DOĞRUSAL RLC DEVRELERİNİN BİÇİMLENMESİNDE YENİ BİR YÖNTEM

DOĞRUSAL RLG DEVRELERİNİN BİÇİMLEMESİNDE YENİ BİR YÖNTEM

ÖNER ÖLCEREL YURDAKUL CEYHUN

UDK: 621.3.01

ÖZET

İki uçlu BLC devrelerinin biçimlemesinde Bryant Stern denklemlerinden esinlenerek yeni bir yön tem geliştirilmiştir. Ayrıca, bu yeni yöntem i le durum denklemleri arasındaki dönüşümler ta nımlanmıştır. Elde edilen denklem dizisinin du rum denklemlerine olan benzerliğinden ötürü, bu yeni biçimlemenin çözümü üzerinde durulmamıştır.

SUMMARY

A new technigue in the formulation of linear RLC networks is obtained, trhich is closely re lated to Bryant Stern formulation in non linear case. The transformations bettreen this formula tion and state eguations are obtained. Because of the identical forms of the matrix differen tial eguations in both formül ations, no atten tion is paid to the solution of these eguations.

1. GÎRÎŞ

Bağımsız akım ve gerilim kaynakları ile 2 uçlu doğrusal R, L ve C öğelerinden oluşmuş bir N devresi düşünelim. Bu N devresinin çicgesinde seçilen bir uygun ağaca göre durum denklemleri aşağıdaki biçimde yazılabilir.

(1.1a)

I = CX + D e + Q

(1.1b)

Burada X, ağaca giren sığaçların gerilimleri i le tümler, ağaçta kalan endüktansların akımla rından oluşan durum vektörüdUr. e, devreyi sü ren bağımsız akım ve gerilim kaynaklarının, a kım Ve gerilimlerinden oluşan uyarma imidir.

Otıer ölçerel, ODTÜ Yurdakul Ceyhun, Y.Prof.Dr., ODTÜ

I ise tepke imidir ve uyarma iminin tümleye nidir. Başka bir deyişle, tepke imi akım ve ge rilim kaynaklarının, sırasıyla, gerilim ve akım larından oluşmuştur. Denklem 1.1'de belirtil diği gibi, durum denklemlerinde genellikle sü rücülerin türevleri gözükmektedir.

Devrelerin biçimlemesinde kullanılan diğer bir yöntem ise Bryant Stern denklemleridir. Biz bu yazıda, doğrusal RLC devreleri için Bryant Stern denklemlerini kurarak, elde edilen denklem dizi si ile durum denklemlerinin kıyaslamasını yapa cağız ve her iki biçimleme yöntemi arasındaki dönüşümleri saptayacağız.

2. BRYANT STERN DENKLEMLERİNİN KURULMASI

Yukarıda sözü edilen N devresi için, seçilen bir uygun ağaca göre çevre denklemleri,

B31 B32 B33 B34 B41 B42 B43 B44 ,

br V

=0 V

Vb/ cg qcc %c

K, o " \r"

0G

cc o

*cc

%

*bc

(2.3) (2.4)

(2.5) \

Denklem (2.4) ve (2.5) deki q ve $ sırasıyla yük ve akış değişkenleri olup şu türde tanımlanır lar, (2.6)

(2.7) (2.1) ve (2.2) den aşağıdaki denklemler elde edilir.

Vc*+B34 Vbif B31VrB32Vbc B33Vbr

(2.1)

Ibc B12Icc = B 2 2 I c g + B32Icil + B 4 2 I 2 Şimdi iki yeni değişken tanımlayalım,

BT

Bu

23 ~ O OE

h'

hc

Tİ

41 hv

hi

B 43

B44T_

cg I

h

(2.2)

Bu denklemlerde Vbc, Vbr, ^ ve I b c

txt>S,

sırasıyla,

daldakbii c

sığaç,

direnç

endüktans

ların gerilim ve akım değişkenleri; V , V g,

V £ ve I. , I , l ı ise sırasıyla, kirişteki

sığaç, direnç ve endüktansların gerilim ve akım

değişkenleri; Vı ve 1^ gerilim kaynaklarının

gerilim ve akım değişkenleri, V2 ve I2 de akım

kaynaklarının gerilim ve akım değişkenleridir.

Devredeki öğelerin uç denklemleri de aşağıdaki türde verilmiş olsun,

Burada V , yalnızca endüktanslardan oluşan ke x sitlemelerin kesitleme gerilim değişkeni, IJJ de sadece sığaçlardan oluşan çevrelerin çember a kım değişkenidir. Denklem (2.8) ve (2.9) tanım lanan değişkenler türünden aşağıdaki gibi yazı labilir:

B32

B33

3 32

D22 cg

B 31

BB4 2

(2.12)

Denklem (2.12) nin durum denklemlerine benzer

Fv 1 [v 1 .

biçimde yazılması i ç i n . b c ve Lbr nın, yeni

Lci\ LcşJ

durum değişkenleri olan ()> ve q ile uyarma imi

nin değişkenleri olan devredeki gerilim sürücü

lerinin gerilim değişkenleri ve akım sürücüleri

nin akım değişkenleri türünden yazılması gerekir.

Bunun için ilkin Lbr vektörünü ele alalım.

C8

Eıentrik Mühendisliği 226

(2.1) in ikinci dizek dizisinden ve (2.2) nin üçüncü dizek dizisinden,

ıbr

OB

23 br

'»23 °

"43

B21 O elde edilir. Denklem (2.3)

33 "be

B,'22 O (2.13)

vbr 1

"br

LVcgJ

(2.14)

türünde yazılabilir. Burada % ve G evrikleri c olan köşegen altmatrislerdir. Denklem (2.13) ü (2.14) e yerleştirirsek

Vbr

O B23 ¥br

B23 0

"»22 °

»21 ° (2.15)

elde edilir. Buradan da I belirtik olarak cg

B,'23

B 33

Ybc

»23 G c

0 "»22

rv '

"Vbc"

vı"

IX

= Eu x

+ F11 J

elde edilir ki, burada

(2.17)

"»32 ° il =

O B32

» 33

KK1

O B,22

rı

»23.

>2 °

(2.18)

»31 °

11 O B42

V "»33 °

O B22

O"1

» 21

(2.19)

olarak tanımlanmıştır.

[v |

Şimdi de 1 ^ değişkenlerini ele alalım. Denk lem (2.10) ve (2.11) den,

Vel

I be

B34 ° [\ı 0 Bj I

(2.20)

ü0

biçiminde yazılır. Burada,

1 B,23

D43

B21 0

L2

(2.16)

matrisinin evriğinin olduğu kolayca gösterile bilir. Denklem (2.16), (2.12) ye konduğunda

B34

0 B12

(2.21)

elde edilir. Burada, elde edilecek biçimlendir me denklemlerinin çözümü sorununa girmeyeceği mizden başlangıç koşulları sıfır kabul edelim. Denklem (2.4) ve (2.5) de verilen uç denklemle ri kullanıldığında, (2.21) aşağıdaki biçimi a lır.

b v. bej

B 12

0C

:j

(2.22)

Denklem (2.1) in birinci dizek dizisinden ve (2.2) nin dördüncü dizek dizisinden,

elde edilir. Denklem (2.25) ve (2.26) dan L ve o

C altmatrislerinin evriklerinin olduğu kolayca o görülebilir.

Denklem (2.29) ve (2.17) den aranan sonuç

oc

0 Iq

JLV

F u " Eıı

34 B12 be

B.t 44

O B,

(2.23)

elde edilir. Bu denklem (2.22) ye yerleştiril diğinde,

OL o be v Co O

OL

(2.24)

bulunur. Burada

L = fini Lfc, B A ı T L o 34T> 34 c

= B12CcB12+Cb

(2.25) (2.26)

L, = B3,,4LLbBB44 Cl = B12CcBll

dir. Denklem (2.24) den

V, be

O C' o

(2.27) (2.28)

(2.30) olarak bulunur. Ya da daha kısa bir y a z ı ş l a ,

X=EX+Fe dir. Burada

(2.31)

(2.32)

(2.33)

F =Fıı "Eıı

c"ıc.

o1

(2.34) (2.35)

olarak tanımlanmışlardır. Denklem (2.31), (1.1a) ile karşılaştırıldığında her iki değişkenin (X ve X) verilen devreyi zaman uzayında tanımla dıkları görülür. X bildiğimiz durum değişkenle ridir, X'e olan yakınlığından ötürü İC'ye de du rumsal değişkenler diyeceğiz. Durumsal denklem lerin çok önemli bir özelliği biçimlemede sürü cülerin türev terimlerinin çıkmamasıdır. Devre nin tümünün tanımlanması için tepke denklemle rininde yazılması gerekmektedir. Tepke vektörü nü sürücülerin tümler değişkenleri olarak alır sak (2.36)

ya da

(2.29)

e = G X + H e + H..e o1

(2.37)

denklemi aradığımız ilişki olur. Şimdi G, H ve Q

H^ belirtik yazılışlarını bulalım.

Denklem (2.2) nin birinci dizek dizisinden ve (2.1) in dördüncü dizek dizisinden

1 i O B31 V,be

O B21 br !

LV2.

"B42 °, L ' c i J L B43 °J LXcgJ

!ı

:

+;

L° "B44J

jv

:v ı ;

(2.38)

olduğu görülür. Kirişlerdeki sığaçların ve dal lardaki endüktansların uç denklemleri şu türde yazılabilir:

c c"| i r1 cc 0 — 11

1 bfcj

h 0

±d \v"l dt"

'bil

(2.39)

ı in yerine denklem (2.23) deki eşdeğeri ko

nulduğunda denklem (2.39) aşağıdaki biçimi alır:

co c

B 1122

0 B34

co

e

it

(2.40) denklem (2.16) ve (2.40) denklem (2.38) e yer leştirilirse,

"11 be + H.11

c\ o

10 B,

11 " B41 1

(2.43)

C2 = BllCeBlî

(2.44)

L2 = B44LbB44

(2.45)

olarak tanımlanmıştır, C} ve L} ise denklem (2.27) ve (2.28) de oldukları gibidir.

Durum denklemlerinin belirtik yazılışı ise şöy ledir:

o cc Eıı "be

L"1 0

o cor FU 0

0l ö \ ir

(2.46)

Denklem (2.24), (2.41) ve (2.46) dan, tepke denklemleri (2.37) de olduğu gibi elde edilir ler. G, Ho ve Hj matrislerinin açık yazılışları,

G = Gİ l

1 0C

0 c"1 o E,,

L"1 0 o

o c1 1

(2.47)

(2.41)

elde edilir. Burada

u D 31

G

" B42 1

B21

1 «b

B

O B33

B43

D23

B22

(2.42)

Ho = î o 0 CTC 1

Lo\

•ıV •

(2.48)

T1 cıco

Hr

T1 T rT T T 1o 1 2

(2.A9)

şeklindedir. Aynı zamanda G^ ile F^ arasında da aşağıdaki türden bir ilişkinin varlığı kolay ca görülebilir:

ü

"u 0 0u

(2.50)

u o" T " 0 u

"11 =

U

0u

(2.51)

Böylelikle denklem (2.31) ve (2.37) dizileri N devresinin tanımını yapmaktadırlar. Denklem (2.32) de tanımlanan X vektörünün biçimlemede bir değişken olarak kullanılması düşüncesi ilk kez Bryant tarafından ortaya atılmış sonradan bu yeni değişken Stern tarafından doğrusal ol mayan devreler için de kullanılmıştır. Bilindi ği kadarı ile bu değişkenlerin doğrusal RLC dev releri için ayrıntılı bir incelemesine bugüne dek girişilmemiştir. Yazının geri kalan kısmın da Bryant Stern yada durumsal denklemler ile durum denklemleri arasındaki dönüşümlerden söz edeceğiz.

Denklem (3.2)

X = QX + Pe

(3.3)

olarak yazılabilir. Burada

0 Lo]

Q=

Co ° j

"o V

P=

Cl °

(3.4) (3.5)

olarak tanımlanmışlardı.

Denklem (3.3) ün sonucu olarak durum denklemi ile Bryant Stern denklemi arasında iki yönlü doğrusal bir dönüşüm elde edilir.

(3.6)

X = O."1 X Q~X Pe + K,

(3.7)

burada K ve K2 vektörleri X(0), X(0) ve e(0) x ile P ve 0,'dan oluşmuştur.

Şimdi A ve E matrisleri arasındaki dönüşümü in celiyelim. Denklem (2.34) ve (2.46) ve (1.2) den sırasıyla,

1 SU

(3.8)

3. DURUM YÖNTEMİ VE BRYANT STERN (DURUM SAL) YÖNTEMİ ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLER

Durum denklemleri ve Bryant Stern (durumsal) denklemleri arasındaki dönüşüm aşağıdaki biçim de bulunabilir.

(2.4) ve (2.5) deki uç denklemleri ile (2.10) ve (2.11) den yararlanarak,

0 od

S, 0 dt

0B 34

"B 12

(3.1)

elde edilir. Denklem (2.40) in (3.1) e yerleşti rilmesiyle

v dt

dt *<*

yazılabileceği görülür. 462

(3.2)

A= 1

(3.9)

olduğu görülür. (3.8) ve (3.9) dan aşağıdaki benzeşim dönüşümleri elde edilir,

E = Q AO."1

(3.10)

A = Q~l EQ

(3.11)

Öte yandan F matrisi ile B ve Bı matrisleri a o rasındaki ilişki şu türde elde edilebilir. Yine denklem (2.34), (2.46) ve (1.2) den;

X = Q E X "t* Q F c

(3.12)

X = Ej^O."1 X + ( F ı x yazılabileceği görülür. Burada

(3.13) (3.14)

dir.

Dolayısı ile her iki biçimleme arasındaki dönü şümler tamamlanmak isteniyorsa,

A = Q "11

(3.15)

Bo =

(3.16)

F= ve = Q XV

Q"XEP

(3.17) (3.18)

bulunur.

Yukarıdaki incelemeden görüldüğü gibi elde edi len denklemler, biçimce durum denklemlerinin ay nısıdır. Dolayısı ile bu denklemlerin çözümlen mesi durum denklemlerinin çözümlenmesinde kulla nılan yöntemin aynısı olacaktır.

4. ÖRNEK

Şekil I1de verilen devrenin ilişkin çizgesine göre, durum denklemleri:

•T

•T °

[• il

V.

o i dt .V

(4.1)

£_1

o il;v2l 0 4

i1

•s "2

ı I dt

TJ

. X8J

olarak elde edilir.

Bryant Stern denklemleri ise

r»d

X , "o

•e

.V

•3

VL

I B.

(4.2)

(4.3)

_V8.

1 4

olarak bulunul

"•« •• + "T

\ d dt

.X8

°. . X 8 .

(4.4,

SONUÇ

Bu yazıda ana düşüncesi öteden beri bilinen bir yöntem doğrusal RLC devrelerine uygulanarak el de edilen denklemler ayrıntılı olarak incelen miş ve bu yöntemin durum denklemlerine olan i lişkisi ortaya konmuştur.

Bu yazı, Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumunca desteklenmiş olan MAG 324/A sayılı araştırmanın bir parçasıdır.

. Şekil 1. Elektrik Mühendisliği 226

KAYNAKLAR

1. Tokad, Y. "Foundations of Passive Electri f cal Netvork Synthesis" ODTÜ Yayınları No.41, 1972

2. Ceyhun, Y., "Doğrusal Devrelerin Biçimlendir mesinde Yeni Yöntemler ve Yeni Devre Öğeleri nin Tanımlanması" TBTAK, Rapor MAG 324/A, 1973

3. Clay, R., "Nonlinear Netvorks and Systems" Wiley Interscience, 1971

4. Mac Farİane, A.G.U., "Dynamical System Models" Harrap, 1970

5. Stern, T.E., "On the Equations of Nonlinear Networks" IEEE Transactions on Circuit Theory.Cilt CT 13, 1966, S.74 8İ