GÜRÜLTÜSÜZ EN İYİ ZAMAN DENETİM PROBLEMİNDE ANAHTARLAMA EĞRİSİNİN BULUNMASI

gürültüsüz eniyi zaman denetim probleminde anahtarlama eğrisinin bulunması

H. öner Y urtseven

ÖZET

Yazıda doğrusal, zamanla değişmeyen sistemler için bilinen eniyi zaman denetim koşulları ba sitleştirilmiş olarak verilmekte ve ikinci dere ce bir sistemin anahtarlama eğrisi çözümsel ola rak elde edilmektedir. Bulunan eğri, sisteme gü rültünün karıştığı durtımlarda Monte Karlo yönte mi uygulanırken başlangıç eğrisi olarak kullanı labilmekte ve eniyi zaman çözümünün bulunmasını kolaylaştırmaktadır.

SUMMRRY

Well known results of deterministle time optimal control for a linear time invariant system are given in a simplified manner and the switching curve for a second order system is obtained analytically. The curve can be used as an initial approximation in Monte Carlo method for stoehas tic time optimal control and serve as a suboptimal solution.

UDK: 621 52

GÎRÎŞ

Eniyi denetimin (optimal control) çok bilinen so runlarından biri de bir sistemin başlangıç duru mundan son durumuna en kısa zamanda götürülmek istendiği eniyi zaman denetim (time optimal con trol) sorunudur. Fiziksel nedenlerden dolayı de netim girişlerinin genlikleri sınırlıdır ve kla sik değiş imsel matematik kullanılamaz. Gerçekte ilk kez bu tür problemde "bang bang" t i p i yada bir sınırdan ötekine değişen denetim kullanılmış tır.

Soruna Pontryagin'in [l] maksimum ilkesi (maximum principle) yada Bellman'ın [2,3] devinik program laması (dynamic programming) i l e yaklaşılabilir. Ancak bunlardan birincisinde denetim yalnızca za man i ş l e v i , başka bir deyişle "açık döngü" tipi denetim, ikincisinde ise durum değişkenlerinin işlevi yada "kapalı döngü" tipi denetimdir. Devi nik programlama yöntemi maksimum ilkesi kadar ge nel olmasa bile gürültülü eniyi zaman denetim problemlerinde kullanılabilmektedir. Buna karşı lık maksimum ilkesinin bu tür problemlere uygulan ması zordur.

Gürültüsüz bir sistem için, son durum yalnızca bir nokta ise devinik programlama kullanılamaz, fakat bu çalışmada son durum nokta değil bir çem berdir ve her iki yöntem de uygulanabilir. İ l e r i de gösterileceği gibi çember yerine elips alınır sa çözüm biraz daha karışık olacaktır.

H.Oner Yurtseven, Y. Prof .Dr., ODTÜ

PROBLEM TANIMI Doğrusal, zamanla değişmeyen sistem

x ( t ) = Ax(t) + Bu(t)

(D

şeklinde tanımlanmış olsun. Burada x ( t ) nxl bo yutlu durum vektörü, u ( t ) mxl boyutlu uyarı yada g i r i ş vektörü, A ve B de nxn ve nxm boyutlarında değişmez matrislerdir. Giriş yada uyarı, u ( t ) , s ı n ı r l ı bir U kümesi içinde parça parça sürekli (piece wise continuous) olsun.

Artık problem şöyle tanımlanabilir: Başlangıç ko şulu x ( t o ) = Xo olan ve denetlenebilir (1) s i s t e mi için öyle bir parça parça sürekli denetim u(t) £U bulunmalı ki sistemi başlangıç durumu x0 dan uç bölgesi S ye enaz zamanda getirsin; bir başka deyişle,

tf

I=

!• dt =

en küçük değerde kalsın. Uyarı yada denetimdeki sınırlama fiziksel nedenlere dayanmaktadır, üs telik problemin tanımı s ı n ı r s ı z denetimler için daha zordur. Alışılageldiği üzere denetim vektö rünün her öğesi için s ı n ı r l ı olma yani, lu.I <o.

koşulu konursa, U kümesinin bir paralel yüzlü (parallelopiped) olduğu görülür.

x(t,)

At + min ueU

3T(x)/3x.

a..x.

1J J

Şekil 1. S uç bölgesi için durum yörüngesi.

Çözüm :

Problemin çözümü için devinik programlama kulla nılarak Hamilton Jacobi kısmi türevsel denklemi elde edilecektir.

Şekil l'de gösterildiği gibi, T(x), sistemin to anında x ( t 0 ) durumundan tf anında S bölgesinde x(tf) durumuna ulaştığı enaz zaman olsun. Burada T(x) denetime bağlı değildir.

At saniye sonra durum vektörü x+Ax ve uç bölgesi S ye ulaşmak için gerekli enaz zaman T(x+Ax) dir. Artık T(x+Ax) uyarı yada denetime bağlıdır çün kü Ax denetimin bir işlevidir. Bellman'ın i l k e s i ne göre eğer T(x), x durumundan S bölgesine ulaş mak için geçen enaz (minimum) zaman i s e , U(t) de netimi x + Ax durumundan S ye ulaşmayı enaz yapa cak şekilde seçilmelidir:

T(x) = At + min T(x + Ax) ueU

(2)

T(x) işlevinin birinci kısmi türevleri varsa,

T(x + Ax) = T(x) n

+I 8

(3) i + 0(Ax)

olarak yazılabilir. Burada 0(Ax£), Axi'in lim O(AXi)/AXi = 0 , i = l , 2 , . . . , n .

I ..u k=l 1 K

0(At)

bulunur. Denklemin her iki yanı At i l e bölünüp At s ı f ı r a yaklaştırılırsa, (4) i l e verilen Hamil ton Jacobi kısmi türevsel denklemi bulunur:

Hamilton Jacobi denklemi

0 1+min

3T(x)/3x. ( £ a..x.

ueU

L i=l 1 J J

(4)

V K 1 b . k=l

3T/3x = n •I

<x,y >

ı . . . 3T/3xnJ , x^

tanımları yardımıyla

0 1 + min OT(x)/3x , Ax+Bu> ueU

şeklinde y a z ı l a b i l i r . Eğer çözüm o l a b i l e c e k dene timlerin kümesi küp olursa, U = { u | |ujj < 1 } , Hamilton Jacobi denkleminin çözümü

u. = sgn ) 3T/3x. b., k= 1,2

m

T

i=l

X

ll

yada vektör denklem olarak

u = sgn B'3T/3x

(5)

şeklinde çıkar. Burada sgn i l e tanımlanan i ş l e v , işaret yada yön i ş l e v i d i r ve

sgn x

+1 X > 0 0 X=0 l x<0

koşulunu sağlayan yüksek dereceli terimlerini kapsamaktadır. x£(t + At) için Taylor açınımı kullanılırsa:

= x£(t) + X i ( t ) At+0(At), i = 1,2 n

0(At) , i = l , 2 , . . . , n elde edilir. (1) denkleminde

ile verilir. En iyi denetim bu durumda bir sınır dan ötekine atlayan "bang bang" adı verilebilen denetim olmaktadır.

u(t) denetimi bir boyutlu (skalar) ise (4) denk leminin çözümü için u(t), ya +1 yada 1 olarak

yazılabildiğine göre son iki denklemi (3) denkle mine ve onu da (2) denklemine koyup b a s i t l e ş t i r me yapılırsa

Şekil 2. Eliptik uç bölgesi için durum yörüngesi. ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 239

y 3.5 3.0 2.5

2.0^ \

5.0 45 4.0 35 3.0 25 2.0 UB46 U U | ^

uTZ

^ | 121.41.61.82.0 2.5 3.0 35 >û 45 5.0

b = 0.1 _ b=02 b = 0.5 b=1 0 b=t.5

\\

\Nts

" 2.0

2.5

35 Şekil 3. Çeşitli b değerleri için anahtarlama eğrileri.

alınır ve sınır koşulları olarak xeS için T(x)= 0 eşitlikleri kullanılır. Bulunan çözümler durum uzayında ancak belirli bölgeler için geçerli olur ve bu bölgeleri ayıran anahtarlama eğrisi (5) denkleminde

B'3T(x)/8x = 0

alınarak elde edilir. T(x) anahtarlama eğrisi üzerinde sürekli olduğu için bulunan bu çözüm, durum uzayında daha geniş bölgeler için çözüm el de etmede kullanılır. Bundan sonraki bölümde veri len kolay bir örnek şimdiyedek anlatılanları daha iyi aydınlatacaktır.

örnek : Durum denklemleri

X "o ı" X

d/dt

(6)

y

00 y

olarak yazılabilen ikinci dereceden bir sistemi ele alalım. Şekil 2'de gösterildiği gibi eliptik uç bölgesi için anahtarlama eğrisi elde edilecek tir.

Verilen sistem için (4) denklemi

0 = 1 + min [ 8T/9x y + 8T/3y u ] ueU durumuna gelir. Parantez içindeki terimin minimum

olması için

u = sgn 3T/3y

(7)

olması gerekir. (5) denkleminde x,y,u yerine sı rasıyla x, y, u konduğunda eşitlik korunduğu için çözüm bakışımlıdır (simetrik), dolayısıyla yalnızca 3T/3y> 0 durumunu incelemek yeterlidir. Bu durumda, (7) denkleminden u = l bulunur ve (4) denklemi

0 1 + 3 T/3 x y 3T/3y

(8)

olur. (8) denkleminin çözümü ise [4]

dx/y = dy/ l = dT/ l olarak bulunur. Birinci eşitlikten

(9)

ve ikinci eşitlikten

T(x,y) = y c 2

(10)

elde edilir. (9) denklemi durum değişkenleri x ve y nin izleyecekleri yörüngeyi, (10) denklemi de minimum zamanı verirler, c^ ve c değişmezleri sınır koşulları kullanılarak bulunurlar. Uç böl gesi elips olduğundan

(x,y) e S= { x,y | x 2 + y 2 / b 2 < 1}

için T(x,y) =0 dır. Uç bölgesinde C(x ,y ) nokta

sında hem (9) denklemi, hem de uç bölgesi denkle I mi sağlanacağından,

y = f Sb'V + (4b" + 8b2)x2] */(l 2b2x)

c1

x2 r

++

— 2

ve

t2

olacaktır. Bu iki denklemden, y

yr = f g { l / b 2 ( 2 x + y 2 b 2 ) }* + 2x +y2 2/b2]

olarak bulunur. (10) denklemine de sınır koşulu uygulanırsa:

T(xr,yr) = y r ~ c 2 =0 ve c2 = y r elde edilir.

A = | l/b2 ( 2 x +yy2 2 bb22))||ii ve B = 2x+y2 2/b2 olarak tanımlanırsa B = b 2 l/b2 A2 olur ve (10) denklemi

olarak y a z ı l a b i l i r . Pay paydaya bölünürse

y = f 2x + b2 + (l+l/b")/x+(3/4b2

/x2 + . . J i

olur ve gene büyük x değerleri için, ilk iki te rimin yeteceği varsayılırsa y [ 2x+b2]'

y2/2 = b2/2

(13)

çıkar ki bu da anahtarlama eğrisinin yaklaşık gös terimidir. (13) denklemi, (12) den daha önemlidir, çünkü daha basittir ve alteniyi (suboptimal) anah tarlama eğrisi olarak kullanılır.

Eğer b= 1 alınırsa, uç bölgesi çember olur; yörün ge denklemi

= [ 8x3 + 12x2 4 2 ( l 2 x +

,i i

T(x,y) y l"(2/b)A+b2 l / b 2 A 2 j İ (11)

/ (1 2x)

denklemine dönüşür. Anahtarlama eğrisi

3T(x,y)/3y = 0 koşulu ile bulunacağı için (11) denkleminin kısmi türevi alınıp, sıfıra eşitlendiğinde (1 bA) y/A = b (2/b)A +b2 l/b2 A2 1 i

ve minimum zaman da T(x,y) = y [2 { 2 ( l x y 2 / 2 }i

2(l x y2/2İ

şekline dönüşür ki kaynak [5] ile aynı sonuçlara varılır. T(x,y) nin bulunmasındaki ayrıntılara bu rada girilmemiştir.

olur. Her iki yanın karesi alınıp basitleştirilir ve A nın tanımından y çekilerek yukarıda yerine konursa

[<bı> 2b2x

b2(b" 2b2x

/b(l 2b2x)

bulunur. Gene A nın tanımıyla karşılaştırıldığında

b*x3 + (4blf + 8b2)x2 + ( 2 b " 2 ) x 2 b 6

SONUÇ

Gürültüsüz eniyi zaman denetim probleminin tam çö zümü elde edilmiştir. Anahtarlama eğrisinin basit leştirilmiş bir yaklaşımı sisteme gürültü eklendi ğindeki çözümü bulmak için başlangıç eğrisi ola rak kullanılabilir. Özellikle Monte Karlo yönte minde, çözüm aramayı kısaltmaya yardım eder.

2b2 2(b" 2b2x + 1)(b1* 2b2x + 1)* 1

/(l 2b2x)

(12)

elde edilir. Daha önce de belirtildiği gibi eğri bakışımlıdır ve Şekil 3'de b nin çeşitli değerle ri için çizilmiştir. Burada vurgulanması gereken bir nokta yukarıdaki örnekte yörüngelerin uç böl gesini kestiği durumlar için minimum zaman T(x,y) bulunduğudur. Çözümü daha genelleştirmek ve yörüngelerin anahtarlama eğrisini kestiği du rumları da incelemek için, T(x,y)'nin anahtarla ma eğrisi üzerindeki değeri bilinmeli ve bu prob lemi yeniden çözmek için sınır koşulu olarak kul lanılmalıdır. Yukarıda yapılan örnek için buna gerek yoktur, çünkü anahtarlama eğrileri tam ola rak bulunmuştur.

Büyük x değerleri için (12) denkleminde payın sa dece ilk iki terimi alınabilir ve

KAYNAKLAR

[l] Pontryagin, Bol'tyanskii, Gamkrelidze, Mishchenko, "The Mathematical Theory of Optimal Processes", McMillan Co., New York, 1964.

[2] Bellman, R.E., "Dynamic Programming", Prince ton Univ. Press, Princeton, N.J. 1957.

[3] Dreyfus, S.E., "Dynamic Programming and the Calculus of Variations", Academic Press, New York, 1965.

[4] Kells, L.M., "Elementary Differential Equa tions", McGraw H i l l , New York, 1960.

[5] Robinson, P.N., "Stochastic Time Optimal Control" Ph.D.Dissertation, Department of Elect. Engg. Polytechnic I n s t i t u t e of Brooklyn, N.Y. Haziran, 1965.