve ırasal yereğrilerı, tu amaca yönelik birer tasarım yöntemidir.

3. EVRİK NYQUİST SIRA YÖNTEMİ Rosenbrock tarafından geliştirilmiş olan evrik Nyquist sıra tasarım yöntemi [10] tek döngülü diz gelerin tasarımında kullanılan Nyquist kuramının çok döngülü dizgelere genelleştirilmesidir. özün de çok yalın olmasına karşılık, pekçok dizgenin tasarımında başarıyla uygulanmış güçlü bir yön temdir. Yöntemin ana amacı, döngüler arası etki leşmeyi uygun bir düzeye indirerek, tek döngü de netim tekniklerinin döngülere bağımsız olarak uy gulanabilmesini sağlamaktır. Yönteme temel oluş turan teoremler ve yöntemin tasarımda nasıl kulla nıldığı, bundan önceki bölümde sözü edilen sorun lar sırayla ele alınarak incelenecektir. Teorem lerin kanıtları birçok yazıda [10,14] bulunduğundan burada ayrıca verilmeyecektir.

ı«.>ı 3

(7)

bağıntısının varlığını göstermişlerdir. Bu bağın tı, (6) eşitliğini kullanarak

İR(s)l KDÖ

(8)

biçiminde yazılabilir. (8) eşitliğine çevreleme teoremi uygulandığında, çizimsel bir kararlılık ölçütü elde edilir.

D, karmaşık düzlemde bilinen Nyauist yarı çembe

rini f_vef_ , D nin |5(s)| ve [Q£s)| işlevleri

altında dönüşümlerini göstersin. T ve TQ nun R sıfır noktasını D yönünde net çevreleme sayıları

fi ve S ; KDÖ ve ADÖ nin D yarı çemberi içinde o

kalan sıfır sayıları p ve p ise, çevreleme teo

k

reminden

(9) Pk " Pa

bağıntısı elde edilir. Kapalı döngü dizgenin ka rarlılığı için p j ^ O olması gerektiğinden aşağı daki kararlılık teoremine ulaşılmış olur.

Kararlılık Teoremi 1. Kapalı döngü dizgenift kararlılığı için gerek ve yeter koşul

"Pa

(10)

Açıkça gözlenebileceği gibi, kararlılık teoremi, verilen bir kapalı döngü dizgenin kararlı olup olmadığını belirlemesine karşın, bir açık döngü dizgenin kararlı kalmasını da sağlamak üzere öteki sorunların çözümü için nasıl bir denetleç tasa rımlanmasıjconusunda yol gösterici değildir. Ro senbrock, R ve Q matrislerinin özel bir biçimde olmaları koşuluyla, teoremi tasarıma yönelik bir duruma getirmiştir.

4.2.1. Köşegen baskınlık

Bir mxm Q(s) matrisinin öğeleri q\.(s), i, j = 1, 2 m, ile gösterilmiş ve

dî(s)= ! 1

q

J

(u1

s

)

Q(s) köşegen baskın bir matris ve f ^, i=l,2,..., m, D nin qj.j(s) altında dönüşünü olsun. Fq£ nin sıfır noktasını D yönünde çevreleme sayısı nqi i se, m (12)

bağıntısının sağlandığı Rosenbrock tarafından gösterilmiştir. Bu sonuçtan yararlanılarak, ka rarlılık teoremi aşağıdaki biçimde verilebilir:

Kararlılık Teoremi 2:

R(s) ve Q(s) köşegen baskın matrisler ise, kapalı

döngü dizgenin kararlılığı için gerek ve yeter

koşul

Z iu. E i=l q l i=l rı *\a

(13)

Geri besleme öğeleri geçiş matrisinin köşegen, değişmez bir matris olması durumunda, (13) bağın tısı çizimsel olarak kolaylıkla incelenebilir. (5) bağıntısında

H(s) = H = koşutu]

(14)

olarak tanımlanmış olsun. D yarı çemberi üstünde ki her s değeri için

i=l,2

m, (11)

eşitsizliği sağlanıyorsa, Q(s) matrisi, D üzerin de dizek (row) [dikeç (column)] köşegen baskındır denir.

Köşegen baskınlık (diagonal dominance) çizimsel olarak kolayca incelenebilir: D üstündeki her s değeTİ için merkezi Ş.^s) noktasında, yarıçapı d.(s) olan bir çember çizilecek olursa, bu çem berler karmaşık düzlemde bir bant oluştururlar (Şekil 2). Her i değeri için bu şekilde oluşturu lan bantlardan hiçbirinin sıfır noktasını kapsa maması durumunda (11) eşitsizliği sağlanmış olur; bu da Q(s) matrisinin dizek köşegen baskın oldu ğunu gösterir. Dikeç köşegen baskınlık benzer bi çimde, d.(s) yerine d!(s) kullanılarak incelene b i l i r . Bu bantlar Gershgorin bantları olarak ad landırılırlar.

4.2.2. Rosenbrock'un kararlılık teoremi

Q(s) ve R(s) matrislerinin köşegen baskın olmala rı durumunda, fR ve f0 yerine, R(s) ve Q(s)nın köşegen öğeleri üzerine çizilen Gershgorin bant ları kullanılarak, kararlılık teoremi daha kolay uygulanabilir bir duruma getirilebilir.

kullanılırsa, h.

r\.(s) =

(15)

elde edilir. Bu durumda, q ü ( s ) ler üzerine çizi len Gershgorin bantları, hem Q(s) ve R(s)nin kö şegen baskınlığının incelenmesinde; hem de Q(s) ve R(s)nin köşegen baskın olması durumunda dizge nin kararlılığını sağlayan h değerlerinin seçi minde kullanılabilir. Şekil 2'de gösterildiği gi bi, bantların (0,0) ve ("h,, 0) noktalarını kap samaması Q(s) ve R(s)nin köşegen baskın olduğunu gösterir. Ayrıca (i)yinci bantın ( h^, 0) nokta sını çevreleme sayısı tij^ye eşittir. Dolayısıyla, Gershgorin bantları çizildikten sonra, h£ değer leri (13) bağıntısı sağlanacak biçimde seçilebi lir. Bu şekilde seçilen kazanç değerleri, kazanç uzayında bir kararlılık bölgesi belirlerler.

4.3. Tümleşiklik üçüncü bölümde verilen tanımıyla tümleşiklik, Şekil l'de görülen kapalı döngü dizgenin döngüle rinin değişik yerlerden açılmaları durumunda ka rarlılığın incelenmesi sorunudur. Döngü açılması, geri besleme öğelerinin, karşılaştırma öğelerinin, ya da uyargaçların kazanç değerlerinin sıfıra in mesi olarak düşünülebilir.

İm

7Y

Şekil 2. Gershgorin bandı

Geri besleme öğelerinden bir ya da birkaçının ka zanç değerinin sıfıra inmesi, bu öğelere karşı gelen h£ değerlerinin sıfıra eşitlenmesinle ger çekleştirilir. Bu durumda ortaya çıkan dizgenin kararlılığı, normal çalışma koşullarında kararlı lığı belirlemekte kullanılan Gershgorinbantla rından yararlanılarak kolayca incelenebilir, öte yandan Gershgorin bantları, döngülerin başka yer lerden açılmaları durumunda tiimleşikliğin belir lenmesinde kullanılamayacakları gibi, yöntem bu tür açılmalarda tiimleşikliğin belirlenmesi için başka bir yol da vermemektedir.

4.4. Etkileşme

Evrik Nyquist sıra tasarım yönteminin uygulamada en çok kullanılan bir özelliği de, kararlılığın belirlenmesinde kullanılan Gershgorin bantlarının aynı zamanda döngüler arası etkileşmenin bir ölçü sü olarak değerlendirilebilmeleridir.

H(s) = H = köş.[hi], ve R(s) = Q(s) + H, D üzerin de dizek [dikeç] köşegen baskın bir matris olsun. R(s) matrisine Ostrovski teoremi [l2] uygulandığında D üzerindeki her s değeri için

|r7l(s)

i=l

m,

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlikte,

(>.(8) = büy

1.j•

dj(s)

< 1,

(16) (17)

'.(s) = büy

jd ( s )

<1

ve rj^Cs), R(s) matrisinin (i)yinci köşegen öğe sidir. R(s) matrisi üzerinde yapılacak yalın iş lemlerle gösterilebileceği gibi, r7Hs) b.£ = rT!(s)

(i)yinci geri besleme döngüsü açık ve ötekiler kapalı olmak üzere, (i)yinci çıkışı (i)yinci gi rişe bağlayan geçiş işlevinin evriğidir. (16) ve (17) eşitsizlikleri, r T ^ s H n q ü ( s ) üzerine çi zilen Gershgorin bandının içinde kalan daha dar bir bant içinde bulunduğunu gösterir. Ostrovski bandı [lO,19J adıyla bilinen bu bant, öteki dön gülerin kazanç değerleri kararlılık bölgesi için de değiştirildiğinde, kendisine karşı gelen Gersh gorin bandı içinde yer değiştirir. Dolayısıyla, (i)yinci Gershgorin bandının yeteri kadar dar ol ması, öteki döngülerin kazanç değerlerindeki de ğişmelerin rTx(s) üzerinde önemsiz değişmelere yol açacağını; bütün Gershgorin bantlarının yete ri kadar dar olması da, döngüler arası etkileşme nin düşük bir düzeyde olduğunu gösterir.

Burada belirtilmesi gereken önemli bir nokta, bantların dar olmasının az etkileşme için yeterli bir koşul olduğu, bantların geniş olması durumun da ise etkileşmenin fazla olduğunun söylenemiye ceğidir.

4.5. Performans

Kararlılık ve geri besleme döngülerinin açılması durumunda tümleşiklik sorunlarının çözülmesi ve etkileşmenin uygun bir düzeye indirilmesinden sonra, evrik Nyquist sıra tasarım yöntemi, iste nilen performansın sağlanması için gerekli tek döngü denetleçlerin tasarımlanmasına indirgenmiş olur. Tek döngU denetleçlerin tasarımında da daha önce elde edilen Gershgorin bantları kullanılır. Tasarı» bu noktaya gelinceye kadar Gershgorin bantları etkileşmenin azaltılması amacıyla yete rince daraltılmış olduğundan, bu bantlar karşı lıklı giriş ve çıkışlar arasındaki geçiş işlevle rinin evriklerinin yerlerini yaklaşıklıkla be lirlerler. Bu durumda her döngünün kazanç ve ev re boşluğu yaklaşıklıkla belirlenebilir ve uygun denetleçler tasarımlanabilir.

4.6. özet ve Eleştiri

Buraya kadar verilen bilgilerin ışığında evrik Nyquist sıra tekniğinin tasarımda izlediği yöntem aşağıdaki adımlarla özetlenebilir:

1. Verilen bir G(s) için G(s) matrisini ve ADÖ nin sağ yarı düzlemdeki sıfır sayısını (p ) bul.

2. Uygun ön denetleç (K(s); ve değişmez çıkış birleştirme (L) matrisleri seçerek Q(s) = K(s)Ğ(s)£ matrisini köşegen baskın durumuna getı,r. Q(s) matrisi için Gershgorin bantlarını çiz.

3. Gershgorin bantlarını ve p yi kullanarak, a kapalı döngü dizgenin kararlılığını sağlayan ka zanç değerlerini bul ve kazanç uzayında kararlı lık bölgesini belirle.

315 Elektrik Mühendisliği 223

4. Gershgorin bantları yeterince darsa, 5'inci adı ma geç; değilse, uygun bir denetleç tasarımla ve 3'üncü adıma dön.

D yarı çemberinin |F(s)| işlevi altında imgesi F ; F

Fp nin sıfır noktasını D yönünde çevreleme sayısı

Np ile gösterilirse, (7) eşitliğinden

5. Gershgorin bantlarını kullanarak her döngü i çin yaklaşık kazanç ve evre boşluklarını belirle, yeterli değilse uygun tek döngü denetleçler tasa rımla ve 3'üncü adıma dön.

NT7 = Pk " Pa

(18)

bulunur. Dolayısıyla, kararlılık gerek ve yeter koşulu,

6. Kararlılık bölgesinde uygun kazanç değerleri

NF = P a

(19)

seç ve kapalı döngü dizgenin çıkış tepkelerini gözle. Tepke özellikleri tasarım belirtimlerine

bağıntısıy'la verilir.

uygunsa, dur. Değilse, Gershgorin bantlarından

Kararlılık teoremi daha kolay uygulanabilir biçim

yararlanarak uygun tek döngü denetleçler tasarım

de F(s) matrisinin.ırasal işlevleri [il,15] türün

la ve 3'üncü adıma dön.

den verilebilir. F(s)nin ırasal işlevleri Pj(s),

Görüldüğü gibi, evrik Nyquist sıra tasarım yönte mi, sorunların sırayla çözüme bağlandığı devirsel bir yöntemdir. Her devirde, dizgenin son durumunun

i 1,2 m, D nin Pj.(s) altında imgesi Tf^, Tf^ nin sıfır noktasını D yönünde çevreleme sayısı da nfi ile gösterilsin.

incelendiği bir çözümleme evresi, ve bu çözümleme

sonuçlarına göre bir denetleçin tasarımlandığı bir tasarım evresi bulunmaktadır. Yöntemin bu de virsel yapısı, istenilen özelliklere yalın denet

|F(s)| = S Pi(s) i

leçlerle ulaşılmasını sağladığı gibi, tasarımcıya bağıntısından

tasarımın her devrinde yeterince özgürlük vermek tedir.

Evrik Nyquist sıra tasarım yönteminin kısıtlama

N=

nfi

F

(20)

ları ya da uygulamadaki yetersizliklerini de şöy

le özetleyebiliriz. Yöntemin uygulanması herşey den önce dizge geçiş matrisinin köşegen baskın

eşitliği elde edilir. (20) eşitliği, (19)da kulla nılırsa, kararlılık gerek ve yeter koşulu olarak

bir duruma getirilmesini gerektirmektedir. Bel

letrutti [il] tarafından örneklerle açıklandığı gibi, bu koşul tasarım için her zaman gerekli ol mayabilir. Böyle bir durumda, tasarıma gerekenden

Z nfi = T

(21)

çok fazla emek verilmiş olacağı gibi, gerekenden

daha karmaşık bir denetleç tasarımlanmış olacak

bağıntısı bulunur.

tır. Ayrıca bazı durumlarda, Gershgorin (Ostrovskı) bantlarından elde edilen kararlılık bölgesi, ger çektekinden çok daha dar olabilmekte; bu da seçi lecek kazanç değerleri üzerine gereksiz bir kısıt lama getirmektedir. Yöntemin önemli bir eksikliği

Dönüş fark matrisi yerine dönüş oran matrisinin ırasal işlevleri kullanılarak benzer bir sonuç elde edilebilir. T(s)nin ırasal işlevleri T^(s), i=l,2, ile gösterilirse (4) bağıntısından

>m

de yalnız geri besleme döngülerinin açılması^du

rumunda dizge tümleşikliğini belirleyebilmesi, öteki türde açılmaların sonuçlarını inceleme ola

P£(s) = 1 +

i=l,2 m,

(22)

nağından yoksun olmasıdır.

5. IRASAL YEREGRÎLERÎ TASARIM YÖNTEMİ Belletrutti ve MacFarlane [12] tarafından gelişti

olduğu görülür. T(s)nin ırasal yereğrileri (? i) t ( 1,0) noktasını D yönünde n i kadar çevrelerse, t (22) eşitliğinden n i=nfi elde edilir. Bu durumda t kararlılık teoremi aşağıdaki biçimde verilebilir.

rilmiş olan ırasal yereğrileri yöntemi, kapalı

döngü dizge özelliklerinin dönüş oran ve donuş fark Kararlılık T e o r e m i :

matrisleri aracılığıyla incelenip, gerekli denet

Kapalı döngü dizgenin kararlılığı için gerek ve

leçlerin tasarımlandığı bir yöntemdir. Bu bolümde, yeter koşul

ırasal yereğrileri yöntemi, tasarım sorunları sı

rasıyla ele alınarak incelenecek, daha önce olduğu m gibi teoremlerin kanıtları verilmeyecektir.

(23)

5.1. Kararlılık Irasal yereğrileri yönteminde kararlılık teoremi, çevreleme teoreminin doğrudan (7) eşitliğine uygu lanmasıyla elde edilir.

bağıntısının sağlanmasıdır. Kararlılık teoreminin (19) ya da (21) bağıntıları yerine (23) bağmtısıyla verilmesi, kazanç değer

lerinin seçiminde yol gösterici olduğundan uygula

mada daha yararlıdır. Bütün çevrelerdeki kazanç

değerleri eşit olarak k çarpanı kadar değiştiri

lirse, T(s) matrisinin bütün ırasal işlevleri de

aynı çarpan kadar değişir. Bu durumda kararlılık ko

şulu, n i , r £ nin ( j ,0) noktasını çevreleme sa

yısı olarak değiştirilmek üzere, yine (23) b a ğ m

tısıyla verilir. Böylece, (23) bağıntısı, dizgenin

kararlılığıyla birlikte, döngülere uygulanabilecek

en fazla eşit kazanç değerlerinin de belirlenmesini

sağlar.

5..?. T ü m l e ş i k l i k

Irasal yereğrileri yönteminin uygulamada en çok yararlanılan yönü, her tür döngü açılması durumun da dizgenin kararlılığını belirleyen bir tümleşik lik teoremi vermiş olmasıdır.

Döngülerin değişik noktalardan açılması durumu, kapalı döngü dizgesinde uygun yerlere, Şekil 3'de görüldüğü gibi bir S anahtar matrisi eklenerek gösterilebilir. 9 matrisi, normal çalışan döngülere karşı gelen öğeleri 1, açılan döngülere karşı ge len öğeleri 0 olan köşegen bir matristir. Şekil 3' deki dizgeler, Şekil 4'de gösterilen eşdeğer diz gelere dönüştürülürse, bu dizgelerin dönüş oran matrisleri sırayla

işlevlerinin (23) bağıntısını sağlamasıdır.

Tümleşiklik teoremi, özellikle iki değişkenli dizgelerde çok kolaylıkla uygulanabilir. Böyle bîr dizgede döngülerden birinin açılması durumunda tümleşiklik, (23) bağıntısının dönüş oran matri sinin öteki döngüye karşı gelen öğesine uygulan masıyla kolaylıkla belirlenir. Uygulamada bir diğer kolaylık da, H(s) = I alınması durumunda

Ty(s) ve T (s) eşit olacağından, bu matrislerin e belirlediğii açılma durumlarında tümleşikliğin ay nı anda incelenebilmesidir.

5.3. Etkileşme

Bu bölümde, döngüler arası etkileşmenin belirlen mesinde dönüş oran matrisinin ırasal işlevlerinin ve ırasal vektörlerinin [il,15] kullanılışları incelenecektir.

T(s) matrisinin ırasal işlevlerinin (T£(s),

i 1,2

m) farklı oldukları varsayılır ve bun

lara eşlik eden ırasal vektörler bir W(s) matri

sinin dikeçleri olarak toplanırsa

T'(s) = LG(s)K(s)H(s)S, = T (s) S T'(s) =H(s)LG(s)K(s)S, = T (s) S

(24)

T'(s) = K(s)H(s)LG(s) S = T (s) S u

olarak yazılabilir. (24) bağıntılarında T ( s ) , v

T (s) ve T(s) Şekil l'deki dizgenin normal çalışma e koşullarında y(s), e(s) ve u(s) değişkenlerine kar şı gelen dönüş oran matrislerini göstermektedir. (24) bağıntıları genel olarak

T'(s) = T(s) S

(25)

ile gösterilmiş olsun. (25) eşitliğinden, T'(s)nin açılan döngü sayısı kadar ırasal işlevinin sıfıra özdeş, kalanlarının da T(s)nin S matrisiyle seçilen altmatrisinin ırasal işlevlerine eşit olduğu gö rülmektedir. Sıfıra özdeş olan ırasal işlevlerin (23) bağıntısındaki çevreleme sayılarına etkileri olmadığından, aşağıdaki tümleşiklik teoremine ula şılmış olur.

Tümleşiklik Teoremi: Kapalı döngü dizgenin döngülerinden bir ya da daha fazlasının aynı noktada açılmaları durumunda ortaya çıkan dizgenin kararlılığı için gerek ve yeter koşul, açılma noktasına karşı gelen dönüş oran matrisinin açılan çevreleri belirleyen a nahtar matrisiyle seçilen altmatrisinin ırasal

Şekil 3. Açılma durumlarında S matrisinin konumu (a) Geri besleme döngüleri açılmaları • (b) Karşılaştırıcı açılmaları (c) Uyargaç açılmaları

VTı(s)T(s)W(s) = köş[Ti( ya da

= A (s) T

T(s) = W(s) A (s) W"ı(s) T

(26)

eşitliği elde edilir. (26) eşitliği, (2)de kulla nılırsa

R(s) = W(s)[l + A^ m

1 A (s)W"ı(s)H ı(s) (27) T

kileşmenin az olacağını gösterir. Bu koşul, dü şük frekanslarda yüksek kazanç değerleri seçerek ya da OT (oransal ve tümlevsel, proportional+ in tegral)denetleç kullanılarak sağlanabilir. Yüksek frekanslarda ise (23) bağıntısının sağlanabilmesi için T(s)nin ırasal işlevlerinin yeteri kadar kü çük olmaları gerekmektedir. Dolayısıyla, (28) yak laşıklığı yüksek frekanslarda geçerli değildir ve etkileşmenin belirlenmesinde başka bir yaklaşımdan yararlanılır.

eşitliği bulunur.

Yüksek frekanslarda

Belirli bir frekans bölgesinde T(s)nin bütün ıra sal işlevlerinin büyüklükçe 1 den çok büyük ol dukları varsayılırsa, bu frekans bölgesinde (27) eşitliği

* H~ı(jü>)

(28)

yaklaşıklığına dönüşür. Bu yaklaşıklık, H(s)nin köşegen bir matris seçilmesi durumunda, T(s)nin ırasal işlevlerinin büyük olduğu frekanslarda et

—r LGK Tl

'm

LGKHS (a)

W(ju) * I m

(29)

olduğu varsayılırsa, (27) eşitliği

R(juı) = [ l + A (ju)] ıA (jü))H ı(ju)

(30)

yaklaşıklığına dönüşür. Bu yaklaşıklık, H(s)nin köşegen bir matris seçilmesi durumunda, R(jü))nin yaklaşıklıkla köşegen bir matris, dolayısıyla etki leşmenin az olacağını gösterir. (29) yaklaşıklığı, T(s)nin ırasal vektörleriyle standart birim vek törler arasındaki açıların yeterince küçük olmala rı durumunda sağlanır [il] •

5.4. Performans (28) yaklaşıklığından görüldüğü gibi, H(s) =I se çilir ve yeteri kadar yüksek kazanç değerleri ya da OT denetleç kullanılırsa, düşük frekanslarda .yeterli bir denetim sağlanmış olur. T(s)nin ırasal işlevlerinin küçük olduğu yüksek frekanslarda ise (27) eşitliği

•® • • 1

t (s) LGK S

HLGKS

(bt

l

K 1 \6

u(s) . LOS _

KHLGS

Şekil 4. Açılma durumlarında eşdeğer dizgeler (a) Geri besleme döngüleri açılmaları (b) Karşılaştırıcı açılmaları (c) Uyargaç açılmaları

T(ja))H~ı(ju) = yaklaşıklığı olarak yazılabileceğinden, bu frekans bölgesinde yeterli bir denetime ulaşmak için açık döngü geçiş matrisinin uygun bir biçimde düzel tilmesi gerekir. Bu düzeltme için gerekli denetleç ler, genellikle, çıkış tepkeleri gözlendikten sonra tasarımlanır.

4.5. Eleştiri

Irasal yereğrileri tasarım yönteminde ağırlık ka rarlılık ve tümleşiklik sorunları üzerindedir, Gü zellikle tümleşiklik teoremi, her türde açılma durumunda kararlılığı belirleyen güçlü bir yön temdir. Buna karşılık, etkileşme ve performans sorunlarına daha az eğilinmiştir. Etkileşmenin belirlenmesi için yeterli çözümleme yöntemleri bulunmasına karşın, etkileşmenin fazla olması du rumunda nasıl bir denetleç tasarımlanması gerek tiği açıkça belirtilmemiştir. Buna neden, yönte min, dizgenin dış yapısı üzerine değil, doğrudan iç yapısını belirleyen ırasal işlevler üzerine kurulmuş olması ve tasarımlanacak bir denetleçin dönüş oran matrisinin ırasal değerlerini nasıl

etkilediğinin ayrıntılı olarak bilinememesidir.

Belirtilmesi gereken önemli bir nokta da, hem her tür döngü açılması durumunda kararlılığın sağlan ması, hem de performans özelliklerine uyulması ko şullarının, genellikle, aynı anda yerine getiri lemiyeceğidir [il,12]. Bu durumda tasarımcı, han gi türde açılmalara ağırlık vereceğini saptamalı ve tasarımı buna uygun olarak yürütmelidir.

6. SONUÇ

Çok döngülü doğrusal dizgelerin denetimine ilişkin ax» sorunlar belirtilmiştir. Denetimde çok kulla nılan iki tasarım yöntemi, evrik Nyquist sıra ve ırasal yereğrileri yöntemleri, bu sorunların çö zülünde yararlandıkları çözümleme teknikleri ve rilerek incelenmiştir.

Evrik Nyquist sıra ve ırasal yereğrileri tasarım yöntemleri çeşitli örneklere uygulanmıştır [il, 20 22]. Bu uygulamalarda, yöntemlerin tasarımda karşılaştıkları zorluklar belirtilmiştir. Örne ğin, evrik Nyquist sıra tasarım yönteminin, açık döngü geçiş matrisini köşegen baskın duruma ge tirmeden hiçbir çözümleme tekniği uygulayamaması, ırasal yereğrileri yönteminin de denetleç seçimi ne yeterince açıklık getirmemiş olması bu zorluk ların en önemlilerindendir. Bu açıdan bir bakış, bu iki yöntemin çözümleme tekniklerinin ortaklaşa kullanılabildiği bir yöntemin, denetim sorunları nın çözümüne kolaylıklar getireceğini göstermekte dir. Bu sav, bu doğrultuda yapılan bir çalışmada iki örnekle doğrulanmıştır [22].

İncelenen tasarım yöntemleri, doğrusal olmayan dizgelere de genelleştirilmiştir [23,24] .

KAYNAKLAR

[ l]Nyquist, H., Regeneration theory, Bell Syst.

Tech.J., 11, s.126 147 (1932)

[ 2]Bode, H.W., Netvrork analysis and feedback amplifier design, Van Nostrand (1945)

[ 3] Pontryagin, L.S., Boltyansky V.G., Gamkse lidze, R.V., Mischenko Y.F., The mathema tical theory of optimal processes, Inter science (1963) Kalman, R.E., The theory of optimal control and the calculus of variations, mathematical optimization techniques, Univ. of California Press, Berkeley (1963)

[ 5 ] Simon, J.D., Theory and application of modal control, System Research Centre Report, SEC 104 A 67 46, Case Institute of Technology (1967)

[ 6 ] Simon, J.D. ve Mitter, S.K., A theory of mo dal control, Information and control, 13., s.316 353 (1968)

[ 7 ] Rosenbrock, H.H., Distinctive problems of process control, Chem.Eng.Progress, 58 9, s.43 50 (1962)

[ 8 ] Boksenbom, A.S. ve Hood, R.,General algebra ic method applied to control analysis of complex engine types, NCA TR 980, N.A.C.A., Washington (1949)

[9] MacFarlane, A.G.J., Commutative controller:

a new technique for the design of multivari able control systems, Elec. Lett., 6(5), s.121 123 (1970)

[10] Rosenbrock, H.H., Design of multivariable control systems using the inverce Nycjuıst array, Proc.IEE, 116(11), s.1929 1936 (1969) Beiletrutti, J.J., Theory and design of mul tivariable feedback systems, Ph.D. thesıs, Control Sys.tams Centre, UMIST (1972)

[12] Beiletrutti, J.J. ve MacFarlane, A.G.J.,

Characteristic loci techniques in multivari

able control system design, Proc.IEE, 118,

s.1291 1297 (1971)

[13] MacFarlane, A.G.J., Linear multivariable theory: a survey, IFAC Symposium on Multi

variable Control Systems, Dusseldorf (1971)

[14J Rosenbrock, H.H., Yakında basılacak bir kitap [15] MacFarlane, A.G.J., The return differance and return ratio matrices and their use in the

analysis and design of multivariable feedback

control systems, Proc.IEE, 117, s.2037 2049

(1970)

[16] Chen, C.T., Stability of linear multivariable feedback systems, Proc.IEEE, 56(5), s.821

828 (1968)

[n] Hsu, C.H. ve chen, C.T., A proof of the sta bility of multivariable feedback systems,

Proc.IEEE, 56, s.2061 2062 (1968)

[18] Ostrovrski, A.M., Note on bounds for determi nants with dominant principal diagonal, Proc.

Am.Math.Soc, 3, s.26 30 (1952)

[19] McMorran, P.D., Design of multivariable sys tems, Ph.D. thesis, Control Systems Centre,

UMIST (1971)

[20] McMorran, P.D., Design of gas turbine cont roller using inverse Nyquist method, Proc.

IEE, 117(10), s.2050 2056 (1970)

[21] Elmaslı, I.A. ve Hüseyin, ö., Stability and control of a power system using inverse

Nyquist array design technique, IFAC Confe

rence, Dusseldorf (1974)

,

[22] Sezer, M.E., A design procedure for multi variable control systems and its applications,

Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ U 9 7 4 )

[23] Rosenbrock, H.H., Multivariable circle theo rems, İMA, Conference on Recent Mathematical

Developments in Control, Bath, İngiltere

[24] Hüseyin, ö., The Popov Criterion and the in verse Nyquist method., I J C , 18(6), s.1303 1312 (1973)