BİR SÜZGEÇ TASARIM PROGRAMI

bir süzgeç tasarım programı turhan çiftçi başı özay hüseyin

ÖZET

Alçak geçiren yada bant geçiren süzgeçlerin tasa rımı için hazırlanmış bir bilgisayar programı ta nıtılmaktadır. Bu program araya girme kaybı yön temi ile hazırlanmış, sayısal güvenilirliği artır mak için z dönüşüm değişkeni kullanılmıştır.

SUMMARY

A computer program is introduced which has been prepared for designing low pass or band pass fil ters. The program has been prepared using the insertion loss method and the z transform variab le is used to increase the numerical accuracy.

UDK: 621.372.54 11

1. GÎRÎŞ

Bu yazının amacı, genel parametreli bant geçiren ve alçak geçiren süzgeç tasarımı için hazırlanmış bilgisayar programını tanıtmak ve kullanımı için gerekli kuramsal bilgiyi özetlemektir.

Araya girme kaybı yöntemi ile tasarım, Şekil l'de verilen türde zayıflama tolerans sınırlarından başlamakta ve

A(s) = 10 logıo

(D

Turhan Çiftçibaşı, Hacettepe Üniversitesi özay Hüseyin, Doç.Dr., ODTÜ ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 245

söndürme işlevinin verilen koşullara uymasını sağlayan bir

k(s) =

karakteristik işlevin bulunmasını gerektirmekte dir. Kullanılan yaklaştırma işlevinin seçiminde q(s) çokterimlisi tek yada çift çokterimlisi ol malıdır. Daha sonra

e(s) e( s) = f(s) f( s) + q(s) q( s)

(2)

çokterimlisinin köklerinden sol yarı düzlemdeki kökler ile sanal eksendeki çift köklerden biri alınarak f(s) Hurvitz çokterimlisi oluşturulur. e(s) ve f(s) çokterımlilerinin tek ve çift kısım larından yararlanarak Çizelge l'de verilen açık ve kısa devre empedans işlevleri elde edilebi lir [l].

q(s) cıft iken

q(s) tek iken

Xıo e e f e

Xıo

eo fo

ee+fe

Kıs e o fo

Rı ee + fe

X20 e e + f e

*2S e o f o

Kıs e e f e

eo + fo

X20 R2

eo+fo ee + fe

*2S

R2 eo fo !'*•?

Çizelge 1.

Böylece elde edilen açık devre yada kısa devre reaktans işlevlerinin söndürme kutuplarına sıfır kaydırma ve kutup sökme yöntemi ile gerçekleşti rilmesi olanaklıdır. Çizelge 2'de her adımda öğe değerlerinin ve bir sonraki reaktans işlevinin nasıl elde edileceği özetlenmiştir. Aynı çizel gede tutarlı bir devre düzenimi elde etmek için dikkat edilmesi gereken empedans özellikleri de gösterilmiştir [l] .

UD db

0.3db

fs

*• SI

A (db)

' 10 db

:

/ 20db

'iı/ı/if l O.idb , r//////ıııı\

—1 fs1 o

\

1:

US db

Şekil 1. Alçak geçiren ve bant geçiren süzgeçler için tolerans eğrilerine örnekler.

BAŞLANGIÇ REAKTANS ÖZELLİĞİ

HÜCRE YAPISI

1^ o

Sıfırda açık devre sonsuzda kısa devre (C türü)

r

Üst söndürme bandı kutbu f '0

Sıfırda kısa devre sonsuzda açık devre

İL turu)

Üst söndürme bandı kutbu f «O

(Paralel LCtüru)

f ili Alt söndürme bandı kutbu

Üst söndürme bandı kutbu ».0

Sıfırda oçık devre sonsuzda açık devre (S«n LC türü)

1.SIİ Att söndürme bandı kutbu

Üst söndürme bandı kutbu,

ÖSE DEĞERLERİ VE KALAN REAKTANS İŞLEVİ

SONUÇ REAKTANS ÖZELLİĞİ

Istım

Sıfırda kısa devre sonsuzda oçık devre (Paralel LC turu)

Sıfırda acık devre scnsuzdo acık devre (Seri LC turu)

c"sx s! = fii!

. _ SC 1 1 S/Lı

S'. Al' C1.İH1 fls.o

S/Cı S1* ili

1 11

UT" ~x~TT

islerr

Sıfırda açık devre sonsuzda kısa devre ( C türü)

İşlem

Sıfırda açjk devre sonsuzda oçık devre (Seri IX turu)

(Parotel LCturu)

L * İ s' »,'

Sıfırda kısa devre sonsuzda açık devre { L turu)

1 _ _ J _ S/Lı "ir7" x ' s' .nı1 istem © teki gibi

Islem © deki gibi

Sıfırda açık devre sonsuzda kısa devre (C turu)

Sıfırda kısa devre sonsuzda açık devre (L turu)

işlem © deki gibi işlem © d e k i gibi

Sıfırda kısa devre sonsuzda kısa devre ( Porolel LC turu)

işlem © deki gibi Islem (6)dakı gibi Islem © deki gibi işlem (|) deki gibi

Sıfırda kısa devre sonsuzda açık devre (Ltüru)

Sıfırda açık devre sonsuzdo kısa devre (C turu)

Sıfırda oak devre sonsuzda acık devre (Seri LC t u r u ]

çizelge 2. 228

2. SAYISAL KESİNLİĞİN KAYBI

Yukarıda belirtilen yöntemlerle birçok bilgisayar programı hazırlanmıştır. Fakat bu yöntemle devre tasarımında, sayısal hesaplamalarda güvenilir ev ciklerin kaybolması oldukça hızlıdır. Sayısal ke sinliğin kaybı özellikle iki noktada görülmekte dir:

a) 2'nci eşitlikten hesaplanan e(s) e( s) çokte rimlisinin katsayılarından sıfırlarının bulunma sı, bu sıfırların sol yarı düzlemde ve sanal eksen üzerinde olanları ile Hurvitz çokterimlisi e(s)'in elde edilmesinde: Bu çokterimlinin sıfırları bir birine çok yakın olduğundan işlem sırasında güve nilir evciklerin büyük kısmı kaybolmaktadır.

b) Çizelge 2'de verilen devre öğelerinin gerçek leştirilmesi sırasında: Her gerçekleştirme adımın dan sonra elde edilen empedans işlevinin pay ve paydasından birer kutup sadeleşmektedir. Her adım da çokterimlilerin sıfırlarından katsayılarını hesaplama, başka bir çokterimli ile toplayıp son ra tekrar köklerini bulma işlemi yinelenmekte; empedans işlevlerinin sıfır ve kutupları birbiri ne çok yakın olduğundan bu hesaplamalar sırasında güvenilir evcikler büyük ölçüde yok olmaktadır.

Sayısal kesinliğin kaybolmasını önlemek için iki yol kul1anılageİmiştir:

1) Hesaplamanın tüm evrelerinde çokterimlileri kökleri ve başlangıç katsayısı ile bellekte tut mak. Bu yöntemde iki çokterimlinin çarpımı yada bölümü kolay olmaktadır. İki çokterimlinin top lamı ise "Katsayılarını bulmadan toplam çokterim linin köklerini ve ilk katsayısını bulan" bir yön tem geliştirerek hesaplanmaktadır. Böylece hem 1 inci denklemde e(s) çokterimlisinin bulunması sırasında, hem de gerçekleştirme adımlarında sayı sal güvenirlik korunmaktadır [2, 3] .

2) e(s) çokterimlisinin sıfırları ile reaktans işlevinin sıfır ve kutuplarının yığılma noktası nın uç frekanslar yakını olduğu bilindiğine gö re, bir dönüşüm değişkeni kullanarak yeni değiş ken ekseninde yığılma noktası yakınını genişlet mek ve hesaplamaları bu değişken türünden yapmak da güvenirliğin kaybolmasını önleyen bir yöntem dir [4 9] . Tanıtılan program bu yöntemle hazır lanmış olup, bütün hesaplamalar yeni değişken tü ründen yaptırılmaktadır.

Düzgülenmiş sıklık ekseninde geçirme bandı uç frekansları 1 ve a noktaları, sayısal kesinliğin kaybolmasına neden olan yığılma noktaları oldu ğuna göre yeni değişkenimiz

f2 l

(3)

A(db) A(db)

ve alçak geçiren süzgeç için a 0 olduğundan;

(4)

olarak tanımlanmaktadır. Bu dönüşüm, geçirme ban

dını tüm sanal eksene, söndürme bantlarını ise

gerçel eksen üzerine ve (1) ve (a) noktaları ya

kınını açacak biçimde eşlemektedir. Böylece 3 ek

seninde

f sl

v' ee

ffsc2,

y7a31kınındaki kutupların

araları

açılmaktadır [4 11].

ELEKTRÎK MÜHENDİSLÎĞİ 245

»«2

Şekil 2. Kayıp toleranslarının ve koşulları sağ layan bir kayıp işlevinin düzgülenmiş frekans, z ve y eksenlerinde görünümü. 229

BAŞLANGIÇ REAKTANS İŞLEVİ

f.O 2 = 1/0

HÜCRE VAPISI

2 s mı Alt Söndürme bandı kutbu

f = «i Üst söndürme bandı kutbu

NVı o»,z

f=0 J» 1/0 f * 00 İt 1 nmi Alt söndürme bandı kutbu

f .«i z . mi Üst söndürme bandı kutbu f .0 2.1/0 f * OD z. 1 f .fli z = mı Alt söndürme borat kutbu

f.fli z. mi Üst söndürme bone» kutbu t.O z.l/a f . OD Z. 1

Çizelge 4. 230

z.mi Alt söndürme bandı kutbu f .flı 2 =mi Üst söndürme bandı kutbu

OĞE DE6ERLERİ VE KALAN İŞLEV c 8i,w

D* D C N

"S" İ z » , mi»

'z» ı

1 mı' k(l o')

D CN 2» mv» M _ N h ( 1 o i 2 ; ) D' z' mı'

1 0» mı»

SONUÇ REAKTANS İŞLEVİ DV2» 1 V l o 1 2'

D' y i O » Z»

k x ( z » l ) O ' 2». m ı '

ül

D |z». mi»

=3l!L| , .

D

z ». 1 /o »

1 "~5

İz», mi»

C'(1 a«r')N U.

" (1 a»z*)D

N

li*« mi1

' •"'

1 mi'

N kİ2» l)D' z* m ı ' k(1 o»)

^T v/1 a1 2» H Vl a» z»

D Cd o'r'IN

' i^î z' mi' k(ı o') 1 o»mi»

k(l a') N c (2* D0

N L11 o»z»)D : ' 1 )D

" 1 a» mi» N L(1 <rV)0 D kN z» mi»

N'yi glz» D V/1 o' z»

DVzT T VI a»2'

ELBKTRİK MÜHENDÎSLtGt 245

TBT

Hesaplamanın ilk evrelerinde (yaklaştırma işlevi nin bulunmasında) z değişkeni yerine Y = Lnz de ğişkeni kullanılmaktadır. Şekil 2'de düzgülenmiş sıklık, z değişkeni ve y değişkeni türünden, ka yıp koşulları görülmektedir.

3. SÖNDÜRME KUTUPLARININ BULUNMASI

Verilen kayıp toleranslarından yararlanarak geçir me bandında eşit dalgacıklı ve toleransı aşmayan; söndürme bandında toleransı sağlayan bir karakte ristik işlev bulunması [4, 5,9] da verilmekte dir. Kullanılan karakteristik işlev, matematiksel yapısı gereği, geçirme bandında eşit dalgacık özelliğini göstermekte, söndürme bandı kutupları nı değiştirerek istenen herhangi bir söndürme ko şulunu yeteri kadar kutup kullanarak sağlama ola nağını vermektedir.

Program destesi üç ayrı programdan oluşmaktadır. Birinci program \_l] deki yöntemle söndürme kutup larının en uygun yerini bulmaktadır. Programa gi riş değerleri olarak sıfır ve sonsuzdaki kutup sayıları, geçirme bandında enbüyük zayıflama ve söndürme bandı zayıflama koşulları verilmektedir. Program çıktısı olarak z cinsinden kutup değerle ri elde edilmektedir ve bu değerler, sıfır ve sonsuzdaki kutup sayıları ve geçirme bandında enbüyük zayıflama değeri ile birlikte karakteris tik işlevi tanımlamaya yeterlidir. Bu çıktı de ğerleri ikinci programa veri olarak kullanılmak tadır.

Birinci programın bir özelliği de bazı sıklıklar da özel kutup istenebilmesidir. Böylece bazı sık lıkların tümüyle durdurulması mümkün olmaktadır. Program bu özel kutupları yerinde tutmakta, öteki kutupların yerlerini ayarlayarak en uygun durum larını bulmaktadır.

4. EMPEDANS İŞLEVİNİN ELDE EDİLMESİ

İşlemin bu evresinde k(s) = f(s)/q(s) karakteris tik işlevinin elde edilmesi ve (2) eşitliğindeki e(s) e( s) çokterimlisi ile bunun Hurvitz kısmı olan e(s) çokterimlisinin elde edilmesi z cin sinden gerçekleştirilecektir.

Program paketindeki ikinci program zayıflama kutuplarını girdi olarak almakta; buradan f(s), q(s) ve e(s) çokterimlilerinin z dönüşümünü elde etmektedir. Çizelge l'deki açık ve kısa devre em pedans işlevlerinin pay ve payda çokterimlilerini oluşturacak A, B, C ve Cl çokterimlileri program çıktısında verilmektedir. Bu çokterimliler Çizel ge 3'te görüldüğü gibi empedans işlevini oluştur maktadırlar.

B, C ve Cl çokterimlileri üçüncü programda veri olarak kullanılmakta, verilen devre düzenimine göre empedans deyimlerinin pay ve paydası olarak program tarafından seçilmektedir.

5. ÖĞE DEĞERLERİNİN BULUNMASI

B, C ve Cl çokterimlileri kullanılarak elde edi

len Xıo,Xi5, X , X işlevlerinin gerçekleşti

rilmesi, Çizelge 2'de s cinsinden verilen sıfır

kaydırma ve kutup sökme yönteminin z cinsinden

yürütülmesi ile sağlanır. Gerçekleştirme evresi

nin aksamaması için verilen devre düzeniminin tu

tarlı bir düzenim olması gerekmektedir. Çizelge 4

aynı işlemin z cinsinden yürütülmesi için yeterli

Giriş Empedans Özelliği

Empedons İşlevi Dusutt Dereceli Empedans Yüksek Dereceli Empedans

B

Cı

(Srfır ve sonsuzda açık devre) VI o*z*1

Paralel LC turu (Sıfr ve sonsuzda kısa devre}

Çizelge 3.

a 3/

bilgiyi özet olarak vermektedir. Devrenin tutar lı olması için gerekli koşullar da bu çizelgeden anlaşılabilir. Devrenin düzeniminin tutarlı olmasından ne anla şıldığı şu şekilde açıklanabilir: Gerçekleştirme nin herhangi bir evresinde:

a) Empedans C türü iken dizi yada koşut bobinle başlayan bir devre gelemez.

b) Empedans L türü iken dizi yada koşut sığaçla başlayan bir devre gelemez.

c) Empedans dizi LC türü iken koşut bobin yada koşut sığaç ile başlayan bir devre gelemez.

d) Empedans koşut LC türü iken dizi bobin yada dizi sığaç ile başlayan bir devre gelemez.

En az sayıda bobin kullanan geleneksel süzgeç tasarımı için her iki kapıdan gerçekleştirilebi lecek tutarlı bir düzenim elde etmek için yalın bir yöntem aşağıda verilmektedir.

Program 3, girdi olarak her iki kapıdan devre dü zenimini ve B, C, Cl çokterimlilerini kabul et mektedir. Her iki kapıdan açık devre ve kısa dev re empedansları kullanılarak ikişer gerçekleştir me yapılmaktadır. Sağdan ve soldan yapılan gerçek leştirmede bulunan değerlerin oranı R1/R2 ye eşit olacaktır.

6. TUTARLI BİR DEVRE DÜZENİMİ İÇİN ALGORİTMA

Geleneksel bant geçiren süzgeçlerde giriş ve çı kış kapı empedansları ya "dizi LC türü" yada "ko şut LC türü" özelliktedir. Giriş ve çıkış empe dans özellikleri ile sıfır ve sonsuz sıklıklarda ki kutup sayıları arasındaki ilişki Çizelge 5'te özetlenmiştir.

Çizelge 5.

Sıfır ve Sonsuzdokı Kutup Sayısı

G ns Empedansı

No = 1 r.oo = 3

S e ı LC t u r u

Çıkış Err peaonsı Sen LC t uru

Devrenin Genel Gösterimi

No = 3 :1

No = 2 Nco = 2

No = 2 Na, = 2

Pa olel LC turu 5e ı LC turu

Paralel LC t u r u

H

Paralel LC turu

O —5 0 0 »

Pa rale! LC turu

o—|—i

Jl

1 i—m—o c

Huc re Yapısı

o _)j

o — ^mnnr» —o 300

İOO —o

Çizelge 6.

f=o f= o f=»

Hücre Yaprsı

o 500

i

l—İt—i —o —o

"—f o—

Sökülen Kutup o <f <fı o <f<fı f2<f<ao

o~

f =<x>

Devre tasarımında N ve N^ sayıları başlangıçta Q kararlaştırılır ve öteki (sonlu ve sıfırdan farklı) kutupların en uygun değerleri buna göre hesaplanır. Gerçekten birinci programa giriş ve rilerinden ikisi N ve N^ sayılarıdır. Birinci program çıktısından elde edilen (ikinci program da da kullanılmış olan) alt ve üst söndürme bant larındaki sonlu ve sıfırdan farklı kutupların sa yıları kullanılarak tutarlı bir devre düzenimi saptanmalıdır. Devre hücreleri için kullanılan kodlama Çizelge 6'da verilmiştir [l, 8] .

Devre düzenimi, söndürme kutuplarını Çizelge 4' teki sınırlamalara uyarak sırayla gerçekleştiren çok çeşitli biçimlerde verilebilir. Fakat bobin sayısını artırmamak için 600 ve 700 nolu hücrelerin hiç kullanılmaması, 200 ve 300 nolu hücrelerin en az sayıda kullanılması gerekmekte dir. Aşağıdaki algoritma ile her iki kapıdan ger çekleştirilebilecek, yukarıdaki koşullara uyan birçok devre düzenimi elde edilebilir:

1) Giriş empedansı "dizi LC türü" ise 300 nolu hücre ile sonsuzdaki bir kutbu, "koşut LC türü" ise 200 nolu hücre ile sıfırdaki bir kutbu ger çekleştiriniz.

2) Daha sonra herhangi bir banttan başlayarak, bir kutup alt söndürme bandından, bir kutup üst söndürme bandından sırayla gerçekleştiriniz (500 ve 800 nolu hücrelerle).

3) Bir üst bir alt söndürme bandından gerçekleş tirme yapılırken sıra üst söndürme bandına geldi ğinde üst söndürme bandında sökülece"k kutup kal mamış ise bu bandın aşırı uç sıklığı olan sonsuz sıklıkta bir kutup sökerek gerçekleştiriniz (400 nolu hücre ile).

4) Bir üst bir alt söndürme bandından gerçekleş tirme yapılırken sıra alt söndürme bandına gel diğinde alt söndürme bandında sökülecek kutup kalmamış ise bu bandın aşırı uç sıklığı olan sı fır sıklıkta bir kutup sökerek gerçekleştiriniz (100 nolu hücre ile),

5) Bundan sonra öteki bantta sökülmemiş kutuplar *arsa peşpeşe sökerek gerçekleştiriniz (500 yada 800 nolu hücrelerle). Daha sonra bu kutupların bulunduğu banda ilişkin aşırı uç sıklıktaki kutbu gerçekleştiriniz (100 yada 400 nolu hücre ile).

6) Gerçekleştirilecek son hücre devrenin sonuna

konulacak olan 200 yada 300 türü bobin hücresi dir. Bununla düzenim tamamlanmış olur.

Yukarıdaki algoritmaya göre saptanan devre düze nimi her iki kapıdan da tutarlı olmaktadır. Alçak geçiren süzgeçler için durum çok yalın olduğundan burada konu edilmemiştir.

7. PROGRAMIN KULLANILMASI

Program destesindeki üç program ODTÜ Merkez Bil gisayarına FLTR1, FLTR2 ve FLTR3 isimleriyle yük lenmiştir. Kullanma yönergesi [lO] yazarlardan sağlanabilir.

Program alçak geçiren ve bant geçiren geleneksel süzgeçler için çalışmaktadır. Geçirme bandında eşit dalgacıklı, söndürme bandı genel özellikte ki süzgeçlerin tasarımı yapılabilmektedir. Prog ram, süzgeç tekniğinin ayrıntılarını hemen hiç bilmeyenlerce de kullanılabilecek biçimde hazır lanmıştır.

KAYNAKLAR

[ l] Saal, R. ve E.Ulbrich, "On the design of filters by synthesis" İRE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 5, s.284 327, Aralık 1958.

[ 2] Norek, C, "Product method for the calcula tion of effective loss LC filters" Proc. 1968 Int. Symp. Netvork Theory, s.353,365.

[ 3 ] Thiran, J.P., "An accuracy study of filter synthesis methods" IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 18, s.203 205, Ocak 1971.

[ 4 ] Orchard, H.J. ve G.C.Temes, "Filter design using transformed variables" IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 15, s.385 408, Aralık 1968.

[ 5 ] Bingham, J.A.C., "A new method of solving the accuracy problem in filter design" IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 11, s.327 341, Eylül 1964.

[ 6 ] Bingham, J.A.C., "The approximation problem for both conventional and pararaetric bandpass filters" IEEE Trans. on Circuit Theory (Correspondence), Cilt CT 11, s.408 410, Eylül 1964.

[ 7 ] Smith, B.R. ve G.C.Temes, "An iterative approximation procedure for automatic fil ter synthesis" IEEE Trans. on Circuit Theory, Cilt CT 12, s.107 112, Mart 1965.

[ 8 ] Szentirmai, G., "A filter synthesis program" in System Analysis by Digital Computer, F.F.Kuo and J.F.Kaiser, Eds. New York, Vliley, 1966.

[9İ Çiftçibaşı, T., "Filter design in transfor med variables", Orta Doğu Teknik Üniversi tesi, Y.L.Tezi, Temmuz 1974.

[10] Çiftçibaşı, T., "Süzgeç gerçekleştirme prog ramı kullanma yönergesi" (özel rapor), Kasım 1974.

[il] Çiftçibaşı, T. ve Ö.Hüseyin, "Z dönüşüm de ğişkeni ile süzgeç tasarımı" Elektrik Mühen disliği, Mayıs 1975.