MATEMANTIK

verdik. Bu köşede de mantık, zeka ve buluş yeteneği ile çözülebilecek bilmece/bulmaca çeşitleri ele alınacak ve bu konularda göstereceğiniz olası tepkilere de yer verilecektir. Dediğimiz gibi amacımız, siz Matemantıkçılarla diyalog kurmak ve konularımızı çeşitlendirmek.

Değerli Maiemantıkçılar,

Geçtiğimiz sayıdan bu yana elimize sekiz Matemantıkçının mektubu ulaştı. Bu çözümlerden doğru olanları gönderenlerin listesi şöyle: 45. sorumuza Sayın Semir ÇİÇEK (Seydişehir) ve Sayın Veli YALIN (Konya); 46. sorumuza Sn. Zeki ÜNVER (İsparta) ve Sn. S. ÇİÇEK; 47. sorumuza Sn. Mehmet TERECİ (Diyarbakır), Sn. Abdülkadir TOZLU (İstanbul), Sn. M. Sedat ALPAKUT (Samsun) ve Sn. V. YALIN doğru çözüm göndermişler. Doğru olan bu çözümler dışında, Sn. Osman TÜRKKAN'ın (Kırşehir) Sn. V. YALIN'ın ve Sn. Ayşe İMAMOĞLU'nun (Trabzon) 46. sorumuza; Sn. ATOZLU'nun ve Sn. M. TERECİ'nin 44. sorumuza ve yine Sn. A. İMAMOĞLU'nun 47. sorumuza gönderdiği çözüm önerileri de elimize ulaştı.

Sorularımızı doğru olarak çözmüş bulunan Matemantıkçılara gönderdiğimiz bu ayki kitap ödülü ise İletişim Yayınları'nın Cep Üniversitesi Serisinden yayınlanmış bulunan ve Francis BALLE ve Gerard EYMERY'nin yazmış olduğu "Yeni Medyalar" başlıklı kitap.

Sn. V. YALIN'ın ve Sn. Z. ÜNVERin göndermiş olduğu güzel Matemantık sorularını önümüzdeki sayılarda değerlendireceğiz. Kendilerine teşekkür ediyor, yeni soru önerilerinizi bekliyoruz.

Sayfamızı izleyen ve ilgilerini esirgemeyen sizlere, ilginiz ve katkılarınız için teşekkürler.

Sunabildiğimiz soruları çeşitlendirmek ve sizlerle daha etkili bir diyalog ortamı kurabilmek amacı ile MATEMANTIK sayfamızın içinde, "MATEMANTIK SOHBET" başlığı altında bir köşe başlatmaya karar

Kimi zaman, ilginç olan bilimsel makale, kimi zaman bilgisayar programlama problemleri, kimi zaman oyun konusunda söyleşiler, tartışmalar yer alacak "Sohbet" köşemizde.

İlginizi, tepkilerinizi, MATEMANTIK SOHBET köşemizde bulmayı arzu ettiğiniz konulan belirten isteklerinizi, yeni çözüm önerileri ve soruları da içeren mektuplarınızı bekliyoruz.

MATEMANTIK S 0 H B E T

Sevgili Matemantıkçılar,

Elektrik Mühendisliği Dergisi'nin 357. sayısından başlayarak 27 sayıdır (3.5 yılı aşkın bir süredir) sizlerin de katkılarıyla hazırladığım Matemantık köşesini bu sayıdan başlayarak Necatı BUYÜKDURA'yla birlikte hazırlayacağım. Sn. BÜYÜKDURA'nın katkılarıyla Matemantık sayfalarını genişletiyor ve çeşitlendiriyoruz. Önceden olduğu gibi bundan sonra da siz değerli Matemanükçılann görüş, öneri ve katkılarınızı bekliyoruz.

Sn. BÜYÜKDURA'yı köşemize düzenli olarak gönderdiği çözümleri ve özgün Matemantık sorularıyla tanıyorsunuz aslında. Ben, bu sayfalarda, bir kez daha kendisinin ülkemizin en önemli "Matemantık sorusu üreticilerinden birisi" olduğunu ve özgün çalışmalarının Türkiye sınırlan dışında da yankı yaptığını vurgulamak ve bu mütevazi köşemizi birlikte hazırlama önerimize olumlu yanıt vererek bizleri onurlandırdığı için sizlerin adına kendisine teşekkür etmek istiyorum.

M. Serhat ÖZYAR

385 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

51 SORU

Arnon BONEH

TERS PİSAGOR ÜÇLÜLERİ OLUŞTURALIM MI?

a2 + b'2 = c2 eşitliğini sağlayan üç pozitif a.b.c tamsayısını "ters (recip rocal) pisagor üçlüsü" olarak tanım layabiliriz. (Örneğin 156, 65, 60 sayı ları böyle bir üçlü oluştururlar).

Bu özelliğe sahip üçlülerden, toplam ları (a+b+c toplamı) en küçük olanını bulunuz.

52 SORU

ÇOMAR'IN DÖRT GÜNÜ

Necah BÜYÜKDURA

Çomar, Göl kenarındaki beş yazlık evin koruyucusu olan bir bekçi köpe ğidir. Bu evler, birbirlerine bitişik ve alçak çitlerle ayrılmış birer bahçe içindedir. Çomar'm kulübesi, 1. evin yanında idi. Evlerden birine gitmek için aradaki evlerin bahçelerinden geçiyordu. Örneğin, 3. eve gitmek için, 1. evin bahçesine girip oradan 2. evin bahçesine ve oradan da 3. evin bahçesine geçiyordu. 4. evin bahçesinde iken, 1. evde olan birisi Çomar'ı çağırsa, 3. ve 2. evlerin bah çelerinden geçip 1. evin bahçesine giriyordu.

Her sabah, evlerin birinden, biri çıkıp Çomar'ı çağırır, ona yiyecek verirdi. Biraz sonra başka bir evden Çomar'ı çağırıp yiyecek verirler ve kısa ara lıklarla diğer evlerden de onu çağırıp yiyecek verirlerdi. Bu süreç her gün tekrarlanır ve Çomar ona verilen son yemeği bitirdiğinde, oracıkta uzanıp bir güzel uyku çekerdi.

Son dört gün içinde 2 ilginç rastlantı oldu. ŞÖYLE Kİ:

1. Bu beş evde oturanlar, her gün DEĞİŞİK BİR SIRAYLA Çomar'a yi yecek verdiler.

2. Çomar'ın her sabah, verilen ye mekleri yemek için yaptığı gidiş gelişler sırasında, her bahçeye kaç kez girdiğini veren SAYI, (her ev için) FARKLIYDI.

MATEMANTIK S I H I R L I

KARELER

Matemantık türün

den

bilmece/

bulmaca alanında

yaygın olarak "si

hirli kare" adıyla

bildiğimiz bulma

calar, l'den n2'ye kadar olan tamsa

yıların n x n boyutlarında bir kare

şeklinde yerleştirilmesiyle elde edi

lir. Karenin her satırında, her kolo

nunda ve iki köşegeninde yer alan

sayıların toplamlarının hep aynı ol

ması kuralı geçerlidir. Sabit top

lamın 1/2 n(n2+l)'e eşit olduğu bel

lidir. Sayıların l'den başlaması ge rekmez. Karenin kenarı n ise, n2 sa yıda elemanı olan herhangi bir arit metik dizinin sayılarıyla da sihirli kareler yapılabilir. Aşağıda, 4. ve 5. dereceden sihirli kareler için ikişer örnek verilmiştir.

Albert DÜRER Melancholy (1514)

Sihirli karelerle uğraşmanın tarihi epey eskidir. Hiristiyanlıktan önceki çağlarda, Çinlilerin sihirli kareler ürettikleri biliniyor. Çin kaynaklı olan sihirli kareler, 15.ci yüzyıl baş larında İstanbul'da (Constantinop le'da) yaşamış Bizanslı Moschopu lus tarafından Avrupa'ya tanıtıldı.

16 3

2 13

5 10 11 8

7 12

4 15 14 1

ŞEKİL 1 *U4

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

UFKİL 3. f1 5

15 10 3

16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

ŞEKİL 2. •

31 43 00 12 24 42 04 11 23 30 03 10 22 34 41 14 21 33 40 02 20 32 44 01 13

ŞEKİL < N . 5

50 385 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

Son dört günün her birinde, bu h ş evde oturanlar, HANGİ SIRA İLE, Çomara yiyecek vermiş olabilirler?

TELGRAFIN

TELLERİNE

KUŞLAR MI

KONAR?

John HERBERT

y

D 2.

D3

Dört kuşu ayıran uzaklıkların D,, D2 ve D3 olduğunu varsayalım.

Oı

(D1<D2<D3). Kendisine bakmakta

olan komşusuna bakan kuşları oklar

la gösterelim. Oklarla gösterilmeyen

lere de x (çarpı) işareti koyalım. Bu

na göre, soru "rasgele seçilen bir ku

şun okla temsil edilme olasılığfnı

Ünlü Comelius Agrippa (1486 1535), astrolojinin uğraş konusu olan 7 gök cismi Güneş, Merkür, Ay, Venüs, Mars, Jüpiter ve Sa türn'e izafe ettiği, 3'den 9'a kadar de recelerden) 7 tane sihirli kare düzen ledi.

Orta çağlarda dünyayı dehşetli kor kulara düşüren veba salgınlarında, gümüş plaka üzerine kazılmış sihirli karelerin, vebaya karşı koruyucu et kisi olan "MUSKA" niteliğinde ol duklanna inanılırdı.

Ünlü Alman ressam ve gravürcü Al bert DÜRER'in 1514'te yaptığı. "Melancholy" isimli gravüründe (yukarda, şekil l'dekinin aynı olan) bir sihirli kare bulunmaktadır. Alt sıranın ortasında (15) ve (14) sayıla rı, gravürün yapım tarihi olan 1514 yılını simgelemektedir.

Sihirli karelerin matematiksel ana lizleri, 17. yüzyılda Fransa'da başla mış, izleyen dönemlerde giderek yaygınlaşmış ve "StHlRLÎ KARE LER" oluşturmak için izlenecek olan yöntemler, (karelerin kaçıncı dereceden olduklanna bağlı olarak) saptanmış ve tanımlanmış bulun maktadır.

Yukanda ilk paragrafta, aritmetik dizilerin ardışık elemenlanndan (ör neğin: 2,4,6,8.. gibi bir dizinin ele manlanndan) 3. dereceden bir sihirli

ı1 06

II Şekil 5

olarak yerleştiri lir. Eklenen (çı kıntılarda yer alan) karelerdeki sayılar, "KARŞI

\ LARINDAKİ

BOŞ KARELE

RE" yazılınca çö j züm bulunmuş

HATEIMNTIK T

olur (Şekil 6). N=3'ten büyük dere celerde "SlHÎRLÎ KARE" oluştur ma yöntemlerinin biraz daha karma şık olduğunu, bu konudaki başka bir SOHBET yazısında göreceğiz.

04 14 12 |

18 10 02 | ı— •

Sihirli kareler sadece aritmetik dizi lerin ardışık elemanlarıyla sınırlı de ğildirler. Ardışık olan (veya olma yan) asal sayılardan oluşturulmuş pek çok örnek vardır. Bunlar arasın da, ilginç olan bir kaç örnek aşağıda sunulmuştur.

08 06 16',

J

Şekil 6

karenin oluşturulmasıyla ilgili bü yümemi, İsparta'dan Zeki UNVER göndermiş.

Şekil 5'de görüldüğü gibi, orta sıra nın soluna ve sağına, orta sütununun da üstüne ve altına ek kareler ilave edilir, aritmetik dizinin elemanlan (şekildeki gibi), sırayla çaprazlama

8. ve 9. şekillerdeki sihirli karelerde asal sayılar kullanılmıştır. Bunların ilginç özelliği, 107'den 457'ye kadar olan 61 tane ardışık asal sayıyı, 25+36=61 olarak iki gruba ayınp, 1. grupta, 107'den 239'a kadar olan 25 ardışık asal sayı ile 5. dereceden si hirli kare yapılabilmiş olması ve üs telik geriye kalan, 2. gruptaki, 241'den 457'ye kadar ardışık asal sa yılarla da, 6. dereceden bir sihirli kare yapılmış olmasıdır. Bu ilginç özelliği daha da ilginç yapan bir şey

385 ELEKTRİK E i MÜHENDİSLİĞİ *J I

bulmamızı istemektedir. Dizilişin sol dan veya sağdan olması birşey far kettirmeyeceğine göre, bu uzaklıkla rın dağılımında ve dört kuşun dizili şinde üç ayrı seçenek vardır. Bu se çeneklerin üçü de eşit olasılığa sa hiptir. Şekilde bu üç diziliş seçeneği de gözükmektedir.

Her seçenekte dört kuştan toplam oniki kuş vardır. Bunlardan sekizi ok la, dördü çarpıyla gösterilmiştir. Ras gele seçilen bir kuşun okla temsil edilme olasılığı fl 9 b) (n 1) uzaklık olacaktır: D^ D2, .... Dp^ uzaklık n tane kuşu ayıracaktır. S kümesi, (n 1) uzaklıkla ayrılabile cek n kuşun olabilecek dizilişlerini göstersin. Genelde, S içindeki olası

dizilişlerin sayısı (n 1)! olacaktır; bu dizilişlerdeki toplam kuş sayısı da

Okla temsil edilenlerin sayısı için kuşlar arasındaki uzaklıklar anahtar teşkil eder. Okla temsil edilenlerin sayısını bulmak için kural şöyle özet lenebilir:

Dj uzaklığı yalnızca, D, kendisinden büyük uzaklıklara komşuysa bir çift ok üretir (oluşturur). Yapılacak bir analiz, S kümesinde kendinden bü yük uzaklıklara komşu olan Di uzak lıklarının sayısının nl olduğunu gösterir. Bu ifade de ğ in

dirgenebilir. Bu tür her uzaklık bir çift ok üreteceğine göre, S kümesindeki

ok sayısı n > 3 koşuluyla ü: olacak

tır.

Sonuçta, rasgele seçilen bir kuşun

okla temsil edilme olasılığı, kuşların

sayısından (n'den) bağımsız olarak

n!/3 : — olacaktır. n!/2

Not: Bu sorumuza ilişkin çözüm gön deren Matemantıkçılar, sorudaki "her kuş, kendisine en yakın olan kuşa (komşusuna) dönüp baktığına göre" ifadesinin "kendisine en yakın olan" kısmını dikkate almadan soru yu çözmüşler ve istenen sonucu el de edememişlerdir. Bu, göreli olarak zor sorumuza çözüm gönderen tüm Matemantıkçılara uğraşlarından ötü rü teşekkür ediyoruz.

daha var: 107'den 457ye kadar olan 61 tane ardışık asal sayıdan önce ge len (37 ile 103 aralığındaki) 16 ardı şık asal sayı ile de 4. dereceden si hirli kare (şekil 7) yapılabilmesidir.

A.W. Johnson, Jr.'e göre, ardışık asal sayılar ile yapılabilecek en kü çük boyutlu sihirli kare 4. derece dendir. Bunlardan dört tanesi bilin mektedir. Bilinen bu dört tane sihirli karenin biri şekil 7'de, bir diğeri de şekil 10'da gösterilmiştir. Ardışık 9 asal sayı ile 3. dereceden sihirli ka renin olup olamayacağı bilinmemek tedir.

Asal sayılarla yapılan sihirli kareler arasında çok ilginç olan bir başka örnek, şekil ll'de görülüyor. Çok sayıda olan 4 basamaklı asal sayıla rın, ardışık olmayan 64 tanesi ile ya pılan bu sihirli karenin bir özelliği iç içe konulmuş üç ayrı sihirli kareyi içeriyor olmasıdır. 64 asal sayının hepsini kullanarak 6. dereceden si hirli kare yapılmıştır. Dış kenarlar boyunca yer alan çerçeve durumun daki 28 birim kareyi atarsak, içte ka lan (6x6'lık) kare ise, 6. dereceden bir sihirli karedir. Bu karenin de dış kenarlarında yer alan 20 sayıyı atar sak, en içteki (4x4'lük) kare de bir sihirli karedir.

41 71 103 61 97 79 47 53 37 67 83 89 101 59 43 73

107 229 181 239 109 233 131 191 137 173 149 139 223 127 227 179 199 113 211 163 197 167 157 151 193

4943 4999 5003 4951 4933 4973 4969 5021 5011 4967 4987 4931 5009 4957 4937 4993

251 389 311 449 347 353 313 359 293 373 379 383 397 271 419 263 401 349 269 317 367 421 283 443 439 307 277 337 409 331 431 457 433 257 281 241

2621 2477 2039 1289 3251 1583 3533 2207 3257 1361 3491 2393 2333 2963 1709 1493 2609 1811 2837 2087 2687 1889 2939 2141 2777 2819 2753 1823 1223 3701 1931 1973 2351 2879 1049 3527 2927 1997 1871 2399 1283 2339 2861 2063 2663 1913 2411 3467 1559 3041 1259 2357 2417 1787 3389 3191 2543 2273 2711 3461 1499 3167 1217 2129

özelliğin ne olduğunu bulabilir misi niz? ipucu olarak, 9500'ün sihirli bir sayı olduğunu, kulağınıza 30 kez fi sıldayabilirim. Arayın, bulursunuz. Bol şanslar.

yine döneceğiz. Çeşitli örneklerini ele alarak, karelerdeki "sihir"i irde levecek ve değişik türlerde "SIHİR Ll KARE" oluşturma yöntemlerini açıklayıp tartışmaya çalışacağız.

Bu ilginç sihirli karenin, yine çok il Bir başka "MATEMANTIK SOH Necah BÜYÜKDURA ginç olan bir başka özelliği var. Bu BET"inde sihirli kareler konusuna

52 385 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

EN KISA Y OL HANGİ NOKTADAN?

Aşağıdaki şekilde: (DE) doğrusunu "SİMETRİ EKSENİ" olarak düşünür i sek, (A)nın bu eksene göre simetriği (A1) noktasıdır. (BA1) doğru parçası nın (DE) doğrusunu kestiği nokta (C) olsun.

(B) ile (A1) arasındaki "EN KISA YOL", (BA1) doğru parçası olduğuna ve simetriden dolayı (CA) (CA1) olduğuna göre, (C) noktası, istenilen noktadır.

SİHİRLİ PETEKLER

i 18 I l7 il i V

T i ! 13 f

1!

I İc,

2V

Not: 382. sayımızda yayınladığımız ve bize üyemiz Sn. Abdülkadir TOZ LU'nun İstanbul'dan gönderdiği "Si hirli Petekler" başlığıyla sunduğu muz bu soruyla ilgili Sn. Necah BÜ

YÜKDURA bir uyarıda buluna rak, aynı sihirli pe teklerin Cumhuri yet gazetesinin Bi lim Teknik Eki'nin 12 Mayıs 1990 ta rihli 165. sayısın da "Sihirli Altıgen ler" başlığıyla ya yınlandığını belirt ti, öte yandan, yaptığımız araştır mada bu bulma

canın ilk defa İngiltere'de yayınlan makta olan haftalık popüler bilim dergisi New Scientisfin 27 Ocak 1990 tarihli sayısındaki bulmaca kö şesi ENİGMA'da 548. numaralı so ruyla birlikte yayınlandığını bulduk. Soruyu hazırlayan ise ünlü Mate mantıkçılardan Kenneth ARMS TRONG.

' Köşemize Mektup gönderen Mate mantıkçılara önemli not:

1) Çözüm gönderiyorsanız, hangi sayıda yayınlanan kaçıncı soruya gönderdiğinizi ve çözüm yolunuzu açıkça belirtiniz.

2) Soru önerisi yapıyorsanız, soru nun eğer kendiniz hazırlamadıysa nız ve kaynağını biliyorsanız kayna ğını ve açık bir şekilde ifade edilmiş çözümünü mektubunuza ekleyiniz. Eğer kendi yapıtınız ise böyle oldu ğunu açıkça belirtiniz. 3) Zarfın üzerine "Elektrik Mühen disliği Dergisi, Matemantık Köşesi" ibaresini mutlaka yazınız.

4) Hem zarfın üzerine hem de mek tubunuza isminizi ve açık adresinizi mutlaka yazınız. Eğer EMO üyesi iseniz EMO sicil numaranızı ekleme yi unutmayınız. 5} Mektubunuza tarih atmayı ihmal etmeyiniz.

Metin Y AKAR

M.Bülent DAY IOĞLU

Odamız 10229 Sicil Nolu üyesi Metin Y AKAR'ı kaybetik.

AİLESİNE Y AKINLARINA VE ODAMIZ TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ.

Odamız 4986 Sicil Nolu üyesi M.Bülent DAY lOĞLUnu kaybetik.

AİLESİNE Y AKINURINA VE ODAMIZ TOPLULUĞUNA BAŞSAĞLIĞI DİLERİZ.

53 385 ELEKTRİK

MÜHENDİSLİĞİ