MATEMANTIK

Değerli Matcmanlıkçılar, Matemantık köşemizi hazırlayan Yö netim Kurulu Yedek Üyesi ve Yayın Kumlu Üyemiz Sayın M.Serhat ÖZYAR bu sayımızdaki köşesini sağ lık sonulları nedeniyle hazırlayama mıştır. Kendisine acil şifalar dileriz...

Matemantık meraklıları içiiı bu sayı mızda Odamız üyesi TRT Stüdyolar Dairesi Enerji Müdürü Sayın Abdullah CENKÇtLER'in Gauss'un buluşuyla ilgili güzel çalışmasını sunuyoruz. O, GENELDE ELEKTRİK ALA NİNDA KENDİ ADI İLE ANILAN GAUSS TEOREMİ İLE TANINIR. OYSA ONUN BİRÇOK BİLİM DALI İLE İLGİLENDİĞİNİ, BİR DAİRE NİN İÇİNE YALNIZCA PERGEL VE CETVEL KUL/ANARAK DÜZGÜN ONYEDİGENİN ÇİZİLİŞ YÖNTE MİNİ BULDUĞUNU BU NEDEN LE MEZAR TAŞINA DA, DAİRE İÇİNE ONYEDİGEN İŞLENDİĞİ Nİ BİLİYOR MUYDUNUZ? Gauss (Kari Friedrich) Alman mate matikçi, gökbilimci, fizikçi ve elek trikçi. Bu kadar çok bilim dalıyla uğ TOşan başka bir deha hemen hemen yok gibidir. 1777 1855 Yıllan arasında ya şadı. Henüz üç yaşındayken okııına yazma ve saymayı biliyor, babasının hesaplarındaki yanlışları buluyordu. On yaşındayken de, aritmetik dersinde öğretmenleri, l'den 100'e kadar olan ardışık sayıların (1+2+3+ +100) top lamını öğrencilerinden istedi. Gauss hariç diğer öğrenciler harıl harıl toplama yaparken Gauss, ellerini kavuşturmuş oturuyordu. Çünkü O, sonucun n(n+l)/2 fonnülüyle kolayca bulunacağını biliyordu ve üstelik sayılan kafasında çarparak neticeyi hesaplayıvennişti.

Olağanüstü yeteneği farkedilen Gauss, Braunschweig Dükünün yardı mıyla okudu. Ünlü en küçük kareler yöntemini de (The Method of Least Squares) henüz onyedi yaşındayken keşfetti. Mütevazi ve dedikodulardan uzak bir hayat yaşayan Gauss 1800'lü yıllarda Gökbilime merak sardı. Ceres

gezegeninin yörünge hesaplarındaki başarısından ötürü 1807'de Göttingen Gözlemevi'niıı başkanlığına getirildi. 1830'lıt yıllarda da kendisini fizik ve elektriğe (özellikle yer manyetiği üzerine) verdi. VVeber ile birlikte elektrikli telgrafı gerçekleştirdi.

Şimdi Gauss'u matematik dalındaki o muazzam ve görkemli buluşuyla (daire içinde düzgün onyedigen) daha iyi tanımaya çalışalım.

Bir dairenin içine sadece cetvel (ölçeksız) ve pergel kullanarak üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve bunların katlan (sekizgen, ongen, onikigen gibi) düzgün çokgenlerin çizimi öteden beri biliniyordu. Örnek olarak, altıgen için yarıçapı (R) olan bir daire çizilir. Pergel açıklığı değiştirilmeden çember üzerinde gezdirilir. Üçgen (eşkenar) çizmek için altıgende yapılan işlem birer atlanarak tekrarlanır. Dörtgen (kare), dairenin birbirine dik çapları nın çemberi kestiği noktalan birleş tirilerek kolayca elde edilebilir. Beş gen çizmek biraz daha geometri bilgisi ister ama, sonuçta o da o kadar zor değildir. Dik kenarları AB=2 birim (yarıçap), BC=I birim (yarıçapın yarısı) ve hipotenüsü de AC=5 birim olan ABC dik üçgeni, B dairenin merkezi olmak üzere çizilir. Pergel C köşesine konulup CB kadar açılarak AC hipotenüsü Üzerinde D noktası bulunur. Pergel bu kez A noktasına konulup AD kadar açılır. AB kenarı üzerinde AD=AE olacak şekilde E noktası bulu nur. Sonra E merkez AE yarıçap olarak bir yay, sonra B'yi merkez alıp aynı yarıçap üzerinden bu yay F noktasında kestirilir. BF'nin uzantısının çemberi kestiği yer ile A birleştirildiğinde beşgenin bir kenarı elde edilmiş olur.

Ama, bir dairenin içine sadece cetvel ve pergel kullanarak düzgün onyedigen çizmek herkesin harcı değildi.

Tüın zamanların en büyük matematikçisi kabul edilen Ne\vton (1642 1727) kutupsal koordinatları ilk kez kullanmasıyla (Benıoulli Lemnis katı) ünlü Jakob BERNOULLI (1645 1705) ve fonksiyonların ara değer lerinin, hesaplanmasındaki arabul um (interpolation) yöntemleriyle tanınan Lagrange (1736 1813) gibi büyük dü şünürler .bile bir türlü bunu başa ramadılar. Sonuçta, sadece pergel ve

cetvel kullanarak daire içine düzgün

onyedigen çizebilmek için I 8.yüzyılın

sonlarını, bir başka deyişle Gauss'un

18 yaşına basmasını beklemek gerekti.

Gauss, Fenııat teoreminden de esinle

nerek (bu teoreme göre eğer 1' bir asal

sayı ve pozitif bir sayı olan a, 1' tara

fından tam olarak bölünebiliyorsa, a"'""

1, P tarafından bölünebilir Örnek:

a=l(), P=7 ise 999.999 7'ye tanı olarak

bölünebilir) x"=l denkleminin çözümü,

yani dairenin eşit bölünmesi üzerine

çalışırken şu ilginç sonucu buldu. P

asal sayı olmak üzere P kenarlı bir

çokgen, ancak ve ancak P=2"" +1

şeklinde ise (n<5 olmak koşuluyla) bir

daire içerisine pergel ve cetvelle çizi

lebilir. Buna göre n=(),l ve 2 için P sı

rasıyla 3,5 ve 17 olmaktadır. Şimdi

Gauss'un akıllara durgunluk veren

başarısını, yani daire içine düzgün

onyedigeni çiziş yöntemini görelim.

Şekil 1: O merkez, ()P 1 yarıçap olmak

üzere çizilen dairede OIM'e dik OB dik

ekseni çizilir. OB 4'e bölünerek J,

O.TP1 açısı da dörde bölünerek E

noktaları elde edilir. (Böylece

OJ=OB/4 OJE=OJPI/4 olur) F.TE =45

olacak şekilde F noktası bulunur.

Şekil 2 : FPl'i çap kabul eden daire

çizilir. Bu daire OB'yi K noktasında

keser.

Şekil 3 : E Merkez, EK yarıçap olmak

üzere ikinci bir daire çizilir. Bu dairede

N5 ve N3 noktalarını belirler.

Şekil 4 : N5 ve N3 noktalarından OPI

eksenine dikler çizilerek P6 ve P4

noktaları elde edilir.

Şekil S : P6 P4 yayı ikiye bölünerek

P5 noktası bulunur.

Şekil 6 : Pergel P6 P5 (veya P5 P4)

kadar açılarak çember üzerinde

gezdirilir ve çokgenin diğer kenarları

bulunur. Gauss'un bu çizim tekniğini

bilgisayara yükledik ve noktalayıcı

(plotter) aracılığıyla da hatasız olarak

düzgün onyedigenin daire içerisine

çizildiği kanıtlandı. Gauss'un bu çizim

yöntemini

nasıl

bulduğunun

irdelenmesini ise bu konuya meraklı

meslektaşlarımıza bırakıyonız. Ancak,

JP1 uzunluğunun 17 sayısı ile orantılı

ve OP1 'i bir birim kabul edersek P1 P6

yay parçasının 10 /17'ye eşit olduğunun

bulunabileceğini

belirtmeden

geçmeyelim.

Bu büyük buluşundan ötürü

Gauss'un Göttingen'deki mezar taşında

bir daire içinde düzgün onyedigen

işlenmiştir.

104 394 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

DAİRE İÇİNE DÜZGÜN DNYEDİGEN'İN SADECE ÜLE.EKSİZ CETVEL VE PERGEL KULLANILARAK ÇİZİMİ (ÇİZİMLER BİLGİSAY ARDA HAZIRLANMIŞTIR)

P8

P12 P13

P17

P16

P15 P14

Sevgili meslektaşlar Merha ba, birlikte satranç öğrene ceği/.. Bu sayımızda sizlere satranç taşlarının hareketle rini açıklamak istiyorum. İsterseniz ilk olarak taşların başlangıçtaki konumlarına bakalım. (Bkz. Diagram 1)

Fil çapraz olarak ilerler ve oyun süresince bulunduğu renkteki karelerde kalabi lir. Diagram 4'te b5 kare sinde bulunan beyaz fil, C6.d7,e8,a6.a4,c4.d3.e2, di karelerine hareket ede bilir. Filin taş almasına ör nek olarak. Diagram 4'te c8 karesinde bulunan si yah kalenin alınmasını verebiliriz.

abcdef

Diagram 1

Şimdi sırayla taşların hare ketlerine göz atabiliriz. İlk taşımız şah. Şah bulunduğu kareden bitişikte olan kare lere gidebilir ve bu karelerde bulunan karşıt taşları alabi lir. Diagram 2'de görünen d3 karesindeki beyaz şah. d4.c4.c3.c2.d2.e2.c3.e4 ka relerine gidebilir. Beyaz şah e4 karesindeki siyah kaleyi alabilir. (Bkz.Diagram 2)

Diagram 4

Vezir, satranç oyununda en güçlü taştır. Yatay, dikey ve çapraz olarak ha reket edebilen vezir, bir anlamda hem fil hem de kale gibi hareket edebilir. Diagram 5'te c5 karesinde bulunan beyaz vezir, a5. b5. d5. e5. f5. g5. h5. c6. c7, c8. el, c2, c3. c4. a3. b4. d6, e7. ft, a7, b6. d4. e3, f2. gl karelerine ilerle yebilir. Vezirin taş alması na örnek olarak Diag.5'te a5 karesinde bulunan atı vcrebiliriz.(Bkz.Diag. 5)

abodefçrh Diagram 2

Diagram 3'te de görüleceği gibi, kale yatay ve dikey ola rak hareket eder. Diagram .Vte b3 karesinde bulunan beyaz kale. b4.b5,b6,b7.b8. b2,bl,a3,c3,d3,e3.f3.g3.1ı3 karelerine gidebilir, bl kare sindeki karşıt fili alabilir.

abedefg h Diagram 3

Diagram 5

At L şeklinde bir hareketle (bir düz bir çapraz) toplam üç kare ilerler. At diğer taşların üzerinden allaya bilir ve gittiği karede bulu nan karşıt taşı alabilir. Diagram 6"da d4 karesin de bulunan beyaz at; b5. b3. c6. c2. c6. c2. f5. f3 karelerine gidebilir. At ancak gittiği karede bulu

CM t l

nan karşıt taşı alabilir. Ör nek olarak Diagram 6'da c6 karesinde bulunan karşıt taşı alan beyaz atı verebili riz. At geçtiği karelerde bu lunan taşları alamaz. Yalnız karşıt taşların değil kendi taşlarının da üzerinden atlayabilir.

IF m* 8

m

HHü O + UL+ IHL Jmj

5m

3i

I

fi

Diagram 6

Er tek bir yönde, bulundu ğu dikeyde, yalnız ileri doğnı bir kare ilerler. An cak başlangıç yerinde (Bkz. Diagram 1) bulunan erler bir ya da iki kare ilerleyebilir. Diagram 7'de a6 karesinde bulunan be yaz er a7'ye. c2 karesinde bulunan beyaz er c3 ya da c4'e. b7 karesinde bulunan siyah er b6 ya da b.Vc, e7 karesinde bulunan siyah er e6 ya da c5'e, f4 karesinde bulunan siyah er D kare sinde hareket edebilir. Er ler taş alırken farklı ha reket ederler. Er çaprazın

HAZIRLAY AN: Ali Nihat Y AZICI Türkiye Satranç

Federasyonu MHK Başkanı ilerleyen eri sanki bir kare ilerlemiş gibi alabilirler. Ancak bıı alış ilk hamlede gerçekleştirilmelidir. Eğer ilk hamlede yapılmazsa bir daha yapılamaz. Bu ham leye geçerken alma denir.

USTALARA

Sizleri de unutmadık. Bu ay biri çözümlü iki problem sunuyoruz. Diğer problemi çözüp bir ay içinde adre sime yollayanlara satranç kitabı armağan edeceğiz. Çözümlü sonunuz, 3 ham lede mat. ama nasıl? Yanıtı aşağıda verilmekte. Ödüllü sonunuz ise 2 hamlede mat. Çözenler arasında çekile cek kurada bir üç arkada şımıza birer satranç kitabı armağan edeceğiz. Adres: P.K.76 Yenişehir ANKARA

S 8 H

mm İÜ

&r k i 6

AÎM

CM" 5 +m

a 4 m +

İKİ mm

3 fi"?

ZW 2

m + mı

1 B\Mi5 EmSâ3

RSP!

abcdefgi

Diagram 7

daki taşı yerine geçerek alır. Diagram 7'de a6 ka resinde bulunan beyaz er b7 karesinde bulunan si yah eri, bu er de a6 kare sinde bulunan beyaz eri alabilir. Er için özel bir durumda geçerken alma dır. İlk hareketinde iki ilerleyen bir erin geldiği karenin yatay olarak bitişi ğinde bulunan erler iki

3 Hamlede Mat

2 Hamlede Mat

ep eA (q

+gq i

u (e