KESKİN KESİMLİ ÇENTİK VE BANT GEÇİREN SÜZGEÇLERİN ETKİN GERÇEKLEŞTİRİLMESİ

KESKİN KESİMLİ

ÇENTİK VE BANT 6ECİREN SÜZGEÇLERİN ETKİN GERÇEKLEŞTİRİLMESİ

SÜLEYMAN PENBECİ AHMET UZUN06LU

UDK: 621.372.54 621.372.57

ÖZET

Bu yazıda keskin kesimli çentik (no t eh) ve bant geçiren süzgeçlerin gerçekleştirme yöntemleri önerilmiştir. Keskin kesimli çentik ve bant ge çiren süzgeç işlevlerini elde etmek için Butter worth ve Çebişef alçak geçiren süzgeç işlevleri nin değiştirilmesi ile bulunan yeni işlevler kullanılmış ve bu süzgeçlerin gerçekleştirilme leri etkin devre bireşim (sentez) yöntemleri kullanılarak, yapılmıştır. Kararlılık ve duyar lık gerekleri gözöniinde bulundurularak keskin kesimli süzgeç işlevleri bir ve/veya ikinci de receden çarpanlara ayrılmaktadır.

önerilen yöntemleri göstermek üzere bir çentik ve biri frekans dönüşümü yöntemi, diğeri yüksek geçi ren ve alçak geçiren keskin kesimli süzgeçlerin ardarda eklenmeleri ile elde edilen iki bant geçi ren süzgecin .R,C öğeleri ve işıem yükselteç leri kullanılarak gerçekleştirmeleri verilmiş tir. Gerçekleştirilen bu süzgeç, devreleri ile elde edilen deneysel sonuçların kuramsal sonuç lara yakın olduğu ayrıca saptanmıştır.

SUMMARY in this papez, the aetive realization of sharp cut off noteh and band pass filters are given. Sharp cut off filter tunetions are obtained from modified Buttertrorth and modified Chebychev low pass filter funetions. For the realization of these filters, aetive realization techniçues are employed. Because of stability and sensiti vity considerations the sharp cut off filter funetions are divided into first and/or second order factor.

To illustrate the above procedures, aetive fil ter realization of a noteh filter and two band pass filters, one obtained by using frequency ttansformation, and the other by nüans of connec ting lotf pass and high pass sharp cut off fil ters in cascade using R, C ele.nents and opera tional amplifiers are given. Theoretical and experimental results for these filters are found to be in good agreement.

Süleyman Penbeci, Y.Prof.Dr., ODTÜ

1. GÎRÎŞ

Son zamanlarda Budak veAronhime [lj , Buttervorth süzgeç işlevinde, bir çift sanal sıfır eklemekle, uurdunnaban dında meydana gelen bir dalgays karşılık, keskin kesün el de edilebildiğini Önermişlerdi. Diıtta Roy da [2]bu sıfır ların sayısını artırmakla kesim eğiminin daha da a r t ı r ı l a b i l d i ğ i n i ortaya koymuştu. Daha sonra Agarval ve Sedra [ 3 ] , Çebiçef süzgeç işlevinde bir veya daha fazla sanal s ı f ı r ekleme çalışma sını yapmışlar ve sanal s ı f ı r l ı Buttervorth süz geçlerinden daha keskin kesim elde etmişlerdi. Çebişef süzgeçlerinde, geçirme bandında meydana gelen dalganın, ters Çebişef (inverse Chebyshev) süzgeçlerinde yapılan uygulama sayesinde, yalnız durdurma bandında oluşan dalgalanma i l e en düz (maximally flat) keskin kesimli Çebişef süzgeci elde e d i l i ş i Harris [A] tarafından incelenmiştir.

Bu işlevlerde, sanal s ı f ı r ı n normalize edilmiş açısal kesim frekansı to = 1 rad/san'a doğru yak l a ş t ı n İmasında, durdurma bandındaki dalganın za yıflatmasının azalmakta, kesim eğrilerinin daha da artmakta ve bu şekilde Buttervorth ve Çebişef süz geç işlevlerinden keskin kesimli çentik süzgeçleri elde e d i l e b i l i r duruma gelmektedir. Bant geçiren süzgeç gerçekleştirilmesi için ise frekans dönüşümü ve alçak geçiren, yüksek geçiren süzgeçlerin ardarda bağ lanmaları gibi iki yöntem kullanılabilmektedir.

Bu süzgeçlerin gerçekleştirmeleri R, L, C öğele ri kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Fakat tümleşik devrelerin gelişmekte olan modern tekno lojisinde [5] , yalnız R, C ve etkin öğelerin kul lanılması yaygınlaşmaktadır. Burada etkin öğe işlem yükselteçleri kullanarak elde edilen çen tik süzgeç ve bant geçiren süzgeç i ş l e v l e r i n i n gerçekleştirme sonuçları da verilmektedir.

2. KESKİN KESÎMLÎ BUTTERVJORTH SÜZGEÇLER*

En düz alçak geçiren genlik tepkesi verebilen basit işlev, Buttervorth işlevidir.

B(jw)

(D

l+(02n

Bunun normalize edilmiş açısal kesim frekansı (0= 1 'deki eğimi ise

d B(jıo)

(2)

dü)

OJ=1

27T

(1) bağıntısı üzerinde yapılan bir düzeltme ile en düz özelliği korunarak kesim eğimi, durdurma bandı zayıflatmasında oluşan azalmaya karşılık artırılabilir. Bu düzeltme bir veya daha fazla jüj ekseni (sanal) sıfırları eklemektir, n süzge cin derecesini, m eklenen sanal sıfır sayısını, ıo da bu sıfırın yerini gösterirse, elde edilen genlik karesi işlevi şöyle olmaktadır:

F(jdi)

(3)

2m Bunun kesim eğimi, g(u)= (w u ) ve

X ( w 2 1 ) 2 m eşitliklerini kullanarak ve türev alarak bulunur.

F(ju)

tü 2na(u))1 (4)

w(rad/*an)

w(rad/«on)

0.96 0.98 1.00 1.02 1.0* 1.06 1.08 1.1 1.12 U4 .96 .98 100 1,02 10* 106 10» » U2 IK

096 08» UM 102 W 106 1.0» 1J0 112 11* 096 098 100 102 104 106 1.08 1.10 1.12 1.1*

096 0.98 100 1.02 1D4 106 108 U0 U2 11* 096 038 100 102 1D4 1.06 108 UO 112 119

&

I,

Şekil 1. Butterworth çentik süzgeçlerinin değişik sanal sıfırlar için genlik tepkeleri.

096 098 100 102 104 1.06 1.08 1.10 1.12 114 096 038 IJOO 102 104 1.06 1.08 1.10 W 2 1.14

Şekil 2. Çebişef çentik süzgeçlerinin değişik sanal sıfırlar için genlik tepkeleri.

(0=1 de, g(l) = X,g(l)'=

4m j= ve

=L

U°~

" /T olduğu bilinerek, (4) bağıntısının şu şekilde olduğu görülür.

Sbm = "

(5)

= Sbn

Keskin kesimli Buttervorth ve Buttervorth süz geçlerinin kesim eğimlerinin oranı ise:

bnm S b n

(6)

Bu bağıntıda görüldüğü gibi eğim oranı u> i 1 0 için daima 1'den büyüktür ve n arttığı, u) 'da 0

1'e yaklaştığı zaman artmaktadır. Burada alçak geçirenlik durumunu bozmamak için n > 2m koşulu nun sağlanması gerekir.

Sanal sıfırları eklenmiş bir Buttervorth süzge cinin zayıflatma »grisi de Şekil l'de verilen örnekteki gibi olmaktadır. Burada durdurma ban dında ortaya çıkan tepenin (0_ tepe frekansı (4) bağıntısının sıfıra eşitlenmesiyle bulunan fre kanstır.

(7)

n 2m u o

Fs P

f(m)

(8)

f(m) = (2m)2m(n 2m)n *m

F_ nın

e ti. b

olması için, f(m) in n ye göre değişiminin ince

lenmesi gerekir. f(m) nin türevini sıfıra eşit

lemekle bulunan ve f(m) i en büyük yapan m de

ğeri de aşağıdadır:

m,.

(9)

2(2(4 1)

n ve m belirli olduğu zaman, F , w ile ters

orantılı olmakta ve u) 'nın artmasıyla, F azal

makta, dolayısı ile u = u_ deki zayıflatma art

maktadır. Ayrıca ıo nın 1'e çok yaklaşması du 0 rumunda, durdurma bandı zayıflaması da geçirme

bandı zayıflamasına yaklaşmakta ve çentik süz

geç elde edilebilmektedir.

Sanal sıfırlı Buttervorth ile Buttervorth süz

gecini karşılaştırmak için, kesim eğimi derece

si n olan sanal sıfırlı Buttervorth süzgecine

göre,fazla olan Buttervorth süzgecinin derece

si n olarak gösterilirse, S ı , ^ S koşulundan

nfi nın aşağıdaki koşulu sağlaması gerektiği bu

lunur.

n > n + 2m

' B

u2,"1

(10)

Buna bir örnek gerekirse, üçüncü dereceden tek sıfırlı, ü) =l,2 seçilen bir keskin kesimli

Buttervorth süzgeci ile aynı kesim eğimli nor mal Buttervorth süzgeci en az sekizinci olabilir.

3. SANAL SIFIRLI ÇEBİŞEF SÜZGEÇLERİ

Bir çift veya daha fazla sanal sıfır eklenerek el de edilen Çebişef süzgeçlerinin, Çebişef ve sanal sıfırlı Buttervorth süzgeçlerine göre daha keskin kesimli oldukları ve durdurma bandı zayıflamasın da arttığı görülmüştür. Ayrıca Çebişef süzgeçle rindeki geçirme bandı dalgalanma genliğinde, sa nal sıfırlı Çebişef süzgecinde azalmaktadır.

Çebişef süzgeci genlik karesi işlevi

(11)

l+e2V2(co)

olup burada e değişmezi dalgalanma çarpanını ve V (uı) da n yinci dereceden Çebişef çokterimlisi ni göstermektedir. ±w da m çift eşit sanal sı 0 fırı olan Çebişef işlevi ise

veya

»o>2

•e*<u* l)ılllv2((û)

(12a)

(12b)

olur w = 1 rad/san de

ve (D < 1 için

(13) 1+e2

1 + e2

V2(to)

(14)

bulunur. Bu nedenle durdurma bandında |T(jw)| ,

|c(jo))| ya göre daha fazla olur ve geçirme ban dındaki hata azalır. Ayrıca w , bire yaklaştı c r ılırsa [ ^1 1 2 m sıfıra yaklaşır ve tepke düzleşir.

Sanal sıfırlı Çebişef süzgecinin kesim eğimi de

S = f |T(jıo)| c m diı)

eV

(15)

m = 0 için, (15) bağıntısı Çebişef süzgeci kesim eğimini verir. Her iki süzgeç kesim eğimleri o ranı da aşağıdaki gibi olur.

(16)

cnm en

n2 (w?, l

Sanal sıfırlı Çebişef ile sanal sıfırlı Butter vorth süzgeç işlevlerini karşılaştırmak için, w= 1 deki zayıflamaların aynı olmasını sağlamak üzere e = 1 kabul ederek, kesim eğimlerinin oranı bulunacak olursa,

WB) 20

I 60

OJ 0.2 0.3

2.

Şekil 3. n= 8, m= 2 ve wo = I,5^ raa/s&n için bir alçak geçiren keskin kesimli Buttsrvortîı süzgeç genlik tepkesi.

cm

(17)

elde edilir. Bu da gösterir ki n> 1 için sanal sıfırlı Çebişef süzgeçleri, sanal sıfırlı But tervorth süzgeçlerinden daha keskin eğim vere bilmektedir.

Durdurma bandı zayıflaması incelenecek olursa, 1 <(jj< (2ü)* 1)i aralığında sanal sıfırlı Çebişef süzgecinin zayıflamasının, Çebişef süzgecine göre fazla olduğu görülür. Çünkü bu aralıkta,

+ V (a>) n

|2m 2V (w)

(18)

olmaktadır, w >(2too 1)* aralığında ise yukarı daki ilişki ters olmakta bu sebeple zayıflama, Çebişef süzgecinden daha az olmaktadır.

Sanal sıfırlı Çebiçei ile sanal si.fırlı Butter worrh süzgeç işievrieri durdurma bandıuda karşı laştırılacak olursa duromun ÇebişeC ve Butter vorth süzgeçleri karşılaştırması ile aynı oldu ğu görülür.

Eğer n Çebişef süzgeci derecesi, n sanal S L

tırlı Eut^envoıtb süzgeci derecesi olursa, bun

ların n dereceden sanal sıfırlı Çebişef süzgecin

den daha keskin keeijili olabilmeleri için bulu

nan ilişkiler .ie şöyledir:

2 C

(19)

n2

2irH

(20)

n 3 , w l , 2 sfiçiminde, D I T çift sanal sıCırl). o

Çebişef süzgeci kadar keskin kesimli Çebişef ve

ya sanal sıfırlı Buttervorth sUzgeci elde etmek

için derecelerinin n > 3 , 6 8 = 4, n ?*4,6y = 5 ol

ması gerekir. Bu da sanal sıfırlı Çebiçef süzge

cinin keskin kesim aide etmede üstünlüğünü orca

ya koymaktadır.

4. KESKİN KESÎMLÎ ALÇAK GEÇİREN SÜZGEÇ İŞLEVLERİNDEN ELDE EDİLEN ÇENTİK SÜZGEÇLER

Şekil 3'de görüldüğü üzere keskin kesimli alçak geçiren süzgeç tepkesinde, durdurma bandında bir tepe oluşmakta ve sanal sıfırın yeri bire yak laştıkça bu tepe yükselmekte ve durdurma ba.ıdı zayıflaması azalmaktadır. Kuramsal olarak ge çirme ve durdurma bandı genlik seviyeleri farklı olmaktadır. Fakat (0 bire çok yaklaştırıldığında bu sevıys farkı da azalmakta ve pratikte önemi kalmamaktadır. Bu durumu incelemek için

=1,01 1,05 aralığında sanal sıfır değerleri

"o.

dB

tt2

0.4

0.8

1.01 1.02 103 1.04 105 v^(rad/son)

101 1.02 103 1.04 105

0.6

1.01

102 (d

103 A)

51,.00

n:5

mi

a

1.01 1JO2 103 104 105

şekil 4. Buttervorth çentik süzgeçleri için durdurma bandı zayıflamasının UQ ya göre değişimleri.

I,31R I 0,33 I l."55 [ O..'i? i 1,356 I

Çizelge 1. Sanal sıfırJı Butterwovth süzgeç l iıi., deki zayıf]amaları .

n = 3, ,r 1 i "p o j (rtd/car)

,38?

.4oe

,429

,453

,17b

n = 4 , m= 1

,178

.193

,223

,277

,302

n = 5, m= 1

,116

,134

1.03

,152

,169

.186

1,700 1,73? ; ,764

1,795 1.826

V « ) , î 1 V<16),r = C,E39 TpIdBl.t = 0.349

0,03

0,023

0,37

0,09a

0,83

0,23

1.44

0,42

?.16

0,67

O.Oil 0,047 0,110 c,:c

0,33

0.347 1,19 2,83 4,60 •6,29

0,90 0. 0 •0,93 1,72 2,66

0,04 0,195 0,47 0,S0 1.4S

0,92

0,26

0,12

3,32

1,13

0,57

6,09

2,54

1,38

9,69

4,24

2,50

11,01

6,03

3,83

0,001 0,02 0,072 0,293 0,790

0 ,0004 0 ,0055 0 ,019 0 ,078 0 ,022

0,0002 0,003 0,009

0,04 0,104

Çizelge 2. Sanal sıfırlı Çebişef süzgeçlerinin ü)_ deki zayıflamaları .

için, sanal sıfırlı liutterwortn ve sanal sıfır lı Çebişef süzgeçleri genlik tepkeleri bilgisa yar yolu ile çizdirilmiş ve durumları incelen mişti!. . Şekil 1 v« 2'de bu çizimler görülmekte dir.

Ç^r.tik süzgeçlerin tasarımlamasında, zayıflatı lan freUansdaki bant aralığı, bu aralığın her iki tarafındaki seviye farkı ve kesim eğimleri nin bilinmesi, süzgeç işjevir.in derecesini, sa n«l sıfırın yerini seçmeye yardırın olacaktır. Bu neder.lo. sanal sıfırlı Buttervorth ve sanal sıfırlı Çebişef süzgeç işlevleri üzerinde, çen tik süzgeç tasarımlamasında kullanılmak üzere bir inceleme yapılmıştır.

Sanal sıfırlı Buttervorth süzgeçleri, n = 3;4;5 ve (o = 1,01 1.05 aralığı için tepe frekansı Cüp deki zayıflatma değerleri Çizelge l'de verilmiş, ve Şekil 4'de değişimleri çizilmiştir.

Sanal sıfırlı Çebişef süzgeç işlevlerinde n=3;4;5

dereceleri ve u> = 1,01 1,05 aralığı için, ü> deki

zayıflatma değerleri de Çizelge 2'de verilmiş ve

çizimleri Şekil 5'de gösterilmiştir. Örnekleme

olarak, eğer her iki geçirme bandı zayıflama

farkı 0,3 dB olması yeterli görülüyorsa, ilk ge

çirme bandı zayıflamasınının dB olduğu gözönüne

alınarak, Buttervorth işlevi için n = 3, m= 1

(ı) = 1,048 rad/san veya n= 4, m = 1 w = 1,032 rad/

san seçebiliriz. Çebişef işlevi içinse n = 3 , m= 1

u = 1,0485 rad/san seçimi de isteğe uyabilir. o

Fakat son karar için, bant aralığı kesim eğimle

ri ve diğer pratik kısıtlamalar da gözönüne alın

malıdır. Kuramsal olarak da bilmekteyiz ki, sa

dB 02 0.4 0.6 as

16 18

1J01 1.02 1X0 UM 105

v^lrod/san)

.

1.01 102 1JO3 104 105 ''

22 1.01 IJO2 ym w, 1.05 0.8

1.01 102 103 İ M 105

wo(rod/san)

Şekil 5. Çebişef çentik süzgeçleri için durdurma bandı zayıflamasının <v>0 ya göre değişimleri.

503 Elektrik Mühendisliği 227

Şekil 6.

Buttervorth çentik süzgeçleri bant atalığı değişimleri.

0.20

0.15 Bw (rad/san)

0.10

0.05

ILm* \ .s II

1/

0ı

|

1.01 102 103 1.04 105

wo(rad/SQn)

Şekil 7.

Çebişef çentik süzgeçleri bant aralığı değişimleri.

nal sıfırlı Çebişef süzgeçleri, tepe frekansın da, daha fazla zayıflama yapmaktadır. Bu durum w = 1,01 1,05 aralığı için de. geçerlidir ve Çi zelge 1 ve 2 karşılaştırmasında görüldüğü gibi, sanal sıfırlı Buttervorth süzgeçleri aynı değer ler için, sanal sıfırlı Çebişef süzgeçlerinden daha az zayıflamaya sahiptir.

Sanal sıfırlı süzgeç işlevlerinden elde edilen çentik süzgeçlerin bant aralığını bulmak için kesim frekansı ı>J=1 rad/san seviyesindeki diğer kesim frekansının (Uı) bulunması gerekir. Bu durumda ((0ı 1) rad/san, çentik süzgeçleri için durdurma frekansı bant aralığı olarak düşünül melidir. Buttervorth çentik süzgeçleri için (toı 1) aynı zamanda 3 dB bant aralığı olmakta dır. Sanal sıfırlı Buttervorth süzgeçleri için, genlik işlevi 1//2ye eşitlenerek, 1'den büyük olan uı değerleri hesaplanarak, bant aralıkları bulunabilir. Çebişef çentik süzgeçleri İçin ise bant aralıkları, genlik işlevi 1 / / 1 + P ye eşit lenerek bulunur. Bu hesaplamaların sonucu Çizel ge 3 ve 4'de verilmiş ve Şekil 6 ve 7'de deği şimleri gösterilmiştir.

101 102

UM 105 UM 102 1X0 1.04 UR 40

şekil 8. Buttervorth çentik süzgeçleri kesim eğimlerinin <o0 ya göre değişimleri.

şekil 9. Çebişef çentik süzgeçleri kesin eğrile rinin tx~l, t2 0,549 ve t3 ' 0,349 dalga çarpanları için değişimleri.

n = 3 m= 1 n = 4 m= 1 n = 5 m= 1 n = 5 m= 2 ""o Bw(rad/san) Bw(rad/san) Bw(rad/san) Bw(rad/san)

ls01 0,0219 1,02 0,0486 1,03 0,0827 1,04 0,1292 1,05 0,2021

0,0239 0,0617 0,1693

0,0274

0,0230 0,0512 0,0881 0,1369 0,2057

çizelge 3. Çebişef çentik süzgeçleri bant aralıkları (Bw)

n = 3 m=1 uo Bw(rad/san)

1,01 0,0206 1,02 0,0427 1,03 0,0651 1,04 0,0997 1,05 0,1157

n=4 m=l

0,0209 0,0432 0,0677 0,0949 0,1256

n = 5 m= 1

0,0210 0,0443 0,0708 0,1019 0,1402

n = 5 m= 2

0,0204 0,0417 0,0640 0,0873 0,1118

Çizelge 4. Buttentorth çentik süzgeçleri bant aralıkları (Bw)

Çebişef çentik süzgeçleri için bazı sanal sıfır değerlerinde, tepe frekansındaki zayıflama, bi rinci kesim eğimindeki zayıflama değerinden faz la olması nedeniyle bant aralığı hesaplanmamış tır.

Çentik sâzgeçlerin simetrisi, seçiciliği hakkın da bilgi edinmek ve bunu tasarımlarda kullanmak üzere, her iki kesim frekansındaki kesim eğimle ri hesaplanmıştır. Buttervorth çentik süzgeci için w = 1 deki kesim eğimi (5) bağıntısından, (0 = <JÛI deki kesim eğimi ise (4) bağıntısında a) = uıı değerleri kullanılarak bulunmuştur. Bu değerler Çizelge 5, çizimleri de Sekil 8'de verilmiştir.

Çebişef çentik süzgeçleri için ise u> = 1 deki

eğimler (15) bağıntısından bulunur u> = wı deki

eğimler ise genlik işlevinin türevini bu fre

kansda hesaplıyarak elde edilir. 1 ; 0,509 ve

0,349 dalga faktörleri için w=l,01 l,05 aralı

ğındaki her iki eğim değerleri ve çizimleri Çi

zelge 6 ile Şekil 9'da verilmiştir. Bu eğim de

ğerlerini logaritmik olarak bulabilmek için ise

bu değerleri 20

ile çarpmak gerekir.

İF(«c)J

Burada u kesim frekansı olarak alınmalıdır. c

Bu verileri kullanarak, her iki geçirme bandı pratik olarak aynı seviyede olan ve kesim eğri leri çok az farklı çentik süzgeçleri, sanal sı fırlı Buttervorth veya sanal sıfırlı Çebişef süzgeç işlevlerinden birini kullanarak tasarım layabiliriz. Süzgecin derecesi n ve sanal sıfı rın sayısı m artırıldığında, sanal sıfırın yeri

1,01 1.02 1.03 1.04 1,05

« 1 (rad/san) deki eğimler n=3 n 4 n 5 n 5

36,41 18,74 12,65 9,68 7,92

36,77 19,09 13,01 10,04 8,27

37.12

19,45 13.36 10.40

8,63

72,48 37.12 24,96 19,02 15,50

<D = UI (rad/san) deki eğimler

n=3

n»4

+32.15 +14,59

+9,27 +6.33 +4,61

+31,37 +13,93

+8,23 +5,35 +3,59

+30,62 +12,89

+7,20 +4,30 +2,55

+68,27 +32,21 +19,84 +13.81 +10,36

Çizelge 5. Buttentorth çentik süzgeçleri için ıo=I ve Ü)=Ü)I deki kesim eğimleri

u in bire çok yaklaşması halinde, çentik süz 0 geçler için en iyi koşullar elde edilebilir. Bu koşullar daha iyi seçicilik daha dar bant aralı ğı ve daha fazla kesim eğimleridir. Genel ola rak, elimizdeki iki çeşit süzgeç işlevlerinden, sanal sıfırlı Buttervorth süzgeç işlevleri için tepe frekanslarında daha az zayıflama, daha dar bant aralığı ve her iki kesim eğimleri daha az farklı olmakta, buna karşılık sanal sıfırlı Çebişef süzgeçlerinde dalga faktörü 1 için ke sim eğimleri fazla olmaktadır. Bir örnek veri lirse: n = 5, m = 2 , ü)o = l,01 için sanal sıfırlı Buttervorth süzgeci tepe frekansında zayıflama 0,0001 dB, kesim eğimleri 72,48 ve +68,27 ve bant aralığı 0,020 rad/san olmaktadır. Aynı du rumda Çebişef çentik süzgeci için zayıflama 0,0004 dB, bant aralığı da 0,023 rad/san olmak tadır. Kesim eğimleri ise e = 1 için, 79,56 ve +49,95, e = 0,349 için ise 23,07 ve +14,5 olmak tadır.

ÜJ= 1 de

u = uı de "o

.01

*03 İ04 ,05

n= 3 m =1

,509 E = 0,349

38 53 İ87

14 .77

9 ',93

19 ,99

10 ,83 7 ,66

6 ,12 5 .15

1 1 . 17 6, 05

4. 28 3, 42 2 , 88

n = 5 m =1

f. = 1

44 ,20 26 İ52 2C .42 17 ,50 15 ,74

E = 0 509 E = 0 349

22 ,93 13 ,76 10 ,59

9 ,08 8 ,16

1 2 , 82 7, 69

5 92

5 08 4 56

n * 3, m = 1

F= 1

r = 0,509

,349

27 ,08 10 09 4 İ74 2,29 0i 96

14 ,05 5 .23

.46 ' .19 0 .5 nı = 1

7 85 2 93 1 38 0 66 0 28

E = 1 F = 0 , 509 E = 0 ,349

14 .32

7.43

4 15

= 4, m

= 0,509 £ = 0.349

41 ,02 23 .37 17 ,26 14 ,26 12 ,50

21,27

12,12 8,95. 7,39 6,48

11 89

6 77 50 4 13 3 62

£ = 1 E = 0,509 E = 0 ,349

79,66 41,27 23 07

44 ,20 22,93 12 83 32 ,20 16,60 9 28

26 ,08 13,53 22 ,54 11,69

7 56 6 54

n = 4, m = 1

21 ,05 5 ,15 0 ,4

e = 0,509 E = 0 . 3 4 9

60,92

6 12

2,67

1 49

0,21 0 12

n = 5. m = 2

E = 1 £ = 0.509 E = 0 . 3 4 9

49 .95 17 .95

8 .49 4 .42

2.21

25,91

9.31 4.4

2,29 1,15

14 50

5 20 2 46 1 28 0 ,64

çizelge 6. Çebişef çentik süzgeçleri için ÜIFI ve w=ü)ı deki kesim eğrileri.

Tasarımlama uygulamasında, süzgecin seçilen n, m ve w değerlerine göre genlik karesi işlevin den, sıfır ve kutupların yerini bularak, bunla rın sol düzlemdekilerini kullanmak suretiyle, gerçekleştirmesi yapılacak geçiş (transfer) iş levi elde edilir. Elde edilen geçiş işlevinde bilinen bir tasarım yöntemiyle gerçekleştirile rek, pratik devre elde edilebilir. Buna bir ör nek verilirse: n = 3, m= 1, OJ = 1,02, ve e = 1 için sanal sıfırlı Çebişef süzgecini gerçekleş tirmek üzere, transfer işlevinin bulunması için genlik karesi işlevi alınarak ü) yerine ( js) ko nur.

T(s)2=

( 16s6 24s" 9s2)2

Bilgisayar veya programlanabilen hesaplayıcılar kullanarak bu işlevin sol düzlemdeki kutupları bulunur. Sıfır ve kutupların sol düzlemdekile ri kullanılmak suretiyle bulunan transfer işle vi de şöyle olmaktadır:

T(s)

s2 + 1,0404 0,02611 (s+6,234011(s2+0,04502s+l,12453)

5. ETKİN ÇENTİK SÜZGECİ TASARIMINDA KULLANILAN BİREŞİM YÖNTEMİ

Keskin kesimli süzgeçlerin gerçekleştirmesi edil gen RLC öğeleri kullanılarak kolayca yapılabilir. Fakat tümleşik devrenin önemli bir yer tutmaya başladığı modern elektronik teknolojisinde R, C ve etkin öğelerin kullanılması [5] , [6] , [7] yay gınlaşmaktadır. Burada etkin öğesi işlem yüksel teci elan etkin devreler kullanılmıştır. Genel olarak tümleşik devre işlem yükselteçlerinin yük sek giriş empedansı, düşük çıkış empedansı, çok yüksek açık döngü (open loop) kazancı ve fakat sınırlı bant genişliği yardır. Bu devrelerin a vantajı, çıkışın işlem yükseltecinden olması, bu sayede yüksek dereceli işlevlerin gerçekleş tirmesinin: bunların birinci ve ikinci dereceden çarpanlarının birbirine yükleme etkisi olmadan ve araya ayırma yükselteci koymadan ardarda bağ lanarak yapılabilmesidir. Bireşimin birinci ve ikinci dereceden çarpanlarla yapılması, aynı za manda duyarlık üzerinde de, önemli bir azalma sağlamaktadır.

Etkin devre_ bireşim yöntemlerinde duyarlık, bir

süzgecin beklenilen tepkesinden çok farklı bir

sonuç alınmasına yol açacak kadar önemli bir

etken olmaktadır. Etkin sistemler için çeşitli

duyarlık tanımları için de, kutup duyarlığı,

Sj j ve Q duyarlığı, Sj, yeterli bilgiyi sağla

maktadır . Bunlar

3aj

8<JO;

"İX~

(21)

xSs

Q =

X Q

8X

(22)

olarak tanımlanır. Burada Pi = a + jü)j duyarlığı aranan kutup, X'de duyarlığa etki eden etkin ve ya edilgen öğe değeri karşılığıdır. Uj'nin X'e bağlı olmadığı sistemler için bu iki tanım bir birleriyle şu şekilde ilişkili olmaktadır.

0 « «Pî

X S =

foı^i

Kutup duyarlık hesaplamalarında, S^J nin gerçel kısmının eksi olmasına karşın, sanal kısmının çok küçük olması halinde, kutubun değişmesi, ger çel eksene paralel olmakta ve X in değerinde ar tış olması karşısında, kutup sanal eksene doğru yaklaşmakta, bu nedenle salınım olasılığı çoğal maktadır.

Bir çift sanal sıfırı olan, (2) deki gibi bir geçiş işlevinin etkin gerçekleştirmesini Şekil 10'daki devreleri kullanarak yapabiliriz. Görül düğü gibi bu devreler tek işlem yükseltecinden faydalanmaktadır.

H(s2+ot) T(s) = s2+gs+Y

(24)

k/(k«t)

0• I

aA

—v w — k

<4(M)|/k

IrN

R

(o)

Şekil 10. İki kutup ve iki sanal sıfırlı işlevler için etkin devreler a) Yüksek geçiren b) Alçak geçiren

Vı w

R2 Vo

C2

Şekil 11, İki kutjp ve tek sıfırlı işlevler için etkin devre.

Eğer Y>a i s e Şekil (10.a) yi kullanmak mümkün olur. Bu devrenin transfer i ş l e v i :

(25)

..2J.K1İ i

Devre parametreleri de (24) ve (25) bağıntıları nı karşılaştırmasından bulunur.

1 a=

R = k+l

Z1

R2

k+l La

(26)

H=K

Bu devrenin K kazancına göre kutup ve Q duyar lıkları da şöyledir .

c P i = KR

k+2R RK

+ . K(k H)2(k+2R RK)R

(k+l)2(2 k+2R2 RK)2+4Rk2(R+l+k)

(27)

sS = — ^ k+2R RK

(28)

cx>y durumunda ise Şekil (10.b) deki devre kul lanılabilir. Bunun transfer işlevi ise:

[s

8+ aRk+Dc+İ] (29) Devre parametreleri de :

Devre öğelerinin g ve Y cinsinden tasarlan, için

aşağıdaki denklemler kullanılır. Bu denklemler

iyi öğe değer dağılımı ve düşük Q değerleri için

(10 veya daha az) düşük duyarlık verebilmektedir.

Tasarımda önce C = C için uygun bir C değeri

seçilir. Sonra kazanç K ve direnç VLı, R , R de

ğerleri bulunur.

K=

(34)

WC C ' Y

K kazancına göre kutup ve Q duyarlıkları ise şöyledir:

(36)

g

Y

c=

k+1

(30)

H= * K a

Kutup duyarlığı ile Q duyarlıkları da şöyledir :

p.

V " kC+2 K

K(k+1)2 (k+2 K)

+İ

2 fc + ^ £ 12 + A[(k+l)c+l] î

(31)

SQ =

K kC+2 K

(32)

Bu devrelerde k istenildiği gibi seçilmektedir. Bu seçme belirli bir kazanç (k) değeri veya dü şük bir kazanç (K) değeri elde etmek için olabi lir, k'nin 1'e çok yakın seçilmesi, öğe değerle rinin dağılımını da azaltacaktır.

Y = a durumunda ise her iki devre de kullanılabi lir. 0 takdirde R direncini veya (aC) sığacını devreden çıkarmak yeterli olmaktadır.

Hs 01=0 için, yani geçiş işlevi — „ ^— olan bant geçiren süzgeç işlevi için Şekil 11'de verilen devre kullanılabilir. Bu devrenin, devre eleman ları cinsinden geçiş işlevi:

K= S s'+s

RzC 2

(37)

Gerçel kutupların gerçekleştirilmesi ise Şekil 12'deki devrelerle yapılır. Bunların transfer işlevleri ise:

Hı

1/RIC,

Ti (s) = — ^ = ^

(38)

R1C1

Hs 2

s+a

8+• RC

(39)

Bu devreler işlem yükselteçli devrelere ardarda

J bağlanabilirler. Devre öğeleri; di=

a =•

2 R2C2

C, eşitliklerini kullanarak ve bir öğe

değerini serbest seçerek bulunurlar.

Süzgeçlerin pratik gerçekleştirilmesinde, önce süzgeç transfer işlevinin birinci ve ikinci' de receden normalize edilmiş çarpanlarının bireşimi

(a)

Şekil 12. Gerçel kutuplu işlev devreleri a) Yüksekugeçiren b) Alçak geçiren

(33)

1 K I _ı_ ._ı_ . _i_. ı

R2C2

R3 Rı

RÎ ; C!C

R3 0.75

Şekil 13. Çebişef çentik süzgeç etkin devreleri a) Normal ize edilmiş, b) 50 kOhm ve 700 Hz'e ayarlanmış.

yapılır• Uygun empedans ve frekans çarpanları seçilerek, istenilen frekansdaki, asıl öğe değer leri elde edilir. Şekil 10'daki devreler, işlem yükselteç kazancı K'ya göre yüksek duyarlık gös termeleri nedeni ile, düşük Q ve düşük kazançlı yüzgeçlere uygulanabilirler. Bu nedenle kullanı lan ikinci dereceden işlevlerin Q değerinin 10 veya daha az olması gerekmektedir. Daha yüksek değerde Q l a n olan devreler için ise (Q = 103'e kadar), çok fazla sayıda işlem yükselteçlerine gerek gösteren, bu sebeple pahalı olan tasarım yöntemleri bulunmaktadır [8].

6. ETKÎN ÇENTİK SÜZGEÇ GERÇEKLEŞTİRMESİ

Şekil 10'daki devreleri kullanarak bir etkin çen tik süzgeç gerçekleştirmesi yapmak istersek ikin ci dereceden çarpanlarının Q değeri 10'dan dü şük olan bir işlev kullanmamız gerekir. Bu neden le yapılan incelemede, üçüncü dereceden sanal sı fırlı Buttervorth ve Çebişef süzgeç işlevlerinin Q değerleri U) « 1,02 1,05 aralığında değişik dal ga çarpanlarını da kullanarak hesaplanmış ve Çizelge 7'de gösterilmiştir.

Bu devrelerde kutup duyarlığının yüksek Q değe rinde etkisini görebilmek için üçüncü dereceden iki sanal sıfırlı Çebişef süzgeç işlevi ele alın

1,05 1,04 1,02 1,02

Sanal sıfırl ı

Buttervorth süzgeçleri 9,46

11,84 16,06 21,07

Sanal sıfırlı Çebişef süzgeçleri

e=l

8,69 10,81 15,62 24,97

e = 0,509 e = 0,349

15,09 19,43 23,68 31,47

21,23 27,60 38,48 54,41

Çizelge 7. Üçüncü dereceden süzgeçlerin Q değerleri.

mış ve denenmiştir. Bunlardan biri için u)=l,02, e = l ve Q = 24,97, diğeri için ise ü) = 1,05 E = 1

Q = 8,69 dur. TL17O9 işlem yükselteçleri kullanı larak yapılan gerçekleştirmede, Q değeri yüksek olan devre, teorik tepkeden çok farklı bir tepke göstermiştir. Bunların kutup duyarlıkları da he saplanınca, aradaki farklılık anlaşılmış olur. Birincisi için s|j = 265,3+jO,014, ikincisi için ise Sjjj = 22,2 + jO,075 dir. İkinci seçim için gerçekleştirme şöyle yapılmıştır. Genlik işlevinden bulunan, geçiş işlevi T(s) aşağıdaki gibidir:

(s2+l,1055) 0,1681(s+2,55699) (s2+0,118s+l,05165)

tkinci dereceden çarpan tasarım parametrelerinde a =0,9524 k=3 C = 0,012 K= 1,948

olarak hesaplanmıştır. Normalize edilmiş öğe değerleri bulunduktan sonra 50 Kempedans ve 700 Hz frekans çarpanları ile, 1 olan kesim fre kansı 700 Hz'e kaydırılmıştır. Bu frekans 'kay dırma işleminde dirençler 50 x 1 0 3 ile sığalar ise

(50xl03) x (700x2)

10, 7

21,991

ile çarpıla

rak asıl devre değerleri bulunmuştur. Çentik

süzgecin, zayıflatılan frekansı ise 1.05x700

735 Hz olmakta ve bu frekansda zayıflama 30 dB

ye ulaşmaktadır. Kesim frekanslarında hesaplanan

eğimler ise 280 dB/dekad ve +34 dB/dekad olmak

tadır. Normalize edilmiş öğe değerleri ile asıl

öğe değerlerini gösteren devre Şekil 13'de veril

miştir. Kuramsal ve deneysel sonuçların, genlik

tepkeleri ise Şekil 14'de görülmektedir.

Bu devrede bazı değişiklikler yapılarak genlik tepkesinin çentik frekansına göre daha bakışımlı

•S 6 .7

Genlik (dB)

r~12 13 1.4 15 F(KHl)

J\

•—••DeKnueraymsseall te"pke

]

BW =160Hz

Fçentik<740Hz

1 F Kesim .700 Hz,841 Hz

Kesim gerilimleri

J 280 dB/dekad

»3 4 dB/dekad

30 Şekil 14. Çebişef çentik süzgeci, do0=I,05 ve t = l) genlik tepkesi.

FIKHıl

——

•3 •* S S 3 .* .» V U 12 U U 15 16 17 t*

(dB)

MB1

B1

(u£ l) (43)

| BW.1SOHz

n BW.I20Hi

m BW. 80 Hl

MB2

SB2

(44)

Bant geçiren keskin kesimli Buttervorth süzgeci için en düşük zayıflamanın oluştuğu frekans ise (40) ta to = lüp kullanarak veya şu e ş i t l i k t e n fay dalanılarak bulunabilir.

3»

Şekil 15. CQ VB C# sığaçlarmm değiştirilmesiyle

düzeltilmiş Çebişef çentik süzgeç

tepkeleri. (I) Şekil 14'ün aynı,

(II) C = 500 pf, (III) C = 500 pf ve

C4 = 0 .

olması sağlanabilir. Bu amaçla C sığacının o

500 pf'a ve daha sonra bu değişikliğe ek ola rak Cı» sığacının değerinin sıfıra indirilmesiy le elde edilen deneysel sonuçlar Şekil 15'de gösterilmiştir.

+ 4 (45)

0 takdirde üç, deki en düşük zayıflama da ban dın her iki yanında alçak geçiren süzgecin en düşük zayıflamasıyla aynı olmaktadır. Bant geçiren Çebişef ve bant geçiren keskin ke simli Çebişef süzgeçleri için kesim eğimleri de:

(46)

7. KESKİN KESİMLİ BANT GEÇİREN SÜZGEÇLER

Keskin kesimli bant geçiren süzgeçler keskin ke simli alçak geçiren süzgeçlerden, frekans dönü şümü veya alçak ve yüksek geçiren süzgeçlerin ar darda eklenmeleri ile elde edilir. Alçak geçiren den bant geçirene frekans dönüşümü, alçak geçi ren süzgecin karmaşık (complex) frekansı s = 0 + ju

yerine

S? _"

+

koyarak y a p ı l ı r . Bant genış

l i g i kontrolünü de sağlayan bu dönüşüm öğesinde,

Sb = +jü) bant geçiren süzgecin karmaşık frekansı,

flc ta

l

3 dB amas

f ı

reka (£Jc

sl ^

arın ı^2)

ve

(fiı flB

ve Ü2) = ^2~^ı

geometrik or "*e D a n t geçi

ren süzgecin bant genişliğidir. 0 zaman bant ge

çiren süzgecin herhangi bir gerçel frekansı fi,w

cinsinden şu işlevi kullanarak bulunabilir:

=o

(40)

Bant.geçiren Buttervorth ve bant geçiren keskin kesimli ButterWorth süzgeçlerinin kesim eğimleri frekans dönüşümü sonunda şöyle olmaktadır1.

(41)

"Bl

(42)

(47)

cMl

» K = S

1+

el

1)

(48)

cM2

Sc2 1 +

(49)

Durdurma bandı en düşük zayıflamasının da yine değişmediği ayrıca gösterilebilir.

Bant geçiren süzgeçlerin etkin gerçekleştirmesi, edilgin süzgeçlerde uygulanan yöntemle yapıla maz, yani etkin RC alçak geçiren devreyi etkin RC bant geçiren devreye dönüştüren bir yöntem yoktur. En düşük sayısal çalışmayla alçak geçi renden, bant geçiren süzgeç geçiş işlevi elde etmeyi sağlayan yöntem Saraga [9] tarafından ö nerilmiştir. Bu yöntem birinci ve ikinci derece den çarpanlara ayrılmış alçak geçiren süzgeç iş levinin, ikinci ve dördüncü dereceden bant ge çiren süzgeç işlevi çarpanlarına dönüştürülmesi dir. Dördüncü dereceden çarpanlar, sonra ikinci dereceden çarpanlara ayrılmakta ve etkin gerçek leştirme yapılmaktadır. Bir örnekle bu dönüşüm daha iyi anlaşılabilir.

w(rad/nn)

s

sa, bant geçiren süzgecin, etkin gerçekleştirme ye hazır geçiş işlevi elde edilmiş olur.

H(s) =

3s

s2+2,5143s+4C

w,: U

«t

2 .t

\ •

»

12 tt

<

JO n:3

m:l

.m

(•

M J2 2i

/

1 •20 22 2i

Şekil 16. Çebişef işlevlerinden frekans dönüşümü ile elde edilen bant geçiren süzgeç tepkeleri.

s2 + 70,li)3

.5,2tt r.2+'J,497s+63.339

Bilgisayar kullar.xlarak frekans dönücümü i l e n = 3;4;5 , m= 1,2 ve o)Q ir, 1,1 den 1,5 e kadar değişen değerleri için elde edilen bant geçiren süzgeçlerin genlik tepkeleri elde edilmiştir [lOJ. örnek olarak Şekil 16'da bant g e n i ş l i ğ i 2,7 rad/san ve kesim frekansları tiı 0 . 3 rsâ/szi. ve fîj =3 rad/san olan keskin kesimli bant geçiren Çebişef süzgeçlerinin genlik tepkeleri n, m ve ü>O in değişik değerleri için gösterilmiştir.

= 1269.6p 1

R3.33.33K C2«61«48p

R1r 50K

R2.100K C3>1«54.4p

7*1 K 2.099

(a)Kısım I

S&nal sıfırı ± j1,2 ve dalga çarpanı e = 1 olan üçüncü dereceden keskin kesimli alçak geçiren Çebişef süzgeci geçiş işlevi kesim frekansları Qı = 5 ve ÎÎ2 = 8 rad/san olan bant geçiren süzgeç geçiş işlevine dönüştürülecektir, önce alçak ge çiren süzgeç geçiş işlevinin birinci ve ikinci dereceden çarpanları bulunur.

T(s) = (s+0,83811)

(s2+l,44)

(50)

(s2+0,2699s+0,9762)

Bu çarpanlarda s yerine —=

(fi = 5 x 8 = 40 c

ve fig = 8 5 = 3) koyarak bant geçiren süzgecin

çarpanları elde edilir.

1 s+0,83811

..

3s s2+2,5143s+40

s2+l,44

s2+0.2699s+0,97622

H (s)=

8^92,96

s'*+0,810s3+88,786s2 + 32,388s+1600

Sonra H2(s) ikinci dereceden çarpanlara ayrılır

RV33.33K

C1 910p C2.4551p

1—

R1«50K

R2 100K C3.1365.2p

K 2JDU5 Ct.119.3p

(b) Kısım II R2 «74.54 K

CU3183p RUX.54K

R3.74.54I.

K. 1.627 C2 3183p

(c) Kısım I

Şekil 17. Keskin kesimli bant geçiren süzgeç için frekans dönüşümü ile gerçekleştirilen etkin devreler.

Yukarda verilen örneğin deneysel yapımında kesim frekanslarisaaha kullanışlı değerler olan 300 Hz ve 3000 Hz'c kaydırılmış ve her üç çarpanın ay rı ayrı etkin tasarımı yapılmıştır.

yapılmıştır. Bu devrenin asıl öğe değerle ri 50 kQ empedans ve bandın üst kesimi ci lan 3000 Hz'e kaydırma çarpanları kullanarak bulunmuştur.

Öge değerlerini gösteren devreler Şekil 17' de, deneysel ve kuramsal genlik tepkelerini birarada gösteren çizimler de Şekil 18ıde verilmiştir.

Yüksek ve alçak geçiren süzgeçlerin ardarda bağlanmaları ile bant geçiren devre elde e debilmek için önce 3. dereceden (50)de ve rilen alçak geçiren Çebişef süzgeç işlevini kullanarak, alçak geçiren süzgeç tasarımı

Al çak geçiren süzgeç işlevi üzerinde yapılan s •• l/s dönüşümü sonucu kesim frekansı 1 olan yüksek geçiren süzgeç işlevi

H (s) = 2 s+1,1932

sz+0,6944 s2+0,2766s+l,0234

(51)

elde edilmiştir. Bu işlevin tasarımı da yine bö lüm 5'deki devrelerle yapılmış ve 50 kft empedans

0 0.2

Genlik

—•

/**

0.6 0.8 t

—*

12 U 1.6 1.8 2.

ıı

2.2 2.4 2.6 2.8 3. 12 14 3.6 3.8 4. 4.2

\ 6

8:

14 • A

• 1 16

IS

— Deneysel \

••• Kuramsol

BW *2.7KHz

0.3KHz'de kesim eğimi =127 dB/dekad

3 KHz'dc kesim eğimi = 74.5 dB/dekad

Şekil 18. Frekans dönüşümü ile elde edilmiş üçüncü derece keskin kesimli bant geçiren Çebişef süzgecin kuramsal ve deneysel genlik tepkeleri.

R3r375K

R3.37.5K

C1«12732p C2«4244p

C1r«83.6p C2 2 9 5 p

—I

CO«J0610p

R U 5 0 K R2=150K

RU50K R2«150K

K 2.107

K«2.107

R4>421.9K

RO«41.91Kp =î= C3*1179üp ^f C4«105p

Şekil 19. Yüksek ve alçak geçiren keskin kesimli Çebişef süzgeçlerinin ardarda bağlanması ile elde edilen bant geçiren süzgeç devresi.

511 Elektrik Mühendisliği 227